小學(xué)數(shù)學(xué)5年級(jí)培優(yōu)奧數(shù)講義-第06講-分類數(shù)圖形(含解析)-

第06講分類數(shù)圖形學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)認(rèn)識(shí)了解線段、角、三角形、長(zhǎng)方形等基本圖形；學(xué)會(huì)數(shù)基本圖形的個(gè)數(shù)；掌握數(shù)圖形的規(guī)律。知識(shí)梳理知識(shí)梳理一、學(xué)會(huì)數(shù)圖形同學(xué)們，你想學(xué)會(huì)數(shù)圖形的方法嗎？要想不重復(fù)也不遺漏地?cái)?shù)出線段、角、三角形、長(zhǎng)方形……那就必須要有次序、有條理地?cái)?shù)，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，以便得到正確的結(jié)果。要正確數(shù)出圖形的個(gè)數(shù)，關(guān)鍵是要從基本圖形入手。首先要弄清圖形中包含的基本圖形是什么，有多少個(gè)，然后再數(shù)出由基本圖形組成的新的圖形，并求出它們的和。當(dāng)我們識(shí)了線段、角、三角形、長(zhǎng)方形等基本圖形后，這些圖形重重疊疊地交錯(cuò)在一起時(shí)就構(gòu)成了復(fù)雜的幾何圖形。要想準(zhǔn)確地計(jì)數(shù)這類圖形中所包含的某一種基本圖形的個(gè)數(shù)，就需要仔細(xì)地觀察，靈活地運(yùn)用有關(guān)的知識(shí)和思考方法，掌握數(shù)圖形的規(guī)律，才能獲得正確的結(jié)果。二、解題策略要準(zhǔn)確、迅速地計(jì)數(shù)圖形必須注意以下幾點(diǎn)：1.弄清被數(shù)圖形的特征和變化規(guī)律。2.要按一定的順序數(shù)，做到不重復(fù)，不遺漏。典例分析典例分析考點(diǎn)一：基本圖形例1、數(shù)出下圖中有多少條線段？例2、數(shù)出圖中有幾個(gè)角？例3、數(shù)出右圖中共有多少個(gè)三角形？例4、數(shù)出下圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方形？例5、數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個(gè)正方形？(每個(gè)小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形)考點(diǎn)二：較復(fù)雜的問題例1、有5個(gè)同學(xué)，每?jī)蓚€(gè)人握手一次，一共要握手多少次？例2、從廣州到北京的某次快車中途要?？?個(gè)大站，鐵路局要為這次快車準(zhǔn)備多少種不同車的車票？這些車票中有多少種不同的票價(jià)？例3、求下列圖中線段長(zhǎng)度的總和。(單位：厘米)例4、下圖中共有多少個(gè)三角形？例5、數(shù)出下圖中所有三角形的個(gè)數(shù)。例6、如下圖，平面上有12個(gè)點(diǎn)，可任意取其中四個(gè)點(diǎn)圍成一個(gè)正方形，這樣的正方形有多少個(gè)？例7、數(shù)一數(shù)，下圖中共有多少個(gè)三角形？實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練課堂狙擊1、數(shù)出下圖中有多少條線段？2、數(shù)出圖中有幾個(gè)角？3、數(shù)出圖中共有多少個(gè)三角形？4、數(shù)出下圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方形？5、銀海學(xué)校三年級(jí)有9個(gè)班，每?jī)蓚€(gè)班要比賽拔河一次，這樣一共要拔河幾次？6、從上海到武漢的航運(yùn)線途中，有9個(gè)?？看a頭，航運(yùn)公司要為這段航運(yùn)線準(zhǔn)備多少種不同的船票？7、數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個(gè)三角形。8、下圖中共有8個(gè)點(diǎn)，連接任意四點(diǎn)圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，一共能圍成多少個(gè)長(zhǎng)方形？課后反擊1、數(shù)出下圖中有幾個(gè)長(zhǎng)方形？2、數(shù)出圖中有幾個(gè)角？3、數(shù)出圖中共有多少個(gè)三角形？4、數(shù)出下圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方形？5、有1，2，3，4，5，6，7，8等8個(gè)數(shù)字各用一次，能組成多少個(gè)不同的兩位數(shù)？6、從上海至青島的某次直快列車，中途要?？?個(gè)大站，這次列車有幾種不同票價(jià)？7、下面圖中共有多少個(gè)三角形？8、下圖中共有多少個(gè)正方形，多少個(gè)三角形？9、下圖中共有6個(gè)點(diǎn)，連接其中的三點(diǎn)圍成一個(gè)三角形，一共能圍成多少個(gè)三角形？直擊賽場(chǎng)直擊賽場(chǎng)1、下邊三個(gè)圖中都有一些三角形，在圖A中，有個(gè)；在圖B中，有___個(gè)；在圖C中，有______個(gè)。(第一屆小學(xué)“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽四年級(jí)第1試)2、數(shù)一數(shù)，圖中有_________個(gè)三角形。(第二屆小學(xué)“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽第2試)重點(diǎn)回顧重點(diǎn)回顧(1)認(rèn)識(shí)了解線段、角、三角形、長(zhǎng)方形等基本圖形；(2)學(xué)會(huì)數(shù)基本圖形的個(gè)數(shù)；(3)掌握數(shù)圖形的規(guī)律名師點(diǎn)撥名師點(diǎn)撥重點(diǎn)和難點(diǎn)突破：

要準(zhǔn)確、迅速地計(jì)數(shù)圖形必須注意以下幾點(diǎn)：1.弄清被數(shù)圖形的特征和變化規(guī)律。2.要按一定的順序數(shù)，做到不重復(fù)，不遺漏。學(xué)霸經(jīng)驗(yàn)學(xué)霸經(jīng)驗(yàn)本節(jié)課我學(xué)到了我需要努力的地方是第06講分類數(shù)圖形教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)認(rèn)識(shí)了解線段、角、三角形、長(zhǎng)方形等基本圖形；學(xué)會(huì)數(shù)基本圖形的個(gè)數(shù)；掌握數(shù)圖形的規(guī)律。知識(shí)梳理知識(shí)梳理一、學(xué)會(huì)數(shù)圖形同學(xué)們，你想學(xué)會(huì)數(shù)圖形的方法嗎？要想不重復(fù)也不遺漏地?cái)?shù)出線段、角、三角形、長(zhǎng)方形……那就必須要有次序、有條理地?cái)?shù)，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，以便得到正確的結(jié)果。要正確數(shù)出圖形的個(gè)數(shù)，關(guān)鍵是要從基本圖形入手。首先要弄清圖形中包含的基本圖形是什么，有多少個(gè)，然后再數(shù)出由基本圖形組成的新的圖形，并求出它們的和。當(dāng)我們識(shí)了線段、角、三角形、長(zhǎng)方形等基本圖形后，這些圖形重重疊疊地交錯(cuò)在一起時(shí)就構(gòu)成了復(fù)雜的幾何圖形。要想準(zhǔn)確地計(jì)數(shù)這類圖形中所包含的某一種基本圖形的個(gè)數(shù)，就需要仔細(xì)地觀察，靈活地運(yùn)用有關(guān)的知識(shí)和思考方法，掌握數(shù)圖形的規(guī)律，才能獲得正確的結(jié)果。二、解題策略要準(zhǔn)確、迅速地計(jì)數(shù)圖形必須注意以下幾點(diǎn)：1.弄清被數(shù)圖形的特征和變化規(guī)律。2.要按一定的順序數(shù)，做到不重復(fù)，不遺漏。典例分析典例分析考點(diǎn)一：基本圖形例1、數(shù)出下圖中有多少條線段？【解析】方法一：我們可以采用以線段左端點(diǎn)分類數(shù)的方法。以A點(diǎn)為左端點(diǎn)的線段有：AB、AC、AD3條；以B點(diǎn)為左端點(diǎn)的線段有：BC、BD2條；以C點(diǎn)為左端點(diǎn)的線段有：CD1條。所以，圖中共有線段3+2+1=6(條)。方法二：把圖中線段AB、BC、CD看做基本線段來數(shù)，那么，由1條基本線段構(gòu)成的線段有：AB、BC、CD3條；由2條基本線段構(gòu)成的線段有:AC、BD2條；由3條基本線段構(gòu)成的線段有：AD1條。所以，圖中一共有3+2+1=6(條)線段。例2、數(shù)出圖中有幾個(gè)角？【解析】數(shù)角的個(gè)數(shù)可以采用與數(shù)線段相同的方法來數(shù)。方法一：以O(shè)A為一邊的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD3個(gè)；以O(shè)B為一邊的角還有：∠BOC、∠BOD2個(gè)；以O(shè)C為一邊的角還有：∠COD1個(gè)。所以，圖中共有角3+2+1=6(個(gè))。方法二：把圖中∠AOB、∠BOC、∠COD看做基本角來數(shù)，那么，由1個(gè)基本角構(gòu)成的角有：∠AOB、∠BOC、∠COD3個(gè)；由2個(gè)基本角構(gòu)成的角有:∠AOC、∠BOD2個(gè)；由3個(gè)基本角構(gòu)成的角有：∠AOD1個(gè)。所以，圖中一共有3+2+1=6(個(gè))角。例3、數(shù)出右圖中共有多少個(gè)三角形？【解析】方法一：我們可以采用按邊分類數(shù)的方法。以PA為邊的三角形有：△PAB、△PAC、△PAD、3個(gè)；以PB為邊的三角形還有：△PBC、△PBD2個(gè)；以PC為邊的三角形還有：△PCD1個(gè)。所以，圖中共有三角形3+2+1=6(個(gè))。方法二：把圖中三角形△PAB、△PBC、△PCD看做基本三角形來數(shù)，那么，由1個(gè)基本三角形構(gòu)成的三角形有：△PAB、△PBC、△PCD3個(gè)；由2個(gè)基本三角形構(gòu)成的三角形有:△PAC、△PBD2個(gè)；由3個(gè)基本三角形構(gòu)成的三角形有：△PAD1個(gè)。所以，圖中一共有3+2+1=6(個(gè))三角形。方法三：我們發(fā)現(xiàn)，要數(shù)出圖中三角形的個(gè)數(shù)，只需數(shù)出線段AD中包含幾條線段就可以了，即3+2+1=6(個(gè))。所以圖中共有6個(gè)三角形。例4、數(shù)出下圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方形？【解析】數(shù)圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方形和數(shù)三角形的方法一樣，長(zhǎng)方形是由長(zhǎng)、寬兩對(duì)線段圍成，線段CD上有3+2+1=6(條)線段，其中每一條與AC中一條線段對(duì)應(yīng)，分別作為長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，這里共有6×1=6(個(gè))長(zhǎng)方形，而AC上共有2+1=3(條)線段也就有6×3=18(個(gè))長(zhǎng)方形。它的計(jì)算公式為：長(zhǎng)方形的總數(shù)=長(zhǎng)邊線段的總數(shù)×寬邊線段的總數(shù)：(3+2+1)×(2+1)=18(個(gè))例5、數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個(gè)正方形？(每個(gè)小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形)【解析】圖中邊長(zhǎng)為1個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有3×3=9個(gè)，邊長(zhǎng)為2個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有2×2=4個(gè)，邊長(zhǎng)為3個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有1×1=1個(gè)。所以圖中的正方形總數(shù)為：1+4+9=14個(gè)。經(jīng)進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)，由相同的n×n個(gè)小方格組成的幾行幾列的正方形其中所含的正方形總數(shù)為：1×1＋2×2＋…＋n×n?？键c(diǎn)二：較復(fù)雜的問題例1、有5個(gè)同學(xué)，每?jī)蓚€(gè)人握手一次，一共要握手多少次？【解析】這道題可以用數(shù)線段的方法來解答。根據(jù)題意，畫出線段圖，每一個(gè)端點(diǎn)代表一個(gè)同學(xué)。從圖上可以看出，第1個(gè)同學(xué)要與其余4個(gè)同學(xué)握手共握手4次；第2個(gè)同學(xué)還要與其余3個(gè)同學(xué)握手共握手3次，第3個(gè)同學(xué)要與其余2個(gè)同學(xué)握手共握手2次；第4個(gè)同學(xué)還要與最后1個(gè)同學(xué)握手共握手1次。所以，一共要握手4+3+2+1=10(次)例2、從廣州到北京的某次快車中途要?？?個(gè)大站，鐵路局要為這次快車準(zhǔn)備多少種不同車的車票？這些車票中有多少種不同的票價(jià)？【解析】這道題是數(shù)線段的方法在實(shí)際生活中的應(yīng)用，連同廣州、北京在內(nèi)，這條鐵路上共有10個(gè)站，共有1+2+3+…+9=45條線段，因此要準(zhǔn)備45種不同的車票。由于這些車站之間的距離各不相等，因此，有多少種不同的車票，就有多少種不同的票價(jià)，所以共有45種不同的票價(jià)。例3、求下列圖中線段長(zhǎng)度的總和。(單位：厘米)【解析】要求圖中的線段長(zhǎng)度總和，可以這樣計(jì)算：AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE=1+(1+4)+(1+4+2)+(1+4+2+3)+4+(4+2)+(4+2+3)+2+(2+3)=352厘米從上面的計(jì)算中可以發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律，算式中長(zhǎng)1厘米的基本線段(我們把不能再劃分的線段稱為基本線段)出現(xiàn)了4次，長(zhǎng)4厘米的線段出現(xiàn)了(3×2)次，長(zhǎng)2厘米的線段出現(xiàn)了(2×3)次，長(zhǎng)3厘米的線段出現(xiàn)了(1×4)次，所以，各線段長(zhǎng)度的總和還可以這樣算：1×4+4×(3×2)+2×(2×3)+3×(1×4)=1×(5－1)+4×(5－2)×2+2×(5－3)×3+3×(5－4)×4=52厘米上式中的5是線段上的5個(gè)點(diǎn)，如果設(shè)線段上的點(diǎn)數(shù)為n，基本線段分別為a1、a2、…a(n－1)。以上各線段長(zhǎng)度的總和為L(zhǎng)，那么L=a1×(n－1)×1+a2×(n－2)×2+a3×(n－3)×3+…+a(n－1)×1×(n－1)例4、下圖中共有多少個(gè)三角形？【解析】為了保證不漏數(shù)又不重復(fù)，我們可以分類來數(shù)三角形，然后再把數(shù)出的各類三角形的個(gè)數(shù)相加。(1)圖中共有6個(gè)小三角形；(2)由兩個(gè)小三角形組合的三角形有3個(gè)；(3)由三個(gè)小三角形組合的三角形有4個(gè)；(4)由六個(gè)小三角形組合的三角形有1個(gè)。所以共有6＋3＋4＋1=14個(gè)三角形。例5、數(shù)出下圖中所有三角形的個(gè)數(shù)?！窘馕觥亢腿切蜛FG一樣形狀的三角形有5個(gè)；和三角形ABF一樣形狀的三角形有10個(gè)；和三角形ABG一樣形狀的三角形有5個(gè)；和三角形ABE一樣形的三角形有5個(gè)；和三角形AMD一樣形狀的三角形有5個(gè)，共35個(gè)三角形。例6、如下圖，平面上有12個(gè)點(diǎn)，可任意取其中四個(gè)點(diǎn)圍成一個(gè)正方形，這樣的正方形有多少個(gè)？【解析】把相鄰的兩點(diǎn)連接起來可以得到下面圖形，從圖中可以看出：(1)最小的正方形有6個(gè)；(2)由4個(gè)小正方形組合而成的正方形有2個(gè)；(3)中間還可圍成2個(gè)正方形。所以共有6＋2＋2=10個(gè)。例7、數(shù)一數(shù)，下圖中共有多少個(gè)三角形？我們可以分類來數(shù)：1、單一的小三角形有16個(gè)；2、兩個(gè)小三角形組合的有10個(gè)；3、四個(gè)小三角形組合的有8個(gè)；4、八個(gè)小三角形組合的有2個(gè)。所以，圖中一共有16＋10＋8＋2=36個(gè)三角形。實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練課堂狙擊1、數(shù)出下圖中有多少條線段？【解析】我們可以采用以線段左端點(diǎn)分類數(shù)的方法。以A點(diǎn)為左端點(diǎn)的線段有4條；以B點(diǎn)為左端點(diǎn)的線段有3條；以C點(diǎn)為左端點(diǎn)的線段有2條,以D點(diǎn)為左端點(diǎn)的線段有1條。所以圖中共有線段4+3+2+1=10(條)。2、數(shù)出圖中有幾個(gè)角？【解析】以O(shè)A為一邊的角有2個(gè)；以O(shè)B為一邊的角還有1個(gè)；以O(shè)C為一邊的角還有：∠COD1個(gè)。所以，圖中共有角2+1=3(個(gè))。3、數(shù)出圖中共有多少個(gè)三角形？【解析】我們可以采用按邊分類數(shù)的方法。以BA為邊的三角形有4個(gè)；以AC為邊的三角形還有3個(gè)；以AD為邊的三角形還有2個(gè)，以AE為邊的三角形還有1個(gè)。所以，圖中共有三角形4+3+2+1=10(個(gè))。4、數(shù)出下圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方形？【解析】長(zhǎng)方形的總數(shù)=長(zhǎng)邊線段的總數(shù)×寬邊線段的總數(shù)：(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(個(gè))5、銀海學(xué)校三年級(jí)有9個(gè)班，每?jī)蓚€(gè)班要比賽拔河一次，這樣一共要拔河幾次？【解析】第一個(gè)班要和其余8個(gè)班比賽一次，第二個(gè)班又要和剩下7個(gè)班比賽一次，依次下去，總數(shù)是：8+7+6+5+4+3+2+1=36場(chǎng)。6、從上海到武漢的航運(yùn)線途中，有9個(gè)?？看a頭，航運(yùn)公司要為這段航運(yùn)線準(zhǔn)備多少種不同的船票？【解析】算上上海、武漢一共有11個(gè)碼頭，一共有10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55條線段，那么算上往返的船票，一共是110種。7、數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個(gè)三角形?！窘馕觥恳还灿?2+10=32個(gè)。8、下圖中共有8個(gè)點(diǎn)，連接任意四點(diǎn)圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，一共能圍成多少個(gè)長(zhǎng)方形？【解析】一共3+2+1=6個(gè)。課后反擊1、數(shù)出下圖中有幾個(gè)長(zhǎng)方形？【解析】一共5+4+3+2+1=15個(gè)。2、數(shù)出圖中有幾個(gè)角？【解析】一共4+3+2+1=10個(gè)。3、數(shù)出圖中共有多少個(gè)三角形？【解析】一共有(4+3+2+1)+(4+3+2+1)=20個(gè)。4、數(shù)出下圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方形？【解析】一共有：4+1+1+1=7個(gè)。5、有1，2，3，4，5，6，7，8等8個(gè)數(shù)字各用一次，能組成多少個(gè)不同的兩位數(shù)？【解析】個(gè)位為8，十位可以有7種；個(gè)位為7，十位也可以有7種；依次推，最后一共有：56種。6、從上海至青島的某次直快列車，中途要?？?個(gè)大站，這次列車有幾種不同票價(jià)？【解析】一共有8個(gè)站，那么一共有：7+6+5+4+3+2+1=28條線段，那么一共有28種票價(jià)。7、下面圖中共有多少個(gè)三角形？【解析】一共有：5+6+2+1=14個(gè)。8、下圖中共有多少個(gè)正方形，多少個(gè)三角形？【解析】正方形一共有：4+4+1+1=10個(gè)；三角形一共有：16+16+8+4=44個(gè)。9、下圖中共有6個(gè)點(diǎn)，連接其中的三點(diǎn)圍成一個(gè)三角形，一共能圍成多少個(gè)三角形？【解析】一共有5個(gè)。直擊賽場(chǎng)直擊賽場(chǎng)