2024屆湖南省長沙麓山國際學(xué)校高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2024屆湖南省長沙麓山國際學(xué)校高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．關(guān)于的方程的所有實(shí)數(shù)解的和為A.2 B.4C.6 D.82．如圖，向量，，的起點(diǎn)與終點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，若，則（）A. B.C.2 D.43．已知函數(shù)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.的圖像關(guān)于中心對(duì)稱B.在上單調(diào)遞減C.的圖像關(guān)于對(duì)稱D.的最大值為34．若命題“”是命題“”的充分不必要條件，則的取值范圍是（）A. B.C. D.5．若，則（）A. B.-3C. D.36．Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)（的單位：天）的Logistic模型：其中為最大確診病例數(shù)．當(dāng)時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（）A.60 B.65C.66 D.697．下列關(guān)系中，正確的是（）A. B.C D.8．已知向量，且，則的值為（）A.1 B.2C. D.39．已知函數(shù)與的部分圖象如圖1（粗線為部分圖象，細(xì)線為部分圖象）所示，則圖2可能是下列哪個(gè)函數(shù)的部分圖象（）A. B.C. D.10．已知銳角終邊上一點(diǎn)A的坐標(biāo)為,則的弧度數(shù)為（）A.3 B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．水葫蘆又名鳳眼蓮，是一種原產(chǎn)于南美洲亞馬遜河流域?qū)儆谟昃没?，鳳眼藍(lán)屬的一種漂浮性水生植物，繁殖極快，廣泛分布于世界各地，被列入世界百大外來入侵種之一．某池塘中野生水葫蘆的面積與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示．假設(shè)其函數(shù)關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，并給出下列說法：①此指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2；②在第5個(gè)月時(shí)，野生水葫蘆的面積就會(huì)超過30m2；③野生水葫蘆從4m2蔓延到12m2只需1.5個(gè)月；④設(shè)野生水葫蘆蔓延至2m2、3m2、6m2所需的時(shí)間分別為t1、t2、t3，則有t1＋t2＝t3；⑤野生水葫蘆在第1到第3個(gè)月之間蔓延的平均速度等于在第2到第4個(gè)月之間蔓延的平均速度．其中，正確的是________．(填序號(hào))．12．若，則___________.13．若，且，則上的最小值是_________.14．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)分別為a，b，則的取值范圍是_____________15．已知函數(shù)（）的部分圖象如圖所示，則的解析式是___________.16．設(shè)函數(shù)，則__________，方程的解為__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)（其中）的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為（Ⅰ）求函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸；（Ⅱ）若函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍及的值18．已知函數(shù)（1）求的最小正周期；（2）若，，求的值19．年新冠肺炎仍在世界好多國家肆虐，并且出現(xiàn)了傳染性更強(qiáng)的“德爾塔”變異毒株、拉姆達(dá)”變異毒株，盡管我國抗疫取得了很大的成績，疫情也得到了很好的遏制，但由于整個(gè)國際環(huán)境的影響，時(shí)而也會(huì)出現(xiàn)一些散發(fā)病例，故而抗疫形勢(shì)依然艱巨，日常防護(hù)依然不能有絲毫放松．在日常防護(hù)中，口罩是必不可少的防護(hù)用品．已知某口罩的固定成本為萬元，每生產(chǎn)萬箱，需另投入成本萬元，為年產(chǎn)量單位：萬箱；已知通過市場(chǎng)分析，如若每萬箱售價(jià)萬元時(shí)，該廠年內(nèi)生產(chǎn)的商品能全部售完．利潤銷售收入總成本（1）求年利潤與萬元關(guān)于年產(chǎn)量萬箱的函數(shù)關(guān)系式；20．已知等差數(shù)列滿足，前項(xiàng)和.（1）求的通項(xiàng)公式（2）設(shè)等比數(shù)列滿足，，求的通項(xiàng)公式及的前項(xiàng)和.21．已知函數(shù)（1）求的解析式，并證明為R上的增函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．若，對(duì)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】本道題先構(gòu)造函數(shù)，然后通過平移得到函數(shù)，結(jié)合圖像，計(jì)算，即可【題目詳解】先繪制出，分析該函數(shù)為偶函數(shù)，而相當(dāng)于往右平移一個(gè)單位，得到函數(shù)圖像為：發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)A,B,C,D關(guān)于對(duì)稱，故，故所有實(shí)數(shù)解的和為4，故選B【題目點(diǎn)撥】本道題考查了函數(shù)奇偶性判定法則和數(shù)形結(jié)合思想，繪制函數(shù)圖像，即可2、D【解題分析】根據(jù)圖象求得正確答案.【題目詳解】由圖象可知.故選：D3、B【解題分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，依次整體代入檢驗(yàn)即可得答案.【題目詳解】解:對(duì)于A選項(xiàng),當(dāng)時(shí),,所以是的對(duì)稱中心,故A選項(xiàng)正確;對(duì)于B選項(xiàng),當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí),，所以的圖像關(guān)于對(duì)稱，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，的最大值為，故D選項(xiàng)正確.故選：B4、C【解題分析】解不等式得，進(jìn)而根據(jù)題意得集合是集合的真子集，再根據(jù)集合關(guān)系求解即可.【題目詳解】解：解不等式得，因?yàn)槊}“”是命題“”的充分不必要條件，所以集合是集合的真子集，所以故選：C5、B【解題分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系式中的商關(guān)系進(jìn)行求解即可.【題目詳解】由，故選：B6、B【解題分析】由已知可得方程，解出即可【題目詳解】解：由已知可得，解得，兩邊取對(duì)數(shù)有，解得.故選：B7、B【解題分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷B，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)及誘導(dǎo)公式判斷C，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)及誘導(dǎo)公式判斷D；【題目詳解】解：對(duì)于A：因?yàn)?，，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，又，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，所以，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，因?yàn)?，所以，又，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，又，所以，又，所以，故D錯(cuò)誤；故選：B8、A【解題分析】由，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出，然后將所求代數(shù)式化為，并在分子分母上同時(shí)除以，利用弦化切的思想求解【題目詳解】由題意可得，即∴，故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查垂直向量的坐標(biāo)表示以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查弦化切思想的應(yīng)用，一般而言，弦化切思想應(yīng)用于以下兩方面：（1）弦的分式齊次式：當(dāng)分式是關(guān)于角弦的次分式齊次式，分子分母同時(shí)除以，可以將分式由弦化為切；（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化為角的二次整式，然后除以化為弦的二次分式齊次式，并在分子分母中同時(shí)除以可以實(shí)現(xiàn)弦化切9、B【解題分析】結(jié)合函數(shù)的奇偶性、特殊點(diǎn)的函數(shù)值確定正確選項(xiàng).【題目詳解】由圖1可知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，A選項(xiàng)，，所以是偶函數(shù)，不符合圖2.A錯(cuò).C選項(xiàng)，，所以是偶函數(shù)，不符合圖2.C錯(cuò).D選項(xiàng)，，所以的定義域不包括，不符合圖2.D錯(cuò).B選項(xiàng)，，所以是奇函數(shù)，符合圖2，所以B符合.故選：B10、C【解題分析】先根據(jù)定義得正切值，再根據(jù)誘導(dǎo)公式求解【題目詳解】由題意得，選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)定義以及誘導(dǎo)公式，考查基本分析化簡能力，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①②④【解題分析】設(shè)且，根據(jù)圖像求出，結(jié)合計(jì)算進(jìn)而可判斷①②③④；根據(jù)第1到第3個(gè)月、第2到第4個(gè)月的面積即可求出對(duì)應(yīng)的平均速度，進(jìn)而判斷⑤.【題目詳解】因?yàn)槠潢P(guān)系為指數(shù)函數(shù)，所以可設(shè)且，又圖像過點(diǎn)，所以.所以指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2，故①正確；當(dāng)時(shí)，，故②正確；當(dāng)y=4時(shí)，；當(dāng)y=12時(shí)，；所以，故③錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故④正確；第1到第3個(gè)月之間的平均速度為：，第2到第4個(gè)月之間的平均速度為：，，故⑤錯(cuò)誤.故答案為：①②④12、1【解題分析】由已知結(jié)合兩角和的正切求解【題目詳解】由，可知tan（α+β）＝1，得，即tanα+tanβ＝，∴故答案為1【題目點(diǎn)撥】本題考查兩角和的正切公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)的計(jì)算題13、【解題分析】將的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值，然后展開后利用基本不等式求得其最小值【題目詳解】解：因?yàn)?，且，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，時(shí)等號(hào)成立；故答案為：14、【解題分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為有2個(gè)不等的根，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，由均值不等式求解即可.詳解】不妨設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)分別為a，b，所以，所以，即，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)不滿足題意，，即，故答案為：15、【解題分析】由圖可知，，得，從而，所以，然后將代入，得，又，得，因此，，注意最后確定的值時(shí)，一定要代入，而不是，否則會(huì)產(chǎn)生增根.考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).16、①.1②.4或-2【解題分析】（1）∵，∴（2）當(dāng)時(shí)，由可得，解得；當(dāng)時(shí)，由可得，解得或（舍去）故方程的解為或答案：1，或三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解題分析】（Ⅰ）由題意，圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為，即周期，可得，即可求解對(duì)稱軸；（Ⅱ）函數(shù)在，內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，即可求解的范圍；在，內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，是關(guān)于對(duì)稱軸是對(duì)稱的，即可求解的值【題目詳解】（Ⅰ）∵已知函數(shù)（其中）的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為，∴，故函數(shù)．令，得+，故函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為+，；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函數(shù)．∵x∈，∴∈[，]∴-≤≤，要使函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)∴-＜m＜，且m即m的取值范圍是（-，）∪（，）函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，可得是關(guān)于對(duì)稱軸是對(duì)稱的，對(duì)稱軸為=2x-，得x=，在內(nèi)的對(duì)稱軸x=或當(dāng)m∈（-，1）時(shí)，可得=，=當(dāng)m∈（-1，-）時(shí)，可得x1+x2=，∴==18、（1）（2）【解題分析】(1)根據(jù)二倍角的正、余弦公式和輔助角公式化簡計(jì)算可得，結(jié)合公式計(jì)算即可；(2)根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和角的范圍求出，根據(jù)和兩角和的正弦公式直接計(jì)算即可.【小問1詳解】最小正周期【小問2詳解】，因?yàn)椋?，若，則，不合題意，又，所以，因?yàn)?，所以，所?9、（1）（2）萬箱【解題分析】（1）分，兩種情況，結(jié)合利潤銷售收入總成本公式，即可求解（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式，分類討論求得最大值后比較可得【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故關(guān)于的函數(shù)解析式為小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，綜上所述，當(dāng)時(shí)，取得最大值，故年產(chǎn)量為萬箱時(shí)，該口罩生產(chǎn)廠家所獲得年利潤最大20、（1）；（2），【解題分析】（1）設(shè)的公差為，則由已知條件得，化簡得解得故通項(xiàng)公式，即（2）由（1）得．設(shè)的公比為,則,從而故的前項(xiàng)和21、（1）；證明見解析.（2）【解題分析】（1）由求出后可得的解析式，按照增函數(shù)的定義證明即可；（2）求出函數(shù)在上的值域?yàn)?，求出在上的最值，根?jù)的最值都屬于列式可求出結(jié)果.【