教育統(tǒng)計(jì)學(xué)第四章

第四章差異量

第一節(jié)全距、四分位距、百分位距

第二節(jié)平均差

第三節(jié)方差和標(biāo)準(zhǔn)差

第四節(jié)相對(duì)差異量

第五節(jié)偏態(tài)量及峰態(tài)量引言兩組學(xué)生某科測(cè)驗(yàn)成績(jī)：甲組：54、63、72、74、82、88、99乙組：67、71、73、76、79、82、84表示一組數(shù)據(jù)變異程度或離散程度的量稱為差異量。差異量越大，表示數(shù)據(jù)分布的范圍越廣，越不整齊；差異量越小，表示數(shù)據(jù)分布的越集中，變動(dòng)范圍越小。常用的差異量指標(biāo)有全距、四分位距、百分位距、平均差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、差異系數(shù)等。差異量數(shù)就是對(duì)一組數(shù)據(jù)的變異性（離中趨勢(shì)）特點(diǎn)進(jìn)行度量和描述的統(tǒng)計(jì)量。它反映了次數(shù)分布中數(shù)據(jù)彼此分散的程度。第一節(jié)全距、四分位距、百分位距一、全距全距是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差，又稱極差。用R表示。如上例：兩組學(xué)生某科測(cè)驗(yàn)成績(jī)：甲組：54、63、72、74、82、88、99乙組：67、71、73、76、79、82、84甲組的全距為R=99-54=45乙組的全距為R=84-67=17說明甲組比乙組的離散程度大。頻數(shù)分布表求全距的方法是：最大一組與最小一組組中值之差。全距的應(yīng)用及優(yōu)缺點(diǎn)概念清楚、意義明確，計(jì)算簡(jiǎn)單，但易受兩極端數(shù)據(jù)的影響。不考慮中間值的差異，反應(yīng)不靈敏。只能作為差異量的粗略指標(biāo)，在編制頻數(shù)分布表時(shí)常用到。二、四分位距1.四分位距的概念

四分位距是指在一個(gè)頻數(shù)分布中，中間50%的頻數(shù)的全距之半，也就是第3四分位數(shù)Q3（第75百分位數(shù)）與第1四分位數(shù)Q1（第25百分位數(shù)）之差的一半。所謂第3四分位數(shù)是指在這一點(diǎn)的下端有占總頻數(shù)75%的數(shù)據(jù)，在其上端有占總頻數(shù)25%的數(shù)據(jù)；所謂第1四分位數(shù)中指在這一點(diǎn)的下端有占總頻數(shù)25%的數(shù)據(jù)，在其上端有占總頻數(shù)75%的數(shù)據(jù)。如圖4-1。圖4-1四分差與四分位數(shù)Q1、Q2、Q3之間的關(guān)系用公式可表示為

2.四分位距的計(jì)算方法

（1）原始數(shù)據(jù)計(jì)算法 首先將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，然后用數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n除以4，則第（n/4+1/2）位置對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)為第1四分位數(shù)Q1，第（3n/4+1/2）位置對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)為第3四分位數(shù)Q3。

例6求下列18個(gè)數(shù)據(jù)的四分差：51，60，58，63，74，88，66，70，71，75，81，86，52，57，61，65，90，77。

解：按從小到大排序：

51，52，57，58，60，61，63，65，66，70，71,74，75，77，81，86，88，90。 由于n=18，所以Q1=18/4+1/2=5，即第5個(gè)位置所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)為60；Q3=18*3/4+1/2=14,即第14個(gè)位置所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)為77。 將Q1與Q3代入公式,得 QD=（77-60）/2=8.5

（2）頻數(shù)分布表計(jì)算法（第三個(gè)四分位數(shù)）（第一個(gè)四分位數(shù)）例如下表為師大附小二年級(jí)80個(gè)學(xué)生身高的頻數(shù)分布，求四分位距。表2.10

師大附小二年級(jí)80個(gè)學(xué)生身高的頻數(shù)分布3.四分位距的應(yīng)用及優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)明易懂，計(jì)算簡(jiǎn)便，不易受兩極端數(shù)據(jù)的影響缺點(diǎn)：忽略了左右50%數(shù)據(jù)的差異，不適合代數(shù)運(yùn)算當(dāng)一組數(shù)據(jù)用中位數(shù)表示集中量時(shí)，就要用四分位數(shù)表示差異量，因?yàn)樗鼈兺瑢儆诎俜煮w系。應(yīng)用條件：有特大或特小兩極端數(shù)值；有個(gè)別數(shù)值不確切、不清楚；用等級(jí)表示的數(shù)據(jù)三、百分位距

百分位距是指兩個(gè)百分位數(shù)之差。常用的百分位距有兩種：第90與第10百分位數(shù)之差第93與第7百分位數(shù)之差例如，求下表中與。表2.10

師大附小二年級(jí)80個(gè)學(xué)生身高的頻數(shù)分布回憶百分位數(shù)計(jì)算方法第二節(jié)平均差一、平均差的概念每一個(gè)數(shù)據(jù)與該組數(shù)據(jù)中位數(shù)離差的絕對(duì)值的算術(shù)平均數(shù)即為該組數(shù)據(jù)的平均差，用MD表示。二、平均差的計(jì)算方法1.原始數(shù)據(jù)計(jì)算法——原始數(shù)據(jù)——中位數(shù)——總頻數(shù)例如，求原始數(shù)據(jù)78、83、69、75、97、88、86的平均差。2.頻數(shù)分布表計(jì)算法——各組頻數(shù)——各組組中值——總頻數(shù)表3-2

48個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)頻數(shù)分布表三、平均差的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：意義明確，計(jì)算簡(jiǎn)單，每個(gè)數(shù)據(jù)都參加了運(yùn)算，考慮到了全部的離差，反應(yīng)靈敏缺點(diǎn)：計(jì)算用到絕對(duì)值，不適合代數(shù)運(yùn)算，因此在統(tǒng)計(jì)分析中應(yīng)用較少。第三節(jié)方差和標(biāo)準(zhǔn)差一、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的概念方差是指離差平方的算術(shù)平均數(shù)，用表示，公式為：標(biāo)準(zhǔn)差是指方差的平方根，用表示，即：例如：6名女童的跳遠(yuǎn)成績(jī)（cm）148.2、123.8、123.8、142.7、130.4、133.3，求方差和標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差的值越大，表明這組數(shù)據(jù)的離散程度越大，即數(shù)據(jù)越參差不齊，分布范圍越廣；標(biāo)準(zhǔn)差的值越小，表明這組數(shù)據(jù)的離散程度越小，即數(shù)據(jù)越集中、整齊，分布范圍越小。在教育科研中，究竟是標(biāo)準(zhǔn)差大好還是小好，這要看所分析的問題而異。

二、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法

1.原始數(shù)據(jù)法

為了減少計(jì)算量，可將公式4.1進(jìn)行轉(zhuǎn)換，使公式中參與運(yùn)算的變量皆為原始數(shù)據(jù)。公式為——原始數(shù)據(jù)——總頻數(shù)

2.頻數(shù)分布表計(jì)算法

——各組組中值——各組頻數(shù)例如：表3-2

48個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)頻數(shù)分布表三、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用及優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：反應(yīng)靈敏；嚴(yán)密確定；計(jì)算簡(jiǎn)單；適合代數(shù)運(yùn)算；用樣本數(shù)據(jù)推斷總體差異量時(shí)，是最好的估計(jì)量；在避免兩極端數(shù)值影響方面大大超過全距；在考慮到全部離差方面，優(yōu)于四分位距；在避免絕對(duì)值方面，優(yōu)于平均差。缺點(diǎn)：不易理解；易受極端數(shù)值影響；有個(gè)別數(shù)據(jù)模糊不清時(shí)，無法計(jì)算。適用條件 1、一組數(shù)據(jù)的一般水平適合用算術(shù)平均數(shù)描述時(shí)，其離散程度宜用方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述。 2、計(jì)算其它統(tǒng)計(jì)量時(shí)，如相關(guān)系數(shù)等，要用到標(biāo)準(zhǔn)差。 3、在推斷統(tǒng)計(jì)中，尤其是進(jìn)行方差分析時(shí)，常用方差表示數(shù)據(jù)的離散程度。四、各種差異量的數(shù)值關(guān)系當(dāng)總頻數(shù)相當(dāng)大，且頻數(shù)分布呈正態(tài)時(shí)，全距、四分位距、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)值存在如下關(guān)系：中位數(shù)上下各一個(gè)四分位距之間包括50%的總頻數(shù)；算數(shù)平均數(shù)上下各一個(gè)平均差之間包括57.51%的總頻數(shù)；算數(shù)平均數(shù)上下各一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之間包括68.26%的總頻數(shù)；第四節(jié)差異系數(shù)一、差異系數(shù)的概念

差異系數(shù)是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與算數(shù)平均數(shù)的比率，又稱相對(duì)差異量，它是沒有單位的相對(duì)數(shù)。用符號(hào)CV表示。公式為由上式可見，差異系數(shù)就是以平均數(shù)為單位，視標(biāo)準(zhǔn)差占平均數(shù)百分比的大小來衡量差異的程度。差異系數(shù)越大，表明離散程度越大；差異系數(shù)越小，表明