數(shù)字圖像處理第2章

第2講圖像的頻域變換2.1傅立葉變換2.2離散余弦變換2.5離散沃爾什-哈達(dá)瑪變換2.4小波變換2.3

Gabor變換頻域變換的意義在計(jì)算機(jī)的圖像處理中，所謂圖像變換就是為達(dá)到圖像處理的某種目的而使用的一種數(shù)學(xué)技巧.圖像函數(shù)經(jīng)過變換后處理起來較變換前更加簡單和方便，由于這種變換是對圖像函數(shù)而言的，所以稱為圖像變換。現(xiàn)在研究的圖像變換基本上都是正交變換，正交變換可以減少圖像數(shù)據(jù)的相關(guān)性，獲取圖像的整體特點(diǎn)，有利于用較少的數(shù)據(jù)量表示原始圖像，這對圖像的分析、存儲以及圖像的傳輸都是非常有意義的。

傅立葉變換一維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換對定義為：（2.1.1）（2.1.2）2.1.1二維離散傅立葉變換（2.1.3）二維離散傅立葉變換(DFT)二維離散傅立葉變換的性質(zhì)圖2.1.1二維傅立葉變換的頻譜分布

2.1.2數(shù)字圖像傅立葉變換的頻譜分布和統(tǒng)計(jì)特性

1．?dāng)?shù)字圖像傅立葉變換的頻譜分布

數(shù)字圖像的二維離散傅立葉變換所得結(jié)果的頻率成分如圖2.1.1所示，左上角為直流成分，變換結(jié)果的四個角的周圍對應(yīng)于低頻成分，中央部位對應(yīng)于高頻部分。為了便于觀察譜的分布，使直流成分出現(xiàn)在窗口的中央，可采用圖示的換位方法，根據(jù)傅立葉頻率位移的性質(zhì)，只需要用f(x，y)乘上因子進(jìn)行傅立葉變換即可實(shí)現(xiàn)，變換后的坐標(biāo)原點(diǎn)移動到了窗口中心，圍繞坐標(biāo)中心的是低頻，向外是高頻。

圖2.1.2頻率位移示例圖2.1.2給出了二維離散傅立葉變換的頻率位移特性示例。圍繞坐標(biāo)中心的是低頻，向外是高頻，頻譜由中心向周邊放射，而且各行各列的譜對中心點(diǎn)是共軛對稱的，利用這個特性，如果在數(shù)據(jù)存儲和傳輸時，僅存儲和傳輸它們中的一部分，進(jìn)行逆變換恢復(fù)原圖像前，按照對稱性補(bǔ)充另一部分?jǐn)?shù)據(jù)，就可達(dá)到數(shù)據(jù)壓縮的目的。

2．圖像傅立葉變換的統(tǒng)計(jì)分布（1）傅立葉變換后的零頻分量F（0，0），也稱作直流分量，根據(jù)公式（2.1.9），它反映了原始圖像的平均亮度。（2）對大多數(shù)無明顯顆粒噪音的圖像來說，低頻區(qū)集中了85％的能量，這一點(diǎn)成為對圖像變換壓縮編碼的理論根據(jù)，如變換后僅傳送低頻分量的幅值，對高頻分量不傳送，反變換前再將它們恢復(fù)為零值，就可以達(dá)到壓縮的目的。（3）圖像灰度變化緩慢的區(qū)域，對應(yīng)它變換后的低頻分量部分；圖像灰度呈階躍變化的區(qū)域，對應(yīng)變換后的高頻分量部分。除顆粒噪音外，圖像細(xì)節(jié)的邊緣、輪廓處都是灰度變化突變區(qū)域，它們都具有變換后的高頻分量特征。(a)Lena(b)Barbara(c)Mandrill

圖2.1.3國際上流行的三幅標(biāo)準(zhǔn)圖像

傅立葉變換應(yīng)用舉例去除正弦波噪聲去除白噪聲l

信號分析，包括濾波、數(shù)據(jù)壓縮、電力系統(tǒng)的監(jiān)控等；

l

研究偏微分方程，比如求解熱力學(xué)方程的解時，把f(t)展開為三角級數(shù)最為關(guān)鍵。

l

概率與統(tǒng)計(jì)，量子力學(xué)等學(xué)科。2.2離散余弦變換(DiscreteCosineTransform)

如果一個函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，即f(x)=f(-x)，求此函數(shù)的傅立葉變換如下：

（2.2.1）

一維離散余弦變換

設(shè){f(x)|x=0，1，…，N-1}為離散的信號序列，一維DCT變換對定義如下：

（2.2.2）

u=0，1，2，…，N－1x=0，1，2，…，N－1二維離散余弦變換正、反變換核為：

（2.2.3）

DCT的變換核具有可分離性，而且二維DCT的正反變換核是相同的。DCT變換頻譜示意圖與變換核為復(fù)指數(shù)的DFT相比，由于DCT的變換核是實(shí)數(shù)的余弦函數(shù)，因此DCT的計(jì)算速度要快，廣泛應(yīng)用于數(shù)字信號處理，如圖像壓縮編碼、語音信號處理等方面。

DCT變換的意義加窗傅立葉變換-Gabor變換傅立葉變換對:2.3加窗傅立葉變換(2.3.1)加窗傅立葉變換離散信號加窗傅立葉變換對:(2.3.2)圖2.3.1STFT示意圖圖2.3.2lenna圖加窗傅立葉變換的頻譜2.3.1Gabor變換的基本概念a，b為常數(shù)(a代表柵格的時間長度，b代表柵格的頻率長度)，如圖2.3.3所示。圖2.3.3Gabor展開的取樣?xùn)鸥駡D2.3.4h(t)的位移和調(diào)制圖示高斯函數(shù)有緊支撐的適度光滑函數(shù)Gabor變換最初提出時，指定用了高斯窗加窗傅立葉變換的不足:時-頻窗的形狀對時頻精細(xì)化程度的影響時頻窗的面積加窗傅立葉變換的優(yōu)點(diǎn):能夠?qū)π盘栠M(jìn)行時-頻局部化分析不能自適應(yīng)的調(diào)整時-頻窗小波變換2.5小波變換2.5.1小波變換的發(fā)展歷程：1910年，Harr函數(shù)系在工程界常用1946年，Gabor創(chuàng)立了時-頻相位空間理論，這是早期的非正交小波展開1981年，法國地質(zhì)物理學(xué)家Morlet首先（第一次）提出了小波分析的概念2.5.2什么是小波（Wavelets）小波變換是一種工具，它把數(shù)據(jù)、函數(shù)或算子分割成不同頻率的成分，然后再用分解的方法去研究對應(yīng)尺度下的成分。小波分析時傅立葉分析發(fā)表近兩個世紀(jì)以來最佳的繼承、總結(jié)和發(fā)展小波變換是一種時頻局部化或稱為時頻定位的工具，有數(shù)學(xué)‘顯微鏡’之稱，同時它還具有良好的‘自適應(yīng)性質(zhì)’無時-頻定位信息可以獲得時間局部化的信息進(jìn)行時-頻定位的一種標(biāo)準(zhǔn)方法小波變換與加窗傅立葉變換的相似與不同：窗口傅立葉變換函數(shù)和小波變換函數(shù)的對比2.5.4二維離散小波變換圖2.5.1二級小波變換示例小波變換在圖像壓縮中的應(yīng)用2.5.5小波變換應(yīng)用工程、物理及純數(shù)學(xué)領(lǐng)域圖像處理與傳輸、信號處理、模式識別、地震探測、音樂、雷達(dá)、CT成像、彩色復(fù)印、流體湍流、機(jī)器視覺、機(jī)械故障診斷與監(jiān)控以及HDTV等等。DFT和DCT在快速算法中要用到復(fù)數(shù)乘法、三角函數(shù)乘法，這些運(yùn)算占用時間較多，在某些應(yīng)用領(lǐng)域，需要更有效和便利的變換方法。沃爾什（Walsh）變換就是其中一種，在它的變換核矩陣中，只含有＋1和－1兩種元素，因此在計(jì)算過程中只有加減運(yùn)算而沒有乘法運(yùn)算，從而大大提高了運(yùn)算速度，且易于硬件實(shí)現(xiàn)、抗干擾性好，尤其是在實(shí)時處理大量數(shù)據(jù)時，沃爾什變換更加顯示出其優(yōu)越性，故獲得了一定范圍的應(yīng)用。2.3沃爾什-哈達(dá)瑪變換2.3.1一維離散沃爾什函數(shù)變換核定義：正變換核：

反變換核：

（2.3.1）

N＝8時沃爾什函數(shù)核形成的陣列

二維離散沃爾什變換性質(zhì):變換核具有可分離性變換核的矩陣形式

WT具有能量集中的性質(zhì)(說明)2.3.2一維哈達(dá)瑪變換（Hadamard）

正變換核：

反變換核：

（