第四講函數(shù)的概念及其表示解析版

第四講：函數(shù)概念及其表示【考點梳理】1、函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩個集合A、B設(shè)A、B是兩個非空數(shù)集設(shè)A、B是兩個非空集合對應(yīng)關(guān)系按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)名稱稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)稱f：A→B為從集合A到集合B的一個映射記法y＝f(x)，x∈Af：A→B注意：判斷一個對應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系，就看這個對應(yīng)關(guān)系是否滿足函數(shù)定義中“定義域內(nèi)的任意一個自變量的值都有唯一確定的函數(shù)值”這個核心點．2、函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．3、構(gòu)成函數(shù)的三要素函數(shù)的三要素為定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系.4、函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法有三種：解析法、列表法、圖象法.解析法：一般情況下，必須注明函數(shù)的定義域；列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征；圖象法：注意定義域?qū)D象的影響.5、函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍，常見基本初等函數(shù)定義域的要求為：(1)分式函數(shù)中分母不等于零.(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.(4)y＝x0的定義域是{x|x≠0}.(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定義域均為R.(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定義域為(0，＋∞).(7)y＝tanx的定義域為.【典型題型講解】考點一：函數(shù)的概念【典例例題】例1（多選題）下列對應(yīng)關(guān)系f，能構(gòu)成從集合M到集合N的函數(shù)的是（

）A．，，，，B．，C．，D．，，【答案】ABD【詳解】對于A中，集合中的任意一個元素，按某種對應(yīng)法則，在集合中存在唯一的元素相對應(yīng)，所以能構(gòu)成從集合到集合的函數(shù)；對于B中，集合中的任意一個元素，按某種對應(yīng)法則，在集合中存在唯一的元素相對應(yīng)，所以能構(gòu)成從集合到集合的函數(shù)；對于C中，集合，當時，可得，所以不能構(gòu)成從集合到集合的函數(shù)；對于D中，集合中的任一元素，按，在集合有唯一的元素與之對應(yīng)，所以能構(gòu)成從集合到集合的函數(shù).故選：ABD【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)概念：注意兩個非空數(shù)集，任意與唯一兩個關(guān)鍵字對應(yīng).【變式訓(xùn)練】1.函數(shù)y=f(x)的圖象與直線的交點個數(shù)（

）A．至少1個 B．至多1個 C．僅有1個 D．有0個、1個或多個【答案】B【詳解】若1不在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)，y=f(x)的圖象與直線沒有交點，若1在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)，y=f(x)的圖象與直線有1個交點，故選：B.2.已知函數(shù)的定義域和值域都是集合，其定義如表所示，則____________．x012012【答案】解：由表可知，.故答案為：.考點二：具體函數(shù)的定義域【典例例題】例1.函數(shù)的定義域是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：，故，解得：，故選：B例2.函數(shù)的定義域為___________.【答案】【詳解】由題意可知，而以2為底的對數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞增的，因此，求解可得或．故答案為：．【方法技巧與總結(jié)】對求函數(shù)定義域問題的思路是：（1）先列出使式子有意義的不等式或不等式組；（2）解不等式組；（3）將解集寫成區(qū)間的形式.【變式訓(xùn)練】1.已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】函數(shù)有意義，必有，即，于是得，而，所以.故選：C2.函數(shù)的定義域是_______．【答案】【詳解】由題意可得，，解之得則函數(shù)的定義域是故答案為：3．函數(shù)的定義域為___________.【答案】【詳解】解：由，得，所以，所以函數(shù)的定義域為，故答案為：考點三：抽象函數(shù)定義域【典例例題】例1.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】的定義域為，，即，，解得：且，的定義域為.故選：.【方法技巧與總結(jié)】1.抽象函數(shù)的定義域求法：此類型題目最關(guān)鍵的就是法則下的定義域不變，若的定義域為，求中的解的范圍，即為的定義域，口訣：定義域指的是的范圍，括號范圍相同．已知的定義域，求四則運算型函數(shù)的定義域2．若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的，其定義域為各基本函數(shù)定義域的交集，即先求出各個函數(shù)的定義域，再求交集．【變式訓(xùn)練】1.已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域為______.【答案】【詳解】的定義域是，則，即函數(shù)的定義域為，令，解得.則函數(shù)的定義域為.故答案為：.2．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，得，所以，所以．故選：B．3.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A． B． C． D．【答案】D解：∵函數(shù)的定義域為∴，∴函數(shù)中，∴所以函數(shù)的定義域為[]．故選：D考四：函數(shù)的解析式求法【典例例題】例1.（待定系數(shù)法）已知函數(shù)是一次函數(shù)，滿足，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】AD【詳解】設(shè)，由題意可知，所以，解得或，所以或.故選：AD.例2.（換元法或配湊法（適用于了型））已知，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因，則設(shè)，有，而，則有，于是得，所以，故選：C例3.已知函數(shù)的定義域為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】令為，則，與聯(lián)立可解得，．故選：D．【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)解析式的常用方法如下：（1）當已知函數(shù)的類型時，可用待定系數(shù)法求解.（2）當已知表達式為時，可考慮配湊法或換元法，若易將含的式子配成，用配湊法.若易換元后求出，用換元法.（3）若求抽象函數(shù)的解析式，通常采用方程組法.（4）求分段函數(shù)的解析式時，要注意符合變量的要求.（5）當出現(xiàn)大基團換元轉(zhuǎn)換繁瑣時，可考慮配湊法求解．（6）若已知成對出現(xiàn)，或，，類型的抽象函數(shù)表達式，則常用解方程組法構(gòu)造另一個方程，消元的方法求出．【變式訓(xùn)練】1.設(shè)y＝f(x)是一次函數(shù)，若f(0)＝1，且成等比數(shù)列，則等于（

）A．n(2n＋3) B．n(n＋4)C．2n(2n＋3) D．2n(n＋4)【答案】A【詳解】由已知，假設(shè)，，．成等比數(shù)列，且．，，成等比數(shù)列，即，，從而解得（舍去），，.故選：A．2.已知函數(shù)，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】令，則，所以，所以，故選：A.3．已知函數(shù)滿足，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】函數(shù)滿足，設(shè)，則，由知，故原函數(shù)可轉(zhuǎn)化為，，即的解析式為.故選：A.考點五：分段函數(shù)【典例例題】例1.已知函數(shù)若，則m的值為（

）A． B．2 C．9 D．2或9【答案】C【詳解】∵函數(shù)，，∴或，解得.故選：C.例2．（2022·廣東東莞·高三期末）(多選)已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．關(guān)于的方程的所有根之和為 D．關(guān)于的方程的所有根之積小于【答案】．ACD【詳解】，，A正確；當時，，關(guān)于，當時，，

（，表示不超過的整數(shù)）所以B錯，的根為，，的根為，，的根為，，所有根的和為：，C正確；由，累加可得所以所有根之積小于，D正確.故選:ACD.【方法技巧與總結(jié)】1.分段函數(shù)的求值問題，必須注意自變量的值位于哪一個區(qū)間，選定該區(qū)間對應(yīng)的解析式代入求值2.函數(shù)區(qū)間分類討論問題，則需注意在計算之后進行檢驗所求是否在相應(yīng)的分段區(qū)間內(nèi).【變式訓(xùn)練】1.已知，若，則（

）A．2 B． C．1 D．0【答案】B【詳解】∵，，∴必有，∴，解得或（舍去），∴.故選：B.2．己知函數(shù)，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】由題意，得，.故選：B．3．設(shè)函數(shù)，則（

）A．2 B．6 C．8 D．10【答案】B【詳解】解：因為，所以，所以.故選：B.4．已知函數(shù)，則___________；若，則實數(shù)___________.【答案】

1

【詳解】因為，所以.，，當時，，當時，，所以當即時，，不符合；當即時，，符合；當即時，，無解，不符合.所以實數(shù).故答案為：1；【鞏固練習(xí)】一.單選題1．下列函數(shù)中，不滿足：的是A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：A中，B中，C中，D中2．若函數(shù)f（x）滿足f（1－lnx）＝，則f（2）＝（）A． B．eC． D．－1【答案】B【詳解】由1－lnx＝2，得，，即f（2）＝e.故選：B3．設(shè)全集，集合，則（

）A．（1，2） B．（1，2]C．（2，+∞） D．[2，+∞）【答案】D【詳解】，，所以，故選：D.4．已知函數(shù)的定義域為(－2,0)，則的定義域為（

）A．(－1,0) B．(－2,0) C．(0,1) D．【答案】C【詳解】由題設(shè)，若，則，∴對于有，故其定義域為.故選：C5．若函數(shù)，則函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以.從而，當時，取得最小值，且最小值為.故選：D二、多選題6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】，化簡得兩式相加得，解得故，A正確，B錯誤；又，則，C正確，D錯誤；故選：AC7．下列四組函數(shù)中，f(x)與g(x)表示同一函數(shù)的是（

）A．f(x)＝x＋1，g(x)＝ B．f(x)＝·，g(x)＝C．f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1 D．f(x)＝，g(x)＝【答案】BD【詳解】對于A，的定義域為，的定義域為，故不滿足；對于B，、的定義域都為，且解析式可化為一樣，故表示的是同一函數(shù)；對于C，的定義域為，的定義域為，故不滿足；對于D，、的定義域都為，且解析式可化為一樣，故表示的是同一函數(shù)故選：BD8．關(guān)于直線與函數(shù)的圖象的交點有如下四個結(jié)論，其中正確的是（

）A．不論為何值時都有交點 B．當時，有兩個交點C．當時，有一個交點 D．當時，沒有交點【答案】BCD【詳解】由題意得，，作此函數(shù)圖像如下圖折線所示；即平行于軸的直線，作圖像如下圖直線所示.對于A，由圖可知，當時，直線與函數(shù)的圖象無交點，故A錯誤；對于B，由圖可知，當時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，故B正確；對