2024年湖南省初中學業(yè)水平考試·數學

數學試卷第頁（共頁）2024年湖南省初中學業(yè)水平考試·數學一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在日常生活中，若收入300元記作＋300元，則支出180元應記作()A.

＋180元 B.

＋300元 C.

－180元 D.

－480元1.C2.據《光明日報》2024年3月14日報道：截至2023年末，我國境內有效發(fā)明專利量達到401.5萬件，高價值發(fā)明專利占比超過四成，成為世界上首個境內有效發(fā)明專利數量突破400萬件的國家．將4015000用科學記數法表示應為()A.

0.4015×107 B.

4.015×106C.

40.15×105 D.

4.015×1032.B【解析】4015000＝4.015×106.3.如圖，該紙杯的主視圖是()3.A4.下列計算正確的是()A.3a2－2a2＝1

B.a3÷a2＝a(a≠0)C.a2·a3＝a6 D.(2a)3＝6a34.B【解析】逐項分析如下：選項逐項分析正誤A3a2－2a2＝a2≠1×Ba3÷a2＝a(a≠0)√Ca2·a3＝a5≠a6×D(2a)3＝8a3≠6a3×5.計算2×7的結果是()A.27 B.72C.14

D.145.D【解析】2×7＝14.6.下列命題中，正確的是()A.

兩點之間，線段最短

B.

菱形的對角線相等C.

正五邊形的外角和為720°

D.

直角三角形是軸對稱圖形6.A【解析】兩點之間，線段最短，A選項正確；菱形的對角線互相垂直，不一定相等，B選項錯誤；正五邊形的外角和為360°，C選項錯誤；直角三角形不一定是軸對稱圖形，D選項錯誤．7.如圖，AB，AC為⊙O的兩條弦，連接OB，OC，若∠A＝45°，則∠BOC的度數為()A.

60° B.

75° C.

90° D.

135°7.C【解析】∠BOC＝2∠A＝2×45°＝90°.8.某班的5名同學1分鐘跳繩的成績(單位：次)分別為：179，130，192，158，141.這組數據的中位數是()A.

130 B.

158 C.

160 D.

1928.B【解析】將這組數據按從小到大排序為：130，141，158，179，192，最中間的數是158，∴中位數是158.9.如圖，在△ABC中，點D，E分別為邊AB，AC的中點．下列結論中，錯誤的是()A.DE∥BC B.△ADE∽△ABCC.BC＝2DE D.S△ADE＝12S△9.D【解析】∵點D，E分別為邊AB，AC的中點，∴DE∥BC，BC＝2DE，故A，C選項正確；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故B選項正確；∵△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC＝(DEBC)2＝(12)2＝14，10.在平面直角坐標系xOy中，對于點P(x，y)，若x，y均為整數，則稱點P為“整點”，特別地，當yx(其中xy≠0)的值為整數時，稱“整點”P為“超整點”．已知點P(2a－4，a＋3)在第二象限，下列說法正確的是(A.

a＜－3B.

若點P為“整點”，則點P的個數為3個C.

若點P為“超整點”，則點P的個數為1個D.

若點P為“超整點”，則點P到兩坐標軸的距離之和大于1010.C【解析】∵點P(2a－4，a＋3)在第二象限，∴2a－4＜0a＋3＞0，∴－3＜a＜2，故A選項錯誤；∵點P(2a－4，a＋3)為“整點”，

－3＜a＜2，∴整數a為－2，－1，0，1，∴“整點”P為(－8，1)，(－6，2)，(－4，3)，(－2，4)，∴點P的個數為4個，故B選項錯誤；∵1－8＝－18，2－6＝－13，3－4＝－34，4－2＝－2，∴“超整點”P為(－2，4)，故C選項正確；∵點P(2a－4，a＋3)為“超整點”，∴點P的坐標為(二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分．11.計算：－(－2024)＝

．11.202412.有四枚材質、大小、背面圖案完全相同的中國象棋棋子“”“”“”“”，將它們背面朝上任意放置，從中隨機翻開一枚，恰好翻到棋子“”的概率是

．12.113.分式方程2x＋1＝1的解13.x＝1【解析】方程的兩邊同乘以x＋1，得2＝x＋1，解得x＝1.檢驗：當x＝1時，x＋1＝2≠0，∴原分式方程的解為x＝1.14.若等腰三角形的一個底角的度數為40°，則它的頂角的度數為

°.14.100【解析】∵等腰三角形的一個底角為40°，∴其頂角的度數為180°－40°×2＝100°.15.若關于x的一元二次方程x2－4x＋2k＝0有兩個相等的實數根，則k的值為

．15.2【解析】∵關于x的一元二次方程x2－4x＋2k＝0有兩個相等的實數根，∴b2－4ac＝(－4)2－4×1×2k＝0，解得k＝2.16.在一定條件下，樂器中弦振動的頻率f與弦長l成反比例關系，即f＝kl(k為常數，k≠0)．若某樂器的弦長l為0.9米，振動頻率f為200赫茲，則k的值為

16.180【解析】把l＝0.9，f＝200代入f＝kl，得200＝k0.9，解得k17.如圖，在銳角三角形ABC中，AD是邊BC上的高，在BA，BC上分別截取線段BE，BF，使BE＝BF；分別以點E，F為圓心，大于12EF的長為半徑畫弧，在∠ABC內，兩弧交于點P，作射線BP，交AD于點M，過點M作MN⊥AB于點N.若MN＝2，AD＝4MD，則AM＝

17.6【解析】由作圖可知BP平分∠ABC，∵AD是邊BC上的高，MN⊥AB，MN＝2，∴MD＝MN＝2，∵AD＝4MD，∴AD＝8，∴AM＝AD－MD＝6.18.如圖，左圖為《天工開物》記載的用于舂(chōng)搗谷物的工具——“碓(duì)”的結構簡圖，右圖為其平面示意圖，已知AB⊥CD于點B，AB與水平線l相交于點O，OE⊥l.若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，則點C到水平線l的距離CF為

分米(結果用含根號的式子表示)．18.(6－23)【解析】如解圖，延長DC交水平線l于點H，連接OC，在Rt△OBH中，∠BOH＝90°－∠BOE＝90°－60°＝30°，OB＝12，∴BH＝12×tan

30°＝43，OH＝12cos30°＝83，∵S△OBH＝S△OCH＋S△OBC，∴12OB·BH＝12OH·CF＋12OB·BC，即12×12×43＝12×83×CF＋1解圖三、解答題：本題共8小題，共66分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19.計算：|－3|＋(－12)0＋cos60°－419.解：原式＝3＋1＋12－＝5220.先化簡，再求值：x2－4x2·xx＋20.解：原式＝（x＋2）（x＝x－2x＝x當x＝3時，原式＝3＋13＝21.某校為了解學生五月份參與家務勞動的情況，隨機抽取了部分學生進行調查，家務勞動的項目主要包括：掃地、拖地、洗碗、洗衣、做飯和簡單維修等．學校德育處根據調查結果制作了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：請根據以上信息，解答下列問題：(1)本次被抽取的學生人數為

人；(2)補全條形統(tǒng)計圖；(3)在扇形統(tǒng)計圖中，“4項及以上”部分所對應扇形的圓心角度數是

°；(4)若該校有學生1

200人，請估計該校五月份參與家務勞動的項目數量達到3項及以上的學生人數．21.解：(1)100；(解法提示)

由題可知，參加1項家務勞動的有30人，占本次被抽取的學生人數的30%，故本次被抽取的學生人數為30÷30%＝100(人)．(2)補全條形統(tǒng)計圖如解圖；解圖(3)36；(解法提示)

由題可知，“4項及以上”部分所對應扇形的圓心角度數是360°×10100＝(4)1

200×15＋10100＝300(答：該校五月份參與家務勞動的項目數量達到3項及以上的學生人數約為300人．22.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E在邊AB上，

．請從“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”這兩組條件中任選一組作為已知條件，填在橫線上(填序號)，再解決下列問題：(1)求證：四邊形BCDE為平行四邊形；(2)若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求線段AE的長．22.解：(1)①，證明：∵∠B＝∠AED，∴DE∥CB，∵AB∥CD，∴四邊形BCDE為平行四邊形；(一題多解)②，∵AE＝BE，AE＝CD，∴CD＝BE,

∵AB∥CD，∴四邊形BCDE為平行四邊形；(2)由(1)得四邊形BCDE為平行四邊形，∴DE＝BC＝10，∵AD⊥AB，AD＝8，∴在Rt△ADE中，AE＝DE223.某村決定種植臍橙和黃金貢柚，助推村民增收致富．已知購買1棵臍橙樹苗和2棵黃金貢柚樹苗共需110元；購買2棵臍橙樹苗和3棵黃金貢柚樹苗共需190元．(1)求臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗的單價；(2)該村計劃購買臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗共1

000棵，總費用不超過38

000元，問最多可以購買臍橙樹苗多少棵？23.解：(1)設臍橙樹苗的單價為x元/棵，黃金貢柚樹苗的單價為y元/棵，根據題意，得x＋2y＝答：臍橙樹苗的單價為50元/棵，黃金貢柚樹苗的單價為30元/棵；(2)設購買臍橙樹苗a棵，則購買黃金貢柚樹苗(1000－a)棵，根據題意，得50a＋30×(1000－a)≤38000，解得a≤400，答：最多可以購買臍橙樹苗400棵．24.某數學研究性學習小組在老師的指導下，利用課余時間進行測量活動．活動主題測算某水池中雕塑底座的底面積測量工具皮尺、測角儀、計算器等活動過程模型抽象某休閑廣場的水池中有一雕塑，其底座的底面為矩形ABCD，其示意圖如下：測繪過程與數據信息①在水池外取一點E，使得點C，B，E在同一條直線上；②過點E作GH⊥CE，并沿EH方向前進到點F，用皮尺測得EF的長為4米；③在點F處用測角儀測得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°；④用計算器計算得：sin

60.3°≈0.87，cos

60.3°≈0.50，tan

60.3°≈1.75，sin

21.8°≈0.37，cos

21.8°≈0.93，tan

21.8°≈0.40.請根據表格中提供的信息，解決下列問題(結果保留整數)：(1)求線段CE和BC的長度；(2)求底座的底面ABCD的面積．24.解：(1)∵GH⊥CE，EF＝4米，∠CFG＝60.3°，∴tan

∠CFE＝tan

60.3°＝CEEF≈1.75，∴∵∠BFG＝45°，∴BE＝EF＝4米，∴CB＝CE－BE≈3米，答：線段CE的長度約為7米，線段BC的長度約為3米；(2)如解圖，過點A作AM⊥GH于點M，∴四邊形AMEB為矩形，∴AM＝BE，AB＝ME，∵∠AFG＝21.8°，∴tan

∠AFG＝tan

21.8°＝AMM∵AM＝BE＝4米，∴MF≈10米，∴AB＝ME＝MF－EF≈6米，∴底座的底面ABCD的面積約為3×6＝18平方米，答：底座的底面ABCD的面積約為18平方米．解圖25.已知二次函數y＝－x2＋c的圖象經過點A(－2，5)，點P(x1，y1)，Q(x2，y2)是此二次函數的圖象上的兩個動點．(1)求此二次函數的表達式；(2)如圖①，此二次函數的圖象與x軸的正半軸交于點B，點P在直線AB的上方，過點P作PC⊥x軸于點C，交AB于點D，連接AC，DQ，PQ，若x2＝x1＋3，求證：S△PDQS(3)如圖②，點P在第二象限，x2＝－2x1，若點M在直線PQ上，且橫坐標為x1－1，過點M作MN⊥x軸于點N，求線段MN長度的最大值．25.(1)解：∵二次函數y＝－x2＋c的圖象經過點A(－2，5)，∴5＝－4＋c，∴c＝9，∴此二次函數的表達式為y＝－x2＋9；(2)證明：當y＝0時，0＝－x2＋9，∴x1＝－3，x2＝3，∴B(3，0)，設直線AB的表達式為y＝kx＋b(k≠0)，∴－2k＋b＝∴y＝－x＋3，設P(x1，－x12＋9)，則Q(x1＋3，－(x1＋3)2＋9)，D(x1，－x1＋3)∴PD＝－x12＋9－(－x1＋3)＝(x1＋2)(－x1＋3)，CD＝－x1＋3∴S△PDQS△ADC∴S△PDQS(3)解：設P(x1，－x12＋9)，則Q(－2x1，－4x12＋設直線PQ的表達式為y＝mx＋n(m≠0)，∴mx1＋n＝∴y＝x1x－2x12＋9當x＝x1－1時，y＝x1(x1－1)－2x12＋9＝－(x1＋12)2＋∴當x1＝－12時，線段MN的長度取得最大值，最大值為3726.【問題背景】已知點A是半徑為r的⊙O上的定點，連接OA，將線段OA繞點O按逆時針方向旋轉α(0°＜α＜90°)得到OE，連接AE，過點A作⊙O的切線l，在直線l上取點C，使得∠CAE為銳角．【初步感知】(1)如圖①，當α＝60°時，∠CAE＝

________

°；【問題探究】(2)以線段AC為對角線作矩形ABCD，使得邊AD過點E，連接CE，對角線AC，BD相交于點F.①如圖②，當AC＝2r時，求證：無論α在給定的范圍內如何變化，BC＝CD＋ED總成立；②如圖③，當AC＝43r，CEOE＝23時，請補全圖形，并求tanα及26.(1)解：30；(解法提示)

∵∠AOE＝α＝60°，OA＝OE，∴△OEA是等邊三角形，∴∠OAE＝60°，∵直線l是⊙O的切線，∴∠OAC＝90°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°.(2)①證明：∵OA＝OE,

∴∠OAE＝∠OEA，∵∠AOE＝α，∴∠OAE＋∠OEA＋α＝180°，∴∠OAE＝180°－α2＝90°－∵∠OAC＝90°，∴∠DAC＝12α∵四邊形ABCD是矩形，∴FA＝DF，CF＝DF＝12AC＝r,BC＝AD∴∠FAD＝∠FDA＝12α，∴∠CFD＝12α＋12α∵OA＝OE＝r，∴OA＝FC，OE＝FD，又∵∠AOE＝∠CFD，∴△OAE≌△FCD，∴AE＝CD，∵BC＝AD，AD＝AE＋DE，∴BC＝CD＋DE；②解：補全圖形如解圖①，過點O作OG⊥AE于點G，過點A作AH⊥OE于點H，在Rt△AOC中，OA＝r，AC＝43r，∴由勾股定理得OC＝53∵CEOE＝23，OE＝r，∴CE＝23r，∴OC＝OE＋CE，∴點E在線段OC上