數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別方法

數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別方法數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別方法一.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義設(shè){an}是一個(gè)數(shù)列，則稱表達(dá)式a1+a2+a3+…an+…為（常數(shù)項(xiàng)）無窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或級(jí)數(shù)，記為或稱an為級(jí)數(shù)的通項(xiàng)或一般項(xiàng)。下面舉幾個(gè)例子：（1）1+2+3+4+5+6+…+n+…=；（2）1-+…= 常見的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)：級(jí)數(shù)中所有項(xiàng)均大于等于零。

交錯(cuò)級(jí)數(shù)：級(jí)數(shù)中的項(xiàng)正負(fù)相間的級(jí)數(shù)。

調(diào)和級(jí)數(shù)：形如的級(jí)數(shù)。等比級(jí)數(shù)：形如a+aq+aq2+aq3+…+aqn+…=（a≠0）的級(jí)數(shù)。P級(jí)數(shù)：形如（p是實(shí)數(shù)）。數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂的判別定理及性質(zhì)：定理一.考察級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和Sn=a1+a2+a3+…+an=，則稱sn為級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)部分和，｛sn｝為級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列。所以，若級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列｛sn｝收斂，即極限存在，則稱級(jí)數(shù)收斂，此時(shí)稱極限為級(jí)數(shù)的和，記為a1+a2+a3+…+an+…=s或=s反之，若級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列發(fā)散，則級(jí)數(shù)發(fā)散。定理二.（級(jí)數(shù)收斂的必要條件）如果級(jí)數(shù)n收斂，則他的一般項(xiàng)收斂于零。推理：如果級(jí)數(shù)n不收斂于零，則級(jí)數(shù)發(fā)散。性質(zhì)1.設(shè)級(jí)數(shù)，分別收斂于s和t，k是一常數(shù)，則（1）級(jí)數(shù)也收斂，且其和為ks。（2）級(jí)數(shù)也收斂，且其和為st。性質(zhì)2.在級(jí)數(shù)中添加，刪除或修改有限項(xiàng)，不改變函數(shù)的斂散性。定理三.一切調(diào)和級(jí)數(shù)都是發(fā)散的定理四.等比級(jí)數(shù)收斂的條件等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）（a≠0）的斂散性：當(dāng)<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)≧1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散。定理五.正向數(shù)列收斂的充要條件是他的部分和數(shù)列｛sn｝有界。定理六.對(duì)于p級(jí)數(shù)（p是實(shí)數(shù)）（1）當(dāng)p>1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂（2）當(dāng)p≦1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散定理七.設(shè)與是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若

若級(jí)數(shù)收斂時(shí)，且an≦bn（n=1，2，3，…），級(jí)數(shù)也收斂；

當(dāng)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)，且an≧bn（n=1，2，3，…），級(jí)數(shù)也發(fā)散。

定理八、（極限形式）設(shè)和為兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，

若=c，且c≠0，則兩個(gè)級(jí)數(shù)具有相同的斂散性。=，則有級(jí)數(shù)發(fā)散可推出級(jí)數(shù)發(fā)散。=0，則有級(jí)數(shù)收斂可推出級(jí)數(shù)收斂。定理九.交錯(cuò)積數(shù)的收斂判別法（萊布尼茲定理）：設(shè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)（an>0），如果an滿足條件數(shù)列｛an｝為單調(diào)減少數(shù)列，數(shù)列｛an｝的極限值趨于0.定理十.絕對(duì)收斂與條件收斂對(duì)于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果由的各項(xiàng)加絕對(duì)值所構(gòu)成的正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；如果級(jí)數(shù)收斂，而級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱級(jí)數(shù)條件收斂。對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)而言，收斂就是絕對(duì)收斂，但應(yīng)注意，對(duì)于非正項(xiàng)級(jí)數(shù)，收斂，絕對(duì)收斂，條件收斂就是不同的概念。例如，級(jí)數(shù)是條件收斂，而級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂。所以，如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則級(jí)數(shù)收斂。（比值判別法）已知級(jí)數(shù),.若<1，則級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，從而收斂；若>1或=，則級(jí)數(shù)發(fā)散；若=1，則級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散，需用其他方法判別其斂散性。例如，級(jí)數(shù)是條件收斂，而級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂。注：對(duì)于定理四和定理五當(dāng)判斷一個(gè)級(jí)數(shù)的斂散性時(shí)，需要構(gòu)造一個(gè)級(jí)數(shù)，這個(gè)構(gòu)造的過程就要求我們對(duì)一些常用的有特殊性質(zhì)的級(jí)數(shù)有所了解。例如：調(diào)和級(jí)數(shù)，等比級(jí)數(shù)，p級(jí)數(shù)。比較法雖然簡(jiǎn)單，但是需要構(gòu)造新級(jí)數(shù)，所以比較麻煩。以下介紹一種方法用于自身比較。（根值判別法）已知級(jí)數(shù),（1）若<1，則級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，從而收斂；（2）若>1或=，則級(jí)數(shù)發(fā)散；（3）=1，則級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散，需用其他方法判別其斂散性。例如，級(jí)數(shù)是條件收斂，而級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂。研究及其成果（以例題分析）例題二.判斷調(diào)和級(jí)數(shù)的斂散性例題三.討論p級(jí)數(shù)的斂散性例題四.交錯(cuò)級(jí)數(shù)的推廣例題五.比較判別法的應(yīng)用例題六.關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判定的一類方法的推廣例.四、總結(jié)：在以上的例題中，可以看出，每一個(gè)題，可能有多種方法處理。但是總有一種比較適合且簡(jiǎn)便的方法。而且不同的方法有不同的適用范圍。在某些領(lǐng)域可能有著特別方便的應(yīng)用，但是在另一些領(lǐng)域內(nèi)可能毫無用處。所以我們需要選擇合適的方法。對(duì)于有些題目，可能需要多種方法共同處理。對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)首先觀察其通項(xiàng)是否趣于零，如果通項(xiàng)不趣于零，則級(jí)數(shù)發(fā)散。如果通項(xiàng)趣于零，可根據(jù)級(jí)數(shù)通項(xiàng)的特點(diǎn)，考慮用比較審斂法、比值審斂法或根值審斂法。如果不是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，可以通過加絕對(duì)值使其變?yōu)檎?xiàng)級(jí)數(shù)定理。五.參考文獻(xiàn)：《高等數(shù)學(xué)》（下冊(cè)）第三版上海交大，集美大學(xué)編萬方數(shù)據(jù)第22卷第一期2006年2月《關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性