中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破（全國(guó)通用）：專題07 一線三垂直與一線三等角（解析版）

專題07一線三垂直與一線三等角一、基礎(chǔ)知識(shí)回顧1）三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°2）1平角=180度

二、模型的概述：1）一線三垂直模型[模型概述]只要出現(xiàn)等腰直角三角形，可以過直角點(diǎn)作一條直線，然后過45°頂點(diǎn)作直線的垂線，構(gòu)造三垂直，所得兩個(gè)直角三角形全等。根據(jù)全等三角形倒邊，得到線段之間的數(shù)量關(guān)系?；A(chǔ)構(gòu)造1構(gòu)造2一線三垂直模型一：如圖AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE，則?ABD≌?BCE，DE=AD+EC證明：∵CE⊥DE，AD⊥DE，AB⊥BC∴∠CEB=∠ADB=∠ABC=90°∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°∴∠1=∠3在?ABD和?BCE中，∠1=∠3∠CEB=∠ADB=90°∴?ABD≌?BCE（AAS）∴AD=BE,EC=BDAB=BC則DE=BE+BD=AD+EC一線三垂直模型二：如圖AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE，則?ABD≌?BCE，DE=AD-EC證明：∵CE⊥DE，AD⊥DE，AB⊥BC∴∠CEB=∠ADB=∠ABC=90°∴∠A+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBE=90°∴∠A=∠CBE在?ABD和?BCE中，∠A=∠CBE∠CEB=∠ADB=90°∴?ABD≌?BCE（AAS）∴AD=BE,EC=BDAB=BC則DE=BE-BD=AD-EC一線三垂直其它模型1）圖1，已知∠AOC=∠ADB=∠CED=90°，AB=DC，得?ADB≌?DEC2）圖2，延長(zhǎng)DE交AC于點(diǎn)F，已知∠DBE=∠ABC=∠EFC=90°，AC=DE，得?ABC≌?DBE圖1圖22）一線三等角模型[模型概述]三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線，這個(gè)角可以是直角，也可以是銳角或鈍角。一線三等角類型：（同側(cè)）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD（異側(cè)）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD證明：以右圖為例∵∠ACP+∠A+∠CPA=180°，∠DPB+∠CPD+∠CPA=180°而∠CAP=∠CPD=∠PBD=∠α∴∠ACP=∠DPB又∵CP=PD∴?ACP≌?BPD（AAS）【基礎(chǔ)過關(guān)練】1．如下圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D．DE=6cm，AD=9cm，則BE的長(zhǎng)是（

）A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm【答案】C【分析】本題可通過全等三角形來求BE的長(zhǎng)．△BEC和△CDA中，已知了一組直角，∠CBE和∠ACD同為∠BCE的余角，AC=BC，可據(jù)此判定兩三角形全等；那么可得出的條件為CE=AD，BE=CD，因此只需求出CD的長(zhǎng)即可．而CD的長(zhǎng)可根據(jù)CE即AD的長(zhǎng)和DE的長(zhǎng)得出，由此可得解．【詳解】解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，∴∠BCE+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°；∴∠ACD=∠CBE，又AC=BC，∴△ACD≌△CBE；∴EC=AD，BE=DC；∵DE=6cm，AD=9cm，則BE的長(zhǎng)是3cm．故選C．【點(diǎn)睛】三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．2．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD＝ED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，∴AD＝ED，在△ABD與△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE，∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3．如圖，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，則BD等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm【答案】B【分析】根據(jù)題意證明即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴，∵∠ACE＝90°，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理以及性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．4．如圖，中，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________．【答案】（4，1）【分析】如圖，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于D，根據(jù)點(diǎn)A、點(diǎn)C坐標(biāo)可得OA、OC的長(zhǎng)，根據(jù)同角的余角相等可得∠OAC=∠DCB，利用AAS可證明△OAC≌△DCB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BD=OC，CD=OA，即可求出OD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得答案．【詳解】如圖，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于D，∵A（0，3），C（1，0），∴OA=3，OC=1，∵∠ACB=90°，∴∠OCA+∠DCB=90°，∵∠OAC+∠OCA=90°，∴∠OAC=∠DCB，在△OAC和△DCB中，，∴△OAC≌△DCB，∴BD=OC=1，CD=OA=3，∴OD=OC+CD=4，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，1）．故答案為：（4，1）【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．5．如圖，為等腰直角三角形，若A(?3，0)，C(0，2)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_________．【答案】(2，?1)【分析】過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)T．證明，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖中，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)T．∵A(?3，0)，∴，，∵，∴，，∴，在和中，，∴（AAS），∴，，∴，∴B（2，?1），故答案為：(2，?1)．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．6．如圖所示，中，．直線l經(jīng)過點(diǎn)A，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F．若，則__________．【答案】7【分析】根據(jù)全等三角形來實(shí)現(xiàn)相等線段之間的關(guān)系，從而進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案；【詳解】解：∵BE⊥l，CF⊥l，∴∠AEB=∠CFA=90°．∴∠EAB+∠EBA=90°．又∵∠BAC=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°．∴∠EBA=∠CAF．在△AEB和△CFA中∵∠AEB=∠CFA，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△AEB≌△CFA．∴AE=CF，BE=AF．∴AE+AF=BE+CF．∴EF=BE+CF．∵，∴；故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的證明三角形全等．7．如圖，一個(gè)等腰直角三角形ABC物件斜靠在墻角處（∠O＝90°），若OA＝50cm，OB＝28cm，則點(diǎn)C離地面的距離是____cm．【答案】28【分析】作CD⊥OB于點(diǎn)D，依據(jù)AAS證明,GMF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：過點(diǎn)C作CD⊥OB于點(diǎn)D，如圖，∴∵是等腰直角三角形∴AB=CB，∴又∴在和中，∴∴故答案為：28．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．8．如圖，AB＝BC，AB⊥BC，AE⊥BD于F，BC⊥CD，求證：EC＝AB－CD．【答案】見解析【分析】利用證明出△ABE≌△BCD，在通過等量代換進(jìn)行解答．【詳解】證明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABC＝∠ACD＝90°∴∠AEB＋∠A＝90°∵AE⊥BD∴∠BFE＝90°∴∠AEB＋∠FBE＝90°∴∠A＝∠FBE，又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCD，∴AB＝BC，BE＝CD，∴EC＝BC－BE＝AB－CD【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的判定定理，再利用等量代換的思想來間接證明．【提高測(cè)試】1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x軸的負(fù)半軸和正半軸上，以AB為邊向上作正方形ABCD，四邊形OEFG是其內(nèi)接正方形，若直線OF的表達(dá)式是y＝2x，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)易得，從而可得、，設(shè)OB=a，BG=b，可得F點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)F點(diǎn)在直線OF上，可求出，然后即可根據(jù)正方形面積和勾股定理求出面積比．【詳解】解：在正方形ABCD，正方形OEFG中，，，∴，∴，在和中，∴（AAS）∴、，設(shè)、，∴，，∴點(diǎn)F坐標(biāo)為，∵直線OF的表達(dá)式是y＝2x，∴，∴，∴，=，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，解題關(guān)鍵是根據(jù)正方形性質(zhì)求證（AAS），從而用參數(shù)表示點(diǎn)F坐標(biāo)，再直線OF解析式求出線段之間關(guān)系．2．如圖，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，EF=6，BG=3，DH=4，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積S是______．【答案】50【分析】易證△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH即可求得AF=BG，AG=EF，GC=DH，BG=CH，即可求得梯形DEFH的面積和△AEF，△ABG，△CGB，△CDH的面積，即可解題．【詳解】解：∵∠EAF+∠BAG=90°，∠EAF+∠AEF=90°，∴∠BAG=∠AEF，∵在△AEF和△BAG中，，∴△AEF≌△BAG（AAS），同理△BCG≌△CDH，∴AF=BG，AG=EF，GC=DH，BG=CH，∵梯形DEFH的面積=（EF+DH）?FH=80，S△AEF=S△ABG=AF?AE=9，S△BCG=S△CDH=CH?DH=6，∴圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積S=80-2×9-2×6=50，故答案為：50．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH是解題的關(guān)鍵．3．已知直線l經(jīng)過正方形ABCD的頂點(diǎn)A，過點(diǎn)B和點(diǎn)D分別作直線的垂線BM和DN，垂足分別為點(diǎn)M、點(diǎn)N，如果，，那么點(diǎn)M和點(diǎn)N之間的距離為_______．【答案】8或2##2或8【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠NAD=∠MBA，再利用全等三角形的判定得出△ABM≌△AND，進(jìn)而求出MN的值，注意分類討論．【詳解】如圖1，在正方形ABCD中，∵，，∴，∵在和中，∴（AAS），∴，，∴，如圖2，在正方形ABCD中，∵，，∴，∵在和中，∴（AAS），∴，，∴，綜上：或2．故答案為：8或2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，將直線l與正方形ABCD的位置分類討論是解題關(guān)鍵．4．如圖，已知中，，，分別過、向過的直線作垂線，垂足分別為．（1）如圖1，過的直線與斜邊不相交時(shí)，直接寫出線段、、的數(shù)量關(guān)系是______；（2）如圖2，過的直線與斜邊相交時(shí)，探究線段、、的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（3）在（2）的條件下，如圖3，直線交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、、，若，，，四邊形的面積是90，求的面積．【答案】（1）數(shù)量關(guān)系為：EF=BE+CF；（2）數(shù)量關(guān)系為：EF=BE-CF．證明見詳解；（3）S△GHC=15．【分析】（1）數(shù)量關(guān)系為：EF=BE+CF．利用一線三直角得到∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠FAC，再證△EBA≌△FEC（AAS）可得BE=AF，AE=CF即可；（2）數(shù)量關(guān)系為：EF=BE-CF．先證∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC==90°，可得∠EBA=∠FAC，再證△EBA≌△FEC（AAS），可得BE=AF，AE=CF即可；（3）先由（2）結(jié)論EF=BE-CF；，求出BE=AF=12，由，可求FH=2，EH=4，利用對(duì)角線垂直的四邊形面積可求BG=，再求EG=3，AH=10，分別求出S△ACF=，S△HCF=，S△AGH=，利用面積差即可求出．【詳解】解：（1）數(shù)量關(guān)系為：EF=BE+CF．∵BE⊥EF，CF⊥EF，∠BAC=90°，∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC=180°-∠BAC=90°，∴∠EBA=∠FAC，在△EBA和△FEC中，∵，∴△EBA≌△FAC（AAS），∴BE=AF，AE=CF，∴EF=AF+AE=BE+CF；（2）數(shù)量關(guān)系為：EF=BE-CF．∵BE⊥AF，CF⊥AF，∠BAC=90°，∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC==90°，∴∠EBA=∠FAC，在△EBA和△FEC中，∵，∴△EBA≌△FAC（AAS），∴BE=AF，AE=CF，∴EF=AF-AE=BE-CF；（3）∵EF=BE-CF；，∴BE=AF=EF+CF=6+6=12，∵，EH+FH=EF=6，∴2FH+FH=6，解得FH=2，∴EH=2FH=4，S四邊形ABFG==90，∴BG=，∴EG=BG-BE=15-12=3，AH=AE+EH=6+4=10，∵S△ACF=，S△HCF=，S△AGH=，∴S△GHC=S△ACF-S△HCF-S△AGH=36-6-15=15．【點(diǎn)睛】本題考查圖形變換探究線段和差問題，感知，探究以及應(yīng)用，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形面積，四邊形面積，與三角形高有關(guān)的計(jì)算，掌握?qǐng)D形變換探究線段和差問題，感知，探究以及應(yīng)用，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形面積，四邊形面積，與三角形高有關(guān)的計(jì)算是解題關(guān)鍵．5．如圖1所示，已知中，，直線m經(jīng)過點(diǎn)C，過A、B兩點(diǎn)分別作直線m的垂線，垂足分別為E、F．（1）如圖1，當(dāng)直線m在A、B兩點(diǎn)同側(cè)時(shí)，求證：；（2）若直線m繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置時(shí)（），其余條件不變，猜想與，有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想；（3）若直線m繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時(shí)（）其余條件不變，問與，的關(guān)系如何？直接寫出猜想結(jié)論，不需證明．【答案】（1）見解析；（2），理由見解析；（3），理由見解析【分析】（1）先證得，，根據(jù)證，推出，即可；（2）類比（1）證得對(duì)應(yīng)的兩個(gè)三角形全等，由此可推出，，再根據(jù)即可得到；（3）類比（1）證得對(duì)應(yīng)的兩個(gè)三角形全等，由此可推出，，再根據(jù)即可得到．【詳解】（1）證明：，，，，，，，在和中，，，，，∵，∴；（2）解：，理由如下：，，，，，，，在和中，，，，，∵，∴；（3）解：，理由如下：，，，，，，，在和中，，，，，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，主要涉及到了全等三角形的判定與性質(zhì)，等量代換等知識(shí)點(diǎn)，難度不大，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)中，點(diǎn)，，，其中，點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)，連接，于，于．（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)，請(qǐng)你在圖1中連接，交于點(diǎn)．求證：；（3）若將“點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)”，改為“點(diǎn)為線段延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)”，其他條件不變，連接，，垂足為，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形，求點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析，【分析】（1）先根據(jù)點(diǎn)，，，得到，則由三線合一定理得到，，證明，推出即可證明，得到；（2）先根據(jù)點(diǎn)，得到，則，再證明，即可利用SAS證明得到，再由，可以推出，即；（3）同樣先證明，推出，得到，即可得到，再由，，得到，則，推出．【詳解】證明：（1）如圖1，∵點(diǎn)，，，∴，∵，∴，∵∠AOB=∠AOC=90°，∴，∴，∵，，∴∴，∴，∴，∴；（2）如圖2，由（1）得，∴，∵，點(diǎn)，∴，∴，∵，，∴，∴，又∵BE=AD，AC=BN，∴∴，∵，∴，∴；（3）如圖3，由（1）得，，，，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵,軸軸，∴，∵，∴，∴∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．7．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為直角頂點(diǎn)，為直角邊在第一象限作等腰Rt．(1)如圖1，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______；(2)如圖2，若，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以為直角頂點(diǎn)，為直角邊在第一象限作等腰Rt，連接，求證：；(3)如圖3，以為直角頂點(diǎn)，為直角邊在第三象限作等腰Rt．連接，交軸于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度．【答案】(1)點(diǎn)C（3，7）；(2)證明見詳解過程；(3)2．【分析】（1）如圖1，過點(diǎn)C作CH⊥y軸，由“AAS”可證△ABO≌△BCH，可得CH=OB=3，BH=AO=4，可求解；（2）過點(diǎn)E作EF⊥x軸于F，由“AAS”可證△ABO≌△BCH，可得BO=DF=4，OD=EF，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BAO=45°，∠EAF=∠AEF=45°，可得結(jié)論；（3）由（1）可知△ABO≌△BCG，可得BO=GC，AO=BG=4，再由“AAS”可證△CPG≌△FPB，可得PB=PG=2．（1）如圖1，過點(diǎn)C作CH⊥y軸于H，∴∠CHB=∠ABC=∠AOB=90°，∴∠BCH+∠HBC=90°=∠HBC+∠ABO，∴∠ABO=∠BCH，在△ABO和△BCH中，，∴△ABO≌△BCH（AAS），∴CH=OB=3，BH=AO=4，∴OH=7，∴點(diǎn)C（3，7），故答案為：（3，7）；（2）過點(diǎn)E作EF⊥x軸于F，∴∠EFD=∠BDE=∠BOD=90°，∴∠BDO+∠EDF=90°=∠BDO+∠DBO，∴∠DBO=∠EDF，在△BOD和△DFE中，，∴△BOD≌△DFE（AAS），∴BO=DF=4，OD=EF，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），∴OA=OB=4，∴∠BAO=45°，∵OA=DF=4，∴OD=AF=EF，∴∠EAF=∠AEF=45°，∴∠BAE=90°，∴BA⊥AE；（3）過點(diǎn)C作CG⊥y軸G，由（1）可知：△ABO≌△BCG，∴BO=GC，AO=BG=4，∵BF=BO，∠OBF=90°，∴BF=GC，∠CGP=∠FBP=90°，又∵∠CPG=∠FPB，∴△CPG≌△FPB（AAS），∴BP=GP，∴BP=BG=2．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造直角三角形是本題的關(guān)鍵．8．（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明∶DE=BD+CE．（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀．【答案】（1）見解析（2）成立，證明見解析（3）△DEF為等邊三角形，證明見解析【分析】（1）因?yàn)镈E=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS證△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，從而證得DE=BD+CE；（2）成立，仍然通過證明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD；（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA=∠CAE，由△ABF和△ACF均等邊三角形，得∠ABF=∠CAF=60°，F(xiàn)B=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根據(jù)∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等邊三角形．【詳解】解：（1）證明：∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠BDA＝∠CEA=90°．∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD．又AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立．證明如下：∵∠BDA=∠BAC=，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-．∴∠DBA=∠CAE．∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE；（3）△DEF為等邊三角形．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°．∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE．∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（SAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°．∴△DEF為等邊三角形．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定．9．（1）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在中，，，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，直線l，直線l，垂足分別為點(diǎn)D，E．求證：．（2）組員小明想，如果三個(gè)角不是直角，那結(jié)論是否會(huì)成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，D，A，E三點(diǎn)都在直線l上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來解決問題：如圖3，過的邊AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高．延長(zhǎng)HA交EG于點(diǎn)I．若，則______．【答案】（1）見解析；（2）結(jié)論成立，理由見解析；（3）3.5【分析】（1）由條件可證明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；（2）由條件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，結(jié)合條件可證明△ABD≌△CAE，同（1）可得出結(jié)論；（3）由條件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，結(jié)合條件可證明△EMI≌△GNI，可得出結(jié)論I是EG的中點(diǎn)．【詳解】解：（1）證明：如圖1中，∵BD⊥直線l，CE⊥直線l，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．（2）解：成立．理由：如圖2中，∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，∴∠DBA=∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．（3）如圖3，過E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延長(zhǎng)線于N．∴∠EMI=∠GNI=90°由（1）和（2）的結(jié)論可知EM=AH=GN∴EM=GN在△EMI和△GNI中，，∴△EMI≌△GNI（AAS），∴EI=GI，∴I是EG的中點(diǎn)．∴S△AEI=S△AEG=3.5．故答案為：3.5．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于點(diǎn)E．（1）當(dāng)∠BDA=115°時(shí)，∠EDC=______°，∠AED=______°；（2）線段DC的長(zhǎng)度為何值時(shí)，△ABD≌△DCE，請(qǐng)說明理由；（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求∠BDA的度數(shù)；若不可以，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）25°，65°；（2）2，理由見詳解；（3）可以，110°或80°.【分析】（1）利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解題；（2）當(dāng)DC=2時(shí)，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE．（3）當(dāng)∠BDA的度數(shù)為110°或80°時(shí)，△ADE的形狀是等腰三角形．【詳解】解：（1）∵∠B=40°，∠ADB=115°，∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-115°-40°=25°，∵AB=AC，∴∠C=∠B=40°，∵∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=25°，∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=115°，∴∠AED=180°-∠DEC=180°-115°=65°；（2）當(dāng)DC=2時(shí)，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵AB=DC=2，在△ABD和△DCE中，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）當(dāng)∠BDA的度數(shù)為110°或80°時(shí)，△ADE的形狀是等腰三角形，∵∠BDA=110°時(shí)，∴∠ADC=70°，∵∠C=40°，∴∠DAC=70°，∴△ADE的形狀是等腰三角形；∵當(dāng)∠BDA的度數(shù)為80°時(shí)，∴∠ADC=100°，∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，∴△ADE的形狀是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，屬于基礎(chǔ)題．11．綜合與探究：在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0，a），B（b，0）且a，b滿足（a﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)（2）已知△ABC中AB=CB，∠ABC＝90°，求C點(diǎn)的坐標(biāo)（3）已知AB＝，試探究在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△ABP是以AB為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）A（0，3）、B（1，0）；（2）C（4，1）；（3）存在，，，【分析】（1）由平方數(shù)和絕對(duì)值的非負(fù)性可得a﹣3＝0，a﹣2b﹣1＝0，從而求得a＝3，b＝1，即可得到A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）過點(diǎn)Ｃ向軸作垂線，垂足為，結(jié)合已知條件可構(gòu)造一線三等角模型，即可證明，則，，易得點(diǎn)C的坐標(biāo)．（3）若△ABP是以AB為腰的等腰三角形，則需分兩種情況討論：①則在B的左側(cè)，；在右側(cè)，；②，則易證，故．【詳解】解：（1）∵a、b滿足（a﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0．∴a﹣3＝0，a﹣2b﹣1＝0，∴a＝3，b＝1，∴A（0，3）、B（1，0）；（2）如圖，過點(diǎn)C向軸作垂線，垂足為，則，∵，，∴在和中，∵∴∴，，∴C（4，1）．（3）若為腰，則分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，若在B的左側(cè)，則，∴；若在的右側(cè)，則，∴；②當(dāng)時(shí)，∵，∴由等腰三角形三線合一可知，∴．綜上所述，存在，，．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握一線三等角證全等及等腰三角形的存在性的方法為解題關(guān)鍵．12．如圖，在中，．（1）如圖①所示，直線過點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，且．求證：．（2）如圖②所示，直線過點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，則是否成立？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）見解析；（2）仍然成立，理由見解析【分析】（1）首先根據(jù)同角的余角相等得到，然后證明，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到，，然后通過線段之間的轉(zhuǎn)化即可證明；（2）首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，然后證明，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到，最后通過線段之間的轉(zhuǎn)化即可證明．【詳解】證明：（1）∵，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴；（2）仍然成立，理由如下：∵，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，同角的與相等，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)同角的余角相等或三角形內(nèi)角和定理得到．13．通過對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：（1）如圖1，∠BAD＝90°，AB＝AD，過點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．進(jìn)而得到AC＝，BC＝AE．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；（2）如圖2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點(diǎn)F，DE與直線AF交于點(diǎn)G．求證：點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)；（深入探究）（3）如圖，已知四邊形ABCD和DEGF為正方形，△AFD的面積為S1，△DCE的面積為S2，則有S1S2（填“＞、＝、＜”）【答案】（1）DE；（2）見解析；（3）=【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可直接進(jìn)行求解；（2）分別過點(diǎn)D和點(diǎn)E作DH⊥FG于點(diǎn)H，EQ⊥FG于點(diǎn)Q，進(jìn)而可得∠BAF=∠ADH，然后可證△ABF≌△DAH，則有AF=DH，進(jìn)而可得DH=EQ，通過證明△DHG≌△EQG可求解問題；（3）過點(diǎn)D作DO⊥AF交AF于O，過點(diǎn)E作EN⊥OD交OD延長(zhǎng)線于N，過點(diǎn)C作CM⊥OD交OD延長(zhǎng)線于M，由題意易得∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE，然后可得∠ADO=∠DCM，則有△AOD≌△DMC，△FOD≌△DNE，進(jìn)而可得OD=NE，通過證明△ENP≌△CMP及等積法可進(jìn)行求解問題．【詳解】解：（1）∵，∴；（2）分別過點(diǎn)D和點(diǎn)E作DH⊥FG于點(diǎn)H，EQ⊥FG于點(diǎn)Q，如圖所示：∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴△ABF≌△DAH，∴AF=DH，同理可知AF=EQ，∴DH=EQ，∵DH⊥FG，EQ⊥FG，∴，∵∴△DHG≌△EQG，∴DG=EG，即點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)；（3），理由如下：如圖所示，過點(diǎn)D作DO⊥AF交AF于O，過點(diǎn)E作EN⊥OD交OD延長(zhǎng)線于N，過點(diǎn)C作CM⊥OD交OD延長(zhǎng)線于M∵四邊形ABCD與四邊形DEGF都是正方形∴∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE∵DO⊥AF，CM⊥OD，∴∠AOD=∠CMD=90°，∠OAD+∠ODA=90°，∠CDM+∠DCM=90°，又∵∠ODA+∠CDM=90°，∴∠ADO=∠DCM，∴△AOD≌△DMC，∴，OD=MC，同理可以證明△FOD≌△DNE，∴，OD=NE，∴MC=NE，∵EN⊥OD，CM⊥OD，∠EPN=∠CMP，∴△ENP≌△CMP，∴，∵，∴,∴即．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及等積法，熟練掌握全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．14．已知：CD是經(jīng)過∠BCA的頂點(diǎn)C的一條直線，CA＝CB，E、F是直線CD上兩點(diǎn)，∠BEC＝∠CFA＝∠α．（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，∠BCD＞∠ACD．①如圖1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，寫出BE，EF，AF間的等量關(guān)系：．②如圖2，∠α與∠BCA具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，能使①中的結(jié)論仍然成立？寫出∠α與∠BCA的數(shù)量關(guān)系．（2）如圖3．若直線CD經(jīng)過∠BCA的