電磁場(chǎng)與電磁波例題詳解

電磁場(chǎng)與電磁波例題詳解電磁場(chǎng)與電磁波例題詳解電磁場(chǎng)與電磁波例題詳解實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)第1章矢量解析例1.1求標(biāo)量場(chǎng)(xy)2z經(jīng)過點(diǎn)M(1,0,1)的等值面方程。解：點(diǎn)M的坐標(biāo)是x01,y00,z01，則該點(diǎn)的標(biāo)量場(chǎng)值為(x0y0)2z00。其等值面方程為：(xy)2z0或z(xy)2例1.2求矢量場(chǎng)Aaxxy2ayx2yazzy2的矢量線方程。解：矢量線應(yīng)知足的微分方程為：dxdydzxy2x2yy2zdxdy進(jìn)而有xy2x2ydxdzxy2y2z解之即得矢量方程zc1x，c1和c2是積分常數(shù)。x2y2c2例1.3求函數(shù)xy2z2xyz在點(diǎn)（1，1，2）處沿方向角3,4,的方向?qū)?shù)。3解：由于M(1,1,2)y2yzM(1,1,2)1,xyM(1,1,2)2xyxzM(1,1,2)0,zM(1,1,2)2zxyM(1,1,2)3,cos1,cos2,cos1222文檔所以l

M

實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)coscoscos1xyz例1.4求函數(shù)xyz在點(diǎn)(5,1,2)處沿著點(diǎn)(5,1,2)到點(diǎn)(9,4,19)的方向?qū)?shù)。解：點(diǎn)(5,1,2)到點(diǎn)(9,4,19)的方向矢量為lax(95)ay(41)az(192)ax4ay3az17其單位矢量laxcosaycosazcos437axayaz314314314x(5,1,2)yz(5,1,2)2,y(5,1,2)xz(5,1,2)10,z(5,1,2)xy(5,1,2)5所求方向?qū)?shù)l

M

coscoscos123lxyz314例1.5已知x22y23z2xy3x2y6z，求在點(diǎn)(0,0,0)和點(diǎn)(1,1,1)處的梯度。解：由于ax(2xy3)ay(4yx2)az(6z6)所以(0,0,0)ax3ay2az6，(1,1,1)ax6ay3例1.6運(yùn)用散度定理計(jì)算下列積分：I[axxz2ay(x2yz3)az(2xyy2z)]dSSS是z0和za2x2y2所圍成的半球地區(qū)的外表面。2解：設(shè)：Aaxxz2ay(x2yz3)az(2xyy2z)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)則由散度定理AdAdSs可得IAdSAd(z2x2y2)dr2ds22a4rsindrdd0002d2sinda4dr0r00a5例1.7試求A和A:(1)Aaxxy2z3ayx3zazx2y2(2)A(r,,z)arr2cosazr2sin(3)A(r,,)arrsina1sina12cosrr解：(1)AAxAyAzy2300y2z3xyzzaxayazaxayazAxyzxyzAxAyAzxy2z3x3zx2y2ax(2x2yx3)ay(3xy2z22xy2)az(3x2z2xyz3)(2)A11AAz1(r3cos)0(r2sin)3rcosr(rAr)zrrrrzarraazarraaz11ArzrrzrArrAAzr2cos0r2sin1[ar(r2cos0)ra(02rsin)az(0r2sin)]rarrcosa2rsinazrsin]文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)(3)A1(r2Ar)1(sinA)1Ar2rrsinrsin1(r3sin112)1(1r2r)(sinrsinr2cos)rsinr3sin22cosrarrarsinaarrarsinaA11r2sinrr2sinrArrArsinArsinsin1cossinrr21[ar(1cos20)ra(012sin2)rsina(0rcos)]sinr2rarcos21acosr3ar3cossin例1.8在球坐標(biāo)中，已知pecos2，其中pe、0為常數(shù)，試求此標(biāo)量場(chǎng)的負(fù)40r梯度組成的矢量場(chǎng)，即E。解：在球坐標(biāo)戲中，arra1a1rrsinEar(pecos)a140r2rrpecos(2)a1pe(sinar0r3r40r24arpecosapesin20r340r3pe(ar2cosasin)40r3

pecos)a1pecos)(2(40r240rrsin)0例1.9在由r5，z0和z4圍成的圓柱形地區(qū)上，對(duì)矢量Aarr2az2z驗(yàn)證高斯散度定理。文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)解：因?yàn)橐罂甲C高斯散度定理，即需要根據(jù)給出條件分別計(jì)算Ad和dS，獲得二者結(jié)果相同的結(jié)論。s在柱坐標(biāo)系下，有1(rAr)1AAz13)0(2r)3r2Arz(rrrrrz在由r5，z0和z4圍成的圓柱形地區(qū)內(nèi)取一個(gè)小體積元d，可知drdrddz，其中0r5、02、0z4，故5242)rdrddz52)rdr2441200Ad0(3r(3rddz150200000而r5，z0和z4圍成的圓柱形地區(qū)的閉合外表面由三部分組成：圓柱上表面S1（面元矢量dS1azrdrd，0r5、02、z4）、圓柱下表面S2（面元矢量dS2azrdrd，0r5、02、z0）和圓柱側(cè)表面S3（面元矢量dS3arrddz，02、0z4、r5），故有：AdSAdS1AdS2AdS3SS1S2S352(arr252200az2z)azrdrdz40(arraz2z)(azrdrd)z00420(arr2az2z)arrddzr50528rdrd024125ddz00004252125241200AdAdS1200，即證。s例1.10現(xiàn)有三個(gè)矢量場(chǎng)A、B、C,分別為：Aarsincosacoscosasin，Barz2sinaz2cosaz2rzsin，Cax(3y22x)ayx2az2z。文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)哪些矢量能夠由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示？哪些矢量能夠由一個(gè)矢量的旋度表示？解：此題考察的是矢量場(chǎng)的場(chǎng)源關(guān)系，即：標(biāo)量函數(shù)的梯度是一個(gè)有散無旋的場(chǎng)，并根據(jù)發(fā)散場(chǎng)旋度為零，旋渦場(chǎng)散度為零進(jìn)行反推。故先分別求出矢量的散度和旋度：A1(r2Ar)1(sinA1A)r2rrsinrsin1(r2sincos)1(sincoscos)1(sin)r2rrsinrsin0arrarsinaA1r2sinrArrArsinAarrarsina1r2sinrsincosrcoscosrsinsin0B1(rBr)1BBzrrrz1r(rz2sin)1(z2cos)(2rzsin)rrz2rsinarraazarraazB110rrzrrzBrrBBzz2sinrz2cos2rzsinCCxCyCz2020xyzaxayazaxayazCxyzxyzaz(2x6y)CxCyCz3y22xx22z文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)故B能夠由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示，C能夠由一個(gè)矢量的旋度表示。文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)第2章靜電場(chǎng)與恒定電場(chǎng)例2.1已知半徑為a的球內(nèi)、外的電場(chǎng)強(qiáng)度為下式所示，求電荷散布。EarE0a2(ra)r2EarE0rr3(ra)5332a2a解：由高斯定理的微分形式E，得電荷密度為0E0用球坐標(biāo)中的散度公式A1(r2Ar)1(sinA)1Ar2rrsinrsin可得：1(r2E0a20(ra)Ar2rr2)1rr3152E0(53)]oE0(a2r2)(ra)r2r[r32a32a2a例2.2一個(gè)半徑為a的平均極化介質(zhì)球，極化強(qiáng)度是azP0，求極化電荷散布。解：成立球坐標(biāo)系，讓球心位于坐標(biāo)原點(diǎn)。極化電荷體密度為pPazP00極化電荷面密度為psPnazP0arP0cos例2.3一個(gè)半徑為a的導(dǎo)體球，帶電量為Q，在導(dǎo)體球外套有外半徑為b的同心介質(zhì)球殼，殼外是空氣，如圖2.1所示。求空間任一點(diǎn)的D、E、P以及束縛電荷密度。文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)圖2.1解：由介質(zhì)中的高斯定律可知，在ra地區(qū)內(nèi)：DdSDr4r2Q，故DarQ2s4r由本構(gòu)方程D0EPr0EE得：介質(zhì)內(nèi)(a<r<b)：E1Dar4Q,PD0Earr1Qr2r4r2介質(zhì)外(b<r)：E1Dar4Q2,P000r介質(zhì)內(nèi)表面束縛電荷面密度分別為：psraPnParr1Q2，r4a

r1QpsrbPnParr4b2例2.4若真空中電荷q平均散布在半徑為a的球體內(nèi)，計(jì)算球內(nèi)，外的電場(chǎng)強(qiáng)度以及電場(chǎng)能量。解：由電荷散布可知，電場(chǎng)強(qiáng)度是球?qū)ΨQ的，在距離球心為r的球面上，電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等，方向沿半徑方向。在球外(ra)，取半徑為r的球面作為高斯面，利用高斯定理計(jì)算：DdSDr4r2qs故有Drq，Er1Drq4r2040r2對(duì)球內(nèi)(ra)，也取球面作為高斯面，同樣利用高斯定理計(jì)算：文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)DdSDr4r24r3qr3q34a3sa33故有Drrq，Er1Drrq4a3040a311q2r213q2電場(chǎng)能量0E2da4r2dr4r2We200a3r4dr2V40a200a例2.5計(jì)算圖2.2所示深埋地下半徑為a的導(dǎo)體球的接地電阻。已知土壤的電導(dǎo)率為。圖2.2解：導(dǎo)體球的電導(dǎo)率一般老是遠(yuǎn)大于土壤的電導(dǎo)率，可將導(dǎo)體球看作等位體。用靜電比較法，位于電介質(zhì)中的半徑為a的導(dǎo)體球的電容為C4a所以導(dǎo)體球的接地電導(dǎo)為G4所以導(dǎo)體球的接地電阻為11RG4a例2.6半徑分別為a,b(ab)，球心距為c(cab)的兩球面之間有密度為的平均體電荷散布，如圖2.3所示，求半徑為b的球面內(nèi)任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)圖2.3解：為了使用高斯定理，在半徑為b的空腔內(nèi)分別加上密度為+和的體電荷，這樣，任一點(diǎn)的電場(chǎng)就相當(dāng)于帶正電的大球體和一個(gè)帶負(fù)電的小球體共同產(chǎn)生，正負(fù)帶電體所產(chǎn)生的場(chǎng)分別由高斯定理計(jì)算。正電荷在空腔內(nèi)產(chǎn)生的電場(chǎng)為E1r1ar1，30E2r2負(fù)電荷在空腔內(nèi)產(chǎn)生的電場(chǎng)為ar2，30其中單位向量ar1，ar2分別以大、小球體的球心為球面坐標(biāo)的原點(diǎn)?？紤]到r1ar1r2ar2cax，最后獲得空腔內(nèi)的電場(chǎng)為：cax30例2.7一個(gè)半徑為a的平均帶電圓柱體（無限長(zhǎng)）的電荷密度是ρ，求圓柱體內(nèi)、外的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：因?yàn)殡姾缮⒉际侵鶎?duì)稱的，因而采用圓柱坐標(biāo)系求解。在半徑為r的柱面上，電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等，方向沿半徑方向。計(jì)算柱內(nèi)電場(chǎng)時(shí)，取半徑為r，高文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)度為1的圓柱面為高斯面。在此柱面上，使用高斯定理，有DdS0Er2rlq,qr2l,Errs20計(jì)算柱外電場(chǎng)時(shí)，取經(jīng)過柱外待計(jì)算點(diǎn)的半徑為r，高度為1的圓柱面為高斯面。對(duì)此柱面使用高斯定理，有DdS0E2rlq,qa2l,Era2sr2r0例2.8一個(gè)半徑為a的平均帶電圓盤，電荷面密度是s0，如圖2.4所示。求軸線上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。圖2.4解：由電荷的電荷強(qiáng)度計(jì)算公式1s(r)(rr')E(r)s3dS40rr'及其電荷的對(duì)稱關(guān)系，可知電場(chǎng)僅有z的分量。x代入場(chǎng)點(diǎn)源點(diǎn)rzar'axr'cosayr'sindSr'dr'd電場(chǎng)的z向分量為文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)Ez02azr'dr's0z4sd1(a2000(z2r'2)3/220z2)1/2上述結(jié)果合用于場(chǎng)點(diǎn)位于z>0時(shí)。但場(chǎng)點(diǎn)位于z<0時(shí)，電場(chǎng)的z向量為Ezs0[1z1/2]2022)(az例2.9已知半徑為a的球內(nèi),外電場(chǎng)散布為a2E0arrarEr2E0arraa求電荷密度。解：從電場(chǎng)散布計(jì)算計(jì)算電荷散布,應(yīng)使用高斯定理的微分形式:D用球坐標(biāo)中的散度公式,并注意電場(chǎng)只是有半徑方向的分量,得出ra時(shí):1r23E00r2rrara時(shí):01r2r0r2r例2.10電荷散布如圖2.5所示。試證明，在r>>l處的電場(chǎng)為Er3ql220r4證明：用點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度的公式及疊加原理，有Er1[q2qq2]4l)2r2(rl)0(r當(dāng)r>>l時(shí),文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)(r1111(12l3l2)l)2r2l2r2rr2(1)r(r1111(12l3l2)l)2r2l2r2rr2(1)r將以上結(jié)果帶入電場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式并忽略高階小量，得出3ql2Er420r圖2.5例2.11真空中有兩個(gè)點(diǎn)電荷，一個(gè)電荷q位于原點(diǎn)，另一個(gè)電荷q/2位于(a,0,0)處，求電位為零的等位面方程。解：由點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位公式得電位為零的等位面為qq2040r40r1其中11r(x2y2z2)2，r1[(xa)2y2z2]2等位面方程簡(jiǎn)化為2r1r即4[(xa)2y2z2]x2y2z2文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)此方程能夠改寫為22x4ay2z22a33這是球心在(4a,0,0),半徑為2a的球面。33例2.12如圖2.6所示，一個(gè)圓柱形極化介質(zhì)的極化強(qiáng)度沿其軸方向，介質(zhì)柱的高度為L(zhǎng)，半徑為a，且平均極化，求束縛體電荷散布及束縛面電荷散布。圖2.6解：采用圓柱坐標(biāo)系計(jì)算，并假定極化強(qiáng)度沿其軸向方向，PP0ax如圖示，由于平均極化，束縛體電荷為P0。在圓柱的側(cè)面，注意介質(zhì)的外法向沿半徑方向nr，極化強(qiáng)度在z方向，故aPar0在頂面，外法向?yàn)閚ax，故spPaxP0在底面，外法向?yàn)閚ax，故spP(ax)P0文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)例2.13假定x<0的地區(qū)為空氣，x>0的地區(qū)為電解質(zhì)，電解質(zhì)的介電常數(shù)為30，如果空氣中的電場(chǎng)強(qiáng)度E1ax4ay5az（V/m），求電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度E2。解：在電介質(zhì)與空氣的界面上沒有自由電荷，因而電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量連續(xù)，電位移矢量的法向分量連續(xù)。在空氣中，由電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量E1t4ay5ax，能夠得出介質(zhì)中電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量E2t4ay5ax；關(guān)于法向分量，用D1nD2n，即0E1xE2x，并注意E1x3,30，得出E2x1。將所獲得的切向分量相疊加，得介質(zhì)中的電場(chǎng)為E2ax4ay5az(V/m)例2.14一個(gè)半徑為a的導(dǎo)體球面套一層厚度為b-a的電解質(zhì)，電解質(zhì)的介電常數(shù)為ε，假定導(dǎo)體球帶電q，求隨意點(diǎn)的電位。解：在導(dǎo)體球的內(nèi)部，電場(chǎng)強(qiáng)度為0。關(guān)于電介質(zhì)和空氣中的電場(chǎng)散布，用高斯定理計(jì)算。在電介質(zhì)或空氣中的電場(chǎng)取球面為高斯面，由DdS4r2Drq得出Drqs4r2電場(chǎng)為：q2在介質(zhì)中（a<r<b）；Erq在空氣中（r>b）。Er40r24rq(11電位為Edrqdrbqdrq)rb40r2r4r240b4rb（a<r<b）Edrqdrq(r>b)rr40r240r例2.15真空中有兩個(gè)導(dǎo)體球的半徑都為a，兩球心之間距離為d，且d>>a,文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)試計(jì)算兩個(gè)導(dǎo)體之間的電容。解：因?yàn)榍蛐拈g距遠(yuǎn)大于導(dǎo)體的球的半徑，球面的電荷能夠看作是平均散布。由電位系數(shù)的定義，可得p12p221，p12140ap2140d讓第一個(gè)導(dǎo)體帶電q,第二個(gè)導(dǎo)體帶電-q，則1p11qp12qqq，2qq40a40dp21qp22q0a40d4由CqqU12化簡(jiǎn)得C20ada例2.16球形電容器內(nèi)，外極板的半徑分別為a,b，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為，當(dāng)外加電壓為U0時(shí)，計(jì)算功率損耗并求電阻。解：設(shè)內(nèi),外極板之間的總電流為I0，由對(duì)稱性，能夠獲得極板間的電流密度為Iar2rEIarr24aU0=

Edr=

I11b

4ab進(jìn)而I=4U0，JU0ar11(11)r2abab文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)2單位體積內(nèi)功率損耗為J2U0p==11r2ab4U02總功率消耗為b2bdr4U02P=p4rdr=22=a11ar11abab2由P=U0，得RI11R=ab4例2.17一個(gè)半徑為a的導(dǎo)體球作為作為電極深埋地下，土壤的電導(dǎo)率為。略去地面的影響，求電極的接地電阻。解：當(dāng)不考慮地面影響時(shí)，這個(gè)問題就相當(dāng)于計(jì)算位于無限大平均點(diǎn)媒質(zhì)中的導(dǎo)體球的恒定電流問題。設(shè)導(dǎo)體球的電流為I,則隨意點(diǎn)的電流密度為IIJ4r2ar，E4r2ar導(dǎo)體球面的電位為（去無窮遠(yuǎn)處為電位零點(diǎn)）U=Idr=I424aa接地電阻為R=U=II4a例2.18如圖2.7所示，平板電容器間由兩種媒質(zhì)完全填充，厚度分別為d1和d2，介電常數(shù)分別為1和2，電導(dǎo)率分別為1和2，當(dāng)外加電壓U0時(shí)，求分界面上的自由電荷面密度。文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)解：設(shè)電容器極板之間的電流密度為J，則J1E12E2E1J,E2J12于是Jd1Jd2U012即U0Jd1d212分界面上的自由面電荷密度為sD2nD1n2E21E121J21U02121d1d212d11,1U0d22,2圖2.7例2.19在電場(chǎng)強(qiáng)度Eaxyayx的電場(chǎng)中把帶電量為2q(C)的點(diǎn)電荷從點(diǎn)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)(2,1,1)移到點(diǎn)(8,2,1)，試計(jì)算電場(chǎng)沿下列路徑移動(dòng)電荷所做的功。沿曲線x2y2；(2)沿連結(jié)該兩點(diǎn)的直線。解：此題要求電場(chǎng)力移動(dòng)電荷所做的功，最直接的辦法就是根據(jù)功=作使勁×作用距離，由給出的電場(chǎng)強(qiáng)度確定電荷所受電場(chǎng)力，再在對(duì)應(yīng)的移動(dòng)路徑C上進(jìn)行線積分，即WFdl2qEdl。但注意到題目給出的場(chǎng)強(qiáng)為靜電場(chǎng)的CC電場(chǎng)強(qiáng)度，則可根據(jù)靜電場(chǎng)為保守場(chǎng)，由靜電力所做的功與電荷移動(dòng)路徑無關(guān)，至于電荷運(yùn)動(dòng)起止點(diǎn)的電位差相關(guān)這一特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算。方法一：E0，此電場(chǎng)為靜電場(chǎng)，電場(chǎng)力所做的功與電荷移動(dòng)路徑無關(guān)。由Eaxyayx可得，電位(x,y,z)xyC，其中C為常數(shù)。點(diǎn)(2,1,1)到點(diǎn)(8,2,1)之間的電位差U(2,1,1)(8,2,1)14故不論是沿曲線x2y2仍是沿連結(jié)該兩點(diǎn)的直線，電場(chǎng)力移動(dòng)電荷2q(C)所做的功W2qU28q(J)。方法二：電場(chǎng)力F2qEax(2qy)ay(2qx)，點(diǎn)(2,1,1)移到點(diǎn)(8,2,1)變化的只是x和y，故有dlaxdxaydy，F(xiàn)dl2qydx2qxdy(1)曲線C：x2y2有dx4ydyWFdl2(2qy4ydy2qdy2y2)22dy28q(J)112qyC1(2)曲線C：y11，即x6y4，有dx6dyx26WFdl2[2qy6dy2qdy(6y4)]28q)dy28q(J)1(24qyC1例2.20球形電容器內(nèi)外導(dǎo)體球半徑分別為a和b，如果保持內(nèi)外導(dǎo)體間電位差U不變，試證明當(dāng)內(nèi)外導(dǎo)體球半徑知足關(guān)系a=b/2時(shí)，內(nèi)導(dǎo)體球表面的電場(chǎng)最文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)小，并求此最小電場(chǎng)強(qiáng)度。解：要求得內(nèi)導(dǎo)體球表面的最小電場(chǎng)強(qiáng)度，需先求出空間各點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的分布，再根據(jù)高等數(shù)學(xué)中函數(shù)最小值出現(xiàn)在函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的知識(shí)，求出內(nèi)導(dǎo)體球表面的電場(chǎng)強(qiáng)度最小值，并獲得此時(shí)內(nèi)外導(dǎo)體球半徑之間的關(guān)系。由于內(nèi)外導(dǎo)體球間存在電位差，故內(nèi)導(dǎo)體球表面存在電荷，可設(shè)在內(nèi)導(dǎo)體球面上平均散布有總量為Q的電荷，因此以導(dǎo)體球球心為坐標(biāo)原點(diǎn)成立球坐標(biāo)系，內(nèi)導(dǎo)體球面為ra，外導(dǎo)體球面為rb。在arb的區(qū)間包圍原點(diǎn)做一個(gè)半徑為r的閉合球面S，由于電荷和電場(chǎng)的散布知足球?qū)ΨQ，在S上應(yīng)用高斯定理，有222QEdSErrsindd4rErS000ErQ,EarQ0r240r24設(shè)外導(dǎo)體電位為0，則內(nèi)導(dǎo)體電位為U，將點(diǎn)電荷從內(nèi)導(dǎo)體表面搬到外導(dǎo)體上所需要的電場(chǎng)力所做功為：UEdlbQdrQ(11)Qbabaa40r240ab40ab40abarabUrb)故可反解出QaU，Ebar2(ab在內(nèi)導(dǎo)體球表面ra，有ErbUa2Er(a,b)abErbU(2ab)，Er0，即b2a0，ab/2時(shí)有Er的最值。a(ab2)2aa又ab/2時(shí)，Er0；ab/2時(shí)，Er0；故ab/2時(shí)Er有最小值。aa當(dāng)內(nèi)外導(dǎo)體球半徑知足關(guān)系a=b/2時(shí)，內(nèi)導(dǎo)體球表面的電場(chǎng)最小。文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)2U4U此最小值為Eminaraarb。例2.21電場(chǎng)中一半徑為a的介質(zhì)球，已知球內(nèi)、外的電位函數(shù)散布為：1E0rcos0a3E0cos,ra20r2230E0rcos,ra20考證球表面的邊界條件，并計(jì)算球表面的束縛電荷密度。解：題目給出的邊界面，是介于介質(zhì)和空氣之間的球面，其法向?yàn)榍虻膹较騛r，切向則為a和a方向。要考證分界面上的邊界條件，能夠從電場(chǎng)矢量方面下手，根據(jù)題目給出電位散布，求出電場(chǎng)強(qiáng)度的散布，獲得在邊界面ra上E1tE2t；也能夠直接根據(jù)電位的邊界條件，在ra的分界面上，獲得12的結(jié)論。而要計(jì)算球面的束縛電荷密度，可根據(jù)psPn來計(jì)算。1）考證邊界條件：方法一：直接利用電位的邊界條件，有：ra時(shí)，1E0acos0aE0cos30E0rcos220202，邊界條件成立。方法二：EE11ar(E0cos032cos)a(E0sin03E0sin),ra20aE0r320ar3E2230(arE0cosaE0sin),ra20分界面ra上，nar文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)E1ta(E0sin0E0sin)a30E0sinE2t2020E1tE2t，邊界條件成立。2）計(jì)算球表面的束縛電荷密度：由上面可得E1ar(E0cos0a3E02cos)a(E0sin0a3E0sin),ra20r320r3E230(arE0cosaE0sin),ra20D0EPEP(0)E02a30a3P1(0)E1(0)[ar(120r3)E0cosa(120r3)E0sin],raP2(00)E20,ra例2.22有一半徑為a，帶電荷量為q的導(dǎo)體球，其球心位于兩種介質(zhì)的分界面上，此兩種介質(zhì)的介電常數(shù)分別為1和2，分界面可視為無限大的平面，求：球的電容量；(2)積蓄的總靜電能。Q解：此導(dǎo)體球?yàn)閱螌?dǎo)體系統(tǒng)，選無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為零電位點(diǎn)，球的電容量可由C求出，其中Q為導(dǎo)體球所帶電荷量，即q；為導(dǎo)體球表面電位與零電位點(diǎn)的電位差。故求球的電容量，就需求導(dǎo)體球外電場(chǎng)強(qiáng)度的散布。同樣，靜電場(chǎng)的能量也可由電場(chǎng)強(qiáng)度求出，故此題的核心在于求電場(chǎng)強(qiáng)度的空間散布。文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)圖2.8由圖2.8所示，以導(dǎo)體球的球心為坐標(biāo)原點(diǎn)成立球坐標(biāo)系，電荷和電場(chǎng)散布擁有球?qū)ΨQ特性。在ra處做同心的高斯閉合球面，有DdSDr12r2Dr22r2qS在1和2的介質(zhì)分界面上，有E1tE2t，即E1rE2rEr，故有D1r1E1r1Er，D2r2E2r2Er，Dr12r2Dr22r2(1Er2Er)2r2qErq2)r22(1(1)Erdrqdrqq2(12)raaa2(12)r22a(12)Cqqq2a(12)2a(12)(2)We1q4q22)2a(1（注：也可計(jì)算為：文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)We1E2d211/221E2r2sindrdd22E2r2sindrdd）a002a/202q24a(12)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)第4章恒定磁場(chǎng)例4.1半徑為a、高為L(zhǎng)的磁化介質(zhì)柱，如圖4.1所示，磁化強(qiáng)度為M0(M0為常矢量，且與圓柱的軸線平行)，求磁化電流Jm和磁化面電流Jms。圖4.1解：取圓柱坐標(biāo)系的z軸和磁介質(zhì)柱的中軸線重合，磁介質(zhì)的下底面位于z=0處，上底面位于z=L處。此時(shí)，MazM0，磁化電流為JmM(M0az)0在界面z=0上，naz，JmSMnM0az(az)0在界面z=L上，naz，JmSMnM0azaz0在界面r=a上，nar，JmSMnM0azarM0a例4.2內(nèi)、外半徑分別為a、b的無限長(zhǎng)空心圓柱中平均散布著軸向電流I，求柱內(nèi)、外的磁感覺強(qiáng)度。解：使用圓柱坐標(biāo)系。電流密度沿軸線方向?yàn)?,IraJaz,arb(b2a2)0,rb文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)由電流的對(duì)稱性，能夠知道磁場(chǎng)只有圓周分量。用安培環(huán)路定律計(jì)算不同區(qū)域的磁場(chǎng)。當(dāng)r<a時(shí)，磁場(chǎng)為0。當(dāng)a<r<b時(shí)，采用安培回路為半徑等于r且與導(dǎo)電圓柱的軸線同心的圓。該回路包圍的電流為I'=Jr2a2Ir2a2=a2b2由Bdl2rBoIr2a20I'，得B=22c2rba當(dāng)r<b時(shí)，回路內(nèi)包圍的總電流為I，于是B=0I。2r例4.3半徑為a的長(zhǎng)圓柱面上有密度為Js0的面電流，電流方向分別為沿圓周方向和沿軸線方向，分別求兩種情況下柱內(nèi)、外的B。解：(1)當(dāng)面電流沿圓周方向時(shí)，由問題的對(duì)稱性能夠知道，磁感覺強(qiáng)度只是是半徑r的函數(shù)，而且只有軸向方向的分量，即BazBz(r)由于電流只是散布在圓柱面上，所以在柱內(nèi)或柱外B0。將BazBz(r)代入BaBz0，即磁場(chǎng)是與r無關(guān)的常量。在離面無窮遠(yuǎn)處的察看點(diǎn)，由于電流能夠看作是一系列流向相反而強(qiáng)度相同的電流元之和，所以磁場(chǎng)為零。由于B與r無關(guān)，所以，在柱外的任一點(diǎn)處，磁場(chǎng)恒為0。為了計(jì)算柱內(nèi)的磁場(chǎng)，采用安培回路為圖4.2所示的矩形回路。文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)圖4.2有BdlhBzh0Js0因而柱內(nèi)任一點(diǎn)處，Baz0Js0。c當(dāng)面電流沿軸線方向時(shí)候，由對(duì)稱性可知，空間的磁場(chǎng)只是有圓分量，且只是半徑的函數(shù)。在柱內(nèi)，采用安培回路為圓心在軸線并且為于圓周方向的圓?？梢缘贸觯鶅?nèi)任一點(diǎn)的磁場(chǎng)為零。在柱外，采用圓形回路，cBdl0I，與該回路交鏈的電流為2aJs0，Bdl2rB，所以Ba0Js0a。cr例4.4如圖4.3所示，一對(duì)無限長(zhǎng)平行導(dǎo)線，相距2a，線上載有大小相等，方向相反的電流I，求磁矢位A，并求B。解：將兩根導(dǎo)線產(chǎn)生的磁矢位看作是單個(gè)導(dǎo)線產(chǎn)生的磁矢位的疊加。對(duì)單個(gè)導(dǎo)線，先計(jì)算有限長(zhǎng)度產(chǎn)生的磁矢位。設(shè)導(dǎo)線的長(zhǎng)度為1，導(dǎo)線1的磁矢位為（場(chǎng)點(diǎn)選在xoy平面）l2212A1az0I2dzaz0Ilnl2[(l2)r1]l2142222r1(r1z)當(dāng)l時(shí)，有A1az0Illnr12同理，導(dǎo)線2產(chǎn)生的磁矢位為A2az0Ilnl2r2由兩個(gè)導(dǎo)線產(chǎn)生的磁矢位為文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)AazA1A2az0Ilnllnlaz0Ilnr2az40Ilnxa2r1r22r1xa

y2y2相應(yīng)的磁場(chǎng)為B＝AAzayAzaxxy0Iyyy2]ay0Ixaxaax2[xa2y2xa22[xa2y2xa2y2圖4.3例4.5已知內(nèi)，外半徑分別為a,b的無限長(zhǎng)鐵質(zhì)圓柱殼（磁道率為）沿軸向有恒定的傳導(dǎo)電流I，求磁感覺強(qiáng)度和磁化電流。解：考慮到問題的對(duì)稱性，用安培環(huán)路定律能夠得出各個(gè)地區(qū)的磁感覺強(qiáng)度。當(dāng)ra時(shí)，B0當(dāng)arb時(shí)，I(r2a2)B2rb2a2a當(dāng)rb時(shí)，B0Ia2r當(dāng)arb時(shí)，文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)1I(r2a2)M(r1)H(r1)B(r1)2r(b2a2)aJmMaz1rM(r1)Irraza2)(b2當(dāng)rb時(shí)，Jm0在ra處，磁化強(qiáng)度M0，所以JmSMnM(ar)0在r(r1)Ia，所以b處，磁化強(qiáng)度M2bJmSMnMar(r1)Iaz2b例4.6已知在半徑為a的無限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體內(nèi)有恒定電流I沿軸方向。設(shè)導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為1，其外充滿磁導(dǎo)率為2的平均磁介質(zhì)，求導(dǎo)體內(nèi)外的磁場(chǎng)強(qiáng)度、磁感覺強(qiáng)度、磁化電流散布。解：考慮到問題的對(duì)稱性，在導(dǎo)體內(nèi)外分別采用與導(dǎo)體圓柱同軸的圓環(huán)作為安培回路，并注意電流在導(dǎo)體內(nèi)是平均散布的。能夠求出磁場(chǎng)強(qiáng)度如下：ra時(shí)，HaIr；r>a時(shí)，HaI2a22r磁感覺強(qiáng)度如下：ra時(shí)，Ba1Ir2；r>a時(shí)，Ba2I2a2r為了計(jì)算磁化電流，要求磁化強(qiáng)度：ra時(shí)，Ma(r>a時(shí)，Ma(

11)Ir2，JmMaz(11)I202a0a2I，JmM01)02r文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)在ra的界面上計(jì)算磁化面電流時(shí)，能夠理解為在兩個(gè)磁介質(zhì)之間有一個(gè)很薄的真空層。這樣，其磁化面電流就是兩個(gè)磁介質(zhì)的磁化面電流之和，即JmsM1n1M2n2這里的n1和n2分別是從磁介質(zhì)到真空中的單位法向。如果設(shè)從介質(zhì)1到介質(zhì)2的單位法向是n，則有JmsM1nM2n代入界面兩側(cè)的磁化強(qiáng)度，并注意nar，得Jmsaz(10

1)Iaz(22a0

1)Iaz(21)I2a002a例4.7空氣絕緣的同軸線，內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a，外導(dǎo)體的半徑為b，經(jīng)過的電流為I。設(shè)外導(dǎo)體殼的厚度很薄，因而其積蓄的能量能夠忽略不計(jì)。計(jì)算同軸線單位長(zhǎng)度的儲(chǔ)能，并有此求單位長(zhǎng)度的自感。解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電流平均散布，用安培環(huán)路定律可求出磁場(chǎng)。ra時(shí)，Ir2；arb時(shí)，IHaHa2a2r單位長(zhǎng)度的磁場(chǎng)能量為a10H22rdr+b10H22rdr=0I20I2bWm=a2+4ln0216a故得單位長(zhǎng)度的自感為L(zhǎng)=0+0lnb，其中的第一項(xiàng)為哪一項(xiàng)內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感。82a例4.8一個(gè)長(zhǎng)直導(dǎo)線和一個(gè)圓環(huán)（半徑為a）在同一平面內(nèi)，圓心與導(dǎo)線的距離是d，證明它們之間互感為M0(dd2a2)。證明：設(shè)直導(dǎo)線位于z軸上，由其產(chǎn)生的磁場(chǎng)B0I0I2x2(drcos)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)其中各量的含義如圖4.4所示。a20I磁通量為Bdsrdrd002(drcos)上式先對(duì)積分，并用公式2d20dacosd2a2得0Irdr0I(dd2a2)a0d2r2所以互感為M0(dd2a2)Ird圖4.4例4.9一根通有電流I的長(zhǎng)直導(dǎo)線埋在不導(dǎo)電的平均磁性介質(zhì)中。求出H，B，M及磁化電流散布；(2)若將導(dǎo)線埋在介質(zhì)分界面間，電流I沿z方向流動(dòng)，在z0的半無窮空間中充滿導(dǎo)磁率為的平均介質(zhì)，在z0的半無窮空間為真空，求出H，B，M及磁化電流散布；文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)(3)若將導(dǎo)線埋在介質(zhì)分界面間，電流I沿z方向流動(dòng)，在x0的半無窮空間中充滿導(dǎo)磁率為的平均介質(zhì)，在x0的半無窮空間為真空，求出H，B，M及磁化電流散布。解：(1)由安培環(huán)路定律，以導(dǎo)線為中心做閉合積分曲線，有：HdlH2rICHI，即HaIr2r2故：BHaI，MBH(1)Ha(r1)I，JmM0。2r002r如圖4.5(a)所示，以導(dǎo)線為中心做閉合積分曲線C，由安培環(huán)路定律有：HdlH2rICHI，即HaI，則有：2r2rz0:B1HaI，M1B1H(1)Ha(r1)I，2r002rJmM0，JmsMnMaraz(r1)I；0I，M22rz0:B20Ha0，Jm0，Jms0。r如圖4.5(b)所示，以導(dǎo)線為中心做閉合積分曲線C，由安培環(huán)路定律有：HdlH1rH2rIC關(guān)于分界面，x0處a為法向，根據(jù)邊界條件B1nB2n，有B1B2B，即：H1B，H2B0代入安培環(huán)路定律，有BrBrI，解得B0Ir00Ba0I，H1Ba0I，H2BaI0r0r00r文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)x0：M1BH1(r1)H1a0I，00rJmM0，JmsMnMa0；x0：M2BH20，Jm0，Jms0。0圖4.5(a)圖4.5(b)例4.10半徑為a的無限長(zhǎng)直圓柱形導(dǎo)線沿軸向經(jīng)過電流I。如圖4.6所示，取圖中2處為參照點(diǎn)，用拉普拉斯方程求導(dǎo)線外部的標(biāo)量磁位。圖4.6文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)解：對(duì)磁標(biāo)位來講，它是和磁力線垂直的，而通電長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁力線是以電流為圓心的同心圓，因此磁標(biāo)位就應(yīng)當(dāng)是r方向的射線，所以m應(yīng)當(dāng)與r和z無關(guān)，拉普拉斯方程應(yīng)當(dāng)是：122mm0r22解出來mCD代入已知條件2為參照點(diǎn)，有m2CD再以導(dǎo)線為軸心在導(dǎo)線外做一個(gè)近似閉合的回路l，起點(diǎn)A和終點(diǎn)B在2的兩側(cè)，由于Hm，比較靜電場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)度和電位之間的關(guān)系，B0，mB2CD，則2CDI有mAmBHdlI，mAA這樣始終有兩個(gè)未知量不能確定。于是又考慮2和0是同一點(diǎn)，那么參照點(diǎn)也能夠看作是2，代入mCD中，2時(shí)mD0，故mC，這就只有一個(gè)未知量了。B再做參照積分回路，則mAmB02CHdlIA解得CI，故mCI22例4.11一橫截面為正方形的環(huán)形鐵心上開有一空氣隙，長(zhǎng)度1mm，鐵心內(nèi)半徑a8cm，橫截面邊長(zhǎng)b2cm，相對(duì)磁導(dǎo)率r500。鐵心上均有緊密繞有線圈1000匝，如圖4.6所示。忽略氣隙周邊的漏磁通，求此線圈的自感。文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)圖4.6解：由于0，忽略氣隙周邊的漏磁通，根據(jù)磁通連續(xù)性方程，可視將磁感覺線只在磁環(huán)內(nèi)流動(dòng)，且垂直磁環(huán)截面，磁感覺線穿過空氣隙時(shí)仍平均散布在截面上。設(shè)磁環(huán)上磁感覺強(qiáng)度為B，磁場(chǎng)強(qiáng)度為H；氣隙中磁感覺強(qiáng)度為B0，磁場(chǎng)強(qiáng)度為H0，由安培環(huán)路定律有：HdlH(2r)H0NI，其中rab9cm2C關(guān)于空氣與鐵心的分界面，a為法向，根據(jù)邊界條件B1nB2n，有B1B2B，可得HBB，H00故有B)BNI，解得BNI(2r2r00經(jīng)過鐵心截面的磁通量BdSBSrNIb2S20線圈的自感LNb22rI0代入數(shù)據(jù)103m，b0.02m，r0.09m5000，N1000，得文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)LNb200.251(mH)200I2r0文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)第5章時(shí)變電磁場(chǎng)例5.1證明平均導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)部，不會(huì)有永遠(yuǎn)的自由電荷散布。解：將JE代入電流連續(xù)性方程，考慮到媒質(zhì)平均，有(E)(E)0tt由于：D,(E),Et所以：0，(t)0et例5.2設(shè)z=0的平面為空氣與理想導(dǎo)體的分界面，z<0一側(cè)為理想導(dǎo)體，分界面處的磁場(chǎng)強(qiáng)度為H(x,y,0,t)axH0sinaxcos(tay)，試求理想導(dǎo)體表面上的電流散布、電荷散布以及分界面處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：JSnHazaH0sinaxcos(tayaH0sinaxcos(tayx)y)S[H0sinaxcos(tay)]aH0sinaxsin(tay)tySaH0sinaxcos(tay)c(x,y)假定t=0時(shí)，s0，由邊界條件nDs以及n的方向可得D(x,y,0,t)azaH0sinaxcos(tay)E(x,y,0,t)azaH0sinaxcos(tay)例5.3試求一段半徑為b，電導(dǎo)率為，載有直流電流I的長(zhǎng)直導(dǎo)線表面的坡印廷矢量，并考證坡印廷定理。文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)圖5.1解：如圖5.1，一段長(zhǎng)度為l的長(zhǎng)直導(dǎo)線，其軸線與圓柱坐標(biāo)系的z軸重合，直流電流將平均散布在導(dǎo)線的橫截面上，于是有：1JIJaz2,Eaz2bbI在導(dǎo)線表面Ha2bI2因此，導(dǎo)線表面的坡印廷矢量SEHar22b3它的方向處處指向?qū)Ь€的表面。將坡印廷矢量沿導(dǎo)線段表面積分，有I2lSdSSSardS232blI22I2RS2bb例5.4在兩導(dǎo)體平板（z0和zd）之間的空氣中流傳的電磁波，其電場(chǎng)強(qiáng)度矢量EaE0sin[(/dztkx)，其中k為常數(shù)。試求：y)]cos(x磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H；兩導(dǎo)體表面上的面電流密度Js。解:(1)由麥克斯韋方程組得Eax(Ey/z)az(Ey/x)B/t，對(duì)上式積分得BaxE0cos(z)sin(tkxx)azE0kxsin(z)cos(tkxx)，ddd文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)即HaxE0cos(z)sin(tkxx)azE0kxsin(z)cos(tkxx)。d0d0d導(dǎo)體表面上得電流存在于兩導(dǎo)體相向的一面，故z0面上，法線naz，面電流密度JsazHz0E0sin(tkxx)；ayd0zd面上，法線naz，面電流密度JsazHzdE0sin(tkxx)。ayd0例5.5一段由理想導(dǎo)體組成的同軸線，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為b，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，同軸線兩頭用理想導(dǎo)體板短路。已知在arb,0zL地區(qū)內(nèi)的電磁場(chǎng)AB為Earrsinkz,Harcoskz（1）確定A,B之間的關(guān)系。（2）確定k。（3）求ra及rb面上的s,Js。解：由題意可知，電磁場(chǎng)在同軸線內(nèi)形成駐波狀態(tài)。（1）A,B之間的關(guān)系。因?yàn)镋aEraAkjHzcoskzr所以AjBk（2）因?yàn)镠1rHrH]Bk[arzazarsinkzjErrr所以AkBjjk，kkj文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)（3）因?yàn)槭抢硐雽?dǎo)體組成的同軸線，所以邊界條件為nHJs，nDs在ra的導(dǎo)體面上，法線nar，所以JsanHraazBcoskzraazBcoskzrasanDraAsinkzraAsinkzra在rb的導(dǎo)體面上，法線nar，所以JsbnHrBBkzbazrcoskzrbazbcossbnDrbAsinkzrbAsinkzrb例5.6已知真空中電場(chǎng)強(qiáng)度EaxE0cosk0(zct)ayE0sink0(zct)，式中k020c。試求：1）磁場(chǎng)強(qiáng)度和坡印廷矢量的剎時(shí)值。2）關(guān)于給定的z值（比方z＝0），試確定E隨時(shí)間變化的軌跡。3）磁場(chǎng)能量密度，電場(chǎng)能量密度和坡印廷矢量的時(shí)間平均值。解：（1）由麥克斯韋方程可得EyExEaxayzzaxE0k0cosk0(zct)ayE0k0sink0(zct)H0t對(duì)上式積分，得磁場(chǎng)強(qiáng)度剎時(shí)值為HaxE0sink0(zct)ayE0cosk0(zct)0c0c故坡印廷矢量的剎時(shí)值文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)SEHaz

E0

20c（2）因?yàn)镋的模和幅角分別為E22，E0sink0(zct)(zct)ExEyE0tank0E0cosk0(zct)所以，E隨時(shí)間變化的軌跡是圓。（3）磁場(chǎng)能量密度，電場(chǎng)能量密度和坡印廷矢量的時(shí)間平均值分別為1D]av,eRe[E41[(axE0ejk0zayE0e2)(ax0E0ejk0zay0E0e2)]j(k0z)j(k0z)410E02212av,m0E02Sav1EH]azE02Re[20c2例5.7試將麥克斯韋方程組寫成8個(gè)標(biāo)量方程。解：已知麥克斯韋方程組的積分形式為：HdlJDdS,EdlBdS,BdS0,DdSqlStlStSS微分形式為：HJD,EB,B0,DttAyaxayaz又因?yàn)橹苯亲鴺?biāo)系中AAxAz，AxyzyzxAxAyAz文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)Aarraaz柱坐標(biāo)系中A1(rAr1Az，1rr)zAzrrrArrAAz球坐標(biāo)系中A1(r2Ar)1(sinA)1A，r2rrsinrsinarrarsinaA12sinrrArrArsinA直角坐標(biāo)系中，麥克斯韋的積分方程可寫為：H(aydyazdz)JxDxdydzSxtlxH(axdxazdz)JyDydxdz，SytlyH(aydyaxdx)JzDzdxdySztlzE(aydyazdz)SxBxdydzlxtE(axdxazdz)BydxdzlySytE(aydyaxdx)SzBzdxdylztBxdydzBydxdzSzBzdxdy0SxSyDxdydzDydxdzDzdxdyqSxSySz麥克斯韋的微分方程可寫為：HzHyJxDxEzEyBxBxByBz0yztyztxyzHxHzDyExEzByJy，zx，zxttDxDyDzHyHxJzDzEyExBzxytxytxyz柱坐標(biāo)系中，麥克斯韋的積分方程可寫為：文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)H(ardazdz)DrrddzSrJrlrtH(ardrazdz)DdrdzJt，lSH(ardrard)DzrdrdSzJzlztE(ardazdz)BrrddzlrSrtE(ardrazdz)BdrdzlStE(ardrard)SzBzrdrdlztBrrddzSBdrdzSzBzrdrd0SrDrrddzSDdrdzSzDzrdrdqSr麥克斯韋的微分方程可寫為：1HzHJrDr1EzEBrrztrztHrHzJD，ErEzB，zrtzrt1(rH1HrJzDz1(rE1ErBzr)tr)trrrr11BBz1(rDr1DDzr(rBr)z0，r)zrrrr球坐標(biāo)系中，麥克斯韋的積分方程可寫為：H(ardarsind)JrDrr2sinddlrSrtH(ardrarsind)JDrsindrd，tlSH(ardrard)JDSrdrdlt文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)E(ardarsind)SrBrr2sinddlrtE(ardrarsind)BdrdSrsinltBE(ardrard)SrdrdltBrr2sinddBrsindrdBrdrd0SrSSDrr2sinddDrsindrdDrdrdqSrSS麥克斯韋的微分方程可寫為：1[(sinH)HJrDr1[]trsinrsin11Hr(rH)]JD11[sin，[sinrrDtr1[(rH)Hr]J1[rtrrr

(sinEEBr)]tEr(rE)]Br，t(rE)Er]Bt121(sinB1Br2(rBr)rsin)rsin0，r1(r21(sinD1Dr2Dr))rrsinrsin例5.8已知在空氣中Eay0.1sin(10x)cos(6109tz)(V/m)，求H和。解：由于電場(chǎng)強(qiáng)度E應(yīng)知足空氣中的波動(dòng)方程2E002E0t2由于Eay0.1sin(10x)cos(6109tz)ayEy，有2Ey2Ey000t22Ey2Ey2Ey2Eyx2y2z20.1(10)2sin(10x)cos(6109tz)00.12sin(10x)cos(6109tz)且2Ey0.1(6109)2sin(10x)cos(6109tz)t2代入2Ey02Ey0中，有(10)2200(6109)2002t文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)解得10354.41(rad/m)又由麥克斯韋方程有EBtaxayazEyEyBEaxaztxyzxz0Ey(x,z)0ax0.1sin(10x)sin(6109tz)azcos(10x)cos(6109tz)BtBdtax0.1sin(10x)cos(6109tz)azcos(10x)sin(6109tz)t6109HBax0.1sin(10x)cos(6109tz)azcos(10x)sin(6109tz)6109010354.41rad/m，04107Hax2.3104sin(10x)cos(6109t54.41z)az1.3104cos(10x)sin(6109t54.41z)(A/m)例5.9設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為EE0cos(te)和HH0cos(tm)，證明其坡印廷矢量的平均值為：Sav1E0H0cos(em)2證明：EE0cos(te)，HH0cos(tm)，由坡印廷定理有SEHE0H0cos(te)cos(tm)1E0H0[cos(tetm)cos(tetm)]21E0H0[cos(2tem)cos(em)]2Sav1TSdt1T1tm)cos(em)]dtTTE0H0[cos(2e002E0H0[Tm)dtcos(Tcos(2teem)dt]2T001H0cos(m)E0e2文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)例5.10在r1和r50的平均地區(qū)中，有Eax20ej(tz)(V/m)，Bay0Hmej(tz)(T)如果波長(zhǎng)為1.78(m)，求和Hm。解：介質(zhì)中相速度1C3.01084.247/)vp10(150msrr2f2vp24.241071.5108(rad/s)1.78vp1.51083.54(rad/m)vp4.24107由題可知，H1Hmej(tz)(T)，由麥克斯韋方程EBBay有rtaxayazBExyzayExayj20ej(tz)tzEx(z)00BBdttayj20ej(tz)dtay20ej(tz)ttHBay20ej(tz)0020Hm，故有0r20r20Hm0

r20r201.18(A/m)vp4.24107410700文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)第6章正弦平面電磁波在無界空間中的流傳例6.1電磁波在真空中流傳，其電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的復(fù)數(shù)表達(dá)式為Etaxjay104ej20z(Vm)試求：（1）工作頻次f。（2）磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的復(fù)數(shù)表達(dá)式。（3）坡印廷矢量的剎時(shí)值和時(shí)間平均值。解：（1）由題意可得k2000,6109(rad/s)c所以工作頻次3109(Hz)2）磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的復(fù)數(shù)表達(dá)式為H1ayE1(ayjax)104ej20z(A/m)0其中波阻抗0120()。（3）坡印廷矢量的剎時(shí)值和時(shí)間平均值。電磁波的剎時(shí)值為E(t)Re[Eejt](axjay)104cos(t20z)（V/m）H(t)Re[Hejt]1(ayjax)104cos(t20z)（A/m）0所以，坡印廷矢量的剎時(shí)值文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)S(t)E(t)H(t)1108cos2(t20z)(axjay)(ayjax)0(W/m2)0同理可得坡印廷矢量的時(shí)間平均值SavRe[1EH]0(W/m2)2例6.2理想介質(zhì)中，有一平均平面電場(chǎng)波沿z方向流傳，2109(rad/s)。當(dāng)t0時(shí)，在z0處，電場(chǎng)強(qiáng)度的振幅E02(mV/m)，介質(zhì)的r4,r1。求當(dāng)t1(s)時(shí)，在z＝62(m)處的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量，磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量和坡印廷矢量。解：根據(jù)題意，設(shè)平均平面電場(chǎng)為E(t)axE0cos(tkz)(mV/m)式中，2109(rad/s),k40rad/m03所以E(t)ax2cos(2109t40z)（mV/m）3當(dāng)t1s，z＝62m時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量，磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量和坡印廷矢量為E(t)ax2cos(21091064062)ax2cos2ax(mV/m)33H(t)ayExayExay1ay1(mA/m)0r120160r4SEHaz1(W/m2)60例6.3已知空氣中一平均平面電磁波的磁場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量為H(axAay26az4)ej(4x3z)(A/m)試求：文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)（1）波長(zhǎng)、轉(zhuǎn)播方向單位矢量及轉(zhuǎn)播方向與z軸的夾角2）常數(shù)A3）電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量。解：1）波長(zhǎng)、轉(zhuǎn)播方向與z軸的夾角分別為kkx2kz2(4)2(3)25(rad/m)，20.4(m)kakaxkxazkzax4az3ax0.8az0.6，k5zarccos0.653（2）HxHyHzj4Aj120Hyzx解得A3。（3）電場(chǎng)強(qiáng)度矢量EHak0(ax3ay26az4)ej(4x3z)(ax0.8az0.6)0(ax66ay5az86)ej(4x3z)(V/m)55例6.4設(shè)無界理想媒質(zhì)，有電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量：E1azE01ejkz,E2azE02ejkz(1)E1,E2是否知足2Ek2E0。（2）由E1,E2求磁場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量，并說明E1,E2是否表示電磁波。解：采用直角坐標(biāo)系?？紤]到文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)2E1ax222222222x2y2z2E1xayx2y2z2E1yazx2y2z2E1z00az(00k2E01ejkz)k2E12E1k2E10同理，可得2E2k2E20根據(jù)題意可知，E1,E2波陣面均為平均平面，流傳介質(zhì)為理想媒質(zhì)，故有H11azE10,H21azE20所以S1S20，E1,E2所形成的場(chǎng)在空間均無能量流傳，即E1,E2均不能表示電磁波。例6.5假定真空中一平均平面電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量為j(2x2y3z)E3(ax2ay)e6(V/m)1）電場(chǎng)強(qiáng)度的振幅、波矢量和波長(zhǎng)。2）電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的剎時(shí)表達(dá)式。解：1）依題意知，電場(chǎng)強(qiáng)度的振幅E0E02xE02y33(V/m)而kkx2ky2kz2，故波長(zhǎng)24(m)2k所以波矢量kakkax3ay2az366（2）電場(chǎng)強(qiáng)度的剎時(shí)表達(dá)式為文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)E(t)Re[Eejt]3(ax2ay)cos[t(2x2y3z)](V/m)6磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的剎時(shí)表達(dá)式為H(t)1akE(t)1kE(t)0120kaxay2316az363(ax2ay)cos[t(2x2y3z)]120/261(ax6ay3az32)cos[t(2x2y3z)](A/m)1206其中2C23.01081.5108(rad/m)4例6.6為了抑制無線電攪亂室內(nèi)電子設(shè)施，平時(shí)采用厚度為5個(gè)趨膚深度的一層銅皮（0,0,5.8107(S/m)）包裹該室。若要求障蔽的頻次是10kHz~100MHz，銅皮的厚度應(yīng)是多少。解：因?yàn)楣ぷ黝l次越高，趨膚深度越小，故銅皮的最小厚度應(yīng)不低于障蔽10kHz時(shí)所對(duì)應(yīng)的厚度。因?yàn)橼吥w深度21f1

0.00066(m)所以，銅皮的最小厚度h50.0033(m)。例6.7如果要求電子儀器的鋁外殼（3.54107(Sm1）最少為5個(gè)趨/),r膚深度，為防備20kHz~200MHz的無線電攪亂，鋁外殼應(yīng)取多厚。解：因?yàn)楣ぷ黝l次越高，趨膚深度越小，故鋁殼的最小厚度應(yīng)不低于障蔽20kHz時(shí)所對(duì)應(yīng)的厚度。2100.000598(m)f1文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)因?yàn)殇X殼為5個(gè)趨膚深度，故鋁殼的厚度應(yīng)為h500.003(m)例6.8已知平面波的電場(chǎng)強(qiáng)度E[ax(2j3)ay4az3)]ej(1.8y2.4z)(V/m)試確定其流傳方向和極化狀態(tài)，并判斷它是否為橫電磁波。aykyazkz3ay4解：流傳方向上的單位矢量akazky2kz255akE0，即E的所有分量均與其流傳方向垂直，所以此波為橫電磁波。jarctan343)]ej3(3ay4az)rjarctan35ay]ej3akrE[ax13e25(ayaz55[ax13e255顯然ax,ay均與ak垂直。又因?yàn)樯鲜街袃蓚€(gè)分量的振幅并不相等，所以此電磁波為右旋橢圓極化波。例6.9假定真空中一平面電磁波的波矢量kaxay，22其電場(chǎng)強(qiáng)度的振幅Em33(V/m)，極化于z軸方向。試求：1）電場(chǎng)強(qiáng)度的剎時(shí)表達(dá)式。2）對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量。解：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的剎時(shí)表達(dá)式為Er,taz33cos[txy](V/m)22其中kc3108(rad/s)2（2）對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量為文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)1kE(t)1H(t)kakE(t)00403(ayax)cos[t(xy)](A/m)222例6.10真空中一平面電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為jzE2(axjay)e2(V/m)1）此電磁波是何種極化？旋向怎樣？2）寫出對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量。解：此電磁波的x分量的相位滯后于y分量的相位/2，且兩分量的振幅相等，故此波為左旋圓極化波。其對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量為1azE2jzH(ayjax)e2(A/m)00例6.11證明隨意方向極化的線極化波能夠分解為振幅相同的左旋極化波和右旋極化波的迭加。證明：設(shè)線極化波的流傳方向?yàn)閦，取電場(chǎng)強(qiáng)度E的方向平行于x軸，有EaxE0ejkzaxE0ejkz1ayjE0ejkz1ayjE0ejkz221(axjay)E0ejkz1(axjay)E0ejkz22E1E2其中E1為左旋極化波，E2為右旋極化波，二者振幅相等。例6.12已知在自由空間中流傳的電磁波電場(chǎng)強(qiáng)度為Eay10sin(6108t2z)，文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)試問：(1)該波是不是平均平面波？試求波的頻次、波長(zhǎng)和相速；試求磁場(chǎng)強(qiáng)度的表達(dá)式；指出波的流傳方向。解：要判斷電磁波是不是平均平面波，首先需要確定該電磁波的波陣面，如果垂直于波流傳方向的波陣面為平面，則波為平面波；若平面波的電磁場(chǎng)在波陣面上的散布不隨坐標(biāo)變化，則波為平均平面波。由給出的電場(chǎng)強(qiáng)度可知，電磁波的轉(zhuǎn)播空間為直角坐標(biāo)系，電磁波的等相位面（波陣面）為6108t2z，隨著時(shí)間的增加，等相位面向z方向流傳，EyEy0，故此電磁波波陣面為XOY平面，在XOY平面上，EayEy且yx為平均平面電磁波。(2)自由空間即指無源的真空地區(qū)，真空中的光速C3.0108(m/s)，故此電磁波的相速度vpC3.0108(m/s)；由Eay10sin(6108t2z)可知，波的角頻次6108(rad/s)，波數(shù)k