第三章空間向量與立體幾何章末復(fù)習(xí)

章末復(fù)習(xí)第三章

空間向量與立體幾何學(xué)習(xí)目標(biāo)1.梳理本章知識(shí)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò).2.鞏固空間向量的有關(guān)知識(shí).3.會(huì)用向量法解決立體幾何問(wèn)題.知識(shí)梳理達(dá)標(biāo)檢測(cè)題型探究?jī)?nèi)容索引知識(shí)梳理1.空間中點(diǎn)、線(xiàn)、面位置關(guān)系的向量表示設(shè)直線(xiàn)l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為μ，v，則線(xiàn)線(xiàn)平行l(wèi)∥m?a∥b?a＝kb，k∈R線(xiàn)面平行l(wèi)∥α?

?_______面面平行α∥β?μ∥v?_____________線(xiàn)線(xiàn)垂直l⊥m?

?_______線(xiàn)面垂直l⊥α?a∥μ?a＝kμ，k∈R面面垂直α⊥β?μ⊥v?________a⊥μa·μ＝0μ＝kv，k∈Ra·b＝0a⊥bμ·v＝0線(xiàn)線(xiàn)夾角線(xiàn)面夾角面面夾角__________________2.用向量法解決立體幾何問(wèn)題步驟如下：(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)；(3)進(jìn)行相關(guān)坐標(biāo)的運(yùn)算；(4)寫(xiě)出幾何意義下的結(jié)論.關(guān)鍵點(diǎn)如下：(1)選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.坐標(biāo)系的選取很重要，恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可以使得點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)易求且簡(jiǎn)單，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.(2)點(diǎn)的坐標(biāo)，向量的坐標(biāo)的確定.將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的問(wèn)題，必須確定點(diǎn)的坐標(biāo)，直線(xiàn)的方向向量，平面的法向量，這是最核心的問(wèn)題.(3)幾何問(wèn)題與向量問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.平行，垂直，夾角問(wèn)題都可以通過(guò)向量計(jì)算來(lái)解決，如何轉(zhuǎn)化也是這類(lèi)問(wèn)題解決的關(guān)鍵.[思考辨析判斷正誤](1)向量a，b的夾角〈a，b〉與它們所在直線(xiàn)所成的角相等.(

)×(3)若空間向量a平行于平面α，則a所在直線(xiàn)與平面α平行.(

)×√題型探究類(lèi)型一空間向量的概念及運(yùn)算例1

(1)給出下列命題：①向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反；②兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；③兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線(xiàn)向量；④有向線(xiàn)段就是向量，向量就是有向線(xiàn)段.其中假命題的個(gè)數(shù)為A.2 B.3 C.4 D.1答案解析√解析

①為假命題，當(dāng)a與b中有一個(gè)為零向量時(shí)，其方向是不確定的；②為真命題；③為假命題，終點(diǎn)相同并不能說(shuō)明這兩個(gè)向量的方向相同或相反；④為假命題，向量可用有向線(xiàn)段來(lái)表示，但并不是有向線(xiàn)段.(2)如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，S到A，B，C，D的距離都等于2.給出以下結(jié)論：其中正確結(jié)論的序號(hào)是________.③④答案解析又因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，反思與感悟向量的表示與運(yùn)算的關(guān)鍵是熟練掌握向量加減運(yùn)算的平行四邊形法則、三角形法則及各運(yùn)算公式，理解向量運(yùn)算法則、運(yùn)算律及其幾何意義.跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)度都為1，且兩兩夾角為60°.解答則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，解答類(lèi)型二空間向量法證明平行與垂直例2已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在DB，D1C上，且DE＝證明求證：EF∥平面BB1C1C.證明

如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，因此EF∥平面BB1C1C.反思與感悟利用空間向量證明或求解立體幾何問(wèn)題時(shí)，首先要轉(zhuǎn)化為其坐標(biāo)運(yùn)算，再借助于坐標(biāo)的有關(guān)性質(zhì)求解(證).證明跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，證明：平面PQC⊥平面DCQ.證明

如圖所示，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DP，DC所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)DA＝1，依題意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，D(0,0,0)，又DQ∩DC＝D，故PQ⊥平面DCQ，又PQ?平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.類(lèi)型三空間向量法求空間角例3如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB1⊥BC1，P是AA1的中點(diǎn).(1)求平面PBC1將三棱柱分成的兩部分的體積之比；解答解

以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，設(shè)三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，高為b，所以

＝

·d則平面PBC1分三棱柱另一部分幾何體的體積為所以平面PBC1將三棱柱分成兩部分的體積之比為1∶1.(2)求平面PBC1與平面ABC所成二面角的正切值.解答設(shè)平面PBC1的法向量為n1＝(x，y，z).取平面ABC的法向量為n2＝(0,0,1).反思與感悟利用坐標(biāo)法求二面角的步驟設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)就是兩個(gè)平面夾角的大小，如圖.用坐標(biāo)法的解題步驟如下：(1)建系：依據(jù)幾何條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.(2)求法向量：在建立的坐標(biāo)系下求兩個(gè)面的法向量n1，n2.(4)定值：若二面角為銳角，則為θ；若二面角為鈍角，則為π－θ.跟蹤訓(xùn)練3如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，E，F(xiàn)分別在AC和AB上，且EF∥CB.將它沿EF折起，且平面AEF⊥平面EFBC，且四棱錐A－EFBC的體積為2.(1)求EF的長(zhǎng)；解答解

因?yàn)镋F∥CB，∠ACB＝90°，所以CE⊥EF，AE⊥EF.又平面AEF⊥平面EFBC，平面AEF∩平面EFBC＝EF，AE⊥EF，AE?平面AEF，所以AE⊥平面EFBC.設(shè)EF＝x，由于EF∥BC，AC＝4，BC＝2，在圖1中，即(x－1)(x2＋x－3)＝0，(2)當(dāng)EF的長(zhǎng)度為1時(shí)，求AC與平面ABF所成角的正弦值.解答解

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EF，EC，EA所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Exyz，因?yàn)镋F＝1，則A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，F(xiàn)(1,0,0).設(shè)平面ABF的法向量n＝(x，y，z)，令z＝1，則x＝2，y＝－1，所以n＝(2，－1,1)，設(shè)AC與平面ABF所成的角為θ，達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.已知空間向量a，b，c兩兩夾角為60°，其模都為1，則|a－b＋2c|等于解析12345答案√解析

∵|a－b＋2c|2＝|a|2＋|b|2＋4|c|2－2a·b＋4a·c－4b·c＝12＋12＋4×12－2·1·1·cos60°＋4·1·1·cos60°－4·1·1·cos60°＝5，答案解析2.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，則直線(xiàn)BC1與直線(xiàn)AB1夾角的余弦值為√解析

不妨設(shè)CA＝CC1＝2CB＝2，則A(2,0,0)，B(0,0,1)，B1(0,2,1)，C1(0,2,0)，123453.已知在三棱錐S－ABC中，底面ABC為邊長(zhǎng)等于2的等邊三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直線(xiàn)AB與平面SBC所成角的正弦值為12345解析答案√解析

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AS所在直線(xiàn)為x軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，12345設(shè)平面SBC的法向量為n＝(x，y，z)，解析12345答案4.已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，其中t∈R，則|b－a|的最小值為_(kāi)____.解析

b－a＝(1＋t,2t－1,0)，1