圓的一般方程導(dǎo)學(xué)案（原卷版）高二數(shù)學(xué)系列（人教A版2019選擇性）

2.4.2圓的一般方程導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程變形成一般方程，理解圓的一般方程與一般形式的二元二次方程之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).2.通過(guò)對(duì)圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化，能正確理解圓的一般方程中系數(shù)所滿足的條件，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3.通過(guò)具體例題的講解，能掌握求圓的一般方程以及與圓有關(guān)的簡(jiǎn)單的軌跡方程問(wèn)題，提升學(xué)生邏輯推理和直觀想象的核心素養(yǎng).重點(diǎn)難點(diǎn)1.重點(diǎn)：掌握?qǐng)A的一般方程及其特點(diǎn)并會(huì)求圓的一般方程.2.難點(diǎn)：與圓有關(guān)的簡(jiǎn)單的軌跡方程問(wèn)題.課前預(yù)習(xí)自主梳理知識(shí)點(diǎn)圓的一般方程1．圓的一般方程當(dāng)時(shí)，二元二次方程稱為圓的一般方程．2．方程表示的圖形條件圖形不表示任何圖形表示一個(gè)點(diǎn)表示以為圓心，以為半徑的圓思考：若二元二次方程表示圓,需滿足什么條件?提示(1);(2);(3).自主檢測(cè)1.判斷正誤，正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”．(1)圓的一般方程可以化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．()(2)二元二次方程一定是某個(gè)圓的方程．()(3)若方程表示圓，則有E≠0.()(4)任何一個(gè)圓的方程都能寫成一個(gè)二元二次方程．()2.圓的圓心為（

）A． B． C． D．3.已知點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則（

）A． B． C． D．4.方程表示圓心在直線上的圓,則該圓的半徑為（

）A． B．2 C． D．65.如果方程表示圓，則的取值范圍是A． B． C． D．新課導(dǎo)學(xué)學(xué)習(xí)探究環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題問(wèn)題1：我們知道，方程表示以為圓心，2為半徑的圓．可以將此方程變形為．一般地，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以變形為（2）的形式．反過(guò)來(lái)，形如（2）的方程一定能通過(guò)恒等變形變?yōu)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？師生活動(dòng)：（1）學(xué)生們熱烈討論，教師適當(dāng)引導(dǎo)提示.（2）追問(wèn)1：方程表示什么圖形？（3）學(xué)生自主對(duì)方程進(jìn)行配方得到，學(xué)生總結(jié)“該方程表示以（1，2）為圓心，2為半徑的圓”.（4）追問(wèn)2：方程表示什么圖形？（5）學(xué)生通過(guò)配方得到，由于不存在這樣的使方程成立，所以該方程不能表示任何圖形.環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念例如，對(duì)于方程，對(duì)其進(jìn)行配方，得，因?yàn)槿我庖粋€(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足這個(gè)方程，所以這個(gè)方程不表示任何圖形．所以，形如（2）的方程不一定能通過(guò)恒等變形變?yōu)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程．這表明，形如（2）的方程不一定是圓的方程．環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念問(wèn)題2：方程中的，，滿足什么條件時(shí)，這個(gè)方程表示圓？將方程（2）的左邊配方，并把常數(shù)項(xiàng)移到右邊，得．（1）當(dāng)時(shí)，比較方程①和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可以看出方程（2）表示以為圓心，為半徑的圓；（2）當(dāng)時(shí)，方程（2）只有實(shí)數(shù)解，，它表示一個(gè)點(diǎn)；（3）當(dāng)時(shí)，方程（2）沒(méi)有實(shí)數(shù)解，它不表示任何圖形．因此，當(dāng)時(shí)，方程（2）表示一個(gè)圓．我們把方程（2）叫做圓的一般方程(generalequationofcircle)．環(huán)節(jié)四辨析理解,深化概念問(wèn)題3：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程各有什么特點(diǎn)？例4求過(guò)三點(diǎn)，，的圓的方程，并求這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑．與例2的方法比較，你有什么體會(huì)？師生活動(dòng)：（1）教師引導(dǎo)學(xué)生觀察和思考，根據(jù)兩個(gè)方程的形式特點(diǎn)，啟發(fā)學(xué)生得出結(jié)論.（2）學(xué)生回答：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程明確給出了圓心坐標(biāo)和半徑（重“形”）,而圓的一般方程則明確表明其形式是一種特殊的二元二次方程,方程的代數(shù)特征非常明顯（重“數(shù)”）.（3）求過(guò)三點(diǎn)的圓的方程，并求這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑求圓的方程常用待定系數(shù)法，其大致步驟是：（1）根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；（2）根據(jù)條件列出關(guān)于，，或，，的方程組；（3）解出，，或，，，得到標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程．問(wèn)題4：與課本P83例2的方法比較，有什么體會(huì)呢？師生活動(dòng)：（1）教師引導(dǎo)學(xué)生觀察比較兩種運(yùn)算量的區(qū)別，啟發(fā)學(xué)生思考哪種運(yùn)算更簡(jiǎn)潔.（2）學(xué)生自主討論得出結(jié)論：例4的解答過(guò)程中，教科書(shū)選擇了先求圓的一般方程，再求出圓心坐標(biāo)和半徑，用的仍然是待定系數(shù)法來(lái)解.這里選用圓的一般方程，與例2中選用標(biāo)準(zhǔn)方程的方法相比，運(yùn)算就顯得容易一些.容易的原因是得到的方程沒(méi)有二次項(xiàng)，是一個(gè)三元一次方程組.而用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的話，得到的是三元二次方程組，需要消去二次項(xiàng).一般來(lái)說(shuō)，解一次方程比解二次方程容易.（3）追問(wèn)1：請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)用待定系數(shù)法求圓的方程的大致步驟:①根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；②根據(jù)條件列出關(guān)于或的方程組；③解出或，得到標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化問(wèn)題5：請(qǐng)同學(xué)們做課本例5，思考探究如何求與圓相關(guān)的軌跡方程問(wèn)題？師生活動(dòng)：（1）已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程例5已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是指點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式．軌跡是指點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中形成的圖形．在解析幾何中，我們常常把圖形看作點(diǎn)的軌跡（集合）．根據(jù)上述例題，大家可以總結(jié)求解軌跡方程的一般步驟嗎？師生總結(jié)：相關(guān)點(diǎn)法：利用所求曲線上的動(dòng)點(diǎn)與已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，找到關(guān)系式，列式求出.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)分析解題思路，給出解答示范，提升學(xué)生推理論證的能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng).環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升圓的一般方程：1.圓的一般方程滿足的特點(diǎn).圓的一般方程中D、E、F滿足的條件.與圓有關(guān)的軌跡方程的求法.環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測(cè)，作業(yè)布置完成教材：頁(yè)習(xí)題第7、8、9題.備用練習(xí)1.已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圓，則k的取值范圍是（

）A．(－∞，－1) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．2.圓的方程為，則圓心坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．