2020-2021學(xué)年天津市和平區(qū)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷【含答案】

2020-2021學(xué)年天津市和平區(qū)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共9小題，每小題4分，共36分）.1．設(shè)z＝，則z的虛部是（）A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i2．已知向量＝（1，2），＝（x，3），若∥，則x＝（）A．﹣ B． C．6 D．﹣63．用m、n表示兩條不同的直線，用α、β表示兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若m∥α，m∥β，則α∥β B．若m∥α，n?α，則m∥n C．若m⊥α，m∥β，則α⊥β D．若m⊥n，n?α，則m⊥α4．給定一組數(shù)據(jù)：102，100，103，104，101，這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是（）A．102 B．102.5 C．103 D．103.55．若向量，滿足＝（1，0），＝（1，），則在上的投影向量為（）A．﹣ B． C．﹣ D．6．在△ABC中，若a＝bcosC，則△ABC是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形7．從分別寫有“1，2，3，4，5”的5張卡片中，隨機(jī)抽取一張不放回，再隨機(jī)抽取一張，則抽得的兩張卡片上的數(shù)字一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．8．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱長為，底面三角形的邊長為1，則BC1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值為（）A． B． C． D．9．已知正方形ABCD的邊長為2，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段AE上的點(diǎn)，則的最小值為（）A． B．﹣ C．1 D．﹣1二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分.10．已知復(fù)數(shù)z＝（1+i）（1+2i），其中i是虛數(shù)單位，則|z|＝．11．某校現(xiàn)有高一學(xué)生210人，高二學(xué)生270人，高三學(xué)生300人，用分層抽樣的方法從這三個(gè)年級的學(xué)生中隨機(jī)抽取n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，如果已知從高一學(xué)生中抽取的人數(shù)為7，那么從高三學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為．12．如圖是某工廠對一批新產(chǎn)品長度（單位：mm）檢測結(jié)果的頻率分布直方圖．估計(jì)這批產(chǎn)品的中位數(shù)為．13．設(shè)A、B、C為三個(gè)隨機(jī)事件，其中A與B是互斥事件，B與C互為對立事件，P（A）＝，P（C）＝，則P（A∪B）＝．14．已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為24，則這個(gè)球的體積為．15．若點(diǎn)G是△ABC的重心，點(diǎn)M、N分別在AB、AC上，且滿足，其中x+y＝1．若，則△AMN與△ABC的面積之比為．三、解答題：本大題共5小題，共6+8×3+10＝40分，要求寫出文字說明，解答過程或演算步驟.16．已知||＝2，|＝3，向量與的夾角為．（1）求|；（2）若2與m垂直，求實(shí)數(shù)m的值．17．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足ccosA+acosC＝a．（1）求的值；（2）若a＝1，，求△ABC的面積．18．如圖，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C是菱形，AC1與A1C交于點(diǎn)O，E是AB的中點(diǎn)．求證：（1）OE∥平面BCC1B1；（2）若AC1⊥A1B，求證：AC1⊥BC．19．在一次猜燈謎活動中，共有20道燈謎，兩名同學(xué)獨(dú)立競猜，甲同學(xué)猜對了15個(gè)，乙同學(xué)猜對了8個(gè)．假設(shè)猜對每道燈謎都是等可能的，設(shè)事件A為“任選一燈謎，甲猜對”，事件B為“任選一燈謎，乙猜對”．（1）任選一道燈謎，記事件C為“恰有一個(gè)人猜對”，求事件C發(fā)生的概率；（2）任選一道燈謎，記事件D為“甲、乙至少有一個(gè)人猜對”，求事件D發(fā)生的概率．20．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，四邊形ABCD為矩形，PC⊥PD，PC＝PD＝AD＝2，M為PA的中點(diǎn)．（1）求異面直線AB與PD所成的角；（2）求證：平面ACP⊥平面MCD；（3）求二面角C﹣MD﹣P的余弦值．

參考答案一、選擇題（共9小題，每小題4分，共36分）.1．設(shè)z＝，則z的虛部是（）A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i解：∵z＝＝，∴z的虛部是1．故選：A．2．已知向量＝（1，2），＝（x，3），若∥，則x＝（）A．﹣ B． C．6 D．﹣6解：∵，∴3﹣2x＝0，解得．故選：B．3．用m、n表示兩條不同的直線，用α、β表示兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若m∥α，m∥β，則α∥β B．若m∥α，n?α，則m∥n C．若m⊥α，m∥β，則α⊥β D．若m⊥n，n?α，則m⊥α解：若m∥α，m∥β，則α∥β或α與β相交，故A錯(cuò)誤；若m∥α，n?α，則m∥n或m與n異面，故B錯(cuò)誤；若m∥β，則β內(nèi)存在直線n∥m，又m⊥α，∴n⊥α，而n?β，∴α⊥β，故C正確；若m⊥n，n?α，則m?α或n∥α或n與α相交，相交也不一定垂直，故D錯(cuò)誤．故選：C．4．給定一組數(shù)據(jù)：102，100，103，104，101，這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是（）A．102 B．102.5 C．103 D．103.5解：5×0.6＝3，第60百分位數(shù)是第三與第四個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即＝103.5．故選：D．5．若向量，滿足＝（1，0），＝（1，），則在上的投影向量為（）A．﹣ B． C．﹣ D．解：由題意可得，在上的投影向量為||cosθ，∵＝（1，），||＝2，為單位向量，＝（1，0），且與夾角為θ＝，∴||cosθ＝2×＝．故選：D．6．在△ABC中，若a＝bcosC，則△ABC是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形解：由余弦定理得cosC＝，把cosC代入a＝bcosC得：a＝b?＝，∴2a2＝a2+b2﹣c2，∴a2+c2＝b2，即三角形為直角三角形．故選：C．7．從分別寫有“1，2，3，4，5”的5張卡片中，隨機(jī)抽取一張不放回，再隨機(jī)抽取一張，則抽得的兩張卡片上的數(shù)字一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．解：抽得的兩張卡片上的數(shù)字一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)的概率是＝．故選：B．8．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱長為，底面三角形的邊長為1，則BC1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值為（）A． B． C． D．解：如圖，分別取BC，B1C1的中點(diǎn)M，N．由正三棱柱ABC﹣A1B1C1易證，MN⊥平面ABC．連接MA，易知MA，BC，MN兩兩垂直．以M為原點(diǎn)直線MA，MB，MN分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系M﹣xyz：由已知得：A（，0，0），C（0，?，0），C1（0，?，），B（0，，0）．所以＝（，，0），＝（0，0，），＝（0，?1，），設(shè)平面ACC1A1的法向量為＝（x，y，z），所以，即，令x＝1，則y＝﹣，z＝0，故＝（1，?，0）．設(shè)BC1與側(cè)面ACC1A1所成角為θ，則sinθ＝|cos＜＞|＝＝．故選：D．9．已知正方形ABCD的邊長為2，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段AE上的點(diǎn)，則的最小值為（）A． B．﹣ C．1 D．﹣1解：建立如圖的坐標(biāo)系，則A（0，0），B（2，0），E（2，1），C（2，2），因?yàn)镕是線段AE上的點(diǎn)；故可設(shè)F（2a，a）；0≤a≤1；則＝（2a，a），＝（2a﹣2，a﹣2）；∴＝2a（2a﹣2）+a（a﹣2）＝5a2﹣6a＝5（a﹣）2﹣；∴a＝時(shí)的取小值：﹣．故選：B．二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分.10．已知復(fù)數(shù)z＝（1+i）（1+2i），其中i是虛數(shù)單位，則|z|＝．解：∵z＝（1+i）（1+2i）＝1+3i+2i2＝﹣1+3i，∴．故答案為：．11．某校現(xiàn)有高一學(xué)生210人，高二學(xué)生270人，高三學(xué)生300人，用分層抽樣的方法從這三個(gè)年級的學(xué)生中隨機(jī)抽取n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，如果已知從高一學(xué)生中抽取的人數(shù)為7，那么從高三學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為10．解：設(shè)從高三學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為x，根據(jù)分層抽樣的定義和方法可得，解得x＝10，故答案為10．12．如圖是某工廠對一批新產(chǎn)品長度（單位：mm）檢測結(jié)果的頻率分布直方圖．估計(jì)這批產(chǎn)品的中位數(shù)為22.5．解：由頻率分布直方圖，得：[10，20）的頻率為（0.02+0.04）×5＝0.3，[20，25）的頻率為0.08×5＝0.4，∴估計(jì)這批產(chǎn)品的中位數(shù)為：20+×5＝22.5．故答案為：22.5．13．設(shè)A、B、C為三個(gè)隨機(jī)事件，其中A與B是互斥事件，B與C互為對立事件，P（A）＝，P（C）＝，則P（A∪B）＝．解：∵A、B、C為三個(gè)隨機(jī)事件，其中A與B是互斥事件，B與C互為對立事件，P（A）＝，P（C）＝，∴P（B）＝1﹣P（C）＝1﹣＝，∴P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝＝．故答案為：．14．已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為24，則這個(gè)球的體積為．解：由幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征可知，正方體的體對角線為球的直徑，設(shè)正方體的棱長為a，則6a2＝24，∴a＝2，設(shè)球的半徑為R，則：（2R）2＝22+22+22＝12，則，其體積：．故答案為：．15．若點(diǎn)G是△ABC的重心，點(diǎn)M、N分別在AB、AC上，且滿足，其中x+y＝1．若，則△AMN與△ABC的面積之比為．解：設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則＝＝+，又，即＝，∴＝+，∴x＝，又x+y＝1，∴y＝，∴＝，即＝，∴＝＝?＝×＝．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共6+8×3+10＝40分，要求寫出文字說明，解答過程或演算步驟.16．已知||＝2，|＝3，向量與的夾角為．（1）求|；（2）若2與m垂直，求實(shí)數(shù)m的值．解：（1）∵||＝2，|＝3，向量與的夾角為，∴|＝＝＝＝；（2）由2與m垂直，得（2）?（m）＝0，∴2m+4+（8+m）?＝08m+36+（8+m）×2×3×（﹣）＝0解得：m＝﹣．17．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足ccosA+acosC＝a．（1）求的值；（2）若a＝1，，求△ABC的面積．解：（1）由正弦定理，ccosA+acosC＝a可化為：sinCcosA+cosCsinA＝sinA，也就是sin（A+C）＝sinA．由三角形內(nèi)角和定理得sin（A+C）＝sin（π﹣B）＝sinB．即sinB＝sinA．由正弦定理可得b＝a，故．（2）由a＝1可知b＝1．而，由余弦定理可知．又0＜C＜π，于是．∴＝．18．如圖，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C是菱形，AC1與A1C交于點(diǎn)O，E是AB的中點(diǎn)．求證：（1）OE∥平面BCC1B1；（2）若AC1⊥A1B，求證：AC1⊥BC．【解答】證明：（1）連結(jié)BC1．∵側(cè)面AA1C1C是菱形，AC1與A1C交于點(diǎn)O∴O為AC1的中點(diǎn)∵E是AB的中點(diǎn)∴OE∥BC1；∵OE?平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1∴OE∥平面BCC1B1（2）∵側(cè)面AA1C1C是菱形∴AC1⊥A1C∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C?平面A1BC，A1B?平面A1BC∴AC1⊥平面A1BC∵BC?平面A1BC∴AC1⊥BC．19．在一次猜燈謎活動中，共有20道燈謎，兩名同學(xué)獨(dú)立競猜，甲同學(xué)猜對了15個(gè)，乙同學(xué)猜對了8個(gè)．假設(shè)猜對每道燈謎都是等可能的，設(shè)事件A為“任選一燈謎，甲猜對”，事件B為“任選一燈謎，乙猜對”．（1）任選一道燈謎，記事件C為“恰有一個(gè)人猜對”，求事件C發(fā)生的概率；（2）任選一道燈謎，記事件D為“甲、乙至少有一個(gè)人猜對”，求事件D發(fā)生的概率．解：（1）設(shè)事件A為“任選一燈謎，甲猜對”，事件B為“任選一燈謎，乙猜對”．則P（A）＝，P（B）＝，任選一道燈謎，記事件C為“恰有一個(gè)人猜對”，則事件C發(fā)生的概率P（C）＝P（A）+P（）＝＝．（2）任選一道燈謎，記事件D為“甲、乙至少有一個(gè)人猜對”，甲、乙至少有一個(gè)人猜對的對立事件是＝“甲、乙均沒有猜對”，則事件D發(fā)生的概率P（D）＝1﹣[1﹣P（A）][1﹣P（B）]＝1﹣（1﹣）（1﹣）＝．20．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，四邊形ABCD為矩形，PC⊥PD，PC＝PD＝AD＝2，M為PA的中點(diǎn)．（1）求異面直線AB與PD所成的角；（2）求證：平面ACP⊥平面MCD；（3）求二面角C﹣MD﹣P的余弦值．【解答】（1）解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以AB∥CD，則∠PDC即為異面直線AB與PD所成的角，在△PCD中，PC⊥PD，PC＝PD＝2，所以∠PDC＝45°，故異面直線AB與PD所成的角為45°；（2）