第56講立體幾何中的切接問題（微專題）

第56講立體幾何中的切接問題（微專題）題型一、幾何體的外接球解決多面體的外接球問題，關(guān)鍵是確定球心的位置，方法是先選擇多面體中的一面，確定此面外接圓的圓心，再過圓心作垂直此面的垂線，則球心一定在此垂線上，最后根據(jù)其他頂點(diǎn)確定球心的準(zhǔn)確位置．對(duì)于特殊的多面體還可采用補(bǔ)成正方體或長(zhǎng)方體的方法找到球心位置．例1、（2023·安徽·統(tǒng)考一模）在三棱錐中，底面，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得外接球的半徑，進(jìn)而求得外接球的表面積.【詳解】由，得，所以的外接圓半徑，由于底面，所以外接球的半徑，所以外接球的表面積.故選：B.變式1、（2022·江蘇海門·高三期末）已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角為45°，頂點(diǎn)P，A，B，C，D在球O的球面上，則球O的體積是（）A．16π B． C．8π D．【答案】B【分析】探求正四棱錐的頂點(diǎn)P在底面上射影與球O的球心關(guān)系即可計(jì)算作答.【詳解】在正四棱錐中，連接AC，BD，，連，如圖，則有平面，為側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角，即，于是得，因此，頂點(diǎn)P，A，B，C，D在以為球心，2為半徑的球面上，即點(diǎn)O與重合，所以球O的體積是.故選：B變式2、如圖所示，底面為正方形，，其余棱長(zhǎng)為2，則羨除外接球體積與羨除體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接AC、BD交于點(diǎn)M，取EF的中點(diǎn)O，連接OM，求出OM的長(zhǎng)，進(jìn)而求出OA的長(zhǎng)，可知，從而可求出羨除外接球體積，由等體積法可求出羨除體積，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】連接AC、BD交于點(diǎn)M，取EF的中點(diǎn)O，連接OM，則平面.取BC的中點(diǎn)G，連接FG，作，垂足為H，如圖所示，由題意得，，，，，∴，∴，又∵，∴，∴，即：這個(gè)羨除的外接球的球心為O，半徑為2，∴這個(gè)羨除的外接球體積為.∵，面，面，∴面，即：點(diǎn)A到面的距離等于點(diǎn)B到面的距離，又∵，∴，∴這個(gè)羨除的體積為，∴羨除的外接球體積與羨除體積之比為.故選：A.變式3、（2022·廣東羅湖·高三期末）在中，，且，，若將沿AC邊上的中線BD折起，使得平面平面BCD．點(diǎn)E在由此得到的四面體ABCD的棱AC上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的為（）A． B．四面體ABCD的體積為C．存在點(diǎn)E使得的面積為 D．四面體ABCD的外接球表面積為【答案】BCD【分析】取的中點(diǎn)，連接，利用垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化得到判定選項(xiàng)A錯(cuò)誤；過作的垂線，利用直角三角形求出高和底面面積，再利用體積公式求出體積判定選項(xiàng)B正確；求出的面積的最大值和最小值，進(jìn)而判定選項(xiàng)C正確；確定四面體外接球的球心，再通過直角三角形求出半徑，再求其體積判定選項(xiàng)D正確.【詳解】對(duì)于A：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又平面平面BCD，所以平面，則，若，則，所以平面，則，顯然不可能，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：考查三棱錐的體積，易知的面積為，在平面中，過作的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，易知，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以到平面，即三棱錐的高為，所以三棱錐的體積為，即四面體的體積為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：顯然當(dāng)平面時(shí)，的面積取得最小值，易知，且，所以，又四面體的體積為，所以，即，且的面積為，所以存在點(diǎn)使得的面積為，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：設(shè)與的外心依次為，，過作平面的垂線，過作平面的垂線，則四面體的外接球球心為直線與的交點(diǎn)，則四邊形為矩形，且，，所以四面體的外接球半徑為，則外接球表面積為，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.變式4、（2022·河北張家口·高三期末）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑（biēnào）.如圖，三棱錐為一個(gè)鱉臑，其中平面，，，，為垂足，則（）A．平面B．為三棱錐的外接球的直徑C．三棱錐的外接球體積為D．三棱錐的外接球體積與三棱錐的外接球體積相等【答案】BC【分析】利用線面垂直的判定可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用直角三角形的性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)的正誤；確定球心的位置，求出三棱錐的外接球的半徑，利用球體的體積公式可判斷C選項(xiàng)的正誤；求出三棱錐的外接球半徑，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，如下圖，過點(diǎn)向引垂線，垂足為，平面，平面，則，，，則平面，又、平面，所以，，，，，則平面，這與平面矛盾，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，平面，平面，則，在三棱錐中，，則的中點(diǎn)到、、、的距離相等，所以為三棱錐的外接球的直徑，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，分別取、的中點(diǎn)、，連接，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，平面，則平面，平面，平面，則，故的外心為線段的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，則平面平面，故三棱錐的外接球球心在直線上，即該球球心在平面內(nèi)，所以的外接圓直徑為三棱錐的外接球直徑，，，，,在中，，，在中，由余弦定理得，，故，則，所以三棱錐的外接球體積為，故C正確；因?yàn)?，故為三棱錐的外接球的直徑，且，而三棱錐的外接球直徑為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.變式5、（2022·江蘇如皋·高三期末）已知三棱錐D－ABC中，AB＝AC＝AD＝1，∠DAB＝∠DAC＝，∠BAC＝，則點(diǎn)A到平面BCD的距離為_________，該三棱錐的外接球的體積為_________.【答案】【分析】①，等積法計(jì)算頂點(diǎn)到底面的距離；②求三棱錐外接球球心，然后再求體積.【詳解】①如下圖所示，設(shè)點(diǎn)A到平面BCD的距離為h，取BC中點(diǎn)E，連AE、DE，因?yàn)锳B=AC=AD=1，，所以BC=1，，，所以②取AB中點(diǎn)F，連CF交AE于G，則G是的外心，過G作，O為三棱錐外接球的球心，過O作，所以設(shè)球的半徑為R，則，所以，所以故答案為：①；②變式6、（2022·廣東潮州·高三期末）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑ABCD中，AB平面BCD，CDAD，AB=BD=，已知?jiǎng)狱c(diǎn)E從C點(diǎn)出發(fā)，沿外表面經(jīng)過棱AD上一點(diǎn)到點(diǎn)B的最短距離為，則該棱錐的外接球的表面積為_________．【答案】【詳解】如圖所示：設(shè)CD=x，由題意得：，在中，由余弦定理得：，即，即，解得或（舍去），如圖所示：該棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，則外接球的半徑為：，所以外接球的表面積為，故答案為：變式7、（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三期末）已知四面體中，，，，則其外接球的體積為______.【答案】【分析】由題意可采用割補(bǔ)法，構(gòu)造長(zhǎng)寬高分別x，y，z的長(zhǎng)方體，其面對(duì)角線分別為解出x，y，z,求長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即可.【詳解】如圖，構(gòu)造長(zhǎng)方體，其面對(duì)角線長(zhǎng)分別為，則四面體的外接球即為此長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別x，y，z，外接球半徑為R則，所以,則，解得，所以.故答案為：變式8、（2022·河北保定·高三期末）如圖，是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形的中位線，將沿折起，使得點(diǎn)與重合，平面平面，則四棱雉外接球的表面積是___________.【答案】【分析】求出四邊形外接圓的圓半徑，再設(shè)四棱錐外接球的球心為，由求出半徑，代入球的表面積公式即可.【詳解】如圖，分別取，的中點(diǎn)，，連接，.因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為4的等邊三角形，所以，所以，則四邊形外接圓的圓心為，半徑.設(shè)四棱錐外接球的球心為，連接，過點(diǎn)作，垂足為.易證四邊形是矩形，則，.設(shè)四棱錐外接球的半徑為，則，即，解得，故四棱錐外接球的表面積是.故答案為：題型二、幾何體的內(nèi)切球求解多面體的內(nèi)切球的問題，一般是將多面體分割為以球心為頂點(diǎn)，多面體的各面為底面的棱錐，利用多面體的體積等于各棱錐的體積之和求內(nèi)切球的半徑．例2、（2021·山東高三其他模擬）如圖所示的由4個(gè)直角三角形組成的各邊長(zhǎng)均為1的六邊形是某棱錐的側(cè)面展開圖，則該棱錐的內(nèi)切球半徑為_________．【答案】【解析】將圖形還原得四棱錐，如圖，設(shè)內(nèi)切球的球心為O，半徑為r，則有即，解得.故答案為：.變式1、【2022·廣東省珠海市第二中學(xué)10月月考】已知三棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，現(xiàn)沿三條側(cè)棱剪開，將其表面展開成一個(gè)平面圖形，若這個(gè)平面圖形外接圓的半徑為，則三棱錐的內(nèi)切球的體積為_______【答案】【解析】：三棱錐展開后為一等邊三角形，設(shè)此此三角形的邊長(zhǎng)為．則，得．所以三棱錐的棱長(zhǎng)為，可得棱長(zhǎng)的高設(shè)內(nèi)切球的半徑為，，得，所以變式2、【2022·廣東省珠海市第二中學(xué)10月月考】已知三棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，現(xiàn)沿三條側(cè)棱剪開，將其表面展開成一個(gè)平面圖形，若這個(gè)平面圖形外接圓的半徑為，則三棱錐的內(nèi)切球的體積為_______【答案】【解析】：三棱錐展開后為一等邊三角形，設(shè)此此三角形的邊長(zhǎng)為．則，得．所以三棱錐的棱長(zhǎng)為，可得棱長(zhǎng)的高設(shè)內(nèi)切球的半徑為，，得，所以變式3、（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐內(nèi)切球（與圓錐側(cè)面、底面均相切的球）的半徑為2，當(dāng)該圓錐的表面積最小時(shí)，其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出圖形，設(shè)，，由三角形相似得到，得到圓錐的表面積為，令，由導(dǎo)函數(shù)得到當(dāng)時(shí)，圓錐的表面積取得最小值，進(jìn)而得到此時(shí)與，作出圓錐的外接球，設(shè)外接球半徑為，由勾股定理列出方程，求出外接球半徑和表面積.【詳解】設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓的圓心為，內(nèi)切球圓心為，則，，因?yàn)椤?，⊥，所以∽，則，設(shè)，，故，由得：，由得：，故，所以，，解得：，所以圓錐的表面積為，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在時(shí)取得最小值，，此時(shí)，，設(shè)圓錐的外接球球心為，連接，設(shè)，則，由勾股定理得：，即，解得：，故其外接球的表面積為.故選：A變式4、（2022·湖北武昌·高三期末）已知四面體ABCD的一個(gè)平面展開圖如圖所示，其中四邊形AEFD是邊長(zhǎng)為的菱形，B，C分別為AE，F(xiàn)D的中點(diǎn)，，則在該四面體中（）A．B．BE與平面DCE所成角的余弦值為C．四面體ABCD的內(nèi)切球半徑為D．四面體ABCD的外接球表面積為【答案】ACD【詳解】由題意得，展開圖拼成的幾何體如下圖所示，，，取AB中點(diǎn)M，CD中點(diǎn)N，MN中點(diǎn)O，連MN、OA，過O作于H，則OH是內(nèi)切球的半徑，OA是外接球的半徑.所以，對(duì)于A：，，，故平面ABN，而平面ABN，所以，故A正確；對(duì)于B：由于平面ACD，故平面ABN平面ACD，故是BE與平面DCE所成角，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：所以外接球的表面積為，故D正確.故選：ACD變式5、（2022·江蘇通州·高三期末）將正方