模糊隨機(jī)可靠性靈敏度分析的通用數(shù)字模擬法

模糊隨機(jī)可靠性靈敏度分析的通用數(shù)字模擬法

目前，結(jié)構(gòu)可靠性分析和項(xiàng)目研究在中國(guó)航空工業(yè)的發(fā)展中發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用。在工程結(jié)構(gòu)的可靠性分析與設(shè)計(jì)中,可靠性靈敏度分析可以得到影響結(jié)構(gòu)可靠性的各基本變量的相對(duì)重要程度,從而對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性分析預(yù)測(cè)和優(yōu)化提供指導(dǎo)。目前,結(jié)構(gòu)變量只具有隨機(jī)性的可靠性靈敏度分析方法已經(jīng)發(fā)展得比較成熟,但隨著認(rèn)識(shí)的發(fā)展,人們發(fā)現(xiàn)在工程問(wèn)題中存在隨機(jī)不確定因素的同時(shí),還有很多模糊不確定因素。由于模糊因素的多樣性、復(fù)雜性及模糊不確定性與隨機(jī)不確定性在數(shù)學(xué)描述上的區(qū)別,很難應(yīng)用傳統(tǒng)的可靠性靈敏度分析方法對(duì)其進(jìn)行分析,因此有必要對(duì)模糊隨機(jī)結(jié)構(gòu)的可靠性靈敏度進(jìn)行分析?？煽啃造`敏度分析方法與可靠性分析方法是密切相關(guān)的,文獻(xiàn)提出一種基于模糊隸屬函數(shù)向隨機(jī)密度函數(shù)做等價(jià)變換的模糊隨機(jī)失效概率求解方法,該方法應(yīng)用范圍廣,可應(yīng)用到多個(gè)模糊變量的情況。本文采用該方法的研究思路,在可靠性靈敏度的基本概念基礎(chǔ)上,給出了模糊隨機(jī)可靠性靈敏度分析的通用數(shù)字模擬法,并推導(dǎo)了模糊隨機(jī)可靠性靈敏度數(shù)字模擬解的方差和變異系數(shù)的計(jì)算公式。由于基于模糊隸屬函數(shù)向隨機(jī)密度函數(shù)做等價(jià)變換的方法很難解決非正態(tài)隸屬函數(shù)情況下的可靠性及其靈敏度分析問(wèn)題,文中針對(duì)常用的對(duì)稱(chēng)三角型隸屬函數(shù)提出了兩種等價(jià)近似正態(tài)化方法,一種是“3σ規(guī)則”近似等價(jià)正態(tài)化法,此方法簡(jiǎn)單易行,但其等價(jià)正態(tài)隸屬函數(shù)不是在所有情況下都能很好地替代對(duì)稱(chēng)三角型隸屬函數(shù),從而使得計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生偏差,甚至得到錯(cuò)誤的結(jié)果。另一種是“最大最小”法,由于“最大最小”法保證了等價(jià)正態(tài)隸屬函數(shù)與對(duì)稱(chēng)三角型隸屬函數(shù)的最大誤差達(dá)到了最小,因此該方法基礎(chǔ)上的模糊隨機(jī)可靠性靈敏度結(jié)果與精確解吻和較好。文中給出了所提方法的實(shí)現(xiàn)原理及步驟,并通過(guò)算例對(duì)所提方法進(jìn)行了比較。1引入多個(gè)nf個(gè)獨(dú)立變量的數(shù)學(xué)期望函數(shù)假設(shè)所研究結(jié)構(gòu)中有n(n=nr+nf)個(gè)基本變量x=[x1x2…xn]T,其中:前nr個(gè)變量xi(i=1,2,…,nr)為服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立的基本隨機(jī)變量,其概率密度函數(shù)分別為fi(xi)(i=1,2,…,nr),后nf個(gè)變量xj(j=nr+1,…,n)為相互獨(dú)立的只具有模糊性的模糊基本變量,其隸屬函數(shù)分別為μj(xj)(j=nr+1,…,n)。依據(jù)可靠性靈敏度的基本概念,由式(1)定義的模糊隨機(jī)失效概率Pf對(duì)基本隨機(jī)變量xk(k=1,2,…,nr)的分布參數(shù)θf(wàn)k(在正態(tài)分布中,θf(wàn)k包括隨機(jī)變量xk的均值μxk和標(biāo)準(zhǔn)差σxk)的模糊隨機(jī)可靠性靈敏度?Pf/?θf(wàn)k可由式(2)給出。Ρf=∫Fnr∏i=1fi(xi)n∏j=nr+1μj(xj)dx∫Rnnr∏i=1fi(xi)n∏j=nr+1μj(xj)dx(1)式中:F為失效域;Rn為n維變量空間。?Ρf?θf(wàn)k=[∫F?(nr∏i=1fi(xi))?θf(wàn)kn∏j=nr+1μj(xj)dx]?(∫Rnnr∏i=1fi(xi)n∏j=nr+1μj(xj)dx)(∫Rnnr∏i=1fi(xi)n∏j=nr+1μj(xj)dx)2-(∫Fnr∏i=1fi(xi)n∏j=nr+1μj(xj)dx)?[∫Rn?(nr∏i=1fi(xi))?θf(wàn)kn∏j=nr+1μj(xj)dx](∫Rnnr∏i=1fi(xi)n∏j=nr+1μj(xj)dx)2(2)為了以數(shù)學(xué)期望的形式求得式(2)的值,將式(2)進(jìn)行式(3)所示的變換。?Ρf?θf(wàn)k=[∫F?(nr∏i=1fi(xi))/?θf(wàn)k?n∏j=nr+1μj(xj)n∏i=1fi(xi)n∏i=1fi(xi)dx]?(∫Rnn∏j=nr+1μj(xj)n∏j=nr+1fj(xj)n∏i=1fi(xi)dx)(∫Rnn∏j=nr+1μj(xj)n∏j=nr+1fj(xj)n∏i=1fi(xi)dx)2-(∫Fn∏j=nr+1μj(xj)n∏j=nr+1fj(xj)n∏i=1fi(xi)dx)?[∫Rn?(nr∏i=1fi(xi))/?θf(wàn)k?n∏j=nr+1μj(xj)n∏i=1fi(xi)n∏i=1fi(xi)dx](∫Rnn∏j=nr+1μj(xj)n∏j=nr+1fj(xj)n∏i=1fi(xi)dx)2(3)其中引入的函數(shù)n∏i=nr+1fi(xi)是可以任意選取的nf個(gè)獨(dú)立變量的聯(lián)合概率密度函數(shù),引入此函數(shù)的目的是希望以數(shù)學(xué)期望的形式來(lái)表示式(2)中的n重積分。記n∏j=nr+1μj(xj)/fj(xj)=H(x),[?(nr∏i=1fi(xi))/?θf(wàn)k]?n∏j=nr+1μj(xj)n∏i=1fi(xi)=Lfk(x),則由數(shù)學(xué)期望的定義可將式(3)表示為式(4)。?Ρf?θf(wàn)k=E(ΙF(x)Lfk(x))?E(Η(x))E2(Η(x))-E(Lfk(x))?E(ΙF(x)Η(x))E2(Η(x))(4)式中:IF(x)為失效域內(nèi)的指示函數(shù),ΙF(x)={1x∈F0x?F由此可采用式(5)所示的數(shù)字模擬法來(lái)計(jì)算模糊隨機(jī)失效概率Pf對(duì)基本隨機(jī)變量xk(i=1,2,…,nr)的分布參數(shù)θf(wàn)k靈敏度的估計(jì)值??Ρf?θf(wàn)k。??Ρf?θf(wàn)k=(1Ν1Ν1∑l1=1Η(xl1))?(1Ν2Ν2∑l2=1ΙF(xl2)Lfk(xl2))(1Ν5Ν5∑l5=1Η(xl5))2-(1Ν3Ν3∑l3=1ΙF(xl3)Η(xl3))?(1Ν4Ν4∑l4=1Lfk(xl4))(1Ν5Ν5∑l5=1Η(xl5))2(5)式中:Nm(m=1,2,…,5)為抽樣次數(shù);xlm(m=1,2,…,5)為分別從聯(lián)合概率密度函數(shù)n∏i=1fi(xi)中抽取的第lm個(gè)相互獨(dú)立的樣本點(diǎn)。同理可得模糊隨機(jī)失效概率Pf對(duì)只具有模糊性的變量xk(k=nr+1,…,n)的分布參數(shù)θμk的可靠性靈敏度估計(jì)值??Ρf/?θμk如式(6)所示。?Ρ^f?θμk=(1Ν1∑l1=1Ν1Η(xl1))?(1Ν2∑l2=1Ν2ΙF(xl2)Lμk(xl2))(1Ν5∑l5=1Ν5Η(xl5))2-(1Ν3∑l3=1Ν3ΙF(xl3)Η(xl3))?(1Ν4∑l4=1Ν4Lμk(xl4))(1Ν5∑l5=1Ν5Η(xl5))2(6)式中:Lμk(xlm)=[?(∏j=nr+1nμj(xj))/?θμk]?∏i=1nrfi(xi)∏i=1nfi(xi)|x=xlm(m=2,4)2fz與fm的關(guān)聯(lián)上節(jié)所述的模糊隨機(jī)可靠性靈敏度估計(jì)值只是近似的,它的取值在樣本容量很小時(shí)有很大的隨機(jī)性,但依據(jù)大數(shù)定理,式(5)和式(6)的估計(jì)值隨樣本容量的增加逐漸趨于真值。為了更加清楚地了解模糊隨機(jī)可靠性靈敏度估計(jì)值的收斂性和精度,對(duì)式(5)和式(6)式中所列估計(jì)值的方差進(jìn)行分析。為表述方便,記式(5)估計(jì)值的分子和分母分別為fz和fm。要精確求得式(5)估計(jì)值的變異系數(shù)涉及商的數(shù)學(xué)期望和方差的估計(jì),文獻(xiàn)中提出如下處理方法:在求解兩變量w與v商的數(shù)學(xué)期望E(w/v)和方差var(w/v)時(shí),首先將此商式在兩變量均值點(diǎn)μw和μv處泰勒展開(kāi)并忽略二次以上項(xiàng),然后再求數(shù)學(xué)期望和方差,所得結(jié)果為E(w/v)≈μwμv+1μv2(σv2μwμv-ρσvσw)(7)var(w/v)≈1μv2(σv2μw2μv2+σw2-2ρσvσwμwμv)(8)式中:ρ為變量w與v的相關(guān)系數(shù);μv和μw分別為分母v和分子w的數(shù)學(xué)期望;σv2和σw2分別為v和w的方差。式(5)所示的估計(jì)值中,由于樣本點(diǎn)xli(i=1,2,…,5)與xlj(j=1,2,…,5;j≠i)相互獨(dú)立,則由概率論的基本理論可知:xli的函數(shù)也相互獨(dú)立,因此式(5)中出現(xiàn)的和式∑l1=1Ν1Η(xl1)?∑l2=1Ν2ΙF(xl2)Lfk(xl2)?∑l3=1Ν3ΙF(xl3)Η(xl3)?∑l4=1Ν4Lfk(xl4)?(∑l5=1Ν5Η(xl5))2均相互獨(dú)立,由此fz與fm相互獨(dú)立,即分子與分母的相關(guān)系數(shù)為0。利用式(7)～式(8)可得式(5)估計(jì)值的數(shù)學(xué)期望和方差可轉(zhuǎn)化為分子fz和分母fm的數(shù)學(xué)期望和方差的函數(shù)。由于母體x與樣本xlm(m=1,2,…,5)獨(dú)立同分布,因此對(duì)式(5)中的分子求數(shù)學(xué)期望E[·]和方差var[·]可得E(fz)=E(H(x))·E(IF(x)Lfk(x))-E(IF(x)H(x))·E(Lfk(x))(9)var(fz)=var[(1Ν1∑l1=1Ν1Η(xl1))?(1Ν2∑l2=1Ν2ΙF(xl2)Lfk(xl2))]+var[(1Ν3∑l3=1Ν3ΙF(xl3)Η(xl3))?(1Ν4∑l4=1Ν4Lfk(xl4))](10)式(10)右端的第1項(xiàng)依據(jù)變量數(shù)字特征的性質(zhì)可表示為var[(1Ν1∑l1=1Ν1Η(xl1))?(1Ν2∑l2=1Ν2ΙF(xl2)Lfk(xl2))]=1(Ν1Ν2)2E[(∑l1=1Ν1Η(xl1))2]?E[(∑l2=1Ν2ΙF(xl2)Lfk(xl2))2]-E2(Η(x))?E2(ΙF(x)Lfk(x))(11)在數(shù)字模擬過(guò)程中,母體的數(shù)學(xué)期望和方差是用樣本的數(shù)學(xué)期望和樣本方差來(lái)近似估計(jì)的,因此式(9)和式(11)在數(shù)字模擬過(guò)程中是采用式(12)和式(13)來(lái)估計(jì)的。E(fz)=[1Ν1∑l1=1Ν1Η(xl1)]?[1Ν2∑l2=1Ν2ΙF(xl2)Lfk(xl2)]-[1Ν3∑l3=1Ν3ΙF(xl3)Η(xl3)]?[1Ν4∑l4=1Ν4Lfk(xl4)](12)var[(1Ν1∑l1=1Ν1Η(xl1))?(1Ν2∑l2=1Ν2ΙF(xl2)Lfk(xl2))]≈1Ν12[Ν1Ν1-1∑l1=1Ν1(Η(xl1)2+Ν1-2Ν1-1(∑l1=1Ν1Η(xl1))2]?1Ν22[Ν2Ν2-1∑l=1Ν2(ΙF(xl2)Lfk(xl2))2+Ν2-2Ν2-1(∑l2Ν2ΙF(xl2)Lfk(xl2))2]-([1Ν1∑l1=1Ν1Η(xl1))?(1Ν2∑l2=1Ν2ΙF(xl2)Lfk(xl2))]2(13)式(10)右端的第二項(xiàng)也可用類(lèi)似的方法由式(14)進(jìn)行估計(jì)。var[(1Ν3∑l3=1Ν3ΙF(xl3)Η(xl3))?(1Ν4∑l4=1Ν4Lfk(xl4))]≈1Ν32[Ν3Ν3-1∑l3=1Ν3(ΙF(xl3)Η(xl3))2+Ν3-2Ν3-1(∑l3=1Ν3ΙF(xl3)Η(xl3))2]?1Ν42[Ν4Ν4-1∑l4=1Ν4(Lfk(xl4))2+Ν4-2Ν4-1(∑l4=1Ν4Lfk(xl4))2]-[(1Ν3∑l3=1Ν3ΙF(xl3)Η(xl3))?(1Ν4∑l4=1Ν4Lfk(xl4))]2(14)將式(13)和式(14)代入(10)式即可得式(5)分子的方差var(fz)。對(duì)式(5)的分母fm求數(shù)學(xué)期望E[·]和方差var[·]可得E(fm)=1Ν52E[(∑l5=1Ν5Η(xl5))2]=1Ν5var(Η(x))+E2(Η(x))(15)var(fm)=1Ν54var[(∑l5=1Ν5Η(xl5))2]=1Ν54{E[(∑l5=1Ν5Η(xl5))4]-E2[(∑l5=1Ν5Η(xl5))2]}(16)式(15)在數(shù)字模擬過(guò)程中可采用式(17)近似估計(jì)。E(fm)≈1Ν52?Ν5Ν5-1∑l5=1Ν5(Η(xl5))2+1Ν52?Ν5-2Ν5-1(∑l5=1Ν5Η(xl5))2(17)式(16)右端的第1項(xiàng)中包含一個(gè)和式的四次方求數(shù)學(xué)期望,即E[(∑l5=1Ν5Η(xl5))4],將此和式的四次方展開(kāi)再求數(shù)學(xué)期望,所得結(jié)果如為E[(∑l5=1Ν5Η(xl5))4]=E[(∑i=1Ν5∑j=1Ν5Η(xi)Η(xj))2]=Ν?E[(Η(x))4]+Ν(Ν-1){(Ν-2)(Ν-3)E4[Η(x)]+3E2[(Η(x))2]+4E[Η(x)]?E[(Η(x))3]+6(Ν-2)E2[Η(x)]?E[(Η(x))2]}(18)由此可運(yùn)用數(shù)字模擬法對(duì)式(18)進(jìn)行估計(jì),結(jié)果為E[(∑l5=1Ν5Η(xl5))4]≈∑l5=1Ν5(Η(xl5))4+(Ν5-1)(Ν5-2)(Ν5-3)Ν53(∑l5=1Ν5Η(xl5))4+3(Ν5-1)Ν5[∑l5=1Ν5(Η(xl5))2]2+4(Ν5-1)Ν5(∑l5=1Ν5Η(xl5))?[∑l5=1Ν5(Η(xl5))3]+6(Ν5-1)(Ν5-2)Ν52[∑l5=1Ν5(Η(xl5))2]?[∑l5=1Ν5Η(xl5)]2(19)式(16)右端第二項(xiàng)中包含的E2[(∑l5=1Ν5Η(xl5))2]在數(shù)字模擬的過(guò)程中可用式(20)進(jìn)行估計(jì)。E2[(∑l5=1Ν5Η(xl5))2]=[Ν5Ν5-1∑l5=1Ν5(Η(xl5))2+Ν5-2Ν5-1(∑l5=1Ν5Η(xl5))2]2(20)將式(19)和式(20)代入式(16)即可得到fm的方差var(fm)。通過(guò)以上過(guò)程求得式(5)中分子、分母的數(shù)學(xué)期望和方差后,再利用式(7)～式(8)即可得估計(jì)值?Ρ^/?θf(wàn)k的數(shù)學(xué)期望E(?Ρ^/?θf(wàn)k)和方差var(?Ρ^/?θf(wàn)k)。估計(jì)值的變異系數(shù)反映估計(jì)值的相對(duì)分散性,其定義為估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差與估計(jì)值數(shù)學(xué)期望絕對(duì)值的比值。由此可得模糊隨機(jī)失效概率對(duì)基本隨機(jī)變量分布參數(shù)靈敏度估計(jì)值的變異系數(shù)為cov(?Ρ^/?θf(wàn)k)=var(?Ρ^/?θf(wàn)k)|E(?Ρ^/?θf(wàn)k)|(21)模糊隨機(jī)失效概率對(duì)基本模糊變量分布參數(shù)靈敏度估計(jì)值的變異系數(shù)cov(?Ρ^/?θμj)可由cov(?Ρ^/?θf(wàn)k)類(lèi)似的方法估計(jì)。3等價(jià)概率密度函數(shù)當(dāng)模糊變量的隸屬函數(shù)均為正態(tài)型時(shí),其隸屬函數(shù)為μj(xj)=exp[-(xj-Aj)2Bj2](j=nr+1,?,n)(22)式中:Aj和Bj分別為正態(tài)隸屬函數(shù)μj(xj)的位置參數(shù)和形狀參數(shù)。將μj(xj)做式(23)所示的變換,可得到相應(yīng)于μj(xj)的具有概率密度函數(shù)性質(zhì)的函數(shù)fj(e)(xj)。fj(e)(xj)=μj(xj)∫-∞+∞μj(xj)dxj=12πBj/2exp[-(xj-Aj)22(Bj2/2)](23)由式(23)可見(jiàn),與正態(tài)隸屬函數(shù)相應(yīng)的概率密度函數(shù)也為正態(tài)型,且兩者之間的參數(shù)滿(mǎn)足式(24)所示的關(guān)系。Μj(e)=AjSj(e)=Bj2/2}(24)式中:Mj(e)和Sj(e)分別為概率密度函數(shù)fj(e)(xj)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。將式(1)中所有模糊變量的隸屬函數(shù)都做式(23)相同的變換,并將μj(xj)=f(e)j(xj)∫-∞+∞μj(xj)dxj代入模糊隨機(jī)失效概率的計(jì)算公式,則可得式(1)等價(jià)的Pf為Ρf=∫F∏i=1nrfi(xi)∏j=nr+1nfj(e)(xj)dx(25)式(25)所示的模糊隨機(jī)失效概率為基本變量的等價(jià)概率密度函數(shù)∏i=1nrfi(xi)∏j=nr+1nfj(e)(xj)在失效域中的積分,也即模糊隨機(jī)失效概率完全等價(jià)為隨機(jī)失效概率問(wèn)題。目前很多成熟的方法可用來(lái)求解式(25)中Pf對(duì)等價(jià)概率密度函數(shù)∏i=1nrfi(xi)∏j=nr+1nfj(e)(xj)中等價(jià)分布參數(shù)Mj(e)和Sj(e)的靈敏度?Pf/?Mj(e)和?Pf/?Sj(e),如高效的線(xiàn)抽樣方法、重要抽樣法等。利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及式(24)的參數(shù)關(guān)系,并利用已有的隨機(jī)可靠性靈敏度分析方法求得的?Pf/?M(e)j和?Pf/?S(e)j,可求得模糊隨機(jī)失效概率對(duì)正態(tài)型隸屬函數(shù)分布參數(shù)Aj和Bj的靈敏度?Pf/?Aj和?Pf/?Bj為?Ρf/?Aj=?Ρf/?Μj(e)(26)?Ρf/?Bj=2/2??Ρf/?Sj(e)(27)由上述分析過(guò)程可知,正態(tài)型隸屬函數(shù)情況下的模糊隨機(jī)可靠性靈敏度可以轉(zhuǎn)化為隨機(jī)可靠性靈敏度分析問(wèn)題,從而可以利用已有的高效方法(在本文算例中均采用線(xiàn)抽樣方法)來(lái)求解模糊隨機(jī)可靠性靈敏度問(wèn)題。4密度函數(shù)的近似正態(tài)化對(duì)于非正態(tài)隸屬函數(shù)較難應(yīng)用上節(jié)所述方法求解可靠性靈敏度,因?yàn)榉钦龖B(tài)隸屬函數(shù)在做式(23)變換后相應(yīng)的概率密度函數(shù)為非正態(tài)型。針對(duì)此問(wèn)題本文以常用的對(duì)稱(chēng)三角型隸屬函數(shù)為例,提出了兩種對(duì)稱(chēng)三角型隸屬函數(shù)近似正態(tài)化的方法。近似正態(tài)化方法的基本思想是:將對(duì)稱(chēng)三角型屬函數(shù)近似轉(zhuǎn)化為等價(jià)的正態(tài)型隸屬函數(shù),然后根據(jù)正態(tài)型隸屬函數(shù)下模糊隨機(jī)可靠性靈敏度的分析方法進(jìn)行對(duì)稱(chēng)三角型隸屬函數(shù)下模糊隨機(jī)失效概率對(duì)基本變量參數(shù)靈敏度的求解。4.1模糊隨機(jī)失效概率對(duì)對(duì)稱(chēng)三角型隸屬函數(shù)的靈敏度假設(shè)結(jié)構(gòu)中模糊變量xj的隸屬函數(shù)μj(xj)為式(28)中所示的對(duì)稱(chēng)三角型。μ(xj)={1-|xj-Τj|RjΤj-Rj≤xj≤Τj+Rj0其他(28)式中:Tj為μj(xj)的中心值;Rj為模糊幅度?！?σ規(guī)則”法即是取等價(jià)正態(tài)隸屬函數(shù)μ(e)j(xj)的位置參數(shù)Aj(e)與Tj相等,而形狀參數(shù)Bj(e)為Rj的1/3,即Aj(e)=ΤjBj(e)=Rj/3}(29)當(dāng)對(duì)稱(chēng)三角型隸屬函數(shù)μj(xj)轉(zhuǎn)化為等價(jià)正態(tài)型隸屬函數(shù)μj(e)(xj)后,就可以利用上節(jié)的方法求得模糊隨機(jī)失效概率Pf對(duì)等價(jià)參數(shù)Aj(e)和Bj(e)的靈敏度?Pf/?Aj(e)和?Pf/?Bj(e)。又由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則和式(29)的參數(shù)關(guān)系可求得模糊隨機(jī)失效概率對(duì)對(duì)稱(chēng)三角型隸屬函數(shù)參數(shù)Tj和Rj的靈敏度分別為?Ρf/?Τj=?Ρj/?Aj(e)(30)?Ρf/?Rj=13??Ρf/?Bj(e)(31)該方法取自于工程中的“3σ”規(guī)則,其思路簡(jiǎn)單、實(shí)現(xiàn)容易,有一定的應(yīng)用價(jià)值。從后述的算例可以看出,這種等價(jià)變換方法在有些情況下可以求得合理的可靠性靈敏度,但由于這種變換并不能總是保證等價(jià)正態(tài)隸屬函數(shù)與對(duì)稱(chēng)三角型隸屬函數(shù)在形狀上具有較好的相似性,因此有時(shí)會(huì)求出誤差很大甚至是錯(cuò)誤的結(jié)果。4.2規(guī)則的近似等價(jià)正態(tài)化“最大最小”法的思路是:選取適當(dāng)?shù)牡葍r(jià)正態(tài)型隸屬函數(shù)μj(e)(xj)的位置參數(shù)Aj(e)和形狀參數(shù)Bj(e),使得在對(duì)稱(chēng)三角型隸屬函數(shù)μj(xj)的取值范圍Tj-Rj≤xj≤Tj+Rj內(nèi),誤差|μj(e)(xj)-μj(xj)|的最大值達(dá)到最小。由于對(duì)稱(chēng)三角型隸屬函數(shù)μj(xj)關(guān)于中心值Tj對(duì)稱(chēng),因此可選Aj(e)=Tj,此時(shí)只要求得在Tj≤xj≤Tj+Rj內(nèi)使|μj(e)(xj)-μj(xj)|的最大值達(dá)到最小的等價(jià)正態(tài)隸屬函數(shù)的形狀參數(shù)Bj(e)與對(duì)稱(chēng)三角型隸屬函數(shù)模糊幅度Rj的關(guān)系Bj(e)=kRj(k為待定常數(shù))即可,也即求解下列優(yōu)化模型。minBj(e)=kRj[maxΤj≤xj≤Τj+Rj(|μj(e)(xj)-μj(xj)|)](32)式(32)的優(yōu)化模型很容易求解,采用適當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法即可確定Bj(e)與Rj的關(guān)系Bj(e)=kRj。采用上節(jié)方法可求得?Pf/?Aj(e)和?Pf/?Bj(e),又根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得模糊隨機(jī)失效概率對(duì)對(duì)稱(chēng)三角形隸屬函數(shù)參數(shù)的靈敏度分別為?Ρf/?Τj=?Ρf/?Aj(e)(33)?Ρf/?Rj=k??Ρf/?Bj(e)(34)為說(shuō)明“最大最小”法在近似等價(jià)正態(tài)化變換中的優(yōu)越性,現(xiàn)舉一對(duì)稱(chēng)三角型隸屬函數(shù)的實(shí)例。假設(shè)模糊變量y的隸屬函數(shù)為對(duì)稱(chēng)三角型,其位置參數(shù)Ty和形狀參數(shù)Ry分別為:Ty=2,Ry=1.2,運(yùn)用“3σ規(guī)則”法和“最大最小”法將其近似等價(jià)正態(tài)化,結(jié)果對(duì)照如圖1所示。由圖1可看出:運(yùn)用“最大最小”法比運(yùn)用“3σ規(guī)則”法所得等價(jià)正態(tài)隸屬函數(shù)能在形狀上更好地替代對(duì)稱(chēng)三角型隸屬函數(shù)。5模糊隨機(jī)可靠性靈敏度算例1g(x,y)=2.6-x+exp(-x210)+(y5)5,其中x～N(0,12);y為具有對(duì)稱(chēng)三角型隸屬函數(shù)的模糊變量,其中心值Ty和模糊幅度Ry分別為:Τy=0?Ry=32。采用3種不同方法所得的模糊隨機(jī)可靠性靈敏度的計(jì)算結(jié)果如表1所示。表1中μx和σx分別表示下標(biāo)變量x的均值和標(biāo)準(zhǔn)差,N表示抽樣次數(shù)(式(5)中的抽樣次數(shù)Nm=N(m=1,2,…,5),即數(shù)字模擬法中總的抽樣次數(shù)為5N),N越大,計(jì)算量越大,反之則小。表2中的表示方法相同。算例2圖2所示的三跨度梁的單跨長(zhǎng)度L=5m為定值量?？紤]三跨度梁撓度最大允許值為L(zhǎng)/360,可以建立功能函數(shù)為:g(w,E,I)=L/360-0.0069wL4/EI,其中各變量相互獨(dú)立,w為分布載荷并將其視為模糊變量,其隸屬函數(shù)為對(duì)稱(chēng)三角形式,E和I分別為彈性模量和慣性矩,將E和I看做基本隨機(jī)變量,且均服從正態(tài)分布?；咀兞康膮?shù)分別為:Tw=12kN,Rw=0.32kΝ?μE=2×107kΝ/m2?σE=0.5×107kΝ/m2?μΙ=8×10-4m4?σΙ=1.5×10-4m4。采用3種不同方法所得的模糊隨機(jī)可靠性靈敏度計(jì)算結(jié)果如表2所示。算例2中采用數(shù)字模擬法計(jì)算可靠性靈敏度時(shí),當(dāng)提高抽樣次數(shù)N至2.0×108次,?Pf/?Tw和?Pf/?Rw及其變異系數(shù)計(jì)算結(jié)果分別為:?Ρf?Τw=0.000357136?cov(?Ρf?Τw)=0.0463446??Ρf?Rw=0.000145733?cov(?Ρf?Rw)=0.0929734,將此結(jié)果與抽樣次數(shù)為5.0×106時(shí)的進(jìn)行比較可知:在抽樣次數(shù)N為5.0×106時(shí),雖然這兩者的變異系數(shù)較大,但計(jì)算結(jié)果已