數(shù)學(xué)思想論文

PAGEPAGE14關(guān)于若干數(shù)學(xué)思想的中學(xué)教學(xué)策略研究摘要：數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和技能、基本思想和方法對(duì)一個(gè)人的發(fā)展起著潛移默化的作用.課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：教師應(yīng)該幫助學(xué)生真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能、數(shù)學(xué)思想和方法，使學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式解決問(wèn)題、認(rèn)識(shí)世界.在新課改和素質(zhì)教育的大背景下，中學(xué)數(shù)學(xué)課程中強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想教學(xué)顯得尤為重要，數(shù)學(xué)思想的教學(xué)既能減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)、提高課堂效率，又能提升學(xué)生的思維品質(zhì)、培養(yǎng)創(chuàng)新精神.關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；教學(xué)策略；數(shù)學(xué)能力1引言數(shù)學(xué)的歷史不只是一些新概念和新定理的簡(jiǎn)單堆砌,它還包含著數(shù)學(xué)思想和方法的積淀、發(fā)展和演進(jìn).數(shù)學(xué)思想，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，它是數(shù)學(xué)思維的結(jié)晶和概括，它直接支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)，是解決問(wèn)題的靈魂.1.1數(shù)學(xué)思想的概念意義劉黎明老師總結(jié)出了數(shù)學(xué)思想的含義.[1]人們最初的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)際上就是原始的數(shù)學(xué)思想方法.“數(shù)學(xué)思想”比一般的“數(shù)學(xué)概念”具有更高的抽象概括水平，后者比前者更具體、更豐富，而前者比后者更本質(zhì)、更深刻.“數(shù)學(xué)思想”是與其相應(yīng)的“數(shù)學(xué)方法”的精神實(shí)質(zhì)與理論基礎(chǔ)，“數(shù)學(xué)方法”則是實(shí)施相關(guān)的“數(shù)學(xué)思想”的技術(shù)與操作程式.數(shù)學(xué)的思想和方法沒(méi)有十分明確的界線，與方法相比較，思想具有更高的抽象層次，一般只是提示思考的方向，而沒(méi)有明確具體的操作步驟，是對(duì)數(shù)學(xué)的概念、原理、方法等本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是方法的概括和提煉，數(shù)學(xué)思想常常表現(xiàn)為數(shù)學(xué)方法的形式.中學(xué)數(shù)學(xué)用到的各種數(shù)學(xué)方法,都體現(xiàn)著一定的數(shù)學(xué)思想.1.2數(shù)學(xué)思想在中學(xué)教學(xué)中的地位現(xiàn)行教材中蘊(yùn)含了多種數(shù)學(xué)思想和方法，宋文媛老師指出中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)貫穿兩條主線：一條是數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，另一條是數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué).[2]數(shù)學(xué)教師應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，充分挖掘由數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)所反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想和方法，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)目標(biāo)，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容適時(shí)滲透、反復(fù)強(qiáng)化、及時(shí)總結(jié)，用數(shù)學(xué)思想方法武裝學(xué)生，使學(xué)生真正成為數(shù)學(xué)的主人.不僅教師意識(shí)到數(shù)學(xué)思想在中學(xué)中的地位，國(guó)家有關(guān)部門(mén)也出臺(tái)相應(yīng)的文件強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想的地位.郭明星老師指出了新課標(biāo)中數(shù)學(xué)思想的內(nèi)容.[3]2001年7月頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》，在課程目標(biāo)的開(kāi)頭就明確要求:“獲得適應(yīng)未來(lái)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)(包括數(shù)學(xué)事實(shí)、數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn))以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能……教師應(yīng)該幫助學(xué)生真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能、數(shù)學(xué)思想和方法”.2003年4月頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》，在第二部分課程目標(biāo)中指出“獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能……體會(huì)其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法”.1.3中學(xué)中常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想陳靜仁老師總結(jié)了一些數(shù)學(xué)思想.[4]在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史過(guò)程中,國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)家都比較重視數(shù)學(xué)思想的探討，特別是17世紀(jì)以后，形成了許多重要的數(shù)學(xué)思想，主要有五種：猜證結(jié)合思想；分類和分布思想；化歸思想；數(shù)形結(jié)合思想；函數(shù)和方程思想.除此之外,還有：公理化、符號(hào)化、極限思想、固本思想等等.中學(xué)教材中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法都是這些大的思想中細(xì)化出來(lái)的，如代數(shù)思想，集合對(duì)應(yīng)思想，數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)方程思想，分類討論思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)學(xué)模型思想.上述數(shù)學(xué)思想教師都應(yīng)該在教學(xué)中給以體現(xiàn)，在日常的教學(xué)中凡是涉及到的數(shù)學(xué)思想都應(yīng)該結(jié)合具體實(shí)例給學(xué)上講解，讓學(xué)生反復(fù)體會(huì)，學(xué)以致用.數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)方程思想，分類討論思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)，貫穿整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的，故本文特選取這四種數(shù)學(xué)思想具體分析研究，其他數(shù)學(xué)思想的教學(xué)以此相仿.2數(shù)學(xué)思想中學(xué)教學(xué)策略數(shù)學(xué)思想往往帶有理論性的特征，而數(shù)學(xué)方法具有實(shí)踐性的傾向.數(shù)學(xué)中用到的解題方法都體現(xiàn)著一定的數(shù)學(xué)思想，一定的數(shù)學(xué)思想要靠數(shù)學(xué)方法去實(shí)現(xiàn)，數(shù)學(xué)思想和方法常統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)中應(yīng)該注意層次性和漸進(jìn)性、過(guò)程性、變式的策略.2.1數(shù)形結(jié)合思想2.1.1數(shù)形結(jié)合思想的概念意義數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要的數(shù)學(xué)思想，陸詩(shī)榮老師總結(jié)了數(shù)形結(jié)合的含義.[5]所謂數(shù)形結(jié)合是將數(shù)學(xué)中抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言,數(shù)量關(guān)系與具體直觀的圖像結(jié)合起來(lái),利用抽象思維與形象思維的有機(jī)結(jié)合,借助形的具體明確來(lái)反應(yīng)數(shù)量之間的關(guān)系,借助數(shù)來(lái)具體描述形的本質(zhì)內(nèi)涵.用這種思想來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題往往可以使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化,抽象問(wèn)題具體化.數(shù)形結(jié)合思想既能發(fā)揮代數(shù)的優(yōu)勢(shì),又可以充分利用圖形的直觀性,從多個(gè)角度探索問(wèn)題,對(duì)思維能力的發(fā)展大有裨益.2.1.2數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)的必要性我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾寫(xiě)下這樣一首詩(shī),形象生動(dòng)的闡述了數(shù)形結(jié)合的意義.“數(shù)與形,本是相倚依,焉能分作兩邊飛.數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué),形缺數(shù)時(shí)難入微.數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬(wàn)事非.切莫忘,幾何代數(shù)統(tǒng)一體,永遠(yuǎn)聯(lián)系,切莫分離.”可見(jiàn),數(shù)與形二者相輔相成,缺一不可.數(shù)的抽象,形的具體,兩者珠聯(lián)璧合,對(duì)于數(shù)學(xué)解題將有出其不意的效果.2.1.3數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)策略中學(xué)教材中很多內(nèi)容都深刻的體現(xiàn)著數(shù)形結(jié)合思想，如集合與邏輯部分，把集合運(yùn)算與韋恩圖結(jié)合起來(lái)使學(xué)生很容易理解和掌握；三角函數(shù)部分可以用函數(shù)圖象研究函數(shù)的周期、對(duì)稱軸、單調(diào)期間；平面解析幾何部分的教學(xué)更是離不開(kāi)數(shù)形結(jié)合思想，這部分本就是幾何問(wèn)題的代數(shù)刻畫(huà)；除了上述內(nèi)容外還有許多內(nèi)容都揭示著數(shù)形結(jié)合思想.下面選取部分內(nèi)容作分析：教材中滲透數(shù)形結(jié)合思想：數(shù)、形在一定條件下相互轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)的規(guī)律之一，在函數(shù)教學(xué)中把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)研究的方法貫穿始終.在研究函數(shù)是，教師要培養(yǎng)學(xué)生看見(jiàn)函數(shù)式就立即聯(lián)想到它的圖像，結(jié)合實(shí)際圖像來(lái)研究學(xué)習(xí)函數(shù)有關(guān)知識(shí)的思維習(xí)慣.函數(shù)圖像與性質(zhì)常常有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：定義域、值域——數(shù)軸的部分或全體奇偶性——關(guān)于原點(diǎn)或坐標(biāo)軸對(duì)稱單調(diào)性——圖像的走勢(shì)升降最大值、最小值——最高點(diǎn)、最低點(diǎn)有界性——能否用平行線包圍函數(shù)圖象周期性——圖像能否有規(guī)律的重復(fù)出現(xiàn)或疊合在高中教材必修4中第一章三角函數(shù)的第四節(jié)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，開(kāi)始即指出：遇到一個(gè)新函數(shù)，非常自然的是畫(huà)出它的圖像，觀察圖像的形狀.看看它有什么特點(diǎn)，并借助圖像研究它的性質(zhì)……本節(jié)開(kāi)始用沙漏的實(shí)驗(yàn)做出了一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像，如圖2.1.1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖像.在此基礎(chǔ)上，用正弦線畫(huà)出比較精確的正弦函數(shù)的圖像，如圖2.1.2正弦函數(shù)圖像.然后根據(jù)終邊相同的角三角函數(shù)值相同以及正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的關(guān)系，得到了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像，如圖2.1.3正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖像.圖2.1.1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖像圖2.1.2正弦函數(shù)圖像圖2.1.3正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖像教材在作完這些圖后給出了思考問(wèn)題：在作出正弦函數(shù)的圖像時(shí)，應(yīng)抓住哪些關(guān)鍵點(diǎn)？通過(guò)分析歸納出了近似的“五點(diǎn)（畫(huà)圖）法”.教材在此基礎(chǔ)上安排了一個(gè)例題，例1畫(huà)出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖：（1）；（2）.再次鞏固了繪制函數(shù)簡(jiǎn)圖的方法.通過(guò)上半節(jié)，學(xué)習(xí)了圖像的繪制過(guò)程，又學(xué)習(xí)了函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單畫(huà)法，下半節(jié)開(kāi)始結(jié)合圖形學(xué)習(xí)函數(shù)的性質(zhì).這樣根據(jù)定義，結(jié)合圖形學(xué)生很容易得出了函數(shù)性質(zhì)，如正弦函數(shù)：定義域是整條數(shù)軸，；值域是；函數(shù)是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；周期是；在上函數(shù)單調(diào)遞減，圖像下降；在上函數(shù)單調(diào)遞增，圖像上升……練習(xí)中強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想：我們來(lái)看一個(gè)例題：兩個(gè)單位圓的圓心距為1，在第一個(gè)圓上取點(diǎn).在第二個(gè)圓上取關(guān)于連心線對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，求的最小值.解：設(shè)兩個(gè)圓的圓心分別為；以為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2.1.4例題圖形.則圓：，圓：；圖2.1.4例題圖形令則：故的最小值是2.從以上教材內(nèi)容片斷和例題中，我們能感受到教材的編寫(xiě)意圖，也能體會(huì)到數(shù)形結(jié)合的妙處.在此，我結(jié)合楊光老師的四點(diǎn)教學(xué)策略[6]提出以下幾點(diǎn)建議：第一：教師要善于激發(fā)學(xué)生的“數(shù)形結(jié)合”興趣.這要做到以下兩點(diǎn)：（1）展現(xiàn)數(shù)學(xué)美本身所蘊(yùn)含的數(shù)形美感.（2）重視“數(shù)形結(jié)合”基礎(chǔ)階段的引導(dǎo).第二：教師要重視對(duì)數(shù)形結(jié)合教材內(nèi)容的充分挖掘利用，讓學(xué)生在數(shù)形結(jié)合的環(huán)境中耳濡目染.以下五方面要引起重視：（1）在函數(shù)教學(xué)中重視數(shù)形結(jié)合思想.（2）在方程教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想.（3）在不等式的教學(xué)中妙用數(shù)形結(jié)合思想.（4）在復(fù)數(shù)教學(xué)中強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想.（5）在解析幾何教學(xué)中巧用數(shù)形結(jié)合思想.第三：日常教學(xué)中強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵.第四：在滲透數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)過(guò)程中，指明數(shù)形結(jié)合是應(yīng)注意的問(wèn)題是培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵.（1）數(shù)形轉(zhuǎn)化結(jié)合過(guò)程中應(yīng)注意三個(gè)原則：轉(zhuǎn)化等價(jià)原則，數(shù)形互補(bǔ)原則，求解簡(jiǎn)單原則.（2）要善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系.（3）培養(yǎng)學(xué)生正確繪制圖形的能力，以反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系.（4）確實(shí)把握數(shù)與形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，養(yǎng)成見(jiàn)數(shù)思形，見(jiàn)形思數(shù)的習(xí)慣.2.2函數(shù)方程思想2.2.1函數(shù)方程思想的概念意義李國(guó)華老師總結(jié)出了函數(shù)方程思想的含義.[7]函數(shù)與方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本思想，函數(shù)的思想是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，集合與對(duì)應(yīng)的思想去挖掘和分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系建立和構(gòu)造函數(shù)，從而在解題中分析轉(zhuǎn)化和處理問(wèn)題.方程的思想就是挖掘數(shù)學(xué)問(wèn)題中的等量關(guān)系構(gòu)造方程，運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析轉(zhuǎn)化和解決問(wèn)題.函數(shù)思想與方程思想是密切相關(guān)的，函數(shù)方程思想就是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（函數(shù)，方程，不等式，或方程與不等式的混合組），將問(wèn)題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系通過(guò)適當(dāng)設(shè)元建立起方程（組）或者不等式（組）然后通過(guò)解方程（組）或者不等式（組）來(lái)使問(wèn)題獲解的思維方式，有時(shí)還實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化.2.2.2函數(shù)方程思想的教學(xué)必要性考試中心對(duì)考試大綱的說(shuō)明中指出：“高考把函數(shù)與方程的思想作為七種思想方法的重點(diǎn)來(lái)考查，使用選擇題和填空題考察函數(shù)與方程思想的基本運(yùn)算，而在解答題中，則從更深的層次，在知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)的交匯處，從思想方法與相關(guān)能力相綜合的角度進(jìn)行考查.”函數(shù)和方程式中學(xué)數(shù)學(xué)中兩個(gè)總要的基本內(nèi)容，貫穿了整個(gè)中學(xué)的教學(xué)，由此在日常教學(xué)和總挖掘和滲透函數(shù)方程思想是很有必要的，它既符合考試?yán)砟睿帜芴嵘龑W(xué)生的思維品質(zhì).2.2.3函數(shù)方程思想的教學(xué)策略函數(shù)方程思想在教材中體現(xiàn)在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)處，如用待定系數(shù)法列方程（組）求解函數(shù)解析式的待定系數(shù)，函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸焦點(diǎn)與方程根的對(duì)應(yīng)關(guān)聯(lián)，用函數(shù)研究方程根與系數(shù)的關(guān)系，函數(shù)方程的觀點(diǎn)處理處理數(shù)列問(wèn)題，函數(shù)方程與不等式相互轉(zhuǎn)化研究問(wèn)題……下面選取部分內(nèi)容做探究：首先我們來(lái)看幾個(gè)例題，然后在分析對(duì)應(yīng)的教學(xué)策略.例題：證明不等式.分析：我們用證明不等式的常用方法作差法和作商法都難以解決此問(wèn)題，再一看，這個(gè)不等式中有我們熟悉的初等函數(shù)，不妨構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性來(lái)證明此不等式.此函數(shù)在上連續(xù)，則在上可導(dǎo)，若，則在上單調(diào)增加，即得證.證明：設(shè)函數(shù)，因?yàn)樵谶B續(xù)，故當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)增加，又，因此當(dāng)時(shí)恒有，即，得證.例題：求證兩個(gè)相交圓和的公共弦的方程是.證明：設(shè)兩圓的交點(diǎn)為和則有：兩式相減得；同理得.故點(diǎn)和是方程的兩個(gè)解.和是直線上兩個(gè)相異的點(diǎn)，由兩點(diǎn)確定一條直線知道是兩個(gè)相交圓公共弦的方程.例題：直線：和雙曲線的左支交于兩點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)和線段的中點(diǎn)，求在軸的截距的取值范圍.解析：的變化是由于的變化而引起的，即對(duì)于的任意確定值，有確定的值與以之對(duì)應(yīng)，因此是的函數(shù).本題實(shí)際為求此函數(shù)的值域.由消去得：因?yàn)橹本€與雙曲線的左支有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根.所以解得：設(shè)則：由，，三點(diǎn)共線不難得出：.令則在上為減函數(shù)，故且.所以或.故或.點(diǎn)評(píng)：根據(jù)函數(shù)思想建立與的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)方程思想運(yùn)用二次方程模型理論具體求出的表達(dá)式，是解出此題的兩個(gè)關(guān)鍵.不少解析幾何問(wèn)題，其中某些因素處于變化中，存在相互聯(lián)系，相互制約的量.它們之間往往存在函數(shù)關(guān)系，對(duì)直線與曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，往往轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，用方程理論解決.從上面例題看出函數(shù)方程思想的妙處，要能熟練地運(yùn)用函數(shù)方程思想必須牢牢的掌握一些函數(shù)的基本性質(zhì)和方程理論.對(duì)此，在教學(xué)中我提出以下幾點(diǎn)建議：第一：在函數(shù)的教學(xué)中讓學(xué)生深刻理解、掌握基本函數(shù)的性質(zhì)，如：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、周期、最值和函數(shù)圖像.在此基礎(chǔ)上掌握函數(shù)與反函數(shù)的性質(zhì)，這是運(yùn)用函數(shù)思想的關(guān)鍵.第二：日常教學(xué)建立起一元二次方程模型，對(duì)一元二次方程的基本理論要熟練掌握.密切結(jié)合三個(gè)“二次”問(wèn)題：一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式，建立常用模型，熟悉三個(gè)“二次”之間的聯(lián)系，能相互轉(zhuǎn)化應(yīng)用.第三：在教材內(nèi)容中充分挖掘，在以下幾個(gè)內(nèi)容中充分揭示、滲透函數(shù)方程思想：函數(shù)性質(zhì)、方程理論、不等式教學(xué)、數(shù)列、解析幾何、立體幾何、二項(xiàng)式定理、三角函數(shù).2.3分類討論思想2.3.1分類討論思想的概念意義分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，它是適應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論的限制條件而采取的各個(gè)擊破的解題手段，根據(jù)對(duì)象相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類的一種思想方法.通過(guò)它可以把一個(gè)變幻不定的數(shù)學(xué)問(wèn)題分解成若干個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的問(wèn)題來(lái)處理，綜合對(duì)這些小問(wèn)題的解答,便可推證出原問(wèn)題的結(jié)論.其實(shí)質(zhì)是“化整為零,各個(gè)擊破,再積零為整”.解決分類討論問(wèn)題的關(guān)鍵是找出分類的動(dòng)機(jī),即為什么分類；找出分類的對(duì)策,即怎樣分類；分類結(jié)論整合，即怎樣歸納分類結(jié)論.2.3.2分類討論思想的教學(xué)必要性分類討論思想在高考中占有重要地位，分類討論題在高考試卷中的比例總體有逐年加重的趨勢(shì)，原因是：分類討論題覆蓋知識(shí)比較多，有利于考查學(xué)生掌握的知識(shí)面；解分類討論題，需要學(xué)生有一定的分析能力，具有一定的分類思想和技巧，有利于對(duì)學(xué)生能力的考查；含參數(shù)的問(wèn)題和分類思想與生產(chǎn)實(shí)踐，高等數(shù)學(xué)有密切的聯(lián)系.分類討論具有明顯的邏輯性，能夠訓(xùn)練學(xué)生思維的條理性和概括性.在教學(xué)中,經(jīng)常有意滲透分類討論思想，不僅有助于學(xué)生對(duì)基本概念，基礎(chǔ)知識(shí)的全面理解,同時(shí)有助于發(fā)展學(xué)生思維的嚴(yán)密性、邏輯性和深刻性，這種思想在學(xué)生的思維發(fā)展過(guò)程中有著重要的作用.2.3.3分類討論思想的教學(xué)策略分類討論問(wèn)題分布于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的各章節(jié)中，是數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)之一.其原因在于學(xué)生往往不理解在什么情況下需要進(jìn)行分類討論，應(yīng)該怎樣進(jìn)行分類討論.而教師又不能把分類討論的有關(guān)問(wèn)題，如引起分類討論的原因，討論的步驟及其注意事項(xiàng)系統(tǒng)地給學(xué)生講解，只是就題論題，這樣導(dǎo)致學(xué)生遇到需討論的問(wèn)題時(shí),無(wú)所適從.認(rèn)識(shí)不到應(yīng)該分類解決或即使感覺(jué)到應(yīng)進(jìn)行分類討論，又不知如何分類.因此，在日常教學(xué)中，通過(guò)實(shí)例系統(tǒng)地介紹分類討論的思想、方法、步驟及注意事項(xiàng)等，并設(shè)置環(huán)境，啟發(fā)引導(dǎo),討論示范.有助于培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，以逐步養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣.我們來(lái)看一個(gè)例題：設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù).（）討論的奇偶性；（）求的最小值.分析：本題所給函數(shù)的解析式含有參數(shù)，取值的不同，會(huì)影響到所研究函數(shù)的奇偶性和最值，故需對(duì)的取值進(jìn)行分類討論.注意到不可能與相等，只可能與相等，且僅當(dāng)時(shí)相等，便有了（）中對(duì)分類的依據(jù).（）中要求函數(shù)的最小值，需要先去掉絕對(duì)值符號(hào)化簡(jiǎn)表達(dá)式，這也需要分類討論.解：（）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，此時(shí)為偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).（）當(dāng)時(shí)，函數(shù)（?。┤?，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而在上的最小值是.（ⅱ）若，則函數(shù)在上的最小值是，且.當(dāng)時(shí)，函數(shù).（?。┤?，則函數(shù)在上的最小值為，且.（ⅱ）若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而函數(shù)在上的最小值為.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是.注：本題第二問(wèn)雖然進(jìn)行了兩次分類討論，但兩次所針對(duì)的變量是不同的.第一次是為了去掉絕對(duì)值符號(hào)，針對(duì)的取值分類；而第二次分類是求最小值，針對(duì)參數(shù)的取值分類.通過(guò)上面例題，我們對(duì)分類討論思想有了清晰的認(rèn)識(shí)，對(duì)分類討論的原因，分類討論的基本方法和步驟，分類的原則有了基本了解.為了在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中更好灌輸分類討論的思想方法，在此我提出以下幾點(diǎn)建議：第一：對(duì)可能引起分類討論的內(nèi)容盡可能的讓學(xué)生理解，給學(xué)生明白為什么要分類討論.陳秀祿老師總結(jié)了中學(xué)階段引起分類討論的原因[8]有以下幾種：（1）數(shù)學(xué)概念引起的分類討論；（2）由數(shù)學(xué)中定理、公式、性質(zhì)等引起的分類討論；（3）由運(yùn)算需要引起的分類討論；（4）由圖形位置的不確定性引起的分類討論；（5）含參數(shù)問(wèn)題中，由參數(shù)的不確定性引起的分類討論；[8]第二：結(jié)合具體實(shí)例講解分類討論問(wèn)題的方法和步驟，讓學(xué)生在具體情景中感受分類討論思想的運(yùn)用過(guò)程.（1）確定是否需要分類討論；（2）確定需要分類討論的對(duì)象及討論的范圍；（3）確定分類標(biāo)準(zhǔn)，科學(xué)合理的分類討論.在此過(guò)程中要注意分類討論的層次性，當(dāng)分類的對(duì)象是兩個(gè)以上，或者一次分類不能解決問(wèn)題是，必須多層次進(jìn)行分類討論.每一層次的分類都應(yīng)有各自統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，且在同一討論中只能確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn).分類應(yīng)該做到不重復(fù)、不遺漏，盡可能減少分類.（4）逐條討論，得出各類結(jié)果；（5）歸納結(jié)論；在逐條討論后要把各類幾輪歸結(jié)作答，這個(gè)步驟中之一題目要求，合理歸納.常見(jiàn)的幾種歸納要求為：并列歸納，將分類討論的結(jié)果用并列復(fù)句的形式給出；并集歸納，對(duì)每類結(jié)果求并集作為最后結(jié)論；交集歸納，對(duì)每類結(jié)果求交集作為最后結(jié)論.第三：日常教學(xué)中，適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生歸結(jié)題型，建立常用模型.中學(xué)中常見(jiàn)的三類分類模型是：（1）對(duì)問(wèn)題中的變量和參數(shù)分類討論；（2）解題過(guò)程中，不能獨(dú)一敘述、一概而論的內(nèi)容，必須分類討論；（3）有些幾何問(wèn)題中，元素的形狀、位置、方向變化必須分類討論.2.4化歸與轉(zhuǎn)化思想2.4.1化歸與轉(zhuǎn)化思想的概念意義化歸與轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)最基本的思想方法，是數(shù)學(xué)思想的精髓，更是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的靈魂.在解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常常要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之逐步成為已經(jīng)解決的問(wèn)題的模式，就是轉(zhuǎn)化與化歸的思想.轉(zhuǎn)化與化歸是把不熟悉的問(wèn)題通過(guò)“分析—聯(lián)想”轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，把不規(guī)范的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為規(guī)范問(wèn)題，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而達(dá)到圓滿解決問(wèn)題的目的.2.4.2化歸與轉(zhuǎn)化思想的教學(xué)必要性在高考中，對(duì)化歸轉(zhuǎn)化思想的考察往往結(jié)合演繹證明，邏輯推理，運(yùn)算推理，模式構(gòu)建等理性思維能力的考察進(jìn)行，考察都是基本知識(shí)的變式，可以說(shuō)大部分題都在考察化歸意識(shí)和轉(zhuǎn)化能力.化歸與轉(zhuǎn)化思想不僅對(duì)學(xué)習(xí)知識(shí)有很大作用，在生活中用化歸轉(zhuǎn)化思想處理問(wèn)題也很重要，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，陌生問(wèn)題熟悉化，一般問(wèn)題特殊化或者特殊問(wèn)題一般化等等.這樣既提高了效率，又培養(yǎng)了處理問(wèn)題的思維能力.2.4.3化歸與轉(zhuǎn)化思想的教學(xué)策略中學(xué)數(shù)學(xué)教材中很多內(nèi)容都滲透著化歸轉(zhuǎn)化的思想，如函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化，解析幾何中空間與平面的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，函數(shù)與不等式的轉(zhuǎn)化，數(shù)列與函數(shù)的轉(zhuǎn)化，立體幾何問(wèn)題與解三角形的轉(zhuǎn)化等等.化歸轉(zhuǎn)化思想涉及范圍雖然廣，結(jié)合它的特點(diǎn)化歸轉(zhuǎn)化思想的教學(xué)還是有法可依的.以下做具體分析：我們先看幾個(gè)體現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化思想的例題，在具體情境中體會(huì)化歸與轉(zhuǎn)化思想，分析相應(yīng)的教學(xué)策略.例題：對(duì)滿足的實(shí)數(shù)，使不等式恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍是.分析：按照常規(guī)思想，原不等式為二次不等式，為主元，為參數(shù).此題若按照一元二次不等式的理論求解則較為復(fù)雜，若轉(zhuǎn)化為以為參數(shù)，為主元的一次不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.這樣問(wèn)題就比較簡(jiǎn)單：解：令，則的充要條件為：即解之得：或.故的取值范圍是.例題：若動(dòng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，則的最大值是.分析：此題若通過(guò)作圖，聯(lián)系函數(shù)方程理論來(lái)求解則比較麻煩，該曲線是我們熟悉的橢圓，聯(lián)想到參數(shù)方程，用三角函數(shù)求最值要簡(jiǎn)便的多.解：該曲線的參數(shù)方程是，則，應(yīng)用輔助角公式故有，所以的最大值為5.通過(guò)以上兩個(gè)例題對(duì)化歸與轉(zhuǎn)化思想有了一定的體會(huì)，在此我小結(jié)出關(guān)于化歸與轉(zhuǎn)化思想的幾個(gè)要點(diǎn)：第一：朱柳老師總結(jié)了化歸與轉(zhuǎn)化思想應(yīng)遵循的原則[9]：熟悉化原則，即將陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題，用熟知的知識(shí)、方法解決有問(wèn)題；簡(jiǎn)單化原則，即將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，將原問(wèn)題中比較復(fù)雜的形式、關(guān)系結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為相對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題；直觀化原則，即將一些空泛的、抽象的、深?yuàn)W的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的、直觀的、淺顯的問(wèn)題；統(tǒng)一化原則，即當(dāng)出現(xiàn)多個(gè)化歸對(duì)象、形式多樣、目標(biāo)不明確時(shí)，要觀察個(gè)對(duì)象之間的聯(lián)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為同一類形式；低層次化原則，即解決問(wèn)題時(shí)，盡量將高維問(wèn)題化為低維問(wèn)題，高次數(shù)問(wèn)題化為低次數(shù)問(wèn)題.第二：化歸與轉(zhuǎn)化的基本方法和途徑：函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化；數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；主與次的轉(zhuǎn)化；借助參數(shù)轉(zhuǎn)化；空間與平面的轉(zhuǎn)化；一般與特殊的轉(zhuǎn)化.第三：化歸與轉(zhuǎn)化過(guò)程中應(yīng)注意的問(wèn)題：（1）有目的、有意識(shí)地進(jìn)行化歸轉(zhuǎn)化，始終抓住目標(biāo)，化大為小，化繁為簡(jiǎn)，保證化歸的有效性和規(guī)范性.（2）注意化歸與轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，保證邏輯上的正確性.（3）化歸與轉(zhuǎn)化思想雖然是重要的思想策略，但并不是萬(wàn)能的，學(xué)習(xí)過(guò)程中不能過(guò)分依賴，學(xué)習(xí)過(guò)程中不能只停留在化歸分析層面，要培養(yǎng)自己的創(chuàng)新精神，努力學(xué)習(xí)新知識(shí)，獲得新方法.第四：化歸與轉(zhuǎn)化思想的日常教學(xué)策略：（1）務(wù)實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)是化歸轉(zhuǎn)化思想的基礎(chǔ).需要做到以下幾方面：重視概念、公式、法則等基本內(nèi)容的教學(xué)，為尋求化歸目標(biāo)奠定基礎(chǔ)；培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成整理、總結(jié)數(shù)學(xué)方法的習(xí)慣，為尋求化歸方法奠定基礎(chǔ)；完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，為尋求化歸途徑奠定基礎(chǔ).（2）培養(yǎng)學(xué)生的化歸意識(shí)，提高轉(zhuǎn)化能力.在教學(xué)中要結(jié)合具體實(shí)例，示范講解化歸與轉(zhuǎn)化的原則、基本方法、基本途徑及轉(zhuǎn)化過(guò)程中要注意的問(wèn)題.這是滲透化歸轉(zhuǎn)化思想的關(guān)鍵點(diǎn).（3）深入教材，反復(fù)提煉總結(jié)化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法.把化歸與轉(zhuǎn)化思想方法的教學(xué)融入教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生確實(shí)感受到化歸與轉(zhuǎn)化思想的存在形式及其發(fā)揮的作用.3幾個(gè)數(shù)學(xué)思想的中學(xué)教學(xué)策略小結(jié)數(shù)學(xué)思想是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重要部分，和其他數(shù)學(xué)知識(shí)相比它有自己的特點(diǎn)，表現(xiàn)在：高度的概括性，附著性即數(shù)學(xué)思想方法附著于數(shù)學(xué)知識(shí)，層次性和遷移性.鑒于這些特點(diǎn)，數(shù)學(xué)思想的教學(xué)除了采用常規(guī)的教學(xué)策略外，還應(yīng)有針對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的策略.數(shù)學(xué)思想的教學(xué)也應(yīng)服從一般數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)策略：第一：重學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生參與數(shù)學(xué).要使學(xué)生積極、主動(dòng)地探索求知，教師必須在民主、平等、友好合作的師生關(guān)系基礎(chǔ)上，創(chuàng)設(shè)愉悅和諧的學(xué)習(xí)氣氛.例如，在討論課上，教師提出精心設(shè)計(jì)好的討論題，讓學(xué)生在生動(dòng)活潑、民主和諧的環(huán)境進(jìn)行討論，既獨(dú)立思考又相互啟發(fā)，在討論中加強(qiáng)思維表達(dá)，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的發(fā)展.第二：重問(wèn)題情境，讓學(xué)生親近數(shù)學(xué).羅伯特·馬扎諾指出學(xué)生有效學(xué)習(xí)的必要條件是明確學(xué)習(xí)方向，人的思維過(guò)程始于問(wèn)題情境.[10]教師創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，把學(xué)生的注意力全部集中到當(dāng)前所要解決的問(wèn)題上來(lái)，一方面為學(xué)生指明學(xué)習(xí)的方向和目標(biāo)；另一方面，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，喚醒學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，變學(xué)生的被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，從而提高教學(xué)的實(shí)效.第三：重動(dòng)手操作，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué).動(dòng)手實(shí)踐最易于激發(fā)學(xué)生的思維和想象.在教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)重視學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在一系列的親身體驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)新知識(shí)、理解新知識(shí)和掌握新知識(shí).第四：重生活應(yīng)用，讓學(xué)生實(shí)踐數(shù)學(xué).在教學(xué)中，教師應(yīng)經(jīng)常讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生在實(shí)踐數(shù)學(xué)的過(guò)程中真正掌握所學(xué)知識(shí)，感悟到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值所在，從而增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.由于數(shù)學(xué)思想方法是基于一般數(shù)學(xué)知識(shí)又高于一般數(shù)學(xué)知識(shí)的一種隱性數(shù)學(xué)知識(shí)，要在反復(fù)的體驗(yàn)和實(shí)踐中才能使學(xué)生逐漸認(rèn)識(shí)、理解，并最終運(yùn)用自如.在一般的教學(xué)策略基礎(chǔ)上實(shí)施針對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略，這樣才能使教學(xué)更具針對(duì)性，效果更顯著.在此我提出幾點(diǎn)建議：第一：作為教學(xué)實(shí)施的主體，教師應(yīng)該更新觀念，充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想教學(xué)的重要性，加深對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解和認(rèn)識(shí).只有教師對(duì)此有足夠的重視，才能在日常的教學(xué)中有意識(shí)的滲透數(shù)學(xué)思想；只有教師對(duì)數(shù)學(xué)思想有深刻的理解和認(rèn)識(shí)才能更好的教授學(xué)生.第二：教師要回歸課本，充分挖掘教材中的體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想.備課時(shí)把數(shù)學(xué)思想的教授列為教學(xué)目標(biāo)，構(gòu)建適合學(xué)生實(shí)際的授課體系.授課時(shí)把握好知識(shí)體系，分層次的教學(xué)，最好能按“知識(shí)—方法—思想”的順序來(lái)提煉思想方法.第三：化虛為實(shí)，充分滲透，結(jié)合優(yōu)秀例題滲透歸納數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)思想是高度概括、高度抽象的，單純的數(shù)學(xué)思想教學(xué)學(xué)生難以理解，難以掌握其精髓.若能夠結(jié)合具體實(shí)例，形象直觀的展現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，學(xué)生更易接受和理解.第四：教學(xué)過(guò)程中，不失時(shí)機(jī)的揭示數(shù)學(xué)思想方法，充分暴露數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)、提煉過(guò)程.學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想要經(jīng)歷感受、領(lǐng)悟、發(fā)展三個(gè)階段，每個(gè)階段都要讓學(xué)生清楚地感受到知識(shí)的形成過(guò)程.第五：專題講座，專項(xiàng)訓(xùn)練.當(dāng)學(xué)生系統(tǒng)的掌握數(shù)學(xué)思想時(shí)，可以進(jìn)行專項(xiàng)練習(xí)，有針對(duì)性的進(jìn)行教學(xué)可以是效果更好.可以按照“問(wèn)題情境—建立模型—求解模型—推廣應(yīng)用”的主線展開(kāi)教學(xué).第六：讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想的重要性，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的興趣，讓學(xué)生在主動(dòng)參與中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想.興趣是最好的老師，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)思想的重要性，激發(fā)出學(xué)習(xí)的興趣后，便會(huì)下意識(shí)的去模仿、去理解、去應(yīng)用.最終的效果會(huì)是學(xué)生能用數(shù)學(xué)思想去支配自己的思考方向、實(shí)踐活動(dòng).第七：落實(shí)措施，堅(jiān)持不懈，反復(fù)滲透.要實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)目標(biāo)，需要教師開(kāi)展扎實(shí)的教學(xué)工作，，把數(shù)學(xué)思想的教學(xué)落實(shí)到每一個(gè)環(huán)節(jié)，長(zhǎng)期堅(jiān)持不懈才會(huì)取得理想的效果.那種心血來(lái)潮，突然想起來(lái)講兩句、上兩課，隨后就拋腦后，或者公開(kāi)課高點(diǎn)形式主義的作風(fēng)是不可取的.教師要在知識(shí)的形成階段、問(wèn)題的解決過(guò)程中、方法的形成階段、知識(shí)總結(jié)復(fù)習(xí)階段滲透數(shù)學(xué)思想.第八：以教法指導(dǎo)學(xué)法.教學(xué)是互動(dòng)的，要想取得好的效果，要注重教師的教法，也要指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)法.學(xué)生應(yīng)在課本中充分體會(huì)數(shù)學(xué)思想，在概念的形成過(guò)程中，解決問(wèn)題形成方法的過(guò)程中，知識(shí)的整理總結(jié)過(guò)程中充分體會(huì)數(shù)學(xué)思想.參考文獻(xiàn)[1]劉黎明.高中數(shù)學(xué)課改初探[J].科學(xué)大眾.科學(xué)教育，2010，（5）：4.[2]陳靜仁.數(shù)學(xué)思想方法[J].邊疆經(jīng)濟(jì)與文化，2009，（3）：124-125.[3]宋文媛.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重視滲透數(shù)學(xué)思想[J].通化師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)），1998，（4）:8-10.[4]陸詩(shī)榮.淺談數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2005,(1):45-4