線性代數(shù)試題及答案

第一部分選擇題(28分一、單項(xiàng)選擇題（14228分）在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有 a12 a12 12

a21a10

a21a22+a-D.m-

A02000 0

等于

1 1

1

2

0 1 011

0

0 2

設(shè)矩陣A=

-1，A*是A的伴隨矩陣，則A*中位于（1，2）的元素是 4 B.C. D.設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式AB=AC，則必有 A B.BCC.A?0時(shí) D.|A|?0時(shí)已知3×4矩陣A的行向量組線性無(wú)關(guān)，則秩（AT）等于 A. B.C. D.設(shè)兩個(gè)向量組α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均線性相關(guān)，則 0的數(shù)λ1，λ2，…，λs使0的數(shù)λ1，λ2，…，λs0的數(shù)μ1，μ2，…，μs使λsαs=0和設(shè)矩陣A的秩為r，則A中 A.所有r-1階子式都不為0 B.所有r-1階子式全為0C.至少有一個(gè)r階子式不等于 D.所有r階子式都不為設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組，η1，η2是其任意2個(gè)解，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 η1+η2是Ax=0的一個(gè) B.1η1+1η2是Ax=b的一個(gè) C.η1-η2是Ax=0的一個(gè) D.2η1-η2是Ax=b的一個(gè)設(shè)n階方陣A不可逆，則必有 秩 設(shè)A是一個(gè)n(≥3)階方陣，下列陳述中正確的是 如存在數(shù)λ和向量αAα=λα，則αA的屬于特征值λ如存在數(shù)λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，則λ是AA2如λ1，λ2，λ3A3個(gè)互不相同的特征值，α1，α2，α3A的屬于λ1，λ2，λ3的特征向量，則α1，α2，α3有可能線性相關(guān)設(shè)λ0是矩陣A的特征方程的3重根，A的屬于λ0的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)為k，則必 B.C. D.設(shè)A是正交矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 C.A- D.A的行（列）設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，C是實(shí)可逆矩陣，B=CTAC.則 A.ABBABCABD.AB 2 3 3 0

211 0- 5

1210第二部分非選擇題（72分二、填空題（10220分）不寫解答過(guò)程，將正確的答案寫在每 6 925設(shè)A=1-11 3.則 ，B= 1

-1-2A=(aij)3×3|A|=2Aij表示|A|中元素aij的代數(shù)余子式（i,j=1,2,3）, 設(shè)向量（2，-3，5）與向量（-4，6，a）線性相關(guān)，則 設(shè)A是3×4矩陣，其秩為3，若η1，η2為非齊次線性方程組Ax=b的2個(gè)不同的解，則它 設(shè)A是m×n矩陣，A的秩為r(<n)，則齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系中含有解的個(gè) 設(shè)向量α、β的長(zhǎng)度依次為2和3，則向量α+β與α-β的內(nèi)積（α+β，α- 設(shè)3階矩陣A的行列式|A|=8，已知A有2個(gè)特征值-1和4，則另一特征值 設(shè)矩陣A= 6，已知α=2是它的一個(gè)特征向量，則α所對(duì)應(yīng)的特征 -3-

-2 8

設(shè)實(shí)二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩為4，正慣性指數(shù)為3，則其規(guī)范形 三、計(jì)算題（7642分 2

3-設(shè)A=

0，B-2 .求（1）ABT（2）|4A|. 0-121

-4 2設(shè)矩陣A=

0B-12 1 3 010 22 32 44 3 4 9試判斷α4是否為α1，α2，α3 -2-1 2- 6-A

3 4（A；（2）A

2 f(x1,x2,x3)=x2+2x2-3x2+4xx-4xx-4xx 1 1 2四、證明題（2510分AA3=0E-A可逆，且（E-A）-設(shè)η0Ax=b的一個(gè)特解，ξ1，ξ2Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2Ax=bη0，η1，η215. 4

-3η1)，cn-212

三、計(jì)算題（7642分 20 解

T 4AB= 4 0 =1810 2|A|= 40=-2-12所以|4A|=64（-2）=- -1= 511=-10511=-2511=-20=0-5-

=30+10= AB=A+2B即（A-2E）B=A， -4-（A-2E）-

-1 = -5 B=(A-2E)-1A

4-4-3 2 -5- 1

1 4-12 -8-=

-9--2 9 0 0- 解一

fi

2

9

0

-11 5 1030 2 fi

fi0110 8

001 00-14- 000100 fi010 01000解二考慮-2x1+x2+3x3=x1-3x2=-即2x2+2x3=3x1+4x2-x3=解A1-2-1 2 fi

-22

- -

2--

--

1 2-fi-fi006fi0030070000

（2）ABB是階梯形，B1、2、4列是BA1、2、4A的列向量組的一（A1、2、51、3、41、3、5列也是 5/55/5/3經(jīng)正交標(biāo)準(zhǔn)化，得η1=-5/5，η2= λ=-81

1/3ξ=2，經(jīng)單位化得η= 3

32/3 25/5215/ 1/3所求正交矩陣為T1 0

5/ 45/ 2/3 5/ 對(duì)角矩陣D=0 0 00-25/5215/ 1/3

-5/ 2/35/ -45/15-2/ 333=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x3y1=x1+2x2-2x x1=y1-2y設(shè) y x- ，即x y+ 1-2

x3 因其系數(shù)矩陣C=

1