向量在立體幾何中的應用同步練習 高二數(shù)學北師大版（2019）選擇性必修第一冊

3.4向量在立體幾何中的應用【夯實基礎】

知識點1直線的方向向量與平面的法向量

1.若，分別為直線，的方向向量，則與的位置關系是()A. B.C.，相交不垂直 D.不能確定2.空間直角坐標系中，平面與分別以與為其法向量，若，則直線l的一個方向向量為___________.知識點2用向量方法討論立體幾何中的位置關系

3.平面的法向量，平面的法向量.若，則的值是()A.2 B.-2 C. D.不存在4.如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在的平面互相垂直，，，點M在EF上，且平面BDE，則點M的坐標為()A. B. C. D.5.已知，，.若，平面ABC，則__________.知識點3用向量方法研究立體幾何中的度量關系

6.在直三棱柱中，，，，M是的中點，以C為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，若，則異面直線CM與所成角的余弦值為()A. B. C. D.7.如圖，四棱錐的底面ABCD是菱形，，，平面ABCD，且，E是PA的中點，則PC到平面BED的距離為()A. B. C. D.8.如圖，四棱錐的底面是正方形，每條側棱的長都是底面邊長的倍，P為側棱上的點，平面PAC，則二面角的大小為_________，平面PAC與平面ABC所成角的大小為__________.【提升能力】

9.已知平面的一個法向量，點在平面內，則點到平面的距離為()A.10 B.3 C. D.10.如圖，在直四棱柱中，，，，E，F(xiàn)分別是側棱，上的動點，且平面AEF與平面ABC所成角的大小為，則線段BE的長的最大值為()A. B. C. D.11.（多選）如圖，菱形ABCD的邊長為2，，E為邊AB的中點，將沿DE折起，使A到，且，平面與平面的交線為l，則下列結論中正確的是()A.平面平面B.C.BC與平面所成角的余弦值為D.二面角的余弦值為12.（多選）如圖，在棱長為1的正方體中，E，F(xiàn)分別為CD，的中點，則下列結論正確的是()A.點F到點E的距離為 B.點F到直線的距離為C.點F到平面的距離為 D.平面到平面的距離為13.如圖，正三棱柱的底面邊長為2，與平面所成角的大小為，則線段在平面內的射影長為__________.14.如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，且平面，，點F為PC的中點，則二面角的正切值為__________.【綜合素養(yǎng)】15.若點M在平面外，過點M作平面的垂線，則稱垂足N為點M在平面內的正投影，記為.如圖，在棱長為1的正方體中，記平面為，平面ABCD為，點P是棱上一動點（與C，不重合），，.則下列三個結論：①線段的取值范圍是；②存在點P，使得平面；③存在點P，使得.其中正確結論的序號是__________.16.如圖1，在平面圖形ABCDE中，，，，，沿BD將折起，使點C到F的位置，且，，如圖2.(1)求證：平面平面AEG.(2)線段FG上是否存在點M，使得平面MAB與平面AEG所成角的余弦值為?若存在，求出GM的長；若不存在，請說明理由.

答案以及解析1.答案：A解析：，.2.答案：(答案不唯一)解析：方法一：設直線l的一個方向向量為，則所以令，則，，此時.(答案不唯一)方法二：由可設直線l的一個方向向量為，又，所以，即，所以直線l的一個方向向量為.(答案不唯一)3.答案：C解析：由，可知，即，解得.故選C.4.答案：A解析：設點M的坐標為.由題意可知，，，，所以，，.因為平面BDE，所以，，即，，所以解得所以點M的坐標為.故選A.5.答案：解析：由，得，由解得，，所以.6.答案：A解析：設，則，，，所以，，.因為，所以，解得，所以，，，所以，所以異面直線CM與所成角的余弦值為.7.答案：A解析：取CD的中點F，連接AF，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，.設平面BED的一個法向量為，則令，得，，且，平面，到平面BED的距離就是點P到平面BED的距離.，點P到平面BED的距離，到平面BED的距離為.8.答案：；解析：連接BD，交AC點于點O，連接SO.由題意得平面ABCD.以O為原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系.設底面正方形的邊長為a，則，，，，.顯然平面ACB的一個法向量為.因為平面PAC，所以平面PAC的一個法向量為.，所以，設二面角的平面角為，則觀察圖形知為鈍角，所以，故所求二面角的大小為.平面PAC與平面ABC所成角的范圍為，所以平面PAC與平面ABC所成角的大小為.9.答案：D解析：由，得點P到平面的距離.10.答案：B解析：依題意，，，兩兩互相垂直，以A為原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.設，(，，且m，n不同時為0)，則，，，所以，.設平面AEF的一個法向量為，則即令，則，顯然為平面ABC的一個法向量.因為平面AEF與平面ABC所成角的大小為，所以，得，所以，所以當時，m取得最大值，為.11.答案：ABD解析：對于A，在菱形ABCD中，連接，，是正三角形，E為邊AB的中點，.又，，，，平面，又，平面，平面，平面平面，故A正確.對于B，，平面，平面，平面與平面的交線為l，平面，，故B正確.對于C，，，平面，，以E為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，平面，是平面的一個法向量，設BC與平面所成角為，則，，故C錯誤.對于D，平面，是平面的一個法向量，，，設平面的一個法向量為，則取，得，，由圖形可知二面角為銳角，其余弦值為，故D正確.12.答案：ABC解析：以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，，.設平面的一個法向量為，則取，得.點F到點E的距離為，故A正確；點F到直線的距離為，故B正確；點F到平面的距離為，故C正確；由正方體的性質可知平面平面，所以平面到平面的距離即點F到平面的距離，為，故D錯誤.13.答案：3解析：設的中點為，連接，，顯然平面，所以為線段在平面內的射影，為與平面所成的角，所以，所以在中，.14.答案：解析：如圖所示，設AC與BD交于點O，連接OF.以O為原點，，，的方向分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系.設，則，所以，，，，所以，，.顯然為平面BDF的一個法向量.設平面BCF的一個法向量為，則令，可得，所以，，所以，故二面角的正切值為.15.答案：①②解析：如圖，取的中點為，連接，過點P作交于E，再過點E作交CD于.在正方體中，平面，平面，，又，，平面，.同理可證平面，平面，，.以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，.，，，，，，故①正確.平面，平面的一個法向量為，又，令，解得，存在點P，使得平面，故②正確.令，整理得，該方程無解，不存在點P，使得，故③錯誤.16.答案：(1)證明見解析(2)線段FG上存在點M，使得平面MAB與平面AEG所成角的余弦值為，且解析：(1)因為，所以，又，所以.因為，，所以四邊形ABDE為等腰梯形，又，所以，所以，所以，即，因為，，平面AEG，所以平面AEG，又平面GEBF，所以平面平面AEG.(2)由(1)知EA，EB，EG兩兩互相垂直.以E為原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立