微分中值定理

§3.1

微分中值定理1二、羅爾定理三、拉格朗日中值定理四、柯西中值定理一、幾何背景2

一、幾何背景拉格朗日中值公式3

一、幾何背景羅爾定理拉格朗日中值公式4

二、羅爾定理費(fèi)馬(Fermat)引理

設(shè)

f(x0)為函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a

b)內(nèi)的最大(小)值,若f

(x0)存在,則f

(x0)

0

證明

設(shè)

f(x0)為最大值.5

二、羅爾定理

證明

所以,

f(x0)為最小值時(shí)類似可證.設(shè)

f(x0)為最大值.費(fèi)馬(Fermat)引理

設(shè)

f(x0)為函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a

b)內(nèi)的最大(小)值,若f

(x0)存在,則f

(x0)

0

6

證明羅爾(Rolle)定理

如果函數(shù)

y

f(x)滿足

(1)

在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù);

(2)

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導(dǎo);

(3)

f(a)

f(b),那么在(a

b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x

使得f

(x)

0

7羅爾(Rolle)定理

如果函數(shù)

y

f(x)滿足

(1)

在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù);

(2)

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導(dǎo);

(3)

f(a)

f(b),那么在(a

b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x

使得f

(x)

0

證明8應(yīng)注意的問題：

如果定理的三個(gè)條件有一個(gè)不滿足

則定理的結(jié)論有可能不成立

羅爾(Rolle)定理

如果函數(shù)

y

f(x)滿足

(1)

在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù);

(2)

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導(dǎo);

(3)

f(a)

f(b),那么在(a

b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x

使得f

(x)

0

9羅爾(Rolle)定理

如果函數(shù)

y

f(x)滿足

(1)

在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù);

(2)

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導(dǎo);

(3)

f(a)

f(b),那么在(a

b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x

使得f

(x)

0

10

例1

不求導(dǎo)數(shù)

判斷函數(shù)

f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的導(dǎo)數(shù)有幾個(gè)實(shí)根

以及其所在范圍

解

f(1)=f(2)=f(3)=0

f(x)在[1

2]

[2

3]上滿足羅爾定理的三個(gè)條件

由羅爾定理

在(1

2)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x1

使

f

(x1)=0

x1是

f

(x)的一個(gè)實(shí)根;

在(2

3)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x2

使f

(x2)=0

x2也是f

(x)的一個(gè)實(shí)根

f

(x)是二次多項(xiàng)式

至多有兩個(gè)實(shí)根.

所以f

(x)有兩個(gè)實(shí)根,分別在區(qū)間(1

2)及(2

3)內(nèi)

11例2證明由零點(diǎn)定理,x0即為方程的一個(gè)根.矛盾.由羅爾定理,12三、拉格朗日中值定理13拉格朗日(Lagrange)中值定理

如果函數(shù)

y

f(x)滿足

(1)

在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù);

(2)

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導(dǎo),那么在(a

b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x

使得

f(b)-f(a)=f

(x)(b-a)

拉格朗日中值公式14分析設(shè)直線

AB

的方程為則考慮函數(shù)拉格朗日(Lagrange)中值定理

如果函數(shù)

y

f(x)滿足

(1)

在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù);

(2)

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導(dǎo),那么在(a

b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x

使得

f(b)-f(a)=f

(x)(b-a)

拉格朗日中值公式15則j(a)=j(b)=0,

j(x)在區(qū)間[a

b]上滿足羅爾定理的條件

證明

由此得

f(b)

f(a)

f

(x)(b

a)

令

于是至少存在一點(diǎn)x

(a

b)

使j

(x)

0

即拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函數(shù)

y

f(x)滿足

(1)

在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù);

(2)

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導(dǎo),那么在(a

b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x

使得

f(b)-f(a)=f

(x)(b-a)

拉格朗日中值公式16

f(x

Dx)

f(x)

f

(x

qDx)Dx(0<q<1)

Dy

f

(x

qDx)Dx(0<q<1)

有限增量公式注：

dy

f

(x)Dx是函數(shù)增量

Dy的近似表達(dá)式

f

(x

Dx)Dx是函數(shù)增量

Dy

的精確表達(dá)式

拉格朗日(Lagrange)中值定理

如果函數(shù)

y

f(x)滿足

(1)

在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù);

(2)

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導(dǎo),那么在(a

b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x

使得

f(b)-f(a)=f

(x)(b-a)

拉格朗日中值公式17

在區(qū)間

I上任取兩點(diǎn)

x1

x2(x1<x2)

應(yīng)用拉格朗日中值定理

在(x1,x2)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

x,使

f(x2)

f(x1)

f

(x)(x2

x1)(x1<x<x2)

由假定

f

(x)

0

所以

f(x2)

f(x1)

0

即

f(x2)

f(x1)

因此

f(x)在區(qū)間

I上是一個(gè)常數(shù)

定理

如果函數(shù)

f(x)在區(qū)間

I上的導(dǎo)數(shù)恒為零

那么

f(x)在區(qū)間

I上是一個(gè)常數(shù)

證明18

證明

設(shè)

f(t)

ln(1

t),顯然

f(t)在區(qū)間[0

x]上滿足拉格朗日中值定理的條件,

根據(jù)定理

在(0,x)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

x,使

f(x)

f(0)

f

(x)(x

0)

0<x<x

又由

0<x<x

有由于因此上式即為即例319例4證明20四、柯西中值定理C21柯西(Cauchy)中值定理

如果函數(shù)

f(x)及

F(x)滿足

(1)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導(dǎo);(3)

F

(x)在(a

b)內(nèi)恒不為零

那么在(a

b)內(nèi)至少有一點(diǎn)

x

使得

如果取

F(x)

x

則柯西中值公式就變成了拉格朗日中值公式

柯西中值公式22例5證一分析:結(jié)論可變形為23例5分析:結(jié)論可化為結(jié)論進(jìn)一步化為觀察與思考:24證二設(shè)

例5則F(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且分析:結(jié)