論數(shù)學的對稱美在數(shù)學學習中的意義

PAGEPAGE2論數(shù)學的對稱美在數(shù)學學習中的意義摘要：人們對數(shù)學美的追求與數(shù)學的研究是同步進行的，數(shù)學的美，如同音樂家演奏的美妙旋律，畫家筆下的精美作品一樣。同樣是在表達美，只不過形式不同而已。本文通過對數(shù)學的對稱美的研究，希望能引起共鳴，使更多的人來關注數(shù)學美學的發(fā)展。關鍵詞：對稱美數(shù)學思想中圖分類號：O1-099文獻標識碼：ATalkaboutthesymmetricalAmericanmeaninginmathematicsisstudiedofmathematicsSummary:People'sstudyonmathematicsbeautifulpursuitandmathematicsiscarriedoninstep,mathematicsisbeautiful,likethewonderfulmelodywhichthemusicianplays,theexquisiteworksintheworksofthepainterarethesame.Expressingtoobeautifully,onlyformsaredifferent.Thistextpassesthesymmetricalandbeautifulresearchtomathematics,hopeYestocausethesympatheticresponse,makemorepersonspaycloseattentiontothedevelopmentofmathematicsaestheticsKeyword:SymmetricalanbeautifulMathematicsthought1.引言“萬物皆數(shù)”這是畢達哥拉斯學派的觀點，的確數(shù)學的發(fā)展與人類社會的發(fā)展是密不可分的，人類對文明的追求，正是沿著挖掘事物美這條道路前進的，同樣數(shù)學的發(fā)展也是追求數(shù)學美的過程。數(shù)學也是自然科學的語言，故它有一般語言文學藝術所共有的美學特征，即數(shù)學在內容結構上，方法上也都有自身的某種美，即所謂的數(shù)學美。因此數(shù)學美是具體的，形象生動的，數(shù)學的美起源遙遠，歷史悠久。2.什么是數(shù)學的對稱美在原始意義上，對稱性是指組成一種事物或對象的兩個部分的對等性。從古希臘起，對稱美就是數(shù)學美的一個基本形式。對稱美是數(shù)學美的一個特征。除次外，還有統(tǒng)一美，簡潔美等等。畢達哥拉斯學派認為：一個圖形的對稱性越多，圖形越完美。他們指出：“一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形”因為這兩個形體各個方面都是對稱的。隨著數(shù)學的發(fā)展，對稱的概念得到了不斷的發(fā)展，即由一個含糊的概念發(fā)展成為精確的幾何概念，包括雙側的，旋轉的，平移的，對稱的等等，至今更為一般的概念，指元素的構形在自相變換下的不變性，另外由數(shù)學歷史可以看出，對于對稱性的追求的確在具體的數(shù)學研究中發(fā)揮著極其重要的作用。3.對稱美在具體問題中的應用數(shù)學問題浩如煙海，解題時很難找到一定的程式。有時在美的號召下，憑借美的感受，領悟問題顯露的美，并以此為思維導向，另辟新徑。?？色@得別開生面的妙解。例如求P=sinsinsinsin的值解：設q=coscoscoscospq=sinsinsinsin=coscoscoscos=q而q0,所以p=這里為求p而巧設q，解法巧妙，呈現(xiàn)了平衡的對稱美，令人愉快，具有美感。利用題目中的已知條件，如果圖形，式子具有某種對稱性，可考慮結論是否符合對稱性的要求。例2若三角形ABC邊長為a,b,c且滿足等式判斷三角形ABC的形狀。A直角三角形B等腰三角形C鈍角三角形D等邊三角形由于題目的條件等式關于a,b,c是對稱的，而A，B，C并不滿足這樣的條件，所以都是錯誤的。事實上，由條件可得即有a=b=c所以正確答案為D。數(shù)學中的許多結論都具有驚人的對稱性。出于對稱性的考慮，數(shù)學家常常不滿足于一個命題本身的研究，而且還要探討它的逆命題，否命題，逆否命題。因此，一個完美的命題，它的“充要條件”使得命題具有對稱美。利用數(shù)學的對稱性解決數(shù)學問題，例如歐幾里德曾證明希帕索斯的發(fā)現(xiàn)—無理數(shù)的存在，他的證法如下：設正方形的對角線長（m,n不可約）+=，即，從而m為偶數(shù)，n必為奇數(shù)。。又設m=2p,則因而n是偶數(shù)，這便產生了矛盾，即對角線長不能用整數(shù)之比來表示。上述是利用了等式的對稱性。等式是對稱的，那么等式的兩邊必須有相同的意義。又如古希臘科學家海羅巧妙的運用“對稱變換”，解決了幾何著名極值問題“A，B是直線CD兩側兩點，試求CD上一點使得PA+PB最短?！钡聡鴰缀螌W家斯丹納在證明“周長一定的一切平面封閉圖形中，以圓的面積最大”時，由于靈活應運了圖形的對稱性而使得證法簡潔而又漂亮。涉及到對稱的還很多，如代數(shù)的多項式方程的虛根的成對出現(xiàn)，線性方程組的矩陣和克萊姆法則齊次輪換對稱式等等，甚至對稱與群也存在著密切的關系。我們知道，關于兩個對稱圖形，我們總可以通過一些變換將它們疊合。這些變換最基本的有：平移變換，旋轉變換，反射變換，這三種變換都是對稱變換，因此在某種意義下也可以說合同變換也是對稱變換，所有的對稱變換構成群，我們稱之為對稱群。進而我們還可以看到，圖形的對稱性和它的對稱群是密切相關的。凡對稱圖形，總存在若干個非恒等的對稱變換，這些變換的全體與恒等對稱變換一起構成該圖形的對稱群。反之，如果一個圖形，存在著一個關于它的非恒等的對稱變換，那么該圖形是對稱圖形。圖形的對稱性程度的高度是與它的對稱群的階密切相關的，這樣就啟發(fā)人們用群去刻畫對稱圖形及其性質。用群的理論去研究對稱的數(shù)學理論。許多數(shù)學分支實際就是研究其中變換群下的不變性的。4.數(shù)學中的對稱思想及應用數(shù)學美學中的對稱美并不局限于客觀事物外形的對稱。正如魏爾所說:“對稱是一種思想。多少世紀以來，人們希望借助它來解釋和創(chuàng)造秩序，美和完善.”數(shù)學的對稱主要是一種思想，它著重追求的是數(shù)學對象乃至整個數(shù)學體系的合理，勻稱與協(xié)調。數(shù)學概念，數(shù)學公式，數(shù)學運算，數(shù)學方程式，數(shù)學結論甚至數(shù)學方法中，都蘊含著奇妙的對稱性。數(shù)學的對稱思想是數(shù)學思想的一種平移，對稱，或者是類比。研究對稱思想不僅使人眼界豁然開闊，而且能推陳出新出一種新的領域。從數(shù)學發(fā)展的歷史來看，對稱性的考慮在一定程度上促進了數(shù)學的發(fā)展。例如，加法與減法，乘法與除法。微分與積分等逆運算的建立，甚至黎曼積分與Lesbegue積分(對定義域的劃分與值域的分割)，這些都是追求數(shù)學美的產物。真數(shù)N與對數(shù)的增長表現(xiàn)出明顯的不對稱性，而且真數(shù)的增長均勻，而對數(shù)的增長不均勻，數(shù)學家從對數(shù)的對稱美考慮，而導致自然對數(shù)的產生。又比如，在射影平面內，兩點那能確定一條直線，反之兩直線未必有一個交點，為解除這個不對稱關系，法國數(shù)學家笛沙格大膽猜想：兩條平行線相交于一個理想點(無窮遠點)這樣就創(chuàng)立了對偶原理(射影平面內的定理中將直線與點互換后成立)以至射影幾何學。1931年狄拉克從數(shù)學對稱美考慮，大膽的提出反物質的假說：認為真空中的反電子就是正電子。1932年美國物理學家安德遜終于在宇宙射線中發(fā)現(xiàn)了正電子，從而使狄拉克的假說從數(shù)學形式的美終于變成了物理世界的真。因此對于數(shù)學美的探討，可以啟迪人們的思維，開闊人們的眼界，指出發(fā)展的前景，告戒人們方法……例如，在數(shù)學模型中，如何求解速降線的運動軌跡問題？如果直接用解析幾何方法去解決，困難很大，我們將物體的運動軌跡，分解為每點的運動聯(lián)想到物理學中光折射后的運動，類比光的折射定理。從而可求出速降線軌跡方程。再比如說，解析幾何的坐標法與純幾何證法之間的對稱關系。一道陌生的幾何證明題擺在面前時，常使人感到無從下手，當我們用解析幾何方法去解決時，把這個問題化成一個代數(shù)問題之后，問題轉化為很明確，很具體的一系列代數(shù)演算，只要耐心的算下去，通常是可以算出一個結果的。然而，用解析幾何的方法證明一個幾何命題之后，我們往往仍不滿足，總想再找一個不用坐標的純幾何證法。解析幾何法與純幾何證法之間，并沒有一條不可逾越的鴻溝，解析幾何法中，把坐標軸看成是待定的輔助線，把點的坐標記為x,y換成對應的線段，解析幾何中解題中的語言，幾乎可以逐字逐句的對稱平移為純幾何證法的語言。如：兩點間的距離公式對稱為勾股定理，定比分點對稱為相似三角形對應邊成比例，求兩直線的交點坐標對稱為比例相似形求線段長，點到直線的距離公式對稱為利用三角形求高等等。研究解析幾何證法與純幾何的對稱關系。一方面這不僅純幾何證法的證明方式常常是巧妙的。簡潔的，給人一種藝術上的美感，而且也出于是教學工作上的需要。一個初中生問的問題。教師本人雖然會用解析幾何的方法求解，但是只能用純幾何的證明，就有了很大的好處了。另一方面，研究解析幾何與純幾何之間的關系，去處理同一個題目，這不僅使我們對題目本身有了更好地理解，有助于我們更深刻的認識解析幾何與純幾何之間的聯(lián)系。既能提高我們處理問題時的直觀想象，而且又能提高我們處理幾何問題時的分析運算能力。5.小結數(shù)學是邏輯的實用的，也是美妙的，激勵人心的。數(shù)學美集中體現(xiàn)在數(shù)學本身的簡單美，對稱美，相似美，和諧美和奇異美。在數(shù)學教學中，深入挖掘數(shù)學材料的美學因素，并揭示數(shù)學美讓學生充分體會數(shù)學符號，數(shù)學概念的簡潔精煉美，解題方法的技巧美，幾何圖形和數(shù)學排列的對稱美，黃金分割與數(shù)量關系的和諧美，數(shù)學的嚴謹美……盡量顯示數(shù)學美的因素，給人美的感受和美的熏陶，這有助于培養(yǎng)他們的審美能力，有助于激發(fā)他們的學習興趣和培養(yǎng)他們的創(chuàng)造力。由審美獲取數(shù)學發(fā)現(xiàn)已成為不爭的事實，被稱為數(shù)學中的美學方法。解題與數(shù)學發(fā)現(xiàn)有著相同的創(chuàng)造本質，在數(shù)學解題中，往往是通過數(shù)學審美而獲得數(shù)學美的直覺，使題感經驗與審美直覺相配合，激發(fā)數(shù)學思維中的關聯(lián)因素，從而產生解題思路。與方法和策略相比，用數(shù)學美啟發(fā)解題的思路應該是指導性原則，我們稱之為審美思想。法國數(shù)學家龐加萊說過：“缺乏這種審美感的人永遠不會成為真正的創(chuàng)造者”。致謝感謝袁曉紅老師的悉心指導。參考文獻[1]張雄等編著數(shù)學方法論與解題研究[M]高等教育出版社2003[2]數(shù)學方法論[M]廣西教育出版社1996[3]沈繼紅等編著數(shù)學建模[M]