選擇性空間向量與立體幾何專題02空間向量的數(shù)量積運算（原卷版）

空間向量與立體幾何專題02空間向量的數(shù)量積運算一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算規(guī)律及計算方法；2.能用向量的數(shù)量積解決夾角與距離問題。二、知識梳理1.空間向量的夾角定義：如下圖，已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作，則叫做向量a，b的夾角，記作.如果，那么向量a，b互相垂直，記作.空間向量a與b夾角的范圍：________．當(dāng)＝0時，a與b________________．當(dāng)＝π時，a與b________________．當(dāng)＝eq\f(π,2)時，a與b________________．2．空間向量的數(shù)量積數(shù)量積定義：已知兩個非零向量、，則叫做向量與的數(shù)量積，記作，即________________．?dāng)?shù)量積的運算規(guī)律：（1）；（2）（交換律）（3）（分配律）空間向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)，是非零向量，是單位向量，則；②；③或；④；⑤3．空間兩向量垂直的充要條件________________．4．利用空間向量求模長與夾角（1）在空間兩個向量的數(shù)量積中，特別地，所以向量的模：。將其推廣：________________．________________．（2）________________．5．投影向量：向量a向向量b投影，得到c=________________．,向量c稱為向量a在向量b上的投影向量。如圖（1），在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面α內(nèi)，進而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量.類似地，可以將向量a向直線l投影（如圖（2））.如圖（3），向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為，得到向量，向量稱為向量a在平面β上的投影向量.這時，向量a，的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角.三、類型歸納：類型一：求空間向量的數(shù)量積類型二：求空間向量的模長及夾角類型三：利用空間向量證明垂直問題及求參數(shù)；類型四：投影向量的應(yīng)用四、類型應(yīng)用類型一：空間向量的數(shù)量積的計算【例11】已知向量，，是兩兩垂直的單位向量，且，則（

）．A．15 B．3 C． D．5【變式訓(xùn)練11】已知空間向量是一組單位正交向量，，則（

）A．15 B．21 C．45 D．36【例12】如圖所示，平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為，求的值是（

）A． B．1 C． D．【變式訓(xùn)練12】如圖，已知四棱錐的各棱長均為，則（

）A． B． C．1 D．2【變式訓(xùn)練13】在空間四邊形中，等于（

）A． B．0 C．1 D．不確定類型二：求空間向量的模長與夾角【例2】如圖，在平行六面體中，，，，，為與的交點．若，，．（1）用，，表示．（2）求的長．（3）求與所成角的余弦值．【變式訓(xùn)練21】如圖，在平行六面體中，，.求：(1)；(2)的長.【變式訓(xùn)練22】如圖，空間四邊形中，，，，點，分別在，上，且，，則（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練23】已知，均為空間單位向量，它們的夾角為60°，那么等于（

）A． B． C． D．4【變式訓(xùn)練24】如圖，在平行六面體中，，，，，，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練25】已知空間向量、、滿足，，，，則與的夾角為_________．【例3】如圖，m，n是平面α內(nèi)的兩條相交直線.如果，求證：.【變式訓(xùn)練31】如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D中，CD1和DC1相交于點O，連接AO．求證：AO⊥CD1．【變式訓(xùn)練32】如圖，正方體的棱長是，和相交于點．(1)求；(2)求與的夾角的余弦值；(3)判斷與是否垂直．【變式訓(xùn)練33】在空間，已知，為單位向量，且，若，，，則實數(shù)k的值為（

）A．－6 B．6C．3 D．－3【例4】已知與夾角為60°且，，則在方向上的投影向量是______．【變式訓(xùn)練41】已知空間向