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文檔簡(jiǎn)介
第二章分離變量法
齊次發(fā)展(演化)問(wèn)題的求解齊次穩(wěn)定場(chǎng)問(wèn)題的求解非齊次問(wèn)題的求解多變量推廣本章小結(jié)§2.1齊次發(fā)展方程的分離變量法一分離變量法簡(jiǎn)介研究?jī)啥斯潭ǖ睦硐胂业淖杂烧駝?dòng),即定解問(wèn)題
設(shè)代入上述波動(dòng)方程和邊界條件得
方程、邊界條件均齊次用遍除
兩邊相等顯然是不可能的,除非兩邊實(shí)際上是同一個(gè)常數(shù),把這個(gè)常數(shù)記作------
這可以分離為關(guān)于X的常微分方程和關(guān)于T的常微分方程,且邊界條件也同樣進(jìn)行分離稱為固有值(本征值)問(wèn)題
1、在λ<0時(shí),方程的解是
積分常數(shù)和由邊界條件確定
由此解出=0,=0,從而
2、λ=0
時(shí)方程的解是則仍然解出
3、λ>0的情況
方程的解是
只有才能保證,方程有非零解
此時(shí)再看關(guān)于T的方程
于是或
稱為固有值,
稱為固有函數(shù)
這個(gè)方程的解
分離變量的形式解
(n=1,2,3,…)
由疊加原理,一般解為:
現(xiàn)在要求出疊加系數(shù)和
滿足初始條件
方程左邊是傅里葉正弦級(jí)數(shù),這就提示我們把右邊的展開(kāi)為傅里葉正弦級(jí)數(shù),然后比較傅里葉系數(shù),得,則可得原問(wèn)題的解:
按上述公式計(jì)算出系數(shù)和注:該解稱為古典解,在求解中我們假設(shè)無(wú)窮級(jí)數(shù)是收斂的。
如上的方法稱為分離變量法,是齊次發(fā)展方程求解的一個(gè)有效方法。下面對(duì)該方法的步驟進(jìn)行總結(jié)。
分離變量流程圖固有值(特征值)問(wèn)題偏微分方程
【例題1】
磁致伸縮換能器、魚(yú)群探測(cè)換能器等器件的核心是兩端自由的均勻桿,它作縱振動(dòng)。研究?jī)啥俗杂砂舻淖杂煽v振動(dòng),即定解問(wèn)題【解】設(shè)并代入方程得
分析:方程與邊界條件均為齊次,用分離變量法,根據(jù)分離變量法流程,分析如下分離變量流程圖固有值(特征值)問(wèn)題現(xiàn)用遍除各項(xiàng)即得
經(jīng)討論,當(dāng)時(shí)有解
于是得固有值問(wèn)題當(dāng)時(shí)有解
由定解條件得任意,于是有固有值和固有函數(shù)現(xiàn)確定積分常數(shù),由條件知
由第一式可得
而只有
,因此第二式變?yōu)橛谑怯泄逃兄岛凸逃泻瘮?shù)現(xiàn)在需要求解綜上所述,該問(wèn)題的固有值和固有函數(shù)分別為當(dāng)時(shí)有解
當(dāng)時(shí)有解其中均為獨(dú)立的任意常數(shù)。由初始條件得
把右邊的函數(shù)展成傅里葉余弦級(jí)數(shù),比較兩邊的系數(shù),得
由疊加原理,一般解為【解】桿上溫度滿足下列泛定方程和定解條件
試探解
代入方程和邊界條件得固有值問(wèn)題
【例題2】研究細(xì)桿導(dǎo)熱問(wèn)題,初始時(shí)刻桿的一端溫度為零度,另一端跟外界絕熱,桿上初始溫度為,試求無(wú)熱源時(shí)細(xì)桿上溫度的變化。和常微分方程分析:方程與邊界條件均為齊次,用分離變量法,根據(jù)分離變量法流程,分析如下分離變量流程圖固有值(特征值)問(wèn)題經(jīng)討論知,僅時(shí)有非零解,且只有由得由得于是得固有值和固有函數(shù)為由此得下面求解得由疊加原理,得確定系數(shù),由初值條件知
于是如取,則
從而下列問(wèn)題
的解為圖形如下:(程序:my1)(a)精確解圖(b)瀑布圖
思考題:如何求解下面的波動(dòng)問(wèn)題
習(xí)題:習(xí)題1(1)、(3);習(xí)題2;習(xí)題3(2);§2.2穩(wěn)定場(chǎng)齊次問(wèn)題的分離變量法1矩形區(qū)域上拉普拉斯方程
【例題1】散熱片的橫截面為矩形。它的一邊處于較高溫度,邊處于冷卻介質(zhì)中而保持較低的溫度,其他兩邊,溫度保持為零,求解這橫截面上的穩(wěn)定溫度分布.【解】先寫(xiě)出定解問(wèn)題定解問(wèn)題
方程齊次這組邊界條件齊次用分離變量法分離變量流程圖固有值(特征值)問(wèn)題設(shè)形式解為:
代入上述泛定方程,得到得到固有值問(wèn)題和常微分方程得固有值:
固有函數(shù):
而于是有疊加得為確定疊加系數(shù),將代入非齊次邊界條件
將等式右邊展開(kāi)為傅里葉正弦級(jí)數(shù),并兩邊比較系數(shù),得
聯(lián)立求解得故原問(wèn)題的解為小結(jié):對(duì)矩形域上拉普拉斯方程,只要一組邊界條件是齊次的,則可使用分離變量法求解。圖形如下:(程序:my2)(a)精確解圖(b)瀑布圖【例2】求解下列問(wèn)題特點(diǎn):邊界條件均非齊次
讓和分別滿足拉普拉斯方程,并各有一組齊次邊界條件,即則,而上面兩個(gè)定解問(wèn)題分別用例1的方法求解。稱為定解問(wèn)題的分拆。
【例題3】帶電的云跟大地之間的靜電場(chǎng)近似是勻強(qiáng)的,水平架設(shè)的輸電線處在這個(gè)靜電場(chǎng)之中,導(dǎo)線看成圓柱型,求導(dǎo)線外電場(chǎng)的電勢(shì)。
【解】先將物理問(wèn)題表為定解問(wèn)題。取圓柱的軸為z軸,物理問(wèn)題與Z軸無(wú)關(guān)。圓柱面在平面的剖口是圓柱外的空間中沒(méi)有電荷,故滿足拉普拉斯方程
(在柱外)
可以看出,邊界條件無(wú)法分離變量,只能另辟蹊徑。在極坐標(biāo)下研究該問(wèn)題,在極坐標(biāo)下,上述問(wèn)題可表示成2圓形區(qū)域問(wèn)題設(shè)分離變數(shù)形式的試探解為
代入拉普拉斯方程,得令此條件是根據(jù)電學(xué)原理加上的移項(xiàng)、整理后得:分離為兩個(gè)常微分方程
(自然邊界條件,附加)得固有值和固有函數(shù)為和固有值問(wèn)題解得將本征值代入常微分方程,得到歐拉型常微分方程
作代換則,方程化為:
于是通解是
解得即一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)等于零,意味著所有傅里葉系數(shù)為零,即:
由此得:
由條件得主要部分是項(xiàng),可見(jiàn)在表達(dá)式中不應(yīng)出現(xiàn)高次冪,于是
最后得柱外的靜電勢(shì)為:由知結(jié)合前面系數(shù)關(guān)系,有習(xí)題6、8
§2.3非齊次方程的求解
設(shè)該問(wèn)題的解為:例1求解有界弦的受迫振動(dòng)問(wèn)題(Ⅰ)我們已經(jīng)知道,對(duì)應(yīng)齊次問(wèn)題的固有函數(shù)系為又設(shè)因已知,所以
固有函數(shù)展開(kāi)法(又稱傅立葉級(jí)數(shù)法)代入非齊次方程和初始條件得:用Laplace變換求解得:∴
方法總結(jié):將未知函數(shù)和非齊次項(xiàng)按照對(duì)應(yīng)的齊次問(wèn)題的固有函數(shù)展開(kāi),其展開(kāi)系數(shù)為另一變量的未知函數(shù),代入非齊次方程和初始條件確定該未知函數(shù)。設(shè):【解】對(duì)應(yīng)齊次問(wèn)題的固有函數(shù)系為代入泛定方程,得于是有例2求解有界弦的受迫振動(dòng)問(wèn)題(Ⅱ)代入初始條件
于是:
當(dāng)時(shí):
的解為
解釋推導(dǎo):對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為
設(shè)非齊次方程的特解為,解得
于是非齊次方程的通解為由定解條件得代入整理即得。故原問(wèn)題的解為解釋【例題3】均勻細(xì)導(dǎo)線,每單位長(zhǎng)的電阻為R通以恒定的電流I,導(dǎo)線表面跟周圍溫度為零度的介質(zhì)進(jìn)行熱量交換。設(shè)導(dǎo)線的初始溫度和兩端溫度都是零度,試求導(dǎo)線的溫度變化?!窘狻吭O(shè)導(dǎo)線的熱傳導(dǎo)系數(shù)、熱交換系數(shù)、比熱和密度分別為
,由熱量守恒定律其定解問(wèn)題為:
對(duì)應(yīng)的齊次問(wèn)題的固有函數(shù)為:,故令而其中代入方程,比較系數(shù)得:由常微分方程的知識(shí):的解為知其中代入初始條件得:
于是:
從而原問(wèn)題的解為習(xí)題10(2)、(3)
§2.4非齊次邊界條件問(wèn)題
上一節(jié)研究了非齊次偏微分方程,齊次邊界條件的情況?,F(xiàn)在討論非齊次邊界條件下的情況?!纠?】長(zhǎng)為、側(cè)面絕熱的均勻細(xì)桿,在的一端保持恒溫,另一端有熱流為的定常熱流進(jìn)入。設(shè)桿的初始溫度分布是,求桿上的溫度變化.【解】物理問(wèn)題的定解問(wèn)題按照疊加原理,將的定解問(wèn)題分解為兩部分之和,滿足定解問(wèn)題即解得滿足定解問(wèn)題解釋為什么?由分離變量法知,其解為由初值條件知故與t無(wú)關(guān),設(shè)v=v(x)小結(jié):滿足定解問(wèn)題即可邊界
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