2023學(xué)年完整公開課版解排列問題

解排列問題的常用技巧總的原則—合理分類和準(zhǔn)確分步解排列（或）組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，事情的發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。例16個同學(xué)和2個老師排成一排照相，2個老師站中間，學(xué)生甲不站排頭，學(xué)生乙不站排尾，共有多少種不同的排法？（一）特殊元素的“優(yōu)先安排法”對于特殊元素的排列組合問題，一般應(yīng)先考慮特殊元素，再考慮其它元素。例2用0，1，2，3，4這五個數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）A24B30C40D60分析：由于該三位數(shù)是偶數(shù)，所以末尾數(shù)字必須是偶數(shù)，又因為0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，應(yīng)優(yōu)先安排。按0排在末尾和不排在末尾分為兩類；0排在末尾時，有個；0不排在末尾時，先用偶數(shù)排個位，再排百位，最后排十位有個；由分類計數(shù)原理，共有偶數(shù)30個.B例3用0，1，2，3，4這五個數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中1不在個位的數(shù)共有_______種。（二）總體淘汰法間接法）對于含有否定詞語的問題，還可以從總體中把不符合要求的減去，此時應(yīng)注意既不能多減又不能少減。

分析：五個數(shù)組成三位數(shù)的全排列有個，0排在首位的有個，1排在末尾的有，減掉這兩種不合條件的排法數(shù)，再加回百位為0同時個位為1的排列數(shù)（為什么？）故共有種。（1）三個男生，四個女生排成一排，甲不在最左，乙不在最右，有幾種不同方法？（2）五人從左到右站成一排，其中甲不站排頭，乙不站第二個位置，那么不同的站法有（）A120B96C78D72直接練習(xí)1（三）相鄰問題——捆綁法對于某幾個元素要求相鄰的排列問題，可先將相鄰的元素“捆綁”在一起，看作一個“大”的元（組），與其它元素排列，然后再對相鄰的元素（組）內(nèi)部進(jìn)行排列。例47人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相鄰，分別有多少種站法？分析：先將甲，乙，丙三人捆綁在一起看作一個元素，與其余4人共有5個元素做全排列，有種排法，然后對甲，乙，丙三人進(jìn)行全排列。由分步計數(shù)原理可得：種不同排法。（四）不相鄰問題——插空法對于某幾個元素不相鄰得排列問題，可先將其它元素排好，然后再將不相鄰的元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入即可。例57人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相鄰，分別有多少種站法？分析：可先讓其余4人站好，共有種排法，再在這4人之間及兩端的5個“空隙”中選三個位置讓甲、乙、丙插入，則有種方法，這樣共有種不同的排法。（1）三個男生，四個女生排成一排，男生、女生各站一起，有幾種不同方法？〈2〉三個男生，四個女生排成一排，男生之間、女生之間不相鄰，有幾種不同排法？捆綁法：插空法：〈3〉如果有兩個男生、四個女生排成一排，要求男生之間不相鄰，有幾種不同排法？插空法：練習(xí)2例6有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，將7名學(xué)生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少種排法？（五）順序固定問題用“除法”對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先將這幾個元素與其它元素一同進(jìn)行排列，然后用總的排列數(shù)除以這幾個元素的全排列數(shù)所以共有種。分析：先在7個位置上作全排列，有種排法。其中3個女生因要求“從矮到高”排，只有一種順序故只對應(yīng)一種排法，（1）五人排隊，甲在乙前面的排法有幾種？練習(xí)3〈2〉三個男生，四個女生排成一排，其中甲、乙、丙三人的順序不變，有幾種不同排法？分析：若不考慮限制條件，則有種排法，而甲，乙之間排法有種，故甲在乙前面的排法只有一種符合條件，故符合條件的排法有種.（六）分排問題用“直排法”把n個元素排成若干排的問題，若沒有其他的特殊要求，可采用統(tǒng)一排成一排的方法來處理例7七人坐兩排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，則有多少種不同的坐法？

分析：7個人，可以在前后排隨意就坐，再無其他限制條件，故兩排可看作一排處理，所以不同的坐法有種.（1）三個男生，四個女生排成兩排，前排三人、后排四人，有幾種不同排法？或：七個人可以在前后兩排隨意就坐，再無其他條件，所以兩排可看作一排來處理不同的坐法有種（2）八個人排成兩排，有幾種不同排法？練習(xí)4（七）實驗法題中附加條件增多，直接解決困難時，用實驗逐步尋求規(guī)律有時也是行之有效的方法。例8將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號為1，2，3，4的四個方格內(nèi)，每個方格填1個，則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有（）A6B9C11D23分析：此題考查排列的定義，由于附加條件較多，解法較為困難，可用實驗法逐步解決。第一方格內(nèi)可填2或3或4。如填2，則第二方格中內(nèi)可填1或3或4。若第二方格內(nèi)填1，則第三方格只能填4，第四方格應(yīng)填3。若第二方格內(nèi)填3，則第三方格只能填4，第四方格應(yīng)填1。同理，若第二方格內(nèi)填4，則第三方格只能填1，第四方格應(yīng)填3。因而，第一格填2有3種方法。不難得到，當(dāng)?shù)谝桓裉?或4時也各有3種，所以共有9種。（八）住店法解決“允許重復(fù)排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。例9七名學(xué)生爭奪五項冠軍，每項冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有（）ABCD分析：因同一學(xué)生可以同時奪得n項冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將七名學(xué)生看作7家“店”，五項冠軍看作5名“客”，每個“客”有7種住宿法，由乘法原理得種。注：對此類問題，常有疑惑，為什么不是呢？用分步計數(shù)原理看，5是步驟數(shù)，自然是指數(shù)。九對應(yīng)法例10在100名選手之間進(jìn)行單循環(huán)淘汰賽（即一場比賽失敗要退出比賽），最后產(chǎn)生一名冠軍，問要舉行幾場？分析：要產(chǎn)生一名冠軍，需要淘汰掉冠軍以外