2023學(xué)年完整公開(kāi)課版版余弦定理

第1課時(shí)余弦定理及其應(yīng)用第一章112余弦定理學(xué)習(xí)目標(biāo)UEIMUBIAO1掌握余弦定理的證明方法2掌握余弦定理及其推論3能夠運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問(wèn)題NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1知識(shí)梳理PARTONE知識(shí)點(diǎn)余弦定理在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，則有余弦定理語(yǔ)言敘述三角形中任何一邊的平方等于__________________________________________________________公式表達(dá)a2＝

，b2＝

，c2＝________________其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC余弦定理推論cosA＝

，cosB＝

，cosC＝__________思考1在a2＝b2＋c2－2bccosA中，若A＝90°，公式會(huì)變成什么？答案a2＝b2＋c2，即勾股定理思考2由余弦定理的推論，如何判斷一個(gè)三角形是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形？答案如果b2＋c2－a2>0，a2＋c2－b2>0，a2＋b2－c2>0同時(shí)成立，則為銳角三角形；若以上三式有一個(gè)等于零，則為直角三角形；若以上三式有一個(gè)小于零，則為鈍角三角形思考辨析判斷正誤SIAOBIANIPANDUANHENGWU1在△ABC中，已知兩邊及夾角時(shí)，△ABC不一定唯一2在△ABC中，若a2<b2＋c2，則△ABC是銳角三角形3已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，只能用正弦定理，不能用余弦定理4已知三角形的三邊求三個(gè)內(nèi)角時(shí)，解是唯一的×××√2題型探究PARTTWO一、已知兩邊及一角解三角形命題角度1已知兩邊及其夾角解三角形√反思感悟已知三角形的兩邊及其夾角解三角形的方法1先利用余弦定理求出第三邊，其余角的求解有兩種思路：一是利用余弦定理的推論求出其余角；二是利用正弦定理已知兩邊和一邊的對(duì)角求解2用正弦定理求解時(shí)，需對(duì)角的取值根據(jù)“大邊對(duì)大角”進(jìn)行取舍，而用余弦定理就不存在這些問(wèn)題因?yàn)樵?，π上，余弦值對(duì)應(yīng)的角是唯一的，故用余弦定理求解較好跟蹤訓(xùn)練1在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝，則c＝；sinA＝2命題角度2已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形例2在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A、角C和邊a當(dāng)a＝3時(shí)，A＝B＝30°，C＝120°；綜上，a＝3，A＝30°，C＝120°或a＝6，A＝90°，C＝60°當(dāng)C＝120°時(shí)，A＝30°，△ABC為等腰三角形，∴a＝3綜上，A＝90°，C＝60°，a＝6或A＝30°，C＝120°，a＝3反思感悟2根據(jù)余弦定理，列出關(guān)于邊c的一元二次方程c2－2bcosAc＋b2－a2＝0，解出c，然后用正弦定理或余弦定理，求出其他元素跟蹤訓(xùn)練2在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊，且b＝6，a＝2，A＝30°，求ac的值故該三角形有兩解，故ac＝24或ac＝12二、已知三邊解三角形反思感悟已知三角形三邊解三角形的方法先利用余弦定理的推論求出一個(gè)角的余弦，從而求出第一個(gè)角；再利用余弦定理的推論或由求得的第一個(gè)角利用正弦定理求出第二個(gè)角；最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角∵0°<A<180°，∴A＝45°∵0°<B<180°，∴B＝60°，∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°三、三角形形狀的判定例41在△ABC中，若3sin2A＝3sin2B＋3sin2C＋sinB·sinC，試判斷該三角形的形狀；解由3sin2A＝3sin2B＋3sin2C＋sinBsinC結(jié)合正弦定理，得3a2＝3b2＋3c2＋bc，故△ABC是鈍角三角形2在△ABC中，若acosB＋acosC＝b＋c，試判斷該三角形的形狀因?yàn)閎＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形反思感悟1判斷三角形形狀時(shí)定理的選取方法一般地，若遇到的式子含角的余弦或是邊的二次式，則要考慮用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是邊的一次式，則大多用正弦定理；若是以上特征不明顯，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用2判斷三角形的形狀時(shí)，經(jīng)常用到以下結(jié)論①△ABC為直角三角形?a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2②△ABC為銳角三角形?a2＋b2>c2且b2＋c2>a2且c2＋a2>b2③△ABC為鈍角三角形?a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2④若sin2A＝sin2B，則A＝B或A＋B＝∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2∴△ABC是直角三角形方法二在△ABC中，設(shè)其外接圓半徑為R，由正弦定理，得b＝2RsinB，c＝2RsinC∵B＝π－A＋C，∴sinA＋C＝sinCcosA，∴sinAcosC＝0∵A，C都是△ABC的內(nèi)角，∴A≠0，A≠π∴△ABC是直角三角形核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算HEINSUYANGHISHUUEYUNSUAN合理探究運(yùn)算思路典例在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，則AC邊上的中線長(zhǎng)為7解析方法一由條件知設(shè)AC邊上的中線長(zhǎng)為，由余弦定理，知所以＝7所以AC邊上的中線長(zhǎng)為7方法二設(shè)AC中點(diǎn)為M，連接BM圖略∴BM＝7，即AC邊上的中線長(zhǎng)為7素養(yǎng)提升3隨堂演練PARTTHREE1在△ABC中，已知c＝1，b＝2，A＝60°，則a等于12345√12345解析由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，即72＝82＋c2－16ccos60°，即c2－8c＋15＝0，解得c＝3或c＝52多選在△ABC中，已知a＝8，b＝7，B＝60°，則c的值為A3 B4 C5 D6√√3如果等腰三角形的周長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的5倍，那么它的頂角的余弦值為12345√解析設(shè)頂角為C，周長(zhǎng)為l，底邊長(zhǎng)為c，因?yàn)閘＝5c，所以a＝b＝2c，4在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若 >0，則△ABCA一定是銳角三角形 B一定是直角三角形C一定是鈍角三角形 D是銳角或直角三角形12345所以cosC<0，從而C為鈍角，因此△ABC一定是鈍角三角形√，b，c為△ABC的三邊，B＝120°，則a2＋c2＋ac－b2＝123450解析∵b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－2accos120°＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝01知識(shí)清單：1余弦定理及其變形2運(yùn)用余弦定理解決的幾種解三角形問(wèn)題3利用余弦定理判斷三角形的形狀問(wèn)題2方法歸納：分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸3常見(jiàn)誤區(qū)：1判斷銳角三角形時(shí)只滿足一個(gè)式子便輕下結(jié)論而出錯(cuò)2不注意運(yùn)用三角形解的個(gè)數(shù)的判斷條件而輕下結(jié)論只有一解課堂小結(jié)ETANGIAOJIE4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PARTFOUR基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√12345678910111213141516解析由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，√即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4因?yàn)閎<c，所以b＝23邊長(zhǎng)為5,7,8的三角形的最大角與最小角的和是A90° B120° C135° D150°12345678910111213141516√12345678910111213141516√√解析由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC＝a＋b2－2ab－2abcosC，或a＋b2－c2＝2ab1＋cosC＝ab＝4，∴ab＝412345678910111213141516√解析由BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA，6在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a＝，且b2＋c2＝3＋bc，則角A的大小為1234567891011121314151660°∴b2＋c2＝a2＋bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∵0°<A<180°，∴A＝60°7在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若b＝3，c＝4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是12345678910111213141516解析∵b＝3，c＝4，且△ABC是銳角三角形，8△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，則B＝12345678910111213141516方法二依題意，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA＝sinA＋C＝sinB，123456789101112131415169在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且cosA＝，a＝4，b＋c＝6，b<c，求b，c的值1234567891011121314151612345678910111213141516A正三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形綜合運(yùn)用12345678910111213141516∴a2＋b2＝c2，符合勾股定理，故△ABC為直角三角形√12在△ABC中，若sinA＋sinBsinA－sinB≤sinCsinC－sinB，則A的取值范圍是12345678910111213141516√解析∵sinA＋sinBsinA－sinB≤sinCsinC－sinB，∴根據(jù)正弦定理，得a＋ba－b≤cc－b，13在△ABC中，A＝60°，最大邊長(zhǎng)與最小邊長(zhǎng)是方程2－9＋8＝0的兩個(gè)實(shí)根，則邊BC的長(zhǎng)為12345678910111213141516解析設(shè)內(nèi)角B，C所對(duì)的邊分別為b，c∵A＝60°，∴可設(shè)最大邊與最小邊分別為b，c由條件可知b＋c＝9，bc＝8，∴BC2＝b2＋c2－2bccosA＝b＋c2－2bc－2bccosA＝92－2×8－2×8×cos60°＝57，14在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知b－c＝a，2sinB＝3sinC，則cosA的值為1234567891011121314151615如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，用了2min，從點(diǎn)D沿DC走到點(diǎn)C用了3min若此人步行的速度為50m/min，則該扇形的半徑為m12345678910111213141516拓廣探究解析依題意得OD＝100m，CD＝150m，連接OC，易知∠ODC＝180°－∠AOB＝60°