改進(jìn)的庫侖定律和牛頓第二定律的變維分形方法

改進(jìn)的庫侖定律和牛頓第二定律的變維分形方法

克林威治法是根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果總結(jié)的。庫侖提出的庫侖定律的形式為f=kq1q2r2.(1)f=kq1q2r2.(1)顯然,庫侖提出的庫侖定律和牛頓提出的萬有引力定律都是平方反比定律。然而,文獻(xiàn)中已經(jīng)根據(jù)文獻(xiàn)中給出的改進(jìn)的牛頓萬有引力公式提出非平方反比引力定律。類似于非平方反比引力定律,兩帶電物體做相對運(yùn)動時(此時必須考慮牛頓第二定律),其相互作用力將符合非平方反比庫侖定律。牛頓第二定律也是根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果總結(jié)出來的。牛頓提出的第二定律的形式為F=ma.(2)這2個定律能否從理論上導(dǎo)出要看是否有1個應(yīng)用范圍更廣泛的定律。目前能夠擔(dān)當(dāng)這一重任的只有能量守恒定律(原理)。因?yàn)閹靵龆杉芭ｎD第二定律只能處理宏觀物理現(xiàn)象,而能量守恒定律不但能夠處理宏觀物理現(xiàn)象,而且也能處理微觀物理現(xiàn)象。為了探討從理論上導(dǎo)出這2個定律的可能性,筆者根據(jù)能量守恒定律,用變維分形方法改進(jìn)庫侖定律和牛頓第二定律,并給出同時推導(dǎo)改進(jìn)的庫侖定律及牛頓第二定律的方法和針對帶電小球在帶電球體的電場中沿長斜面滾下的實(shí)例。由于求解過程十分復(fù)雜,為簡便以見,只給出適用于本例的常維分形結(jié)果。1間接應(yīng)用能量守恒定律建立變分原理能量守恒定律是自然界的一條基本定律,主要內(nèi)容:在封閉系統(tǒng)中,系統(tǒng)的總能量保持不變。下面用最小二乘法給出能量守恒定律建立的變分原理。設(shè)封閉系統(tǒng)的初始總能量為W(0),任意時刻的總能量為W(t),則根據(jù)能量守恒定律應(yīng)有W(0)=W(t).(3)上式可以寫為RW=W(t)W(0)-1=0.(4)RW=W(t)W(0)?1=0.(4)應(yīng)用最小二乘法,對于區(qū)間[t1,t2],根據(jù)能量守恒定律可得如下變分原理Π=∫t2t1R2Wdt=min0.(5)式中min0表示泛函Π的最小值而且應(yīng)當(dāng)?shù)扔诹?。除了時間坐標(biāo)以外,還可以采用其他坐標(biāo),例如對于區(qū)間[x1,x2],根據(jù)能量守恒定律可得如下變分原理Π=∫x2x1R2Wdx=min0.(6)以上是直接應(yīng)用能量守恒定律建立的變分原理。有時還需要間接應(yīng)用能量守恒定律建立變分原理。例如,感興趣的某一物理量Q,既可以應(yīng)用能量守恒定律來計(jì)算,又可以應(yīng)用其他定律來計(jì)算。為了便于區(qū)別,將其他定律計(jì)算的結(jié)果仍然記為Q,將能量守恒定律計(jì)算的結(jié)果記為Q′,令RW重新定義如下:RW=QQ′-1=0.(7)將(7)式代入(5)式和(6)式,根據(jù)Q′是能量守恒定律計(jì)算的結(jié)果,所以得到間接應(yīng)用能量守恒定律建立的變分原理。另外,Q與Q′的符合程度也一目了然。2改進(jìn)萬有引力定律和形式的變維分形在牛頓力學(xué)范圍內(nèi),文獻(xiàn)已經(jīng)對萬有引力定律做出了一些改進(jìn)。給出如下的改進(jìn)公式:F=-GΜmr2-3G2Μ2mpc2r4?(8)式中G為引力常數(shù);M和m為兩物體的質(zhì)量;r為兩物體間的距離;c為光速;p為質(zhì)量為m的物體在質(zhì)量為M的物體的引力場中沿圓錐曲線運(yùn)動時的半正焦弦,而且有:對于橢圓,p=a(1-e2);對于雙曲線,p=a(e2-1);對于拋物線,p=y2/2x。當(dāng)兩物體做中心對中心運(yùn)動(含相對靜止)時,可視為半正焦弦p=0的情況,此時改進(jìn)的萬有引力公式與原有的萬有引力公式相同。該公式對水星近日點(diǎn)進(jìn)動問題和光線近日偏折問題均能給出與廣義相對論一樣的正確解。但是,原有的萬有引力定律和(8)式只能處理兩物體做中心對中心運(yùn)動(含相對靜止)和質(zhì)量為m的物體在質(zhì)量為M的物體的引力場中沿圓錐曲線運(yùn)動時的情況,對于受約束而作非中心對中心直線運(yùn)動(不含相對靜止)和沿其他曲線運(yùn)動的情況,就要討論更一般形式的萬有引力定律。參照(8)式,可以將更一般形式的萬有引力定律寫為F=-GΜmr2(1+a1r2+a2r4+?).類似地,除了2個電荷處于相對靜止的情況以外,可以將更一般形式的庫侖定律寫為f=kq1q2r2(1+a1r2+a2r4+?).(9)另外,在最近十幾年間,分形方法已在一些領(lǐng)域獲得成功應(yīng)用,它被用來揭示復(fù)雜現(xiàn)象中深藏的有組織結(jié)構(gòu)。反映有組織結(jié)構(gòu)特征的量稱為分維數(shù),用D值來表示。在目前一般應(yīng)用的分形方法中,分維數(shù)D為實(shí)數(shù),例如不同地段海岸線的分維數(shù)D值可以取為1.02、1.25等。分形分布可用如下冪指數(shù)分布定義:Ν=CrD,式中r為特征線度,如長度、時間等;N為與r有關(guān)的數(shù)量,如力、溫度和高度等;C為待定常數(shù),D為分維數(shù)。當(dāng)D為常數(shù)時,這種分形可稱為常維分形。也可以將更一般形式的庫侖定律寫為變維分形的形式:f=kq1q2rD.(10)式中D=f(r),例如可以令D=a1+a2r+a3r2+….(11)不過在文中只取常維分形的形式,即D=const。在牛頓力學(xué)范圍內(nèi),也可將對牛頓第二定律進(jìn)行改進(jìn)?？梢詫⒏话阈问降呐ｎD第二定律寫為F=ma+k1a2+k2a3+….(12)也可以將更一般形式的牛頓第二定律寫為變維分形的形式F=maD′.(13)式中D′=f(r),例如可以令D′=k1+k2a+k3a2+….(14)不過在本文中也只取常維分形的形式,即D′=const。為方便計(jì),寫為F=ma1+ε。(15)式中ε=const。如果ε=0,則成為原有的牛頓第二定律。3庫侖定律及牛頓第二定律將(9)式或(10)式,(12)式或(13)式計(jì)算的有關(guān)物理量代入(5)式或(6)式,根據(jù)極值條件可以建立如下方程組:?Π?ai=?Π?ki=0.(16)解出此方程組以后,就可以同時得到改進(jìn)的庫侖定律及牛頓第二定律。判別解的近似程度可以根據(jù)Π值接近于零的程度而定。Π值越接近于零,效果越好。顯然,在求解過程中沒有依賴任何實(shí)驗(yàn)結(jié)果。不過,這樣得到的改進(jìn)的庫侖定律及牛頓第二定律是否適用于其他場合,是一個需要進(jìn)一步研究的課題。還需要說明的是,除了求解方程組可以確定最小值及各待定常數(shù)以外,用最優(yōu)化算法也可以確定最小值及各待定常數(shù)。文中將用最優(yōu)化算法確定最小值及各待定常數(shù)。4u3000帶能量的單因素實(shí)驗(yàn)下面對于1個實(shí)例,同時導(dǎo)出常維分形形式(即(10)式和(15)式中的D和ε均為待定常數(shù))的改進(jìn)的庫侖定律及牛頓第二定律。如圖1所示,設(shè)圓O′代表帶電大球體。帶電大球體的電量為q1,帶電小球的質(zhì)量為m,電量為q2。q1及q2為異號電荷。設(shè)O′A為1條鉛垂線,x坐標(biāo)與O′A垂直,y坐標(biāo)與x坐標(biāo)垂直(與O′A平行)。BC與O′A垂直。OA,OB,BC,AC的長度均為H,O′C的長度等于帶電大球體半徑R。設(shè)有1條從A到B的直線(實(shí)際上是一個斜面),考慮帶電小球在電力作用下沿直線從A滾動到B的情況。設(shè)當(dāng)帶電小球位于A點(diǎn)時,其初速度為零,引力和摩擦作用忽略不計(jì)。對于該例,感興趣的物理量是帶電小球在點(diǎn)P時速度的二次方v2p,為了便于區(qū)別,將改進(jìn)的庫侖定律及牛頓第二定律計(jì)算的結(jié)果仍然記為v2p,將能量守恒定律計(jì)算的結(jié)果記為v′2p,將式(7)代入式(6),變分原理式(6)重新寫為如下形式:Π=∫0-Η(v2pv′2Ρ-1)2dx=min0.(17)先根據(jù)能量守恒定律計(jì)算有關(guān)的物理量。因大小球的電荷異號,類似于引力(重力)勢能,由改進(jìn)的庫侖定律(10)式可以得到帶電小球位于任意點(diǎn)P時的勢能為V=-kq1q2(D-1)rD-1Ο′Ρ.(18)根據(jù)能量守恒定律應(yīng)有-kq1q2(D-1)rD-1Ο′A=12mv′2Ρ-kq1q2(D-1)rD-1Ο′Ρ.(19)于是有v′2Ρ=2kq1q2m(D-1)[1rD-1Ο′Ρ-1(R+Η)D-1].(20)根據(jù)改進(jìn)的庫侖定律及牛頓第二定律,計(jì)算有關(guān)的物理量?？紤]一般的情況,設(shè)帶電小球滾動的曲線為y=y(x).(21)當(dāng)帶電小球運(yùn)動到任意點(diǎn)P時,由于dv/dt=a,(22)而dt=dsv=√1+y′2dxv,于是有dv=adt=a√1+y′2dxv,即有vdv=a√1+y′2dx.(23)根據(jù)改進(jìn)的庫侖定律可得P處所受吸引力為FΡ=kq1q2rDΟ′Ρ.于是得沿切線方向所受力為Fa=kq1q2rDΟ′Ρy′√1+y′2.(24)根據(jù)改進(jìn)的牛頓第二定律可得P處沿切線方向的加速度a為a=(Fam)1/(1+ε)=(kq1q2y′mrDΟ′Ρ√1+y′2)1/(1+ε).(25)于是由(23)式可得vdv=(kq1q2y′/(m[(Η+x)2+(R+Η-y)2]D/2√1+y′2))1/(1+ε)√1+y′2dx.(26)將上式兩端從A到P進(jìn)行積分可得v2Ρ=2∫xΡ-Η(kq1q2y′/(m[(Η+x)2+(R+Η-y)2]D/2√1+y′2))1/(1+ε)√1+y′2dx.(27)現(xiàn)在,考慮最簡單的情況,即A和B之間以直線相連接的情況,于是有y=H+x.(28)將(28)式代入(27)式,并作置換x=-z,可得v2Ρ=2∫Η-xΡ(kq1q2/(m[(Η-z)2+(R+z)2]D/2))1/(1+ε)(√2)ε/(1+ε)dz,(29)并根據(jù)數(shù)值積分的方法進(jìn)行計(jì)算。下面進(jìn)行具體的推導(dǎo)和計(jì)算。例1已知圖1帶電大球體及帶電小球的kq1q2m=3.99×1014m3/s2,帶電大球體半徑R=6.37×106m,H=R/10,試對圖1問題求解v2B,并同時導(dǎo)出改進(jìn)的庫侖定律及牛頓第二定律。解首先將能量守恒定律和原有的庫侖定律及牛頓第二定律(即在(10)式中D=2,在(15)式中ε=0)計(jì)算的各量代入(17)式,得到Π0=571.4215.此時根據(jù)能量守恒定律計(jì)算的v2B=1.0767×107,根據(jù)原有的庫侖定律及牛頓第二定律計(jì)算的v2B=1.1351×107,兩者相差5.4%。由于Π0不等于零,就可以用最優(yōu)化方法確定D和ε。目前應(yīng)用的最優(yōu)化方法可以分為2類:一類可以不依賴初值,但程序復(fù)雜;另一類要求初值足夠好,但程序簡單。此處采用后一類中的搜索法。先固定D值,令D=2,然后搜索ε值,當(dāng)ε=0.0146時Π達(dá)到最小值139.3429;然后固定ε,搜索D值,當(dāng)D=1.99989時Π達(dá)到最小值137.3238;然后固定D值,搜索ε值,當(dāng)ε=0.01458時Π達(dá)到最小值137.3231;由于兩次搜索后的Π值極為接近,于是可以停止搜索,得到最后結(jié)果D=1.99989,ε=0.01458,Π=137.3231.此時Π值僅為Π0值的24%。而根據(jù)能量守恒定律計(jì)算的v2B=1.0785×107,根據(jù)改進(jìn)的庫侖定律及牛頓第二定律計(jì)算的v2B=1.1073×107。兩者相差僅2.7%。由此得到適用于例1的改進(jìn)的庫侖定律及牛頓第二定律如下:改進(jìn)的庫侖定律f=kq1q2r1.99989;改進(jìn)的牛頓第二定律F=ma1.01458.最后討論常維分形形式的庫侖定律和牛頓第二定律的量綱問題。給出2種方案:方案一:規(guī)定a1+ε和r2-ε的量綱分別與a1和r2的量綱一樣;方案二:在每1個公式的右邊乘以1個專門處理量綱的常數(shù),例如改進(jìn)的牛頓第