計算結(jié)構(gòu)力學(全套課件500P)

計算結(jié)構(gòu)力學計算結(jié)構(gòu)力學1第一章緒論第一章緒論21-1概述結(jié)構(gòu)矩陣分析利用矩陣代數(shù)理論來分析結(jié)構(gòu)力學問題，是隨著計算機的迅速發(fā)展而興起的結(jié)構(gòu)分析方法。計算結(jié)構(gòu)力學利用計算機來進行結(jié)構(gòu)的力學分析。1-1概述結(jié)構(gòu)矩陣分析3計算結(jié)構(gòu)力學的開課目的

本課程屬于技術(shù)基礎課，主要是強化計算機在結(jié)構(gòu)分析方面的應用，是現(xiàn)代結(jié)構(gòu)分析重要的不可缺少的手段，是專業(yè)技術(shù)能適應現(xiàn)代化需要的組成部分。計算結(jié)構(gòu)力學的開課目的4本課程主要研究桿系結(jié)構(gòu)，可對六種桿系結(jié)構(gòu)進行分析。主要采用矩陣位移法或稱桿系有限元法進行分析。主要內(nèi)容為建立結(jié)構(gòu)剛度方程的矩陣形式及求解，程序設計和上機。要求掌握桿系有限元進行結(jié)構(gòu)分析的過程；進行程序設計及計算機應用方面的訓練；要求在其它專業(yè)課中融匯貫通，借此達到專業(yè)技能與全面素質(zhì)的提高。本課程的主要內(nèi)容和任務本課程主要研究桿系結(jié)構(gòu)，可對六種桿系結(jié)構(gòu)進行分析。本課程的主51、矩陣位移法(剛度法)：以結(jié)點位移為基本未知量，建立結(jié)構(gòu)的剛度方程。2、矩陣力法(柔度法)：以結(jié)點力為基本未知量，建立結(jié)構(gòu)的柔度方程。3、矩陣混合法(雜交法)：以部分結(jié)點位移、部分結(jié)點力為未知量，建立結(jié)構(gòu)的混合法方程。結(jié)構(gòu)矩陣分析的主要方法1、矩陣位移法(剛度法)：以結(jié)點位移為基本未知量，建立結(jié)構(gòu)6由結(jié)構(gòu)力學內(nèi)容可知:剛度法只需滿足平衡條件，在荷載形式一定的情況下自然滿足，故普遍得到使用。柔度法要確立多余約束建立基本結(jié)構(gòu)，并滿足位移協(xié)調(diào)條件，要具體分析，故很難規(guī)范化統(tǒng)一格式編程，不易實現(xiàn)計算自動化。所以，工程計算一般采用矩陣位移法。由結(jié)構(gòu)力學內(nèi)容可知:7但在梁、板、殼等問題中，所假設的位移場在某些情況下不能滿足一些單元的協(xié)調(diào)性(C'連續(xù)性問題)，故混合法或柔度法仍得到運用，并能進一步發(fā)展，現(xiàn)主要在板殼結(jié)構(gòu)中使用。本課程主要介紹矩陣位移法。但在梁、板、殼等問題中，所假設的位移場在某些8在矩陣位移法中所有的方程組均采用矩陣的形式表示。所有的推導和運算均借助于矩陣代數(shù)，形式緊湊明了，方便程序設計。采用矩陣結(jié)構(gòu)分析方法，并不改變結(jié)構(gòu)力學的基本原理和基本假設。如平衡原理、疊加原理、變形協(xié)調(diào)原理、能量原理等。在矩陣位移法中9本課程基本假設：小變形假設；材料線性行為假設(結(jié)構(gòu)聯(lián)接為理想聯(lián)結(jié))。滿足以上兩個假設的結(jié)構(gòu)稱為線性結(jié)構(gòu)。

本課程基本假設：小變形假設；101-2有限單元法簡介結(jié)構(gòu)理想化的概念：結(jié)構(gòu)理想化是一種簡化手段，如同材料力學中的計算簡圖的概念。在結(jié)構(gòu)力學中，就是假設結(jié)構(gòu)為連續(xù)體，理想連接、均勻各向同性的線性結(jié)構(gòu)。經(jīng)上述理想化以后，即可畫出結(jié)構(gòu)的計算簡圖，其主要特點有：1、以桿件軸線代替實際桿線；2、結(jié)構(gòu)聯(lián)結(jié)主要有剛結(jié)、鉸結(jié)、鏈桿聯(lián)接等；3、支座可簡化為活動支座、固定鉸支座和固定支座等。1-2有限單元法簡介結(jié)構(gòu)理想化的概念：11結(jié)構(gòu)矩陣分析所采用的主要方法為有限單元法，其基本思想是：把整個結(jié)構(gòu)看成是由有限個單元(桿件、平面、殼體、塊體等)所組成的集合體，各個單元由結(jié)點相互連結(jié)，這就是結(jié)構(gòu)的離散化，由各單元的平衡條件建立單元剛度方程，再利用整體平衡條件將各單元集合在一起，恢復為原結(jié)構(gòu)，得到結(jié)構(gòu)整體平衡方程(結(jié)構(gòu)剛度方程)。結(jié)構(gòu)矩陣分析所采用的主要方法為有限單元法，其基本思想是：12

結(jié)構(gòu)剛度方程形式為線性代數(shù)方程組，利用矩陣代數(shù)和數(shù)值計算方法編制成計算機程序，上機求解未知量。由此可知有限單元法的中心思想是一分一合。由于單元的個數(shù)有限，故稱其為有限單元法。結(jié)構(gòu)剛度方程形式為線性代數(shù)方程組，利用矩陣代數(shù)和數(shù)值計算13單元的類型主要有：①桿單元 ②平面單元及板單元③殼單元 ④塊體單元①桿單元②平面單元及板單元③殼單元 ④塊體單元單元的類型主要有：①桿單元②平面單元及板單元③殼單元 ④塊體14本課程主要研究桿系結(jié)構(gòu)，稱為桿系有限元。由于采用結(jié)點位移為未知量，故稱為有限元位移法。在實施中，由單元的剛度方程，依各結(jié)點的集約條件，可直接形成結(jié)構(gòu)剛度方程，其方法稱為直接剛度法。

本課程主要研究桿系結(jié)構(gòu)，稱為桿系有限元。15結(jié)構(gòu)的離散化過程本課程可以對六種桿系結(jié)構(gòu)進行分析：①梁②剛架③桁架④排架⑤框排架⑥剛鉸混合結(jié)構(gòu)(或梁桁組合結(jié)構(gòu))。無論對哪一種結(jié)構(gòu)，總可以假想地將它拆開，視為有限個單桿在其端點聯(lián)結(jié)，可以自然剖分，亦可以細分，這些單桿稱為單元，聯(lián)結(jié)點就稱為結(jié)點(節(jié)點)。結(jié)構(gòu)的離散化過程16123①②123456①②③④⑤⑥12345①②③④⑤⑥⑦1234567①②③④⑤⑥1234567891011121314①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩123456①②③④⑤⑥⑦⑧結(jié)構(gòu)的離散化過程：(a)梁(b)剛架(c)桁架(d)排架(e)框排架(f)梁桁組合1112131415161718123①②123456①②③④⑤⑥12345①②③④⑤⑥⑦171-3結(jié)點位移和結(jié)點力結(jié)點位移包括：線位移和角位移。單元兩端的結(jié)點位移又稱單元的桿端位移，或稱其為單元結(jié)點位移。已知桿端位移及荷載情況便可了解整個單元的變形狀態(tài)，用{δ}i表示結(jié)點i的結(jié)點位移列陣；{δ}表示單元的結(jié)點位移列陣；{Δ}表示結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移列陣。1-3結(jié)點位移和結(jié)點力結(jié)點位移包括：線位移和角位移。18桁架：連續(xù)梁：剛架：桁架：連續(xù)梁：剛架：19

結(jié)點力包括：力和力偶矩。①單元結(jié)點力：單元桿端力，這是結(jié)構(gòu)內(nèi)力，對單元而言是作用在單元兩端結(jié)點上的外力。②結(jié)構(gòu)結(jié)點力：由于匯交于每一結(jié)點的各單元桿端力的總和即等于該結(jié)點所受的力，故結(jié)構(gòu)結(jié)點力是外力，為相應的結(jié)點荷載或結(jié)點支座的支座反力。結(jié)點i的結(jié)點力列陣用{F}i表示；單元的桿端力列陣用{F}表示；結(jié)點力包括：力和力偶矩。20結(jié)構(gòu)結(jié)點力列陣用｛P｝表示；反力用｛R｝表示；結(jié)點位移與結(jié)點力的各個分量應相互對應，如：{δ}i與{F}i,{Δ}與{P}；結(jié)點位移編號(或結(jié)點力編號)與結(jié)點編號有關(guān)。結(jié)點編號是人為的，現(xiàn)已可用程序?qū)崿F(xiàn)結(jié)點自動編號；在進行結(jié)構(gòu)分析時，首先應編好結(jié)點號。結(jié)點編號的好壞直接影響計算精度及內(nèi)存，其原理是應盡量使每個單元兩端結(jié)點號的差值最小。結(jié)構(gòu)結(jié)點力列陣用｛P｝表示；21

1-4基本未知量如何確定結(jié)構(gòu)的基本未知量?根據(jù)有限單元法的離散化要求，各個單元僅在結(jié)點處聯(lián)結(jié)，因此只有結(jié)點處的力學量(結(jié)點位移或結(jié)點力)可以作為基本未知量。由于矩陣位移法采用位移為未知量，故在有限元位移法中采用結(jié)點位移作為未知量。因為荷載已知，此時相應的結(jié)點力向量應為已知，這對于一般結(jié)點均滿足。1-4基本未知量如何確定結(jié)構(gòu)的基本未知量?22關(guān)于支座情況，需要進行約束處理。因為結(jié)點力包括了支座結(jié)點反力，這在通常情況下為未知，這點看來與上述要求不符。但由于在不考慮彈性支承情況下，有結(jié)點反力的這部分支座位移通常已知(零或已知沉降量)，不需求解，可在結(jié)構(gòu)剛度方程中將這一方程劃去，這就是約束處理。直接剛度法分為前處理法及后處理法。關(guān)于支座情況，需要進行約束處理。23前處理法在形成結(jié)構(gòu)剛度矩陣之前，也就是在建立結(jié)構(gòu)剛度矩陣之前考慮到實際的約束情況，再形成結(jié)構(gòu)剛度矩陣。后處理法在形成結(jié)構(gòu)剛度矩陣之前，先不考慮支承情況，而在形成結(jié)構(gòu)剛度矩陣之后，再根據(jù)約束情況對結(jié)構(gòu)剛度矩陣進行修改。很明顯，前處理法可減少存貯單元。前處理法24本課程采用前處理法，具體的約束處理如下：對于一般結(jié)點(指無約束的結(jié)點)的未知量編號，在對結(jié)構(gòu)的全部結(jié)點編號后即可確定；對于整個結(jié)構(gòu)的全部未知量編號，還需要加上支座的未知量編號；這實際上就是要對結(jié)構(gòu)的支座約束進行處理，這是結(jié)構(gòu)分析中非常重要的環(huán)節(jié)。本課程采用前處理法，具體的約束處理如下：25例1：對圖示一般剛架進行結(jié)點和未知量編號。解：先編結(jié)點號，后根據(jù)每個結(jié)點三個未知量進行未知量編號。例1：對圖示一般剛架進行結(jié)點和未知量編號。26對支座進行約束處理，可通過約束特征數(shù)來實現(xiàn)。支座約束特征數(shù)：表示支座結(jié)點的某一位移未知量有無剛性約束的人為賦值數(shù)字。有約束：約束特征數(shù)為1；無約束：約束特征數(shù)為0。顯然，有約束則無位移未知量，無約束則有位移未知量。對于采用剛架單元的平面桿系結(jié)構(gòu)，其支座約束特征數(shù)如下：

對支座進行約束處理，可通過約束特征數(shù)來實現(xiàn)。27例2：對圖示結(jié)構(gòu)進行結(jié)點未知量編號。解：結(jié)點編號如圖所示，未知量編號見表1。若不考慮桿件的軸向變形，則未知量編號見表2。例2：對圖示結(jié)構(gòu)進行結(jié)點未知量編號。28例3：剛鉸混合結(jié)構(gòu)解：因鉸處有兩個轉(zhuǎn)角未知量，因此多編一個結(jié)點號?。ㄒ姳?）若不考慮桿件的軸向變形，則未知量編號見表2。2例3：剛鉸混合結(jié)構(gòu)229例4：梁桁組合結(jié)構(gòu)例4：梁桁組合結(jié)構(gòu)301-5軸力桿單元剛度方程

(桁式單元)首先介紹坐標系的概念。1、結(jié)構(gòu)坐標系(整體坐標系)；2、自身坐標系(局部坐標系)。局部坐標系建立在單元上，由始結(jié)點至終結(jié)點，用“'”作記號。1-5軸力桿單元剛度方程

(桁式單元)首先介紹坐標31由結(jié)構(gòu)力學位移法可知，桿單元的平衡方程可寫成

[k]{δ}={F}的形式，其中由結(jié)構(gòu)力學位移法可知，桿單元的平衡方程可寫成32[k]為2×2階的單元剛度矩陣，現(xiàn)予詳細介紹。單元剛度系數(shù)kij的定義：僅當：時在i處所需施加的力。取單元兩端軸向位移為未知量：u1、u2如右圖所示。[k]為2×2階的單元剛度矩陣，現(xiàn)予詳細介紹。33當u1=1、u2=0時，由剛度系數(shù)的定義可知：F11=k11u1=k11F21=k21u1=k21當u1=0、u2=1時，F(xiàn)22=k22u2=k22F12=k12u2=k12當u1=1、u2=0時，由剛度系數(shù)的定義可知：34計算結(jié)構(gòu)力學(全套課件500P)35這里也可由剛度系數(shù)的定義直接得到這里36當局部坐標系和整體坐標系不重合時，如豎桿、斜桿等，其剛度方程（或剛度矩陣）如何推得？一般可通過坐標變換（后面再詳細介紹），現(xiàn)再利用靜力法推導桿單元在整體坐標系中的剛度方程。當局部坐標系和整體坐標系不重合時，如豎桿、斜37此時，桿單元每端有兩個未知量：此時，桿單元每端有兩個未知量：38計算結(jié)構(gòu)力學(全套課件500P)39而u1、v1所引起的桿端力可由類似方法得到，令cosα=l,sinα=m，最后可將單元的剛度方程寫成：而u1、v1所引起的桿端力可由類似方法得到，令cosα=40計算結(jié)構(gòu)力學(全套課件500P)41可將上面的單元剛度方程寫成矩陣形式：可將上面的單元剛度方程寫成矩陣形式：421-6剛度法的基本概念

采用結(jié)構(gòu)力學中位移法的基本方法，建立結(jié)構(gòu)的剛度方程，現(xiàn)以下面的超靜定桁架為例來說明。例：求圖示結(jié)構(gòu)各桿的軸力，A=2000mm2,E=200KN/mm2。1-6剛度法的基本概念采用結(jié)構(gòu)力學中位移43解：為未知量，剛度法基本步驟：1、列出結(jié)點的平衡方程（如有多個結(jié)點，均應依次列出）2、變形條件（用位移來表示各單元變形）如圖，ei在表示i的伸長量解：為未知量，剛度法基本步驟：2、變形條443、物理量線剛度3、物理量45(**)(**)46最后結(jié)構(gòu)剛度方程（＊＊）是由平衡、變形、物理條件形成，若能由計算機直接形成（＊＊），即這三步均可不列，過程得以簡化，關(guān)鍵在于求[K]、{P};求[K]的主要過程在于第3步，相當于單元分析，如果能求得各類單元的統(tǒng)一公式，求[K]則只是程序設計而已。上述二點為剛度法的主要點，由此可設想直接剛度法的具體過程。討論討論471-7坐標系與單元定位向量1-7坐標系與單元定位向量48

確定結(jié)構(gòu)上各點(特別是結(jié)點)的位置及幾何參數(shù)，坐標系類型主要有：

1、整體坐標系(結(jié)構(gòu)坐標系、固定坐標系)。

2、局部坐標系(自身坐標系、活動坐標系)。一、建立坐標系的目的說明：圖示中所示方向均為正向；結(jié)構(gòu)坐標的原點可任意設置，通常設在左下角；單元坐標系的原點規(guī)定設在單元的始結(jié)點，由此可確定y’軸的正向，及轉(zhuǎn)角的正方向。確定結(jié)構(gòu)上各點(特別是結(jié)點)的位置及幾何參數(shù)，坐標系類型49二、單元定位向量定義：它是按單元結(jié)點編號順序由單元各結(jié)點的未知量編號所組成的一列數(shù)字(列向量)，其分量即為該單元結(jié)點的未知量編號。二、單元定位向量定義：501、直接確定各單元剛度矩陣在結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的位置，由此可極其方便且準確無誤地形成經(jīng)約束處理后的[K]；2、可將單元的等效結(jié)點力[Fe]疊加到{P}中；3、可從{Δ}中取出{δ}；4、解決一維變帶寬存貯的尋址問題；5、邊界或約束處理；6、利用主從關(guān)系可模擬各種類型的結(jié)構(gòu)等。單元定位向量的主要用途(在直接剛度法中)：單元定位向量的主要用途51可以說，程序設計的自始至終，在每一個環(huán)節(jié)都離不開單元定位向量，計算機自動化計算所需的信息主要由它提供，所以在程序設計中是各模塊的組織者，起到主線的作用，占有非常重要的地位，值得深入研究。對每個單元，只要知道i、j及兩端結(jié)點的未知量編號，即可確定每個單元的定位向量MW(6)。ee可以說，程序設計的自始至終，在每一個環(huán)節(jié)都離不開單元定位52例：求圖示剛架各單元的定位向量MW(6)。解：結(jié)點及單元編號如圖，單元定位向量列表如下：例：求圖示剛架各單元的定位向量MW(6)。531-8形成結(jié)構(gòu)單元定位向量

的程序設計

采用平面剛架單元進行分析，首先介紹幾個概念：1、特殊結(jié)點

凡未知量不足三個的結(jié)點稱特殊結(jié)點。介紹一些常用的數(shù)組和變量：

NJ：結(jié)點(總)數(shù)NJT：特殊結(jié)點數(shù)

1-8形成結(jié)構(gòu)單元定位向量

的程序設計采用平面剛架單542、約束特征數(shù)表示結(jié)點的某一位移方向有無約束或該位移是否是無效未知量的人為賦值數(shù)字。1：表示有約束，沿該方向位移為零。0：表示無約束，沿該方向可以有自由位移。10001：表示無效的未知量。

2、約束特征數(shù)1：表示有約束，沿該方向位移為零。553、主從關(guān)系表示非獨立的結(jié)點位移未知量與主結(jié)點位移之間的從屬關(guān)系。主從關(guān)系由約束特征數(shù)表示：即從結(jié)點相應未知量的約束特征數(shù)可直接填主結(jié)點號，當主結(jié)點為1時，以1001代替。3、主從關(guān)系564、結(jié)點未知量編號數(shù)組JW(3，NJ)這是形成單元定位向量所必須的數(shù)組，要形成JW(3，NJ)，則要了解結(jié)點約束情況，桿系類型(無效未知量情況)，主從結(jié)點情況，故應先輸入特殊結(jié)點信息，以JTX(4，NJT)表示。以上過程簡稱約束處理，需事先在程序中作為輸入語句。4、結(jié)點未知量編號數(shù)組JW(3，NJ)57例1形成圖示剛架結(jié)構(gòu)的JTX(4,NJT)。解：本例特殊結(jié)點數(shù)NJT=2，特殊結(jié)點信息數(shù)組JTX(4,2)為例1形成圖示剛架結(jié)解：本例特殊結(jié)點數(shù)NJT=2，特殊結(jié)點信58①凡從屬結(jié)點都應作為特殊結(jié)點處理，要填約束信息，允許一主多從，而不允許一從多主。②JTX(4，NJT)的填寫是項很認真的工作。編寫好這個數(shù)組，就可以用一般平面剛架單元的程序設計來分析各種類型的桿系結(jié)構(gòu)。注意：注意：591234①②③例1．連續(xù)梁解：本例NJT=41234①②③例1．連續(xù)梁解：本例NJT=460例2．桁架解：本例NJT=41234例2．桁架解：本例NJT=4123461例3．剛鉸混合結(jié)構(gòu)分二種情況①EA=const；②EA=∞②EA=∞，NJT=6解：①EA=const，NJT=3例3．剛鉸混合結(jié)構(gòu)分二種情況①EA=const；62

CPROGRAMOFMWEXAMDIMENSIONJH(2,20),JTX(4,20),JW(3,20),MW(6)WRITE(*,*)'FINDINGTHEMW(6)OF

*ELEMENTS'OPEN(1,FILE='MWE.DAT)READ(1,*)NE,NJ,NJTREAD(l,*)((JH(I,J),I=1,2),J=1,NE)READ(1,*)((JTX(I,J),I=1,4),J=1,NJT)CALLQJW(NJ,NJT,JTX,JW,N)形成單元定位向量的程序設計CPROGRAMOFMW63 DO10M=1,NECALLQMW(M,NE,NJ,JH,JW,MW)10WRITE(*,100)M,(MW(I),I=1,6)100FORMAT(1X,‘ELEMENTNo.=’,I5,/6X,‘MW*=',615) STOP END DO10M=1,NE64SUBROUTINEQMW(M,NE,NJ,JH,JW,MW) DIMENSIONJH(2,NE),MW(6),JW(3,NJ) JL=JH(1,M)JR=JH(2,M) DO100J=l,3MW(J)=JW(J,JL)100MW(J+3)=JW(J,JR)RETURNEND子程序QJW見書14頁子程序QMW為：SUBROUTINEQMW(M65

數(shù)據(jù)文件為：9,8,23,1,4,2,5,3,6,4,7,5,8,6,1,2,3,4,5,67,1,1,1,8,1,1,1習題2：①就本節(jié)三個例題，分別寫出相應結(jié)構(gòu)的單元定位向量②上機計算并打印結(jié)果例4：編寫本節(jié)例1三層剛架求MW的數(shù)據(jù)文件。數(shù)據(jù)文件為：例4：編寫本節(jié)例1三層剛架求MW的數(shù)據(jù)文66第二章功能原理計算結(jié)構(gòu)力學第二章功能原理計算結(jié)構(gòu)力學671、靜力法推導桁式單元的單元剛度矩陣已較為麻煩，復雜單元就更為困難只能求助于功能原理。2、靜力法推導結(jié)構(gòu)剛度矩陣也很困難，由功能原理可推導出組裝結(jié)構(gòu)剛度矩陣的直接剛度法。3、處理單元荷載。4、由于實際問題的復雜性，用靜力法往往較為困難，求助于功能原理可以求得各種問題的精確解或近似解。5、了解功能原理和力學上的平衡原理(或變形協(xié)調(diào)原理)的等價性。2-1概述:學習功能原理的目的一、基本知識1、靜力法推導桁式單元的單元剛度矩陣已較為麻煩，復雜單元就更681、靜力加載(比例加載)。2、應變能：彈性體因受外力作用變形而具有恢復原狀態(tài)的能力，即具有做功的能力，又稱為形變勢能。3、功能方程(前提：①靜力加載；②無耗散功δQ=0)：在微小的δt內(nèi)，荷載在結(jié)構(gòu)位移上所作的功全部轉(zhuǎn)變?yōu)閼兡埽害腤=δU。4、總勢能：結(jié)構(gòu)的形變勢能+荷載勢能 Π=U+V二、先修有關(guān)概念1、靜力加載(比例加載)。二、先修有關(guān)概念691、虛位移：為約束所允許的，在平衡附近的，可任意虛設的微小位移。所謂虛，并非指不存在，而是指與實際的力態(tài)獨立無關(guān)。2、理想約束：實際力態(tài)的約束力在虛設的位移態(tài)上所做的功恒等于零的那種約束。3、虛功δW*=F·δu*(1)虛功并非不存在，只是強調(diào)功的兩要素獨立無關(guān)。2-2虛位移原理一、幾個概念1、虛位移：為約束所允許的，在平衡附近的，可任意虛設704、虛應變能(內(nèi)力虛功、虛變形能、虛變形功)。

式中：σ：力F所引起的應力(力態(tài))；δε*：虛位移δu*所引起的虛應變(虛設的位移態(tài))。(2)4、虛應變能(內(nèi)力虛功、虛變形能、虛變形功)。(2)71

虛位移原理的敘述：彈性結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)的必要與充分條件是對于任意微小的虛位移，外力所作的虛功δW*等于虛變形功δU*

(虛應變能，內(nèi)力虛功)。研究對象：實際的力態(tài)。虛設：位移態(tài)(滿足變形協(xié)調(diào)條件)。于是，虛功原理可表述為：體系平衡δW*=δU*(3)其中Δ：在虛設的任一幾何可能的位移態(tài)上。二、虛位移原理及其證明虛位移原理的敘述：彈性結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)的必要與充分條件是72證明：以最簡單的桿件結(jié)構(gòu)為例，如圖：桿端力：結(jié)點對單元的作用力。結(jié)點力：桿端對結(jié)點的作用力稱為結(jié)點力。桿端力和結(jié)點力是作用力和反作用力。對結(jié)點1，由平衡條件ΣX=0: P1-F12=0對結(jié)點2，由平衡條件ΣX=0: P2-F21-F23=0’’’’’(4)證明：’’’’’(4)73外力虛功為：

式中：δ——表示微小，*——表示虛設。虛應變能為：外力虛功為：74注意:雖然是就上述特殊情況進行的證明，但可推廣到其它的受力狀態(tài)及由若干個單元所組成的彈性結(jié)構(gòu)。注意:雖然是就上述特殊情況進行的證明，但可推廣到其它的受力狀75關(guān)于虛位移原理的討論：1、仍然是一個(虛功)體系，兩個狀態(tài)；2、力態(tài)靜力可能的證明，建立在位移態(tài)(虛設)的幾何可能上；3、若力態(tài)轉(zhuǎn)換成位移表達式，則要求力態(tài)變形協(xié)調(diào)；4、力態(tài)和虛設的位移態(tài)一定是獨立無關(guān)。關(guān)于虛位移原理的討論：762-3虛應變能與外力虛功利用虛位移原理于具體問題時，必須列出虛應變能δU*和各種荷載的外虛功δW*，本節(jié)以平面桿系為例，具體介紹虛位移、虛應變、虛應變能、外力虛功的概念及表達式。一、虛應變能2-3虛應變能與外力虛功利用虛位移原理于具體問題時，77這里，“*”表示“虛設”，δ為一階變分算子，“δ”與“d”的運算規(guī)律相同，意義類似，δ亦可看成是“微小”。3、虛應變能(內(nèi)力虛功)1、虛位移2、虛應變忽略剪切應變(5)(6)這里，“*”表示“虛設”，δ為一階變分算子，“δ”與“d781）、軸向拉壓實際的力態(tài)σx；虛設的位移態(tài)δu*，所引起的虛應變?yōu)?7)1）、軸向拉壓(7)792）、彎曲實際的力態(tài)Mz；虛設的位移態(tài)則(8)2）、彎曲則(8)80對于三維應力狀態(tài)。設實際的力態(tài)為：虛設的位移態(tài)為：則虛應變能為:對于僅考慮拉壓、彎曲的桿件，由小變形假設，故可分開表示為：(9)對于三維應力狀態(tài)。設實際的力態(tài)為：(9)81與前述單獨變形的結(jié)果一致。與前述單獨變形的結(jié)果一致。821、集中荷載情況 實際的力態(tài)Pi 虛設的位移態(tài) 則2、分布荷載情況 實際的力態(tài)q(x) 虛設的位移態(tài) 則3、既有1又有2的情況，則δW*為1與2之和。(10)(11)二、外力虛功1、集中荷載情況(10)(11)二、外力虛功832-4虛位移原理的應用應熟練了解運用虛位移原理的前提條件。虛位移原理的研究對象是實際的力態(tài)，實際力態(tài)的平衡關(guān)系以及實際力態(tài)中力與位移之間的關(guān)系。為此，需任意虛設一位移態(tài)，此位移態(tài)一定要幾何可能。2-4虛位移原理的應用應熟練了解運用虛位移原理的前提84桿件位移態(tài)的幾何可能條件桿件位移態(tài)的幾何可能條件85主要應用：1、推導各類單元的剛度矩陣，將在后面章節(jié)重點介紹；2、求結(jié)構(gòu)內(nèi)力與位移，注意方法過程，詳請參考結(jié)構(gòu)力學教程，運用中應特別注意δu*、δv*為任意虛設的位移，u、v為實際的位移，兩種位移應獨立無關(guān)。主要應用：86式中h2i稱為轉(zhuǎn)移系數(shù)，具體可求出?，F(xiàn)求：僅當②發(fā)生變形e2時，求相應的Δi(如圖)。為此，可虛設此位移態(tài)，則力態(tài)的外力在此位移態(tài)上的外力虛功為：δW*=PiΔi虛位移原理應用舉例設僅有Pi=1時，在單元②中引起的內(nèi)力的h2i；則由于為線性結(jié)構(gòu)，當為Pi時，②中內(nèi)力為F2=h2iPi

(12)nn＝1i+1式中h2i稱為轉(zhuǎn)移系數(shù)，具體可求出?，F(xiàn)求：僅當②發(fā)生變形87虛變形功為：

δU*=F2e2=h2iPie2由虛位移原理

δW*=δU* 便有 PiΔi=h2iPie2最后得 Δi=h2ie2 (13)這就是應用虛位移原理的實例。虛變形功為：88即當單元②有單位變形時，未知量i方向上的位移亦為h2i，因此可說系數(shù)h2i是把Pi“轉(zhuǎn)移”為②中內(nèi)力F2的系數(shù)，或者說是把單元②的變形“轉(zhuǎn)移”為i方向位移的系數(shù)。這是很重要的概念(逆步變換的概念)，反映了結(jié)構(gòu)本身的屬性。即當單元②有單位變形時，未知量i方向上的位移亦為h2i，89力和位移、應力和應變均稱為結(jié)構(gòu)分析中的對偶參數(shù)，本節(jié)主要完善虛功的對偶性原理。介紹虛力原理的目的：導出柔度矩陣，作為在特殊情況下推導剛度矩陣的補充，其它應用情況暫略。研究對象：實際的位移態(tài)。虛設狀態(tài)：任一靜力可能的力態(tài)。2-5虛力原理簡介力和位移、應力和應變均稱為結(jié)構(gòu)分析中的對偶參數(shù)，本節(jié)主要90與外力虛功對應的是虛余功： (1)與虛應變能對應的是虛應變余能： (2)與外力虛功對應的是虛余功： (1)91彈性結(jié)構(gòu)處于變形協(xié)調(diào)狀態(tài)的必要與充分條件是：對于平衡的任意虛力系在結(jié)構(gòu)實際位移上所作的虛余功等其虛應變余能。即： (3)其中Δ：在任一靜力可能的虛力態(tài)上。虛力原理彈性結(jié)構(gòu)處于變形協(xié)調(diào)狀態(tài)的必要與充分條件是：對于平衡的任922-6能量原理介紹結(jié)構(gòu)在外力和在該外力所引起的位移及變形上的功能情況。主要內(nèi)容包括：結(jié)構(gòu)總勢能，勢能駐值原理和勢能極小原理。1、結(jié)構(gòu)總勢能的定義以桿件為例Π=U+V=U-W (1)2-6能量原理介紹結(jié)構(gòu)在外力和在該外力所引起的位移93可知W是位移的二次函數(shù)；由于應變和位移是線性關(guān)系，故U亦是位移的二次函數(shù)。（2）（3）（4）可知W是位移的二次函數(shù)；由于應變和位移是線性關(guān)系，故U亦94計算結(jié)構(gòu)力學(全套課件500P)953、勢能極小原理即：對于穩(wěn)定平衡，真實位移總是使Π取極小值。(證明參見結(jié)構(gòu)力學教程)3、勢能極小原理96計算結(jié)構(gòu)力學(全套課件500P)97計算結(jié)構(gòu)力學(全套課件500P)982-7互等定理1、功的互等定理 當結(jié)構(gòu)處于線彈性狀態(tài)時，力{P1}在由{P2}所引起的位移上所作的虛功等于力{P2}在由力{P1}所引起的位移上所作的虛功，即 {P1}T{Δ2}={P2}T{Δ1} (1)2-7互等定理1、功的互等定理99計算結(jié)構(gòu)力學(全套課件500P)100在單個力的作用下，功的互等定理可表為 P1Δ12=P2Δ21 （4）在單個力的作用下，功的互等定理可表為101求Δ。解：由功的互等定理：例：已知θ＝求Δ。例：已知θ＝1023.反力互等定理：由功的互等定理亦可得到r12=r21

或 k12=k21上式中rij為反力影響系數(shù)，kij為剛度系數(shù)。3.反力互等定理：103例2：已知Δ=1時M=6i/l，求θ=1時Q=？解：令側(cè)移為1(序號)，轉(zhuǎn)角為2(序號)，則

M=K21=6i/l由反力互等定理可知 Q=K12=6i/lΔΔ=1M=6—=>Kil21α=1Q=6—=>Kli12α例2：已知Δ=1時M=6i/l，求θ=1時Q=？ΔΔ=1M=104計算結(jié)構(gòu)力學第三章坐標變換計算結(jié)構(gòu)力學第三章坐標變換105物理量的內(nèi)涵與所描述時選用的坐標系無關(guān)，如力F(F’)引言O43F,F'x'xyy'物理量的內(nèi)涵與所描述時選用的坐標系無關(guān)，如力106在xoy系:在x’oy’系:顯然，在x’oy’系中描述較為簡單。又如桁架單元的剛度矩陣，在x’oy’系中為：在xoy系:107在xoy系中為：在xoy系中為：108所以，坐標系的選擇，可以簡化問題的描述。由于在結(jié)構(gòu)分析中需要列出在結(jié)構(gòu)坐標系下的剛度方程并進行求解，而單元剛度矩通常都在自身坐標系(x’oy’)中形成較為方便，故要找出二者的變換關(guān)系。所以，坐標系的選擇，可以簡化問題的描述。109此外，在整體坐標系下求得位移后，還需找出在單元坐標系下的位移，才能求得單元桿端力。單元等效結(jié)點力也需要變換到整體坐標系中去，故需要找出：①桿端位移；②桿端力；③單元剛度矩陣在局部坐標系與整體坐標系之間的變換關(guān)系，并找出相應的變換矩陣。此外，在整體坐標系下求得位移后，還需找出在單元坐標系下的1103-1坐標變換的幾何概念僅考慮平面變換，三維問題可類推。1、坐標系的平移變換設o’(x0y0)，顯然有 （1）3-1坐標變換的幾何概念僅考慮平面變換，三維問題可類推。1112、坐標系的旋轉(zhuǎn)變換xOyy'x'P(x,y)P'(x',y')αα2、坐標系的旋轉(zhuǎn)變換xOyy'x'P(x,y)P'(x',y112計算結(jié)構(gòu)力學(全套課件500P)113計算結(jié)構(gòu)力學(全套課件500P)1143、旋轉(zhuǎn)變換矩陣的討論[R]：坐標系旋轉(zhuǎn)的變換矩陣，由(7)式可得： (9)式中[J]為變換Jacobi矩陣，顯然|J|≠0，回憶高數(shù)定理：|J|≠0 變換存在且可逆(兩坐標系之間的關(guān)系單值連續(xù))。如仍由(7)式，得逆變換形式為 {X}=[R]-1{X’}=[J]-1{X’} (10)當|J|=±1時，為正交變換(正交坐標系之間的變換)。3、旋轉(zhuǎn)變換矩陣的討論115正交變換的性質(zhì)：[R]-1=[R]T對于本例上述結(jié)論很容易推廣到三維甚至是多維情形，如對三維則正交變換的性質(zhì)：[R]-1=[R]T116(12)(13)(14)(12)1174、向量的旋轉(zhuǎn)變換因為點可看成是向量的矢端，故力矢、位移矢的旋轉(zhuǎn)變換矩陣與坐標變換矩陣一致。

5、空間直角坐標系旋轉(zhuǎn)變換矩陣中各元素的關(guān)系旋轉(zhuǎn)變換矩陣共有9個元素；由正交性可列出共六個獨立方程，因此，只要知道三個元素即可得到[R]。4、向量的旋轉(zhuǎn)變換118①②③④①119⑤⑥⑦⑧⑤1203-2逆步變換 對一個力或一個位移進行變換，通常僅僅意味著用另一種方式來描述這些量，如對力F的坐標旋轉(zhuǎn)變換。廣義力廣義位移3-2逆步變換 對一個力或一個位移進行變換，通常僅1211、逆步變換的概念設在xoy坐標系在x’oy’坐標系1、逆步變換的概念在x’oy’坐標系122現(xiàn)在研究與力矢相應的位移之間的變換關(guān)系現(xiàn)在研究與力矢相應的位移之間的變換關(guān)系123且由于坐標的變換不會引起虛功的變化，即 {δ}T{F}={δ’}T{F’} (5)或 {F}T{δ}={F’}T{δ’} (6)在(6)式中代入(3)式，得{F}T{δ}=([H]{F})T{δ’}=[F]T{H}T{δ’}由上式即得到 {δ}={H}T{δ’} (7)(7)便稱為(3)的逆步變換?，F(xiàn)在設位移之間的變換為： {δ’}={R}{δ} (8)且由于坐標的變換不會引起虛功的變化，即124代入(5)式:{δ}T{F}=([R]){δ})T{F’}={δ}T[R]T{F’}亦得到 {F}={R}T{F’} (9)(9)式便是(8)式的逆步變換。逆步變換之所以能夠成立，關(guān)鍵在于虛功的不變性!代入(5)式:125涉及力之間或位移之間的各種線性變換在一定條件下都遵循逆步變換規(guī)則。搞清楚這個規(guī)律，不僅有助于系統(tǒng)地理解和記憶有關(guān)公式，而且更重要的是在進行單元或整體分析時，它是一個有力的工具。例如：有時通過物理關(guān)系很容易求得力的變換關(guān)系，而不易求得位移的變換關(guān)系，但通過逆步變換即可方便地求得，反之亦然。注意涉及力之間或位移之間的各種線性變換在一定條件下都遵循逆步126例1如下圖已知求與之相應的δ。例1如下圖已知127例2如圖3.6，設當Pi=1時，在單元②中引起的內(nèi)力為h2i，則當為Pi時，②中內(nèi)力為：F2=h2iPi

求：僅由②發(fā)生單元變形e2時，Δi=?解：由逆步變換，一步可得：Δi=h2iTe2，由于h2i為一個數(shù) h2iT=h2i亦即：Δi=h2ie2例2如圖3.6，設當Pi=1時，在單元②中引起的內(nèi)力為1282、桿單元的旋轉(zhuǎn)變換設桿單元在結(jié)構(gòu)坐標系及單元坐標系小的剛度方程分別為 {F}=[K]{δ} ① {F’}=[K’]{δ’} ②若已知單元結(jié)點位移的變換為： {δ’}=[T]{δ} ③這里 ④2、桿單元的旋轉(zhuǎn)變換129則③的逆步變換為 {F}=[T]T{F’} ⑤在⑤中分別帶入②、③式，有： {F}=[T]T[K’]{δ’}=[T]T[K’][T]{δ}比較①，可知 [K]=[T]T[K’][T] ⑥這就是直接剛度法中普遍運用的公式，在有些教材中的推導是在③式中聯(lián)立 {F’}=[T]{F} ⑦則③的逆步變換為130由此 {F}=[T]-1{F’} ⑧再代入②、③{F}=[T]-1[K’]{δ’}=[T]-1[K’][T]{δ} ⑨比較①：

[K]=[T]-1[K’][T] ⑩再利用[T]為正交矩陣[T]-1=[T]T將⑩式化為⑥式。實際上⑥式成立與否與[T]是否是正交矩陣無關(guān)，當[T]不是正交矩陣時，式⑥成立而式⑩是不成立的。這應引起我們的充分重視，這只能運用逆步變換的概念才能說清楚。由此 {F}=[T]-1{F’} ⑧1311、若把向量的分量看成是坐標系中某點坐標的話，則坐標系旋轉(zhuǎn)變換的公式自然適用向量的旋轉(zhuǎn)變換；故力向量或位移向量的旋轉(zhuǎn)變換公式與坐標變換公式一致。2、若旋轉(zhuǎn)變換式 {V’}=[R]{V} (1)其中[R]可逆，則上式的逆變換為 {V}=[R]-1{V’} (2)若兩個坐標系都是正交的，則 [R]-1=[R]T (3)3-3向量的旋轉(zhuǎn)變換1、若把向量的分量看成是坐標系中某點坐標的話，則坐標系旋轉(zhuǎn)變1323、重點介紹應力向量的旋轉(zhuǎn)變換設空間直角坐標系下一點的應力和應變狀態(tài)分別為{σ}={σxσyσzτxyτyzτzx} {ε}={εxεyεzγxyγyzγzx} 以及旋轉(zhuǎn)變換后該點的描述{σ’}及{ε’}。設 {σ’}=[Hσ]{σ} 由此得到 {σ}=[Hσ]-1{σ’} (4)由逆步交換 {ε}=[Hσ]T{ε’} (5)3、重點介紹應力向量的旋轉(zhuǎn)變換133并設 {ε’}=[Hε]{ε}亦可得到： {ε}=[Hε]-1{ε’} (6)由逆步交換得 {σ}=[Hε]T{σ’} (7)故有 [Hε]-1=[Hσ]T (8)或 [Hσ]-1=[Hε]T (9)可方便地使我們從一種已知變換求出另一變換。并設 {ε’}=[Hε]{ε}134計算結(jié)構(gòu)力學(全套課件500P)135

而求逆相當于變換-α角度，亦可將x,y和x’,y’的方向余弦對換即可換成x,y分別對x’,y’的方向余弦而求逆相當于變換-α角度，亦可將x,y和x’,y’的1363-4矩陣的旋轉(zhuǎn)變換本節(jié)純粹從數(shù)學上描述矩陣的旋轉(zhuǎn)變換。設在舊系中定義方陣[A]，求坐標系旋轉(zhuǎn)后的其表達式[A’]。令 {U}=[A]{V} (1)式中{V}為任意向量，若這個向量在新坐標系中存在 {U’}=[A’]{V’} (2)則由向量的旋轉(zhuǎn)變換可知 {U’}=[R]{U} (3)3-4矩陣的旋轉(zhuǎn)變換本節(jié)純粹從數(shù)學上描述矩陣的旋轉(zhuǎn)變換。137 {V’}=[R]{V} (4)其中[R]為旋轉(zhuǎn)變換矩陣，將(1)代入(3)式 {U’}=[R][A]{V} (5)將(4)代入(2) {U’}=[A’][R]{V} (6)比較(5)、(6) [R][A]{V}=[A’][R]{V} (7)∵ {V}≠0，且任意∴ [R][A]=[A’][R] (8) {V’}=[R]{V} (4)138由上式并得 {A’}=[R][A][R]-1 (9)這就是坐標系在旋轉(zhuǎn)變換后在新系中[A’]表達式。若是正交變換，[R]-1=[R]T則 [A’]=[R][A] [R]T (10)逆變換為 [A]=[R]-1[A’][R] (11)當為正交變換時 [A]= [R]T[A’][R] (12)由上式并得139設[k’]為在局部坐標系下的單元剛度矩陣，[k]為在整體坐標系下的單元剛度矩陣，則有變換： [k]=[T]T[k’][T] (13)式中[T]為單元的坐標變換矩陣。設[k’]為在局部坐標系下的單元剛度矩陣，[k]為在整體140計算結(jié)構(gòu)力學(全套課件500P)141計算結(jié)構(gòu)力學(全套課件500P)142計算結(jié)構(gòu)力學(全套課件500P)143第四章單元剛度矩陣計算結(jié)構(gòu)力學第四章單元剛度矩陣計算結(jié)構(gòu)力學144形成單元剛度矩陣是整個結(jié)構(gòu)分析中的一個重要環(huán)節(jié)。靜力法推導利用了結(jié)構(gòu)力學中的轉(zhuǎn)角位移方程，也是采用了Euler梁理論的結(jié)果。Euler梁：簡單梁有限元分析的計算精度在很大程度上取決于單元剛度矩陣，也就是取決于單元形狀函數(shù)(位移函數(shù))的選擇。4-1概述形成單元剛度矩陣是整個結(jié)構(gòu)分析中的一個重要環(huán)節(jié)。4-1145單元位移函數(shù)：指單元位移場，或稱形狀函數(shù)。在形成單元剛度矩陣前需事先假設，如梁單元可假設為三次多項式等，位移函數(shù)一般選取代數(shù)多項式。一、單元位移函數(shù)單元位移函數(shù)：一、單元位移函數(shù)146二、選擇位移函數(shù)應遵守的準則1、允許發(fā)生剛體位移(不產(chǎn)生單元自應變)；2、能反應常應變。二、選擇位移函數(shù)應遵守的準則147Kij的定義[K]的某一行的元素表示{δ}中六個分量分別發(fā)生單位位移時所引起{F}中某一分量的值；[K]的某一列的元素表示{δ}中某一分量發(fā)生單位位移時所引起{F}中六個分量的值。三、單元剛度矩陣中行列元素的物理意義Kij的定義三、單元剛度矩陣中行列元素的物理意義1484-2平面剛架的單元剛度矩陣

(靜力法推導)分別采用靜力法、能量法(虛位移原理和勢能駐值原理)推導局部坐標系下的單元剛度矩陣。為方便計，均省略“'

”的記號。4-2平面剛架的單元剛度矩陣

(靜力法推導)分別采用149計算結(jié)構(gòu)力學(全套課件500P)150計算結(jié)構(gòu)力學(全套課件500P)151計算結(jié)構(gòu)力學(全套課件500P)1521、單剛是對稱的，Kij=Kji

①②反力互等定理討論：討論：1532、單剛是奇異的，不存在逆矩陣，如第一行(列)加第四行(列)等于零，或第二行(列)加第五行(列)等于零。奇異性的說明：沒有約束的自由體是不能求解位移的，故要引入足夠的約束條件消除剛體位移，這樣也就消除了矩陣的奇異性。2、單剛是奇異的，不存在逆矩陣，如第一行(列)加第四行(列)154令

則單剛便可寫成簡潔的形式，以利編程。3.Kii>0令1554-3利用能量原理推導

軸力桿單元的剛度矩陣(積分法)1、選擇位移函數(shù)考慮圖示桁架單元(等截面直桿)在桿端力作用下桿內(nèi)應力應變均為常量，根據(jù)軸力桿單元的幾何條件(應變-位移關(guān)系)，故可將單元位移場選為：

u=a1+a2x (1)其中：u=u(x)即為單元位移函數(shù)(單元位移模式)4-3利用能量原理推導

軸力桿單元的剛度矩陣(積分法)1156式(1)中：a1——剛體位移項；a2——常應變項。滿足單元位移模式的選擇準則。將(1)式寫成矩陣形式 u={X}T{a} (2)式中： {X}T={1x}{a}T={a1a2}xijxy式(1)中：xijxy157計算結(jié)構(gòu)力學(全套課件500P)158計算結(jié)構(gòu)力學(全套課件500P)159yxij10yxij10160(11)(12)(13)(11)1615．①采用虛位移原理推導任給單元一個虛位移δu*(x)，并設結(jié)點虛位移為δ{δ*}，于是虛應變能可寫為(14)(15)(16)5．①采用虛位移原理推導(14)162(17)(17)163(18)(19)(20)(18)164計算結(jié)構(gòu)力學(全套課件500P)1654-4利用能量原理推導梁單元的剛度矩陣(積分法)仍采用虛位移原理和勢能駐值原理進行推導，現(xiàn)討論較復雜的等截面直梁單元(如圖)，采用Euler梁理論。4-4利用能量原理推導梁單元的剛度矩陣(積分法)仍采1661、選擇位移函數(shù)因不考慮分布荷載(均簡化為等效結(jié)點荷載處理)，故有EI’’’’=q(x)=0，由此得∴ v=v(x)=a1+a2x+a3x2+a4x3 ={X}T{a}(1)v(x)滿足剛體位移及常應變準則。1、選擇位移函數(shù)167(2)(3)(2)168計算結(jié)構(gòu)力學(全套課件500P)169計算結(jié)構(gòu)力學(全套課件500P)170Ni(x)仍滿足：①0—l特性；②在區(qū)間內(nèi)仍按(1)式的形式變化(三次函數(shù))。(7)式稱Hermite型插值(不考慮函數(shù)本身，包括函數(shù)的導數(shù)均作為內(nèi)插函數(shù))。3．(廣義)應變的插值形式Ni(x)仍滿足：1714．(廣義)應力的插值形式σ=σ(x)=M(x)=EIXz(x)=EI[B]{δ} (10)5．①用虛位移原理任給梁單元一個虛位移δv*，則結(jié)點虛位移為δ{δ}*，虛應變能為4．(廣義)應力的插值形式172計算結(jié)構(gòu)力學(全套課件500P)173(11’)(12’)(13’)(11’)174將桁式單元和梁式單元的單元剛度矩陣進行歸并，便得到一般剛架單元的剛度矩陣。上述推導均是在局部系進行的，實際上應為[K’]，由矩陣的旋轉(zhuǎn)變換，在整體坐標系下的單元剛度矩陣應為

[K]=[T]T[K]’[T]將桁式單元和梁式單元的單元剛度矩陣進行歸并，便得到一般剛架單175

在上式[K]’中代入(4-2-3)式,并在[T]中令cosα=l，sinα=m，完成矩陣相乘，得到在上式[K]’中代入(4-2-3)式,并在[T]中令176上面給出了經(jīng)坐標變換后單元剛度矩陣[K]的表達式，要仔細研究，發(fā)現(xiàn)其剛度元素共有7個常數(shù)(其余只是符號的變化)，根據(jù)對稱性，單元剛度矩陣共有21個系數(shù)，均由這7個常數(shù)通過符號變化組成。程序沒計詳見附錄程序中的SUB.QXS，SUB.DKX也就是說，組成每個變換后的單剛只需7個系數(shù)，將其存入計算機(程序)，只需輸入該單元相應的參數(shù)s，s1，s2，s3，s4，便可得到這7個系數(shù)，從而由上式可直接得到坐標交換后的單元剛度矩陣[K]。上面給出了經(jīng)坐標變換后單元剛度矩陣[K]的表達式，要仔細研究177習題3試用靜力法和能量法兩種方法推導圖示單元的剛度矩陣。可令l1=l2=l/2,EA1=2EA2進行推導。ije習題3試用靜力法和能量法兩種方法推導圖示單元的剛度矩陣。178習題4用靜力法推導圖示梁單元的剛度矩陣。習題4用靜力法推導圖示梁單元的剛度矩陣。179習題5試求圖示平面桁架單元的單元剛度矩陣[K]已知：E=2.0X107KN／m2，A=0.2m2。單元始端i和末端j的坐標如圖示:若{δ}=10-3X[0.1050.4550.220.564]T求單元軸力N。(參考答案N=39.08KN)習題5試求圖示平面桁架單元的單元剛度矩陣[K]180習題6試求圖示平面剛架單元的坐標變換矩陣[T]以及[K]’、[K]。已知：E=2X107KN/m，A=0。25m2，I=5X10-3m4。部分參考答案：K12=130.76 K22=76.92 K33=16.0K44=130.76 K55=76.92 K66=16.0X104習題6試求圖示平面剛架單元的坐標變換矩陣[T]以及[K]181第五章結(jié)構(gòu)剛度矩陣

與荷載向量計算結(jié)構(gòu)力學第五章結(jié)構(gòu)剛度矩陣

與荷載向量計算結(jié)構(gòu)力學1825-1概述

以圖示框架結(jié)構(gòu)為例，設有n個未知量:相應的結(jié)點荷載向量為:5-1概述以圖示框架結(jié)構(gòu)為例，設有n個未知量:相應的結(jié)183則結(jié)構(gòu)剛度方程可寫為:[K]-稱為結(jié)構(gòu)剛度矩陣(或稱總剛度矩陣)本章討論[K]的形成及程序設計，以及{P}的形成。則結(jié)構(gòu)剛度方程可寫為:[K]-稱為結(jié)構(gòu)剛度矩陣(或稱總剛度矩1845-2應用能量原理形成結(jié)構(gòu)剛度矩陣其中:

結(jié)構(gòu)在外荷載作用下的總勢能可以寫成：NE是單元數(shù)5-2應用能量原理形成其中:結(jié)構(gòu)在外荷載作用下的總勢185單元結(jié)點位移整體坐標系中的單元剛度矩陣單元結(jié)點位移整體坐標系中的單元剛度矩陣186NF－單元自由度數(shù)N－結(jié)構(gòu)未知量總數(shù)C＝0或1。指明單元結(jié)點位移向量是由結(jié)構(gòu)結(jié)點位移向量中的哪幾個分量所組成令:(5)式反映了結(jié)構(gòu)的離散過程，實際上表明了結(jié)構(gòu)離散化后的變形協(xié)調(diào)條件。NF－單元自由度數(shù)N－結(jié)構(gòu)未知量總數(shù)C＝0或1。指明單元結(jié)點187將(5)式代入(3)式：結(jié)構(gòu)總勢能為：于是：將(5)式代入(3)式：結(jié)構(gòu)總勢能為：于是：188[K]是由[k]經(jīng)過[C]變換后裝配而成。由于勢能駐值原理等價于平衡方程，故裝配總剛的有限元集合過程遵循平衡條件。[C]NFxN是單元定位向量的增廣寫法：一個單元對應一個[C]e，且有：討論[K]是由[k]經(jīng)過[C]變換后裝配而成。由于勢能駐值原理等189例1：解：給單元結(jié)點編號，并寫出各單元的定位向量：1210200010300034例1：解：給單元結(jié)點編號，并寫出各單元190計算結(jié)構(gòu)力學(全套課件500P)191由(5)式可寫出各單元的結(jié)點位移向量與結(jié)構(gòu)結(jié)點位移向量的關(guān)系式：由(5)式可寫出各單元的結(jié)點位移向量與結(jié)構(gòu)結(jié)點位移向量的192計算結(jié)構(gòu)力學(全套課件500P)193計算結(jié)構(gòu)力學(全套課件500P)194由此可得到各單元的[C],如對第③單元，可寫出:由此可得到各單元的[C],如對第③單元，可寫出:195即Cij的行號與MWe的行號一致，把的序號作為[C]的列號j，便可由MWe得到[C]e。即Cij的行號與MWe的行號一致，把的序號作為1965-3按單元定位向量裝配結(jié)構(gòu)剛度矩陣MW處理了約束，以及主從關(guān)系，無效未知量等特殊結(jié)點信息，也是[C]矩陣的實用(增廣)寫法。MW是按單元結(jié)點編號順序由結(jié)點的結(jié)構(gòu)未知量編號順序所組成的向量(列陣)。單元定位向量可方便地指出單元的各個未知量在結(jié)構(gòu)總體未知量中的對應位置(總體序號)。由此也就可以確定單元剛度矩陣中的元素在結(jié)構(gòu)剛陣中的位置。5-3按單元定位向量裝配結(jié)構(gòu)197解：設線剛度i=1單元剛度矩陣例2：求圖示連續(xù)梁的結(jié)構(gòu)剛度矩陣。解：設線剛度i=1單元剛度矩陣例2：求圖示連續(xù)梁的結(jié)構(gòu)剛度矩198注意以下寫法：23定2312定12注意以下寫法：23定21199得到結(jié)構(gòu)總剛度矩陣為：得到結(jié)構(gòu)總剛度矩陣為：200主系數(shù)與副系數(shù):

相關(guān)未知量：相關(guān)結(jié)點：相關(guān)單元：結(jié)構(gòu)剛度矩陣的組成規(guī)律專有名詞eKii=∑kii>0且Kij=Kji凡未知量i的相關(guān)結(jié)點所在單元稱為末知量i的相關(guān)單元。與未知量i在同一單元的未知量叫做未知量i的相關(guān)未知量。

若i，j相關(guān)，則Kij≠0

若i，j不相關(guān)，則Kij=0

未知量i的相關(guān)未知量所在結(jié)點稱為未知量i的相關(guān)結(jié)點。主系數(shù)與副系數(shù):結(jié)構(gòu)剛度矩陣的組成規(guī)律專有名詞eKii=∑k2015-4形成結(jié)構(gòu)剛度矩陣的直接剛度法不是列向量乘行向量,也不是向量的內(nèi)積(點積)1、并積的概念定義并積為：5-4形成結(jié)構(gòu)剛度矩陣的不是列向量乘行向量,也不是向量的內(nèi)202ai與bi不進行任何運算。ai與bi不進行任何運算。2032、由單元定位向量的指標并積形成下標矩陣如果將某個單元的定位向量代入上式，由上節(jié)中的例題可明顯看出[H]中的元素就表示這個單元的剛度系數(shù)在結(jié)構(gòu)剛度矩陣[K]中的下標。解：如圖,各單元的定位向量為：MW①=[12]T

MW②=[23]T例3：求圖示連續(xù)梁的單元剛度矩陣在結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的下標矩陣。2、由單元定位向量的指標并積形成下標矩陣如果將某個單元204根據(jù)并積定義：①②清楚地表明了各單剛系數(shù)在總剛中的位置，參考前節(jié)例題根據(jù)并積定義：①②清楚地表明了各單剛系數(shù)在總剛中的位置，參考205例4：求圖示剛架中第①單元的剛度系數(shù)對結(jié)構(gòu)剛度矩陣的貢獻。解:單元定位向量為:MW①=[000102]T例4：求圖示剛架中第①單元的剛度系數(shù)對結(jié)構(gòu)剛度矩陣的貢獻。解206計算結(jié)構(gòu)力學(全套課件500P)207式中圓括號內(nèi)的元素就是第①單元剛度系數(shù)在[K]中的下標。式中含零的元素說明單剛中此元素經(jīng)[C]夾乘后為零,參考(5-2-9)式,不須疊加,只有[H]中的元素與結(jié)構(gòu)[K]中下標一致時才進行疊加。這樣便可根據(jù)單元定位向量的并積作為結(jié)構(gòu)剛度矩陣[K]的下標直接來裝配結(jié)構(gòu)剛度矩陣。這就是直接剛度法。式中圓括號內(nèi)的元素就是第①單元剛度系數(shù)在[K]中的下標。208上式并積的進一步說明：單元結(jié)點位移的序號為123456(I,J)單元①的定位向量為000102(L,K)則意味著：①①①①→表示疊加到結(jié)構(gòu)剛陣中去上式并積的進一步說明：①①①①→表示疊加到結(jié)構(gòu)剛陣中去209由此可看出：由MW的并積形成下標矩陣，完全確立了單剛[k]中的元素在總剛[K]中位置，從而由數(shù)學的角度說明了用MW裝配[K]的過程。上述過程的FORTRAN程序模塊可寫成：L=MW(I)K=MW(J)ZK(L,K)=ZK(L,K)+DK(I,J)由此可看出：由MW的并積形成下標矩陣，完全確立了單剛[k2103、形成[K]的程序設計框圖本章新的變量和數(shù)組:NAI：EA或EI分組數(shù)(截面特性分組數(shù))；DK(I,J)：單元剛度矩陣，其中I,J(1→6):單剛的行列號；ZK(L,K)：結(jié)構(gòu)剛度矩陣,其中L,K(1→N):總剛的行列號。3、形成[K]的程序設計框圖本章新的變量和數(shù)組:211主程序,數(shù)據(jù)輸入等計算各單元的L,C,S計算XSA(NE,7)形成單元剛度矩陣形成結(jié)構(gòu)剛度矩陣結(jié)束形成JW數(shù)組形成MW數(shù)組程序設計框圖主程序,數(shù)據(jù)輸入等計算各單元的L,C,S計算XSA(NE,72124、形成結(jié)構(gòu)剛度[K]的源程序設計CTHEPROGRAMOFKJEXAMDIMENSIONJW(3,20),JTX(4,20),JH(2,20),

*MW(6),JMH(20)REAL*8CX(20),SY(20),SL(20),EA(5),*X(20),Y(20),XSA(20,7),ZK(50,50),El(5)WRITE(*,*)'FINDINGTHEMWOFEI.EMENTS'OPEN(1,FILE='KJE.DAT')數(shù)據(jù)文件名為KJE.DAT4、形成結(jié)構(gòu)剛度[K]的源程序設計CTHE213READ(1,*)NE,NJ,NJT,NAIREAD(1,*)((JH(I,J),I=1,2),J=1,NE)READ(1,*)((JTX(I,J),I=1,4),J=1,NJT)READ(1,*)(JMH(I),I=1,NE)READ(l,*)(EA(I),I=1,NAI)READ(l,*)(EI(I),I=1,NAI)READ(1,*)(X(I),I=1,NJ)READ(l,*)(Y(l),I=1,NJ)CALLQJW(NJ,NJT,JTX,JW,N)DO10M=1,NECALLQMW(M,NE,NJ,JH,JW,MW)WRITE(*,100)M,(MW(I),I=1,6)10READ(1,*)NE,NJ,NJT,NAI10214

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*=’,6I5)50FORMAT(9F9.1)STOPENDCALLDCH(NE,NJ,JH215 SUBROUTINEKJX1(NE,N,XSA,NJ,JH,JW,ZK)DIMENSIONJH(2,NE),JW(3,NJ),MW(6)REAL*8DK(66),ZK(50,50),XSA(NE,7),

*XS(7),ZK(50,50)CALLZERO2(ZK,50,50)DO20M=1,NEDO25I=1,7XS(I)=XSA(M,I)25CONTINUE SUBROUTINEKJX1(NE,N,X216CALLDKX(XS,DK)WRITE(*,*)'THISISELEMENT

*MATRAIX‘WRHE(*,15)M15FORMAT(1X,’ELEMENTNO.=‘,I5)WRHE(*,11)((DK(I,J),l=l,6),J=l,6)11FORMAT(1X,6FI0.2)CALLQMW(M,NE,NJ,JH,JW,MW)DO30I=1,6L=MW(I)IF(L.LE.0)GOTO30CALLDKX(XS,DK)217DO40J=1,6K=MW(J)IF(K.LE.0)GOTO40ZK(L,K)=ZK(L,K)+DK(I,J)40CONTINUE30CONTINUE20CONTLNUERETURNEND本程序是在“形成結(jié)構(gòu)單元定位向量”的程序基礎上擴充而成；本程序是用滾雪球的方法，擴充部分用紅色表示本程序的總剛[K]NxN采用滿陣存儲。DO40J=1,6本程序是在“形成結(jié)218數(shù)據(jù)文件KJE.DAT共8句NE與NJ分別為單元總數(shù)與結(jié)點總數(shù) NJT是特殊結(jié)點數(shù) NAI為截面特性分組數(shù)JH(2,NE)為單元兩端結(jié)點編號數(shù)組JMH(NE)為截面特性分組號數(shù)組JTX(4,NJT)為特殊結(jié)點約束信息數(shù)組EA(NAI)為各組單元的EAEI(NAI)為各組單元的ElX(NJ)為各結(jié)點的X坐標Y(NJ)為各結(jié)點的Y坐標數(shù)據(jù)文件KJE.DAT共8句2195、形成結(jié)構(gòu)剛度矩陣[K]的算例目的：

通過程序運行的中間步驟來說明直接剛度法的運算過程，要注意程序運行過程中所打印的中間結(jié)果：如單元定位向量、單元剛度矩陣等，通過對單元循環(huán)而直接形成結(jié)構(gòu)剛度矩陣。5、形成結(jié)構(gòu)剛度矩陣[K]的算例目的：220例5：形成圖示三層框架的結(jié)構(gòu)剛度矩陣。已知E=0.26x108KN/m2,梁和柱為矩形截面,尺寸bh分別為0.3x0.5m和0.3x0.6m。解:①先進行結(jié)點編號和單元編號②計算梁、柱截面的有關(guān)物理量例5：形成圖示三層框架的結(jié)構(gòu)剛度矩陣。解:①先進行結(jié)點編號和221

梁:A=0.3x0.5=0.15m2

EA=390000KNI=0.3x0.53/12=0.003l25m4

EI=8125KN·m2柱：A=0.3x0.6=0.18m2

EA=468000KNI=0.3x0.63/12=0.0054m4

EI=14040KN·m2梁:A=0.3x0.5=0.15m2柱：A=0.3x222③輸人數(shù)據(jù)文件KJE.DAT內(nèi)容9,8,2,23,1,4,2,5,3,6,4,7,5,8,6,1,2,3,4,5,67,1,1,1,8,1,1,11,1,1,1,1,1,2,2,2468000,39000014040,81250,6,0,6,0,6,0,610,10,7,7,4,4,0,0③輸人數(shù)據(jù)文件KJE.DAT內(nèi)容223④部分結(jié)果為：K11=71240K17=-1354K22=156451K18=38176④部分結(jié)果為：2245-5[K]的特性1）[K]NxN，N由JW數(shù)組確定；2）[K]=[K]T，[K]是對稱數(shù)組；3）若未知量i,j不相關(guān)，則Kij=0；4）帶