角動量和力矩下的定義

角動量和力矩下的定義

角動量和力是力學的兩個非常重要的基本概念。目前許多高校所使用的大學物理教材中,對角動量和力矩下定義時分了幾種情況。在理解這些定義時,學生常常孤立地去記憶這幾個定義,未去思考這些定義之間的關系,而教材也未在這方面作更多的敘述。針對這種情況,本文分析了這幾個定義之間的聯(lián)系。另外,通過一道例題討論了非嚴格條件下如何使用角動量守恒定律。1旋轉(zhuǎn)軸接觸問題的解析定義1若質(zhì)量為m的質(zhì)點運動速度為v,質(zhì)點到坐標原點的位置矢量為r,則質(zhì)點相對于坐標原點的角動量L為:定義2若剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J,繞軸轉(zhuǎn)動角速度為ω,則剛體相對于轉(zhuǎn)軸的角動量Lz為:定義3若力F的作用點到坐標原點的位置矢量為r,則該力相對于坐標原點的力矩M為:定義4如圖1,過力F的作用點作垂直于z軸的平面Σ,平面與z軸相交于O點,O到力的作用點的位置矢量為r,并將力F分解為平行于z軸的分力F//和沿平面Σ且垂直于z軸的分力F⊥,則定義力F相對于參考軸z軸的力矩為:2未固結(jié)條件下,轉(zhuǎn)軸與點之間的角動量定義為u.c、y、z三個坐標軸若質(zhì)點m在直角坐標系中的速度為v=vxi+vyj+vzk,某時刻該質(zhì)點所在處的位置矢量為r=χi+yj+kz,則根據(jù)公式(1),該質(zhì)點在直角坐標下相對于坐標原點的角動量具體為:式中m(yvz-zvy),m(zvx-χvz),m(χvy-yvx)是角動量L在3個坐標軸的分量,理論力學進一步把這三個分量定義為該質(zhì)點分別相對于三個坐標軸的角動量:若體系有n個質(zhì)點,則質(zhì)點系對坐標原點的角動量等于每個質(zhì)點對坐標原點的角動量的矢量和:同樣,理論力學把上式中三個分量定義為該質(zhì)點系相對于x、y、z三個坐標軸的角動量:由定義(5)和(6)可見,質(zhì)點或質(zhì)點系相對于三個坐標軸的角動量就是其對坐標原點的角動量的三個分量,方向分別沿三個坐標方向。換言之,質(zhì)點或質(zhì)點系對某坐標軸的角動量也就是其對坐標原點的角動量在該坐標軸上的投影。剛體是一種特殊的質(zhì)點系,公式(2)與公式(6)都可作為定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量的定義,這兩個定義在形式上不同。當質(zhì)點系定軸轉(zhuǎn)動時,其內(nèi)部每個質(zhì)點都繞著同一轉(zhuǎn)軸在各自的轉(zhuǎn)動平面內(nèi)做著角速度相同的圓周運動,彼此同步有序。體系內(nèi)每個質(zhì)點的轉(zhuǎn)動平面可以不同,但所有轉(zhuǎn)動平面彼此平行(或重疊)且垂直于轉(zhuǎn)軸。每個質(zhì)點做圓周運動的圓心是該質(zhì)點的轉(zhuǎn)動平面與轉(zhuǎn)軸的交點(圖2a,虛線為質(zhì)點的轉(zhuǎn)動平面)。為便于討論,當圖2a中的質(zhì)點mi繞z軸恰好旋轉(zhuǎn)到Y(jié)OZ平面上時,我們作出圖2b,圖2b中mi的速度方向垂直于紙面向內(nèi),有向線段標出了當前位置質(zhì)點相對于坐標原點的角動量Li,其大小為:根據(jù)公式(5)的定義,質(zhì)點mi對轉(zhuǎn)軸z的角動量Liz就是Li沿z方向的投影,從圖2b中我們看出Liz與轉(zhuǎn)動角速度矢量ω同向,大小為:=Σ是質(zhì)點系相對于轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動慣量,若繞z軸轉(zhuǎn)動的是質(zhì)量連續(xù)分布的剛體則:其中J=∫r2dm,由于體系中每個質(zhì)點的Liz的方向與旋轉(zhuǎn)角速度ω的方向一致,不妨將上式改寫為矢量形式,于是得到公式(2)。以上分析說明,公式(2)與公式(6)雖然形式上不同,但卻是一致的。3fy-yf若已知某力為F=Fχi+Fyj+Fzk,力的作用點相對于坐標原點的位置為r=χi+yj+zk,則根據(jù)公式(3),該力對坐標原點的力矩具體為:式中(yFz-zFy),(zFχ-χFz),(χFy-yFχ)是力矩M在三個坐標軸的分量,理論力學定義這三個分量叫力F分別相對于三個坐標軸的力矩,由此可見,欲求力F對某一軸線的力矩(如z軸),可先求F對該軸線上某一點(如原點)的力矩M,再將M投影至該直線上即可。公式(7)與公式(4)都用來表示力對參考軸的力矩,但在形式上又有不同。過力的作用點作平面Σ并使該平面垂直于參考軸z,將力沿坐標方向分解(圖3a)。作俯視圖(圖3b),我們發(fā)現(xiàn)公式(4)中的F⊥和r分別滿足F⊥=Fxi+Fyj和r=xi+yj，則：其結(jié)果與公式(7)中的Mz完全一樣,所以用公式(7)或公式(4)來定義力對參考軸的力矩其實是一致的。4體系的角動量守角動量守恒是力學中三大守恒定律之一,大到天體,小到微觀粒子,角動量守恒的例子隨處可見,質(zhì)點系對某參考點(參考軸)角動量守恒的條件為:體系對該參考點(參考軸)的合外力矩為0。但該條件過于嚴格,現(xiàn)實中沒有外力矩作用的體系很難找到,在使用角動量守恒解決實際問題時,一般要把條件適當放寬。例;一繩跨過一半徑為的定滑輪,兩端分別系有質(zhì)量為m和M的物體,且M>m(圖4a)。最初M靜止在桌上,抬高m,使繩處于松弛狀態(tài)。當m自由下落距離h后,繩才被拉緊。求繩剛拉緊時兩物體的速率。不計輪、繩的質(zhì)量、軸承摩擦及繩的伸長。解:設m自由下落h這一過程結(jié)束的時刻為t1,m與M二者具有共同運動初速率v的時刻為t2,則沖擊過程持續(xù)的時間Δt=t2-t1(非常短)。許多教材在對這道題進行解答時,都選擇滑輪、m、M和與m、M相連的繩整體作為研究對象,提出整個體系在沖擊階段對O點的角動量守恒,滑輪半徑為r,于是有:在Δt階段,對m、M和滑輪作受力分析(圖4b)。對選定的體系而言,張力T1、T2對轉(zhuǎn)軸O的力矩為內(nèi)力矩;重力Mg、mg,支持力N對轉(zhuǎn)軸O的力矩屬于外力矩(張力T雖是體系的外力,但由于其過轉(zhuǎn)軸,對軸的力矩為0,不計)。因為Mg和mg不相等,而N的大小在沖擊過程中很難確定,我們沒有理由認為這些力對O的合外力矩為0。那么使用角動量守恒的理由何在?為此,我們對m和M分別使用角動量定理來研究。根據(jù)角動量定理,質(zhì)點對參考點的合力矩的沖量等于該質(zhì)點對同一參考點的角動量的增量。對物體m,其t1時刻相對于O的初角動量大小為,t2時刻相對于O的末角動量大小為rmv,選擇運動方向作為正方向,m所受的力對O的合力矩為mgr-T1r,運用角動量定理有:同理,對M有:沖擊過程中張力T1、T2為沖擊力,遠大于重力和支持力,于是計算中忽略重力與支持力的力矩(mgr、Mgr、Nr),上兩式變?yōu)?由于不計輪與繩的質(zhì)量,則T1=T2,代入上兩式并整理得:等式左邊正好是整個體系在沖擊初態(tài)時刻相對O的總角動量,等式右邊正好為整個體系在沖擊末態(tài)時刻相對O的總角動量,于是我們得到體系在沖擊過程的初態(tài)和末態(tài)對O的角動量相同——守恒?？紤]到我們選定滑輪、m、M和與m、M相連的繩為整體,我們在計算中忽略的力矩正好是該體系相對于轉(zhuǎn)軸O的外力矩。這道題目的計算告訴我們,在實際解題過程中,只要體系的內(nèi)力矩遠大于外力矩,體系就近似滿足角動量守恒,可按角動量守恒來處理,