信號經(jīng)驗模態(tài)分解中虛假模態(tài)分量消除方法

信號經(jīng)驗模態(tài)分解中虛假模態(tài)分量消除方法

現(xiàn)有補償方法的發(fā)展信號采集頻率與經(jīng)驗模型分解誤差密切相關(guān)。當采樣頻率在信號頻率的2～10倍范圍內(nèi),EMD分解中派生虛假模態(tài)分量,信號分解不服從能量守恒原理?，F(xiàn)有補償方法是通過插值方法增加信號采樣點數(shù)從而減少經(jīng)驗模態(tài)分解誤差。蓋廣洪提出對采樣頻率不足的原始信號進行重構(gòu),采用sinc函數(shù),通過內(nèi)插的方式來增加采樣點數(shù),從而增加采樣頻率,該方法在旋轉(zhuǎn)機械的振動信號重構(gòu)中取得了良好效果。由于插值誤差有濾波效應(yīng),因此它適合于采樣頻率與信號頻率比不太高的情況。黃海提出了傅里葉插值方法,同樣能增加采樣點數(shù),并在語音信號重構(gòu)中取得明顯效果。由于泄漏誤差對傅里葉變換的干擾,該方法的應(yīng)用對象有局限性。因此,在正常采樣條件下,探索一種全新的方法,剔除虛假模態(tài)分量,消除EMD分解誤差,實現(xiàn)高精度經(jīng)驗模態(tài)分解,顯得非常重要。1采樣信號的emd分解EMD分解法在尋找離散信號的局部最大值及最小值過程中,不一定得到實際信號的極值,只能取得離散信號的極值。因此,所得的包絡(luò)線并非實際信號的包絡(luò)線,如圖1所示。在經(jīng)驗模態(tài)分解中,極值偏差造成包絡(luò)誤差,即信號篩選處理誤差。當采樣頻率恒定,隨著實際信號頻率的提高,這種誤差會更加突出。為了說明EMD分解誤差形成過程,設(shè)單頻等幅正弦波信號的頻率為330Hz,如果采樣頻率足夠高,對采樣后的離散信號X采用EMD分解,則分解結(jié)果只有一個波形,即為原信號。但當采樣頻率為1024Hz(采樣率為3.10)時,情況就大不相同。采樣后的信號如圖2(a)所示,信號X失去等幅形狀。對它進行EMD分解,分解結(jié)果如圖2(b,c)所示,第1階本征模態(tài)分量(IMF1)x1在原信號上疊加了誤差,改變了波形。同時產(chǎn)生第2階本征模態(tài)分量(IMF2)x2,它是派生得到的,稱為虛假模態(tài)分量。圖3則是采樣信號X和IMFi分量對應(yīng)的頻譜。上述特例中EMD分解過程可以描述為X=x1+x2(1)X=x1+x2(1)第1階本征模態(tài)分量x1包含真實信號X和誤差e,見圖2(b),第2階本征模態(tài)分量x2為虛假模態(tài)分量p,見圖2(c),于是式(1)表達為X=X+e+p(2)X=X+e+p(2)因此得到e=-p(3)e=?p(3)第1階本征模態(tài)分量誤差e與虛假模態(tài)分量p大小相同,相位相反。對式(1)兩邊平方積分∫∞-∞X2dx=∫∞-∞(x1+x2)2dx=∫∞-∞(x21+x22+2x1x2)dx=∫∞-∞[x21+x22+2p(X-p)]dx(4)∫∞?∞X2dx=∫∞?∞(x1+x2)2dx=∫∞?∞(x21+x22+2x1x2)dx=∫∞?∞[x21+x22+2p(X?p)]dx(4)由于原信號X與虛假模態(tài)分量p的頻率不相同,它們相互正交,得∫∞-∞2p(X-p)dx=-2∫∞-∞p2dx(5)∫∞?∞2p(X?p)dx=?2∫∞?∞p2dx(5)所以式(4)為∫∞-∞X2dx=∫∞-∞(x21+x22-2p2)dx<∫∞-∞(x21+x22)dx(6)∫∞?∞X2dx=∫∞?∞(x21+x22?2p2)dx<∫∞?∞(x21+x22)dx(6)原信號X的平方積分小于各模態(tài)分量平方和的積分。這意味著信號X的EMD分解在虛假模態(tài)存在情況下能量不守恒。2emd分解過程中誤差分量的存在狀態(tài)對一般情況,EMD分解的完備性是指分解后n個本征模態(tài)分量xi與余量r相加獲得原信號XX=n∑i=1xi+r(7)X=∑i=1nxi+r(7)當信號采樣率不足,多個虛假模態(tài)分量存在時,信號X分解表達為X=w∑i=1ci+u∑j=1pj+r(8)X=∑i=1wci+∑j=1upj+r(8)其中:ci為本征模態(tài)分量;pi為虛假模態(tài)分量;r為分解殘余量;n=w+u,w≥1,u≥0。如圖3(b)所示,第1階本征模態(tài)分量中除真實模態(tài)分量外,還存在分解誤差。由此推斷,在一般情況下,EMD分解中存在多個本征模態(tài)分量,所有本征模態(tài)分量和中包含原始信號X和分解誤差ew∑i=1ci=X+e(9)∑i=1wci=X+e(9)在忽略分解殘余量r情況下,式(8)簡化為X≈X+e+u∑i=1pi(10)X≈X+e+∑i=1upi(10)由此得到e=-u∑i=1pi(11)e=?∑i=1upi(11)由于虛假模態(tài)pi分布在不同階的本征模態(tài)分量上,它們相互正交,因此總分解誤差e是由相互正交、相位與虛假模態(tài)pi相反的u個分量組成。設(shè)總分解誤差e是由u個誤差分量ei組成,誤差分量ei與虛假模態(tài)分量pi一一對應(yīng),且大小相等,方向相反,個數(shù)相等。誤差分量存在于采樣率相對低的模態(tài)分量中。由于第1階本征模態(tài)分量中信號采樣率最低,所以大多數(shù)情況下誤差分量存在于第1階模態(tài)分量c1中。經(jīng)驗表明,只有在極端情況下有一部分誤差分量存在于第2階本征模態(tài)分量c2中。另外,與式(6)類同,當虛假模態(tài)分量存在時,原信號的平方積分小于各模態(tài)分量平方和的積分,表達式為∫∞-∞X2(t)dt<∫∞-∞[w∑i=1c2i+u∑i=1p2i]dx=∫∞-∞[n∑i=1x2i]dx(12)相反,當EMD分解沒有虛假模態(tài)分量出現(xiàn)時,考慮分解殘余量的存在,有∫∞-∞X2(t)dt≥∫∞-∞[n∑i=1x2i]dx(13)EMD分解結(jié)果服從能量守恒。因此,在采樣不足的情況下,EMD分解中虛假模態(tài)分量的性質(zhì)歸納如下:(1)虛假模態(tài)分量與第1階本征模態(tài)分量c1(也有可能分解誤差分量存在c2)中對應(yīng)的誤差分量大小相等,相位相反,個數(shù)相等;(2)虛假模態(tài)分量的頻率分量低于第1階本征模態(tài)分量的頻率;(3)虛假模態(tài)分量存在時,信號EMD分解結(jié)果不服從能量守恒。3第1階本征模態(tài)分量的確定根據(jù)EMD分解的完備性、能量原理守恒和虛假模態(tài)分量的性質(zhì),檢驗和除去虛假模態(tài)分量,消除本征模態(tài)分量中誤差的方法稱模態(tài)函數(shù)消除法。在數(shù)字信號處理中,用信號x的均方值ψ2x代替信號的平方積分,具體操作步驟如下:(1)應(yīng)用性質(zhì)(3)總體檢驗EMD分解中是否存在虛假模態(tài)分量,如果存在,則能量不守恒ψ2X<4∑i=1ψ2xi(14)EMD分解結(jié)果需逐一檢驗,否則退出檢驗;(2)分量檢驗與剔除虛假模態(tài)。當?shù)?階本征模態(tài)分量x1與真實本征模態(tài)分量xi(高階本征模態(tài)分量)相加時,則能量增加,用均方值表示為ψ2x1+xi>ψ2x1(15)當?shù)?階本征模態(tài)分量x1與本征模態(tài)分量xj(高階本征模態(tài)分量)相加時,如果第1階本征模態(tài)分量的成分與本征模態(tài)分量相互抵消,則能量減少則本征模態(tài)分量xj判為虛假模態(tài)分量,并從分解結(jié)果中剔除該虛假模態(tài)分量xj;(3)模態(tài)更新。用第1階本征模態(tài)分量與虛假模態(tài)分量相加以后的分量更替第1階本征模態(tài)分量。在更新的第1階本征模態(tài)分量中,誤差分量被虛假模態(tài)分量抵消,從而達到誤差分量被剔除的目的。如果存在多個虛假模態(tài)分量,則模態(tài)更新操作需逐一進行xnew1=x1+xj(17)因此,模態(tài)函數(shù)消除法歸納如下:在EMD分解以后,用第1階本征模態(tài)分量與高階本征模態(tài)分量逐一相加,檢驗其能量增減。對能量增加的高階本征模態(tài)分量判定為真實本征模態(tài)分量,并加以保留;相反,對分量相加以后能量減少的高階本征模態(tài)分量判定為虛假模態(tài)分量,加以剔除。讓第1階本征模態(tài)分量與虛假模態(tài)分量相加以后的分量成為更替的第1階本征模態(tài)分量,從而形成新的第1階本征模態(tài)分量。完成模態(tài)消除法以后,所有的虛假模態(tài)分量被剔除,真實的本征模態(tài)分量被保留,從而第1階本征模態(tài)分量得到提純。4虛假模態(tài)分量的計算基于模態(tài)函數(shù)消除法,編制相應(yīng)的程序,用仿真數(shù)據(jù)證實其方法的有效性。設(shè)仿真信號有兩個分量X(t)=sin(2π400t)+0.5sin(2π5t)(18)當采樣頻率為1024Hz時,信號經(jīng)驗模態(tài)分解如圖4所示,模態(tài)分解有4個結(jié)果,它們是x1,x2,x3和x4。根據(jù)模態(tài)函數(shù)消除法,能量判別為ψ2X=0.6218<4∑i=1ψ2xi=0.6881(19)從虛假模態(tài)性質(zhì)(3)知,信號的EMD分解不服從能量守恒,推知分解結(jié)果中包含虛假模態(tài)分量。用第1階本征模態(tài)分量與高階本征模態(tài)分量逐一相加,檢驗其能量增減,其計算結(jié)果見表1。從結(jié)果知:x2和x3是虛假模態(tài)分量,消除誤差以后的本征模態(tài)分量最后的形式為ΙΜF(xiàn)1=xnew1=x1+x2+x3(20)ΙΜF(xiàn)2=x4(21)經(jīng)過模態(tài)函數(shù)消除法處理以后,信號經(jīng)驗模態(tài)分解結(jié)果如圖5所示。第1階本征模態(tài)分量的波形得到很大改進,原信號與各本征模態(tài)分量的能量關(guān)系為ψ2X=ψ2ΙΜF(xiàn)1+ψ2ΙΜF(xiàn)2=0.5012+0.1206=0.6218(22)由此可見,通過模態(tài)函數(shù)消除法處理,信號EMD分解結(jié)果既符合能量守恒,又服從經(jīng)驗模態(tài)分解的完備性,信號EMD分解具有