雨下落過程中所受到的阻力對(duì)其速度的依賴關(guān)系

雨下落過程中所受到的阻力對(duì)其速度的依賴關(guān)系簡(jiǎn)單介紹雨滴的形成，運(yùn)用流體力學(xué)相關(guān)知識(shí)，分析了雨滴下落所受的黏性阻力和壓差阻力，雨滴下落過程中阻力對(duì)速率的依賴關(guān)系，以及根據(jù)不同階段主要阻力不同，分階段得到雨滴速度的表達(dá)式，比較大小雨滴在近地面時(shí)的速度大小。雨滴的形成云的核心是微小的塵埃雜質(zhì)，水蒸汽凝結(jié)在上面形成小霧珠；云層是時(shí)刻都在運(yùn)動(dòng)變化的，組成云層的霧珠在云層內(nèi)不斷上下翻滾碰撞合（同時(shí)也不斷吸收新的水蒸汽）并成較大的大霧珠直至形成小水滴....直到質(zhì)量不斷增大下降到地面來，形成了雨滴?？諝庾枇Φ姆诸愑闪黧w力學(xué)可知，雨滴在空氣中下落，所受阻力有兩種，分別是由摩擦引起的黏性阻力和由壓差引起的壓差阻力。黏性阻力物體在流體中相對(duì)流體運(yùn)動(dòng)，物體表面有“附面層”。該層靠近物體的微團(tuán)相對(duì)于物體靜止，靠該層外側(cè)的流體微團(tuán)則有流體的速度。因此附面層內(nèi)存在速度梯度和黏性力，表現(xiàn)為對(duì)物體的阻力。比較小的物體在黏性較大的流體中緩慢地運(yùn)動(dòng)，即雷諾數(shù)很小的情況下，該阻力是主要因素，叫黏性阻力。著名的托斯克斯公式描述球形物體受到的黏性阻力：F=6nvrR為球體半徑，v是球體運(yùn)動(dòng)速度，□是黏度。該公式在雷諾數(shù)比1小很多時(shí)正確。黏性流體的流動(dòng)比理想流體流動(dòng)的內(nèi)容豐富的多。。在描述流動(dòng)的特征方面，英國(guó)的雷諾于1883年提出用來比較黏性流體流動(dòng)狀態(tài)的量綱為1的量，其定義為Re=MP和口分別表示流體密度和黏度，v表示特征流速，L表示流動(dòng)涉及的特征長(zhǎng)度。自有渦旋產(chǎn)生，，圓柱體前面的壓強(qiáng)便大于后面壓強(qiáng)。壓強(qiáng)差構(gòu)成對(duì)圓柱體的阻力，稱壓差阻力。從本質(zhì)上講，它由黏性引起，但與斯托克斯公式描述的那類黏性阻力有不同機(jī)制。它們同時(shí)存在，但就渦旋產(chǎn)生后，黏性阻力不占重要地位。在流速較大情況下，圓柱體所受黏性阻力和壓差阻力的綜合阻力F與速度平方成正比：F=1CDpdlv2p、d和l表示流體密度、柱體直徑和長(zhǎng)度，CD稱阻力系數(shù)。CD為量綱為1的常量，它隨不同雷諾數(shù)取不同數(shù)值。雨滴下落過程中阻力對(duì)速度的依賴雨滴開始時(shí)是加速下落，受到阻力：f=kv2，（k是比例系數(shù)），根據(jù)牛頓第二定律，雨滴下落時(shí)：mg-f=ma隨著速度v的增大，阻力f增大，而加速度減小。當(dāng)阻力f增大到等于重力時(shí)，a=0，速度不再增大。即此時(shí)的速度是最大速度，此后勻速下落。雨滴下落過程中，可以將雨滴近似看成球形，公式f=6nRnv，f阻力，R雨滴半徑，n摩擦因數(shù)，v速度，速度的確會(huì)增大但不會(huì)一直增大。在空中只受重力和空氣阻力，其中重力是不變的，空氣阻力與v成正比，開始的一刻v=0,加速度是g，隨速度的增加空氣阻力加大，直到與重力相等，此時(shí)加速度為0，速度最大并以該速度一直運(yùn)動(dòng)下去。雨滴下落過程沒有阻力會(huì)怎樣？假設(shè)雨滴從2000米的高度下落，根據(jù)自由落體公式V=72gh，得到v=200m/s，這樣的速度接近于一般子彈速度的一半，因此雨滴下落的個(gè)過程中一定會(huì)受到阻力的作用，并且雨滴在下落的過程中，雨滴受到的百阻力是變化的，受到的阻力與其速度成正比，在雨滴在下落的最初度階段，雨滴的重力大于其受到的阻力，因此在這一階段雨滴做回加速運(yùn)動(dòng),但是隨著雨滴速度增大，其受到的阻力增大，答加速度變小,當(dāng)受到的阻力等于重力時(shí)，雨滴將做勻速運(yùn)動(dòng)。據(jù)不同階段主要阻力不同，分階段得到雨滴速度的表達(dá)式，比較大小雨滴在近地面時(shí)的速度大小。第一階段：雨滴僅受豎直向下的重力和向上的阻力作用，得到運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：mg—kv=ma從中可知當(dāng)達(dá)到平衡時(shí)，即雨滴開始做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，a=0,vmax=*，但是該最大值能否達(dá)到還不確定，也許在達(dá)到該最大值前，該表達(dá)式已近不能很好的描述所受阻力。寫成微分方程形式得：mdt=mg—kv解該方程，并帶入初始條件：t=0,v=0

得到:mg1,蛙—、v=寸_「e（-m+lnmg）kkmg1,kt—、v=k_ke（-m+lnmg）根據(jù)第一階段速度表達(dá)式，我們可以估計(jì)雨滴在高空時(shí)的速度變化規(guī)律。如果我們知道第一階段持續(xù)的高度，那么可以估算雨滴在第一階段所經(jīng)歷的時(shí)間。第二階段：1f=^CpAv2乙其中k是比例系數(shù)，v是速度，C是阻力系數(shù)，A是雨滴有效截面積，p是空氣密度假設(shè)雨滴在下落的過程中，保持球形的形態(tài)不變，則A=nr2 ，其中C,p，為定值可轉(zhuǎn)化為：1f=^Cpnr2v2此時(shí)雨滴受到重力和阻力的作用，得到動(dòng)力學(xué)方程：1mg—^Cpnr2v2=ma乙當(dāng)a=0時(shí)，雨滴勻速運(yùn)動(dòng)，速度達(dá)到最大速度，我們近似認(rèn)為接近地面時(shí)的速度為=I2mgmaxJcpnr2把m=4nr3p水代入上面的式子，得到：VmaxVmax8卬水g

3Cp所以由上式我們知道，雨滴半徑越大，其在接近地面時(shí)的速度越大，即大雨滴比小雨滴在近地面時(shí)下落更快。以微分方程來表示得到:dvmg^-Cpnr2v2=m—dt通過數(shù)學(xué)軟件求解得到/2NmgCpn、,.八/—：習(xí)tanh( )(t±cl)/mgCpn/2v= 2 ^― CpnrWm=tnr3p水代入得：/6/r2gCpp水(t±cl) tanh( F )/6/能列水v= Cp其中cl是由雨滴進(jìn)入第二階段的速度所確定的。通過/LJr2gCpp水(t土cl) tanh(—r—)/6/rgcpp水v= Cp我們可以了解雨滴在近地面時(shí)的下落情況。我們可以通過測(cè)量估算出上面的cl，從而可以模擬雨滴近地面時(shí)下落情況。結(jié)論積雨云層的高度通常在300?500米之間，實(shí)際上，物體在空氣中運(yùn)動(dòng)時(shí)受到阻力和物體本身的形狀，大小，空氣密度、特別是和物體的運(yùn)動(dòng)速率有關(guān)。大體來說，物體速率較小時(shí)，可認(rèn)為空氣阻力與物體速率的一次方成正比