帶隙結(jié)構(gòu)帶隙結(jié)構(gòu)和傳輸特性的研究

帶隙結(jié)構(gòu)帶隙結(jié)構(gòu)和傳輸特性的研究

0光子晶體的基本原理近年來，由于能源石、微波技術(shù)等領(lǐng)域的潛在應(yīng)用前景，引起了人們的關(guān)注。在子晶中，折射周期變化結(jié)構(gòu)（或介電常數(shù)）類似于原子在晶體中的周期排列，因此也會產(chǎn)生光的帶寬結(jié)構(gòu)。然而，作為一種人工微結(jié)構(gòu)材料，廣州晶中的微波特性，如振幅特性、相位、極化方向和波長，可以通過控制光譜光譜、泛在速度色散、位移特性、相位匹配等光晶特征來規(guī)范。廣州晶體的帶間隙結(jié)構(gòu)和混合結(jié)構(gòu)以及由混合引起的局域模式可以在低閾值光源、光矩陣、曲線波導(dǎo)等激光技術(shù)和非線性光學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用。光子晶體的原理基于固體物理中的基本概念,有一套與固體物理類似的理論方法.目前所涉及到的光子晶體多為各向同性材料構(gòu)成,理論研究通常涉及大規(guī)模的數(shù)值模擬,借助于平面波展開、傳輸矩陣等理論方法可以進行理論分析,對于結(jié)構(gòu)簡單、易于制備的一維光子晶體,理論分析可以給出嚴格的解析解.本文討論由兩種各向異性電介質(zhì)交替排列構(gòu)成的一維光子晶體,借助于傳輸矩陣理論研究一維各向異性光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu),態(tài)密度,透射率等電磁波的傳輸特性,并給出嚴格的解析結(jié)果.1u3000中多個電極材料的散射關(guān)系考慮由兩種不同相對介電常量張量εa和εb,厚度為a和b的薄電介質(zhì)層交替排列構(gòu)成的一維周期性結(jié)構(gòu)材料.如圖1,空間周期為d=a+b.為簡單起見,假定平面電磁波從左向右垂直介質(zhì)表面入射.從Maxwell方程組出發(fā),可以得到在不同介質(zhì)區(qū)域中磁場分量滿足?2Ηx?z2=-ω2c2εj22Ηx(1)?2Ηy?z2=-ω2c2εj11Ηy(2)式中εj11和εj22是主軸坐標系中介電張量的主軸分量,j=a,b相應(yīng)于介質(zhì)層Ⅰ和Ⅱ.方程(1)和(2)在不同區(qū)域中的解為Ηλ(z)=(Aλeikλ1z+Bλe-ikλ1z)∧i+(Cλeikλ2z+Dλe-ikλ2z)∧j(3)式中λ=Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ相應(yīng)于三個不同的區(qū)域,kⅠ1=kⅢ1=ka1=ωc√εa22?kⅠ2=kⅢ2=ka2=ωc√εa11?kⅡ1=kb1=ωc√εb22,kⅡ2=kb2=ωc√εb11.利用E=iωε0(εj)-1?×Η((εj)-1是εj的逆矩陣)可以得到不同區(qū)域中的電場分量Eλ(z)=1ωε0[kλ2ελ11(Cλeikλ2z-Dλe-ikλ2z)∧i+kλ1ελ22(-Aλeikλ1z+Bλe-ikλ1z)∧j](4)λ=Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ.假定介質(zhì)分界面上沒有自由電荷和傳導(dǎo)電流,則電場和磁場在z=a和z=d的分界面上,切向分量的連續(xù)條件可以利用式(3)和式(4)表示為矩陣形式z=a,TⅠ(a)QⅠ=TⅡ(a)QⅡ(5)z=d,TⅡ(d)QⅡ=TⅢ(d)QⅢ(6)式中Qλ=[Aλ,Bλ,Cλ,Dλ]T,λ=Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ(7)ΤⅠ(z)=ΤⅢ(z)=[Τ1(a)00Τ2(a)](8)ΤⅡ(z)=[Τ1(b)00Τ2(b)](9)式中,由式(5)和式(6)可以得到QⅢ=PQⅠ(10)式中P=[TⅢ(d)]-1TⅡ(d)[TⅡ(a)]-1TⅠ(a).利用Bloch定理H(z+d)=eiKdH(z),E(z+d)=eiKdE(z)(K是Bloch波矢),當z→0時,可以得到MQⅢ=ΣQⅠ(11)式中Μ=[eika1de-ika1d00-eika1de-ika1d0000eika2de-ika2d00eika2d-e-ika2d],Σ=[eiΚdeiΚd00-eiΚdeiΚd0000eiΚdeiΚd00eiΚd-eiΚd](12)把(10)代入式(11),可以得到(MP-Σ)Q1=0(13)由Q1有非零解的條件可以得到兩套色散關(guān)系cos(Κd)=cos(kb1b)cos(ka1a)-12(√εb22εa22+√εa22εb22)sin(kb1b)sin(ka1a)(14)cos(Κd)=cos(kb2b)cos(ka2a)-12(√εb11εa11+√εa11εb11)sin(kb2b)sin(ka2a)(15)式(14)是入射波的磁矢量為x偏振時的色散關(guān)系,式(15)是入射波的磁矢量為y偏振時的色散關(guān)系,從這兩個方程可以給出兩種偏振所對應(yīng)的能帶結(jié)構(gòu),圖2(a)和圖3(a)是相應(yīng)的數(shù)值結(jié)果(參量√εb11/εa11=2,√εa11=1.6,√εb22/εa22=2,√εa22=2.3).顯而易見,當兩種材料的厚度給定時,x偏振的帶結(jié)構(gòu)只與√εa22和√εb22有關(guān),而y偏振的帶結(jié)構(gòu)只與√εa11和√εb11有關(guān).2chebyshev標準化中的能量為了簡單,先考慮只有一個周期的系統(tǒng),即只有介質(zhì)Ⅰ和Ⅱ,兩邊為真空,HⅠ(z)、HⅡ(z)以及EⅠ(z),EⅡ(z)仍然由式(3)和式(4)表示.入射區(qū)的電磁場H0(z)和E0(z),以及出射區(qū)的電磁場H′0(z)和E′0(z)分別表示為Η0(z)=(A0eik0z+B0e-ik0z)∧i+(C0eik0z+D0e-ik0z)∧j(16)E0(z)=k0ωε0[(C0eik0z-D0e-ik0z)∧i+(-A0eik0z+B0e-ik0z)∧j](17)Η′0(z)=(A′0eik0z+B′0e-ik0z)∧i+(C′0eik0z+D′0e-ik0z)∧j(18)E′0(z)=k0ωε0[(C′0eik0z-D′0e-ik0z)∧i+(-A′0eik0z+B′0e-ik0z)∧j](19)式中k0=ωc是真空中的波矢.現(xiàn)在的系統(tǒng)有三個界面,利用式(16)～(19)邊值關(guān)系可以表示為矩陣形式η(0)Q0=TⅠ(0)Q1(20)TⅠ(a)Q1=TⅡ(a)Q2(21)TⅡ(d)Q2=η(d)Q′0(22)式中Q0=[A0,B0,C0,D0]T,Q′0=[A′0,B′0,C′0,D′0]T(23)η(z)=[eik0ze-ik0z00-k0eik0zk0e-ik0z0000eik0ze-ik0z00k0eik0z-k0e-ik0z](24)由式(20),(21),(22)可以得到Q0=RQ′0(25)R=[η(0)]-1Τη(d)=[Rx00Ry](26)Τ=ΤⅠ(0)[ΤⅠ(a)]-1ΤⅡ(a)[ΤⅡ(d)]-1=[Τx00Τy](27)式中Τ11x=cos(k1aa)cos(k1bb)-ε22aε22bsin(k1aa)sin(k1bb)Τ22x=cos(k1aa)cos(k1bb)-ε22bε22asin(k1aa)sin(k1bb)Τjlx=i(ε22bk1b)l-jcos(k1aa)sin(k1bb)+i(ε22ak1a)l-j?sin(k1aa)cos(k1bb)(j≠l)Τ11y=cos(k2aa)cos(k2bb)-ε11aε11bsin(k2aa)sin(k2bb)Τ22y=cos(k2aa)cos(k2bb)-ε11bε11asin(k2aa)sin(k2bb)Τjly=-i(ε11bk2b)l-jcos(k2aa)sin(k2bb)+i(ε11ak2a)l-j?sin(k2aa)cos(k2bb)(j≠l)Rjlx=12[Τ11x+(-1)jk0-1Τ21x+(-1)lk0Τ12x+(-1)j+lΤ2x]exp[(-1)l+1ik0d]Rjly=12[Τ11x-(-1)jk0-1Τ21x-(-1)lk0Τ12x+(-1)j+lΤ2x]exp[(-1)l+1ik0d]在出射區(qū),只有透射波,沒有反射波,因此,D′0=B′0=0,于是從式(25)可以得到電磁波在一個周期結(jié)構(gòu)中x偏振和y偏振的透射系數(shù)tj,1=1R11j=2exp(-ik0d)Τ11j-k0-1Τ21j-k0Τ12j+Τ22j(j=x,y)(28)當這個一維系統(tǒng)擴展到n個周期時,式(25)和(26)可以改寫為Q0=NQ′0(29)Ν=[η(0)]-1Τnη(nd)=[Νx00Νy](30)由于T11jT22j-T12jT21j=1(j=x,y),根據(jù)Caylay–Hamilton定理,方陣Tj的n次冪可以借助于Chebyshev多項式表示為(Tj)n=Un-1(θj)Tj-Un-2(θj)Ⅰ(j=x,y)(31)這里Ⅰ是單位矩陣,θj=12(Τ11j+Τ22j)(j=x,y)?Un(θj)是第二類Chebyshev多項式.于是矩陣N的子塊矩陣可以表示為Νj=[Un-1(θj)R11j-Un-2(θj)eink0dUn-1(θj)R12jUn-1(θj)R21jUn-1(θj)R22j-Un-2(θj)e-ink0d](j=x,y)(32)討論透射系數(shù)時,在出射區(qū)域D′0=B′0=0,于是從式(29)可以得到電磁波穿過n個周期的一維各向異性光子晶體時x偏振和y偏振的透射系數(shù)tj=1R11j=1Un-1(θj)Ν11j-Un-2(θj)J11j(j=x,y)(33)相應(yīng)的透射率為|tj|2=4[Un(θj)-Un-1(θj)]2+[βjUn-1(θj)]2(j=x,y)(34)式中βx=(ε22a+1ε22a)sin(k1aa)cos(k1bb)+(ε22b+1ε22b)cos(k1aa)sin(k1bb)(35)βy=(ε11a+1ε11a)sin(k2aa)cos(k2bb)+(ε11b+1ε11b)cos(k2aa)sin(k2bb)(36)圖2(b)和3(b)分別給出了x偏振和y偏振的透射率|tx|2和|ty|2隨頻率ω的變化曲線(所用參量ε11b/ε11a=2?ε11a=1.6,ε22b/ε22a=2,ε22a=2.3,n=20).與帶結(jié)構(gòu)對介電常量的依賴相同,x偏振的透射率只依賴于主軸坐標系中介電張量的y分量,而y偏振的透射率只依賴于主軸坐標系中介電張量的x分量.式(33)中的透射系數(shù)是一個復(fù)數(shù),可以改寫為tj=|tj|exp(iφj)(j=x,y)(37)φj由式(38)確定φj=arctan[Un-1(θj)βjUn(θj)-Un-2(θj)]-nk0d(j=x,y)(38)φj是電磁波穿過n個周期的各向異性介質(zhì)層后產(chǎn)生的相移,由介質(zhì)層的厚度、各向異性介電常量以及入射電磁波的頻率決定.設(shè)kej(j=x,y)是電磁波在介質(zhì)層中的平均有效波矢,nd是介質(zhì)層的總厚度,則φj可表示為φj=nkjed,于是有效波矢可定義為kej=φjnd(j=x,y)(39)從式(39)可以得到一維各向異性光子晶體中傳播的電磁波態(tài)密度ρj=dkejdω(j=x,y)(40)圖2(c)和3(c)分別給出了x偏振和y偏振時態(tài)密度的數(shù)值結(jié)果(圖中c是光速,其他參量同上).不難看出,態(tài)密度對介電常量的依賴與帶結(jié)構(gòu)、透射率對介電常量的依賴相同,介電常量的y分量不影響x偏振的態(tài)密度,而介電常量的x分量也不影響y偏振的態(tài)密度.這對于通過介電常量分量來控制x偏振和y偏振透射的頻率范圍是非常有用的.當兩種材料的各向異性常量、厚度滿足一定條件時,本來在某個頻率上應(yīng)該是能隙中的禁止態(tài),卻變成能帶中的允許態(tài).出現(xiàn)缺隙的條件為對x偏振,cos(k1bb)cos(k1aa)-12(ε22bε22a+ε22aε22b)sin(k1bb)sin(k1aa)=±1;對y偏振,cos(k2bb)cos(k2aa)-12(ε11bε11a+ε11aε11b)sin(k2bb)sin(k2a