向量數(shù)乘運算及其幾何意義

223向量數(shù)乘運算及其幾何意義1掌握向量的數(shù)乘運算及幾何意義；2掌握向量數(shù)乘運算律，并會運用它們進行計算；3理解兩個向量共線的條件，能表示與某個非零向量共線的向量，能判斷兩個向量共線；4通過本節(jié)課的學習，體會類比和化歸思想．如何用三角形法則求作兩個非零向量的和向量？首尾相接連端點OAB如何用三角形法則求作兩個非零向量的差向量？共起點，連終點，方向指向被減向量OAB問題：一條細繩橫貫東西，一只螞蟻在細繩上做勻速直線運動，若螞蟻向東方向一秒鐘的位移對應的向量為，那么它在同一方向上3秒鐘的位移對應的向量怎樣表示？螞蟻向西3秒鐘的位移對應的向量又怎樣表示？你能用圖形表示嗎？定義：一般地，我們規(guī)定：實數(shù)λ與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘記作λ，該向量的長度與方向規(guī)定如下：（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0時,λ與方向相同；λ<0時,λ與方向相反；λ=0時,λ=學習新知思考：如圖，設點M為△ABC的重心，D為BC的中點，那么向量與，與分別有什么關系？ABCDM向量數(shù)乘的運算律及共線向量基本定理思考1：你認為－2×（5

），

，2

（

＋）

可分別轉化為什么運算？-2×

(5

)=-10

；(3＋)

=3

＋2

（

＋

）=

2

+

2

；數(shù)乘運算律：一般地，設λ，μ為實數(shù)，則λ(μ

)=(λμ)

；(λ＋μ)

=λ

＋μ

；λ(

＋

)=λ

＋λ

.思考2：你能理解上述運算律的幾何意義嗎？思考1：對于向量（≠）和，若存在實數(shù)λ，使=λ，則向量與的方向有什么關系？思考2：若向量

（

≠）與

共線，則一定存在實數(shù)λ，使

=λ

成立嗎？思考3：若

＝，上述定理成立嗎？共線向量基本定理：向量

（

≠）與

共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)λ，使

=λ

.共線向量基本定理ABPO思考4：若存在實數(shù)λ，使，則A、B、C三點的位置關系如何？A、B、C三點共線思考5：如圖，若P為AB的中點，則與、的關系如何？向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，對于任意向量、，以及任意實數(shù)λ、、y，恒有λ(x

±y

）=λx

±λy

.例1計算（1）（－3）×4；（2）3（＋）－2（－）－；（3）（2＋3－）－（3－2＋）23O例2如圖，已知任意兩個非零向量試作你能判斷A、B、C三點之間的位置關系嗎？為什么？ABCA、B、C三點共線例3如圖，平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點M，且=，=，試用,表示向量、、、MABDC1計算：2若向量方程，則向量等于（）3在中，已知是邊上的一點，若，則等于（）ABCDA4根據(jù)下列各小題中給出的條件，分別判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明簡析:（1）平行四邊形，一組對邊平行且相等（2）梯形，一組對邊平行且不相等（3）菱形，一組對邊平行且相等，一組鄰邊相等5如圖，在平行四邊形ABCD中，點M是AB中點，點N在線段BD上，且