導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 專練-2024屆高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（含解析）

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用專練一、選擇題1.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，若，則的值為()A. B. C. D.2.下列函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)為()①；②；③；④.A.1 B.2 C.3 D.43.已知函數(shù)是奇函數(shù)且其圖象在點(diǎn)處的切線方程為，設(shè)函數(shù)，則的圖象在點(diǎn)處的切線方程為().A. B.C. D.4.設(shè)函數(shù)，a，b均為正整數(shù)，若的極小值點(diǎn)為2，則的極大值點(diǎn)為().A.1 B.3 C.1或3 D.不確定5.《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬：將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑，已知三棱錐為鱉臑，且內(nèi)接于球O，球O的半徑，三棱錐的底面ABC為等腰直角三角形，平面ABC，則三棱錐的體積V的最大值為()A. B. C. D.6.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.若函數(shù)至少有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A. B. C. D.7.已知是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，，不等式恒成立，則m的取值范圍是()A. B. C. D.8.已知函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.9.已知是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，若整數(shù)m滿足，則所有滿足條件的m的和為()A.0 B.13 C.21 D.3010.已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為()A. B.C. D.11.已知，，且，則下列結(jié)論一定正確的是()A. B.C. D.12.已知函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)a，b，且在區(qū)間上有且僅有2個(gè)正整數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題13.已知函數(shù)，在點(diǎn)處的切線與直線平行，則的值為___________.14.已知函數(shù)和，若的極小值點(diǎn)是的唯一極值點(diǎn)，則k的最大值為___________.15.對(duì)于函數(shù)與，若存在，使，則稱點(diǎn)，是函數(shù)與圖象的一對(duì)“靚點(diǎn)”.已知函數(shù)，，若函數(shù)與恰有兩對(duì)“靚點(diǎn)”，則k的取值范圍為__________.16.已知函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且滿足，當(dāng)時(shí)，.若關(guān)于x的不等式在上的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為80，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____________.三、解答題17.已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于x的方程有3個(gè)不等實(shí)根，求證：.18.已知函數(shù).（1）若，求a的取值范圍；（2）證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，，則.19.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（3）證明：對(duì)任意的s，，有.20.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)P為曲線在點(diǎn)處的切線l上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是曲線上一點(diǎn)，求的最小值；(2)若對(duì)任意，恒有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

答案1.答案：C解析：由函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，得，.由，得，則.2.答案：A解析：①，故錯(cuò)誤；②，故正確;③，故錯(cuò)誤；④，故錯(cuò)誤.故選A.3.答案：A解析：由已知得，，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，，又因?yàn)?，所以，，所以的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選A.4.答案：B解析：對(duì)求導(dǎo)得，令，得，則該方程必有一根為2，代入，有，解得，則.因?yàn)?是的極小值點(diǎn)，且，所以為方程的較小根，從而，故.又a為正整數(shù)，所以.故的極大值點(diǎn)為3.5.答案：B解析：由題意，可將三棱錐還原為如圖所示的長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體對(duì)角線，即為球O的直徑.不妨設(shè)，則，，，.令，.，y在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，三棱錐體積的最大值為，故選B.6.答案：B解析：由題意，得，，，.令，得，.當(dāng)或時(shí)，，在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，有極大值；當(dāng)時(shí)，有極小值.若要使至少有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，只需解得.故選B.7.答案：D解析：依題意，在R上是增函數(shù)，，不等式恒成立，即恒成立，等價(jià)于恒成立，.令，則，易得，，，故選D.8.答案：A解析：易知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，得，即（，），設(shè)（，），則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或，所以函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.因?yàn)楹瘮?shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以直線與函數(shù)（，）的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，作出的圖象如圖所示，由圖得或.當(dāng)時(shí)，恒成立，所以無極值，所以.故選A.9.答案：C解析：當(dāng)時(shí)，，令，則.若，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.易知，，又，，由于，所以，即，所以m可以取1，2，3，4，5，6，7，8.當(dāng)時(shí)，令，則.若，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.易知，，又，，故m可以取0，-1，-2，-3，-4，-5.綜上所述，所有滿足條件的m的和為.10.答案：D解析：令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；又為的奇函數(shù)，，即為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增；又由不等式得，當(dāng)，即時(shí)，不等式可化為，即，由在上單調(diào)遞減得，解得，故；當(dāng)，即時(shí)，不等式可化為，即，由在上單調(diào)遞增得，解得，故；綜上所述，不等式的解集為：.故選D.11.答案：D解析：令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；由得：，即，，，，即，

，即，，D正確；

由知：，，A錯(cuò)誤；

，未必正確，B錯(cuò)誤；

，未必正確，C錯(cuò)誤.故選D.12.答案：C解析：由題意知函數(shù)有2個(gè)互異的零點(diǎn)a，b等價(jià)于函數(shù)與的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn).因?yàn)?，所?令，可得；令，可得.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，時(shí)，.由，知函數(shù)的圖象為過定點(diǎn)的一條直線，在同一平面直角坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)與的圖象如圖所示，若滿足，的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)，且在區(qū)間上有且僅有2個(gè)正整數(shù)，則即解得，故選C.13.答案：解析：因?yàn)?，所以，所以，即函?shù)在點(diǎn)處切線的斜率為1，因?yàn)榍芯€與直線l平行，所以，即.故答案為：-1.14.答案：解析：由可得，所以當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的極小值點(diǎn)是2，由可得，因?yàn)榈奈ㄒ粯O值點(diǎn)為2，所以或恒成立，所以或在上恒成立.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，所以.故答案為：.15.答案：解析：因?yàn)椋煽傻?則直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，令，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)的極大值為.令，當(dāng)時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，且，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)或時(shí)，即當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn).綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故答案為：.16.答案：解析：因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，又函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以，所以，所以8是的周期.因?yàn)闉榕己瘮?shù)且周期為8，在上的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為80，所以不等式在一個(gè)周期內(nèi)有4個(gè)整數(shù)解.因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以在內(nèi)有2個(gè)整數(shù)解.因?yàn)?，所以由，可得?當(dāng)時(shí)，，則，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.作出在內(nèi)的圖象，如圖所示，由圖象可得在內(nèi)無整數(shù)解，所以在內(nèi)有2個(gè)整數(shù)解.因?yàn)椋?，，所以在?nèi)的整數(shù)解為和，所以，解得.17.答案：(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)見解析.解析：(1)依題意得，.令，得；令，得或.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)由(1)可知函數(shù)的極小值，極大值.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，畫出的大致圖象如圖所示.方程有3個(gè)不等實(shí)根等價(jià)于直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)不同交點(diǎn)，不妨設(shè)，由圖象可知.構(gòu)造函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，.所以，故，由(1)知，在上單調(diào)遞減，所以，即，又，故.18.答案：（1）；（2）證明見解析解析：（1）由題意知函數(shù)的定義域?yàn)?

由，

可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

所以.

又，所以，解得，

所以a的取值范圍為.（2）解法一：不妨設(shè)，則由（1）知，.

令，

則.

令，

則，

所以當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增，所以，

即在上.

又，所以，即.

由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以，即.解法二（同構(gòu)構(gòu)造函數(shù)化解等式）不妨設(shè)，則由（1）知，.

由，得，

即.

因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，所以成立.

構(gòu)造函數(shù)，，

則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，

所以，

又，

所以在上單調(diào)遞減，

所以，即.19.答案：（1）（2）在上單調(diào)遞增（3）見解析解析：（1）由題，，

故，，

因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）解法一：，

則，設(shè)，，則，故在上單調(diào)遞增，故，

因此對(duì)任意的恒成立，

故在上單調(diào)遞增.解法二：，

則，

又，當(dāng)時(shí)，，

故對(duì)任意的恒成立，

故在上單調(diào)遞增.（3）設(shè)，

則，

由（2）知在上單調(diào)遞增，

故當(dāng)，時(shí)，，

因此，在上單調(diào)遞增，故，

因此，對(duì)任意的，有.20.答案：(1).(2)取值范圍是.解析：(1)由題意得.當(dāng)時(shí)，，故曲線在點(diǎn)處的切線l的方程為.易知當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)Q是曲線上切線斜率為e的點(diǎn)，由可得，所以的最小值為點(diǎn)Q到直線l的距離，即.(2)因?yàn)閷?duì)任意，恒有成立，所以在上恒成立.記，則對(duì)任意恒成立..記，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增