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第第頁(yè)【解析】黑龍江省大慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2023學(xué)年高一上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題黑龍江省大慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2023學(xué)年高一上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題
一、單選題
1.(2023高一上·大慶月考)函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?/p>
A.B.
C.D.
2.(2023高一上·大慶月考)函數(shù)在上的最小值為()
A.2B.1C.D.
3.(2023高一上·大慶月考)若且為第三象限角,則的值等于()
A.B.C.D.
4.(2023高一上·大慶月考)設(shè)集合,若A為空集,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()
A.B.C.D.
5.(2023高一上·大慶月考)已知奇函數(shù)在上是增函數(shù),若則的大小關(guān)系是()
A.B.C.D.
6.(2023高一上·大慶月考)已知,則()
A.2B.0C.D.
7.(2023高一上·大慶月考)已知函數(shù)則().
A.B.C.D.
8.(2023高一上·大慶月考)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()
A.B.C.D.
9.(2023高一上·大慶月考)已知恒為正數(shù),則取值范圍是()
A.B.
C.D.
10.(2023高一上·大慶月考)化簡(jiǎn)得()
A.B.
C.D.
11.(2023高一上·大慶月考)在平面直角坐標(biāo)系中,集合設(shè)集合中所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為,則有()
A.B.C.D.
12.(2023高一上·蘭州期中)若對(duì)于定義在上的函數(shù),其圖象是連續(xù)不斷的,且存在常數(shù)使得對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立,則稱(chēng)是一個(gè)“特征函數(shù)”.下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為()
①是常數(shù)函數(shù)中唯一的“特征函數(shù)”;
②不是“特征函數(shù)”;
③“特征函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn);
④是一個(gè)“特征函數(shù)”.
A.1B.2C.3D.4
二、填空題
13.(2023高一上·大慶月考)已知冪函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn),則
14.(2023高一上·大慶月考)一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)與面積的數(shù)值都是5,則這個(gè)扇形中心角的弧度數(shù)為.
15.(2023高一上·大慶月考)20世紀(jì)30年代,里克特(C.F.Richter)制定了一種表明地震能量大小的尺度,就是使用測(cè)震儀地震能量的等級(jí),地震能量越大,測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大,這就是我們常說(shuō)的里氏震級(jí)M,其計(jì)算公式為其中,A是被測(cè)量地震的最大振幅,是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅(使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測(cè)震儀距實(shí)際的距離造成的偏差),眾所周知,5級(jí)地震已經(jīng)比較明顯,計(jì)算8級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的倍.
16.(2023高一上·大慶月考)已知函數(shù)滿(mǎn)足,函數(shù),且與的圖像的交點(diǎn)為,則
三、解答題
17.(2023高一上·大慶月考)
(1)計(jì)算;
(2)已知,求的值.
18.(2023高一上·大慶月考)設(shè)
(1)求
(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
19.(2023高一上·大慶月考)已知冪函數(shù)
(1)求的解析式;
(2)①若圖像不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),直接寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
②若圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),解不等式.
20.(2023高一上·大慶月考)已知函數(shù)其反函數(shù)為
(1)求證:對(duì)任意都有,對(duì)任意都有
(2)令,討論的定義域并判斷其單調(diào)性(無(wú)需證明).
(3)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域;
21.(2023高一上·大慶月考)已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù);
(1)求實(shí)數(shù)的值.
(2)試判斷函數(shù)的單調(diào)性的定義證明;
(3)若對(duì)任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
22.(2023高一上·大慶月考)已知二次函數(shù)滿(mǎn)足①對(duì)于任意,都有;②;③的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為4.
(1)求的解析式;
(2)記
①若為單調(diào)函數(shù),求的取值范圍;
②記的最小值為,討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
答案解析部分
1.【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的概念與表示
【解析】【解答】要使函數(shù)有意義,則,解得且,
所以函數(shù)定義域?yàn)?
故答案為:A
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式,寫(xiě)出自變量滿(mǎn)足的條件,即可求解.
2.【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的最大(?。┲?/p>
【解析】【解答】因?yàn)楹瘮?shù),
所以函數(shù)在上是減函數(shù),
所以當(dāng)時(shí),.
故答案為:C
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式可知函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性求最小值.
3.【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系
【解析】【解答】因?yàn)榍覟榈谌笙藿牵?/p>
所以,
則.
故答案為:C
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及角所在的象限,即可求解.
4.【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】集合關(guān)系中的參數(shù)取值問(wèn)題
【解析】【解答】當(dāng)時(shí),原不等式為,A為空集;
當(dāng)時(shí),因?yàn)锳為空集
所以無(wú)解,
只需滿(mǎn)足,
解得,
綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為:D
【分析】分兩種情況分類(lèi)討論,時(shí)符合題意,時(shí)只需滿(mǎn)足即可求解.
5.【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合;對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)
【解析】【解答】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù),
所以,
因?yàn)椋?/p>
且函數(shù)在上是增函數(shù),
所以,
故答案為:B
【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù),只需比較,利用對(duì)數(shù)性質(zhì)及指數(shù)性質(zhì)比較,,即可求解.
6.【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的值;對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則
【解析】【解答】
.
故答案為:D
【分析】將自變量代入函數(shù)解析式,利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)求值即可.
7.【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則;分段函數(shù)的應(yīng)用
【解析】【解答】,
故答案為:D.
【分析】利用分段函數(shù)的解析式結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),從而求出函數(shù)值。
8.【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
【解析】【解答】設(shè)g(x)=x2﹣ax+1,
則要使f(x)=ln(x2﹣ax+1)在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞增,
由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得:
滿(mǎn)足,即,
得a,
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是,
故答案為:C.
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.
9.【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【解析】【解答】當(dāng)時(shí),是減函數(shù),,
則,解得;
當(dāng)時(shí),是增函數(shù),,
則,解得,又,所以;
綜上取值范圍是.
故答案為:A
【分析】分兩種情況分類(lèi)討論,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
10.【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用
【解析】【解答】
故答案為:A
【分析】利用求出,第一個(gè)根號(hào)分子分母同時(shí)乘以,第二個(gè)根號(hào)分子分母同時(shí)乘以,結(jié)合平方關(guān)系即可得到。
11.【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì);對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【解析】【解答】作出函數(shù)與圖象:
設(shè)與圖象交于不同的兩點(diǎn),設(shè)為,,不妨設(shè),則,
在R上遞減,
,即,
,
即,
故答案為:B
【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可知,圖象有兩交點(diǎn),設(shè)兩交點(diǎn),,根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知,即可得到,進(jìn)而求出.
12.【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的連續(xù)性;函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系
【解析】【解答】對(duì)于①中,設(shè),當(dāng)時(shí),函數(shù)是一個(gè)“特征函數(shù)”,
所以不是唯一的一個(gè)常值的“特征函數(shù)”,所以①不正確;
對(duì)于②中,函數(shù),
則,即,
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),方程由唯一的解,
所以不存在常數(shù)使得對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立,
所以函數(shù)不是“特征函數(shù)”,所以②正確.
對(duì)于③中,令,可得,所以,
若,顯然有實(shí)數(shù)根,若,,
又因?yàn)榈暮瘮?shù)圖象是連續(xù)的,所以在上必由實(shí)數(shù)根,
因此任意的“特征函數(shù)”必有實(shí)根,即任意“特征函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn),
所以③是正確;
對(duì)于④中,假設(shè)是一個(gè)“特征函數(shù)”,則對(duì)任意的實(shí)數(shù)成立,
則有,而此式有解,所以是“特征函數(shù)”,所以④正確的,
所以正確命題共有②③④.
故答案為:C.
【分析】利用新定義“特征函數(shù)”,對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)進(jìn)行判定,即可求解,得到答案.
13.【答案】9
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的概念與表示
【解析】【解答】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖像過(guò)點(diǎn),
所以,解得,
故,
所以.
故答案為:9
【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求出,利用函數(shù)解析式即可求值.
14.【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】扇形的弧長(zhǎng)與面積
【解析】【解答】設(shè)扇形的半徑為,由題意可得:,
據(jù)此可得這個(gè)扇形中心角的弧度數(shù)為。
【分析】利用扇形的弧長(zhǎng)公式結(jié)合扇形的面積公式,從而建立扇形中心角的弧度數(shù)和圓的半徑方程組,從而求出這個(gè)扇形中心角的弧度數(shù)。
15.【答案】1000
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則;對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
【解析】【解答】由可得,即,
當(dāng)時(shí),地震的最大振幅為;當(dāng)時(shí),地震的最大振幅為;
所以,兩次地震的最大振幅之比是:,即8級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的1000倍.
故答案為:1000
【分析】先根據(jù)求得地震最大振幅關(guān)于M的函數(shù),將震級(jí)代入分別求出最大振幅,最后求出兩次地震的最大振幅之比即可.
16.【答案】40
【知識(shí)點(diǎn)】奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性;函數(shù)的圖象
【解析】【解答】因?yàn)楹瘮?shù)滿(mǎn)足,
所以函數(shù)圖象關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng),
又,
所以的圖象也關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng),
因此與的圖像的交點(diǎn)為關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng),
所以
故答案為:40
【分析】由知函數(shù)圖象關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng),,圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng),故交點(diǎn)關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng),即可求解.
17.【答案】(1)解:
(2)解:
.
【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用;運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值
【解析】【分析】(1)根據(jù)終邊相同的角同名三角函數(shù)值相等化簡(jiǎn)求值即可(2)先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn),再利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系化為正切即可.
18.【答案】(1)解:由解得,故,
因?yàn)椋裕?
所以.
(2)解:因?yàn)椋?/p>
所以,
故.
【知識(shí)點(diǎn)】集合關(guān)系中的參數(shù)取值問(wèn)題;交集及其運(yùn)算
【解析】【分析】(1)化簡(jiǎn)集合,根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解(2)由可知,結(jié)合數(shù)軸求解即可.
19.【答案】(1)解:因?yàn)閮绾瘮?shù),
所以,解得或,
所以函數(shù)為或.
(2)解:①因?yàn)閳D像不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),
所以,
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間.
②因?yàn)閳D像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),
所以,
因?yàn)闉榕己瘮?shù),且在上為增函數(shù),
所以,
又在上為增函數(shù),
所以,
解得,
所以不等式的解為.
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的概念與表示;冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用
【解析】【分析】(1)根據(jù)冪函數(shù)可得,求出m即可(2)①根據(jù)圖象不過(guò)原點(diǎn)確定函數(shù)解析式,寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間即可②根據(jù)圖象過(guò)原點(diǎn)確定函數(shù)解析式,利用函數(shù)單調(diào)性解不等式.
20.【答案】(1)證明:因?yàn)椋?/p>
所以對(duì)任意都有.
因?yàn)槠浞春瘮?shù)為,
當(dāng)時(shí),
,
所以對(duì)任意都有.
(2)解:因?yàn)椋?/p>
所以,
當(dāng)時(shí),解得,且函數(shù)在上為增函數(shù)
當(dāng)時(shí),解得,且函數(shù)在上為增函數(shù)
所以時(shí)函數(shù)定義域?yàn)?,函?shù)在上為增函數(shù);當(dāng)時(shí)函數(shù)定義域?yàn)?,函?shù)在上為增函數(shù).
(3)解:當(dāng)時(shí),,
令,
則
因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸為,
所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
故函數(shù)的值域?yàn)?
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明;抽象函數(shù)及其應(yīng)用;二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值
【解析】【分析】(1)寫(xiě)出其反函數(shù)為,根據(jù)解析式即可證明(2)寫(xiě)出,分類(lèi)討論,寫(xiě)出定義域及單調(diào)性即可(3)寫(xiě)出,利用換元法求其值域即可.
21.【答案】(1)解:因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù),
所以,即,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意
(2)解:由(1)知
函數(shù)為R上的減函數(shù),證明如下;
設(shè),
則
因?yàn)椋?/p>
故,
則是R上的減函數(shù).
(3)解:因?yàn)闉槠婧瘮?shù),
所以
又是R上的減函數(shù),
所以恒成立,
令,
因?yàn)椋?/p>
所以,
當(dāng)時(shí),,
所以時(shí),不等式恒成立.
故實(shí)數(shù)的取值范圍..
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明;奇函數(shù)與偶函數(shù)的性質(zhì);函數(shù)恒成立問(wèn)題;二次函數(shù)的性質(zhì)
【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)知,代入計(jì)算即可(2)首先對(duì)解析式變形,用作差法判斷函數(shù)單調(diào)性即可(3)根據(jù)函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性可得恒成立,只需求函數(shù)的最小值即可.
22.【答案】(1)解:因?yàn)槎魏瘮?shù)中,
所以對(duì)稱(chēng)軸,
又的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為4,
所以與軸交點(diǎn)為
設(shè),
又,
所以
即.
(2)解:①,
對(duì)稱(chēng)軸為,
因?yàn)闉閱握{(diào)函數(shù),
所以或
解得或.
故的取值范圍是或.
②,
對(duì)稱(chēng)軸為,
當(dāng),即時(shí),,
當(dāng),即時(shí),,
當(dāng),即時(shí),
綜上
函數(shù)零點(diǎn)即為方程的根,
令,即的根,
作出的簡(jiǎn)圖如圖所示:
(i)當(dāng)時(shí),,或,
解得或,有3個(gè)零點(diǎn).
(ii)當(dāng)時(shí),有唯一解,解得,有2個(gè)零點(diǎn).
(iii)當(dāng)時(shí),有兩個(gè)不同的解,
解得或,有4個(gè)零點(diǎn).
(iv)當(dāng)時(shí),,,解得,有2個(gè)零點(diǎn).
(v)當(dāng)時(shí),無(wú)解,無(wú)零點(diǎn).
綜上:當(dāng)時(shí),無(wú)零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),4個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),有3個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)或時(shí),有2個(gè)零點(diǎn)
【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì);二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值;函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系
【解析】【分析】(1)根據(jù)條件可知二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸,的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為4可求出交點(diǎn),利用交點(diǎn)式求函數(shù)解析式(2)①寫(xiě)出二次函數(shù),根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間關(guān)系可求出的取值范圍②分類(lèi)討論求出函數(shù)的最小值,換元后作出函數(shù)圖象,再利用數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)的零點(diǎn),注意分類(lèi)討論思想在解題中的應(yīng)用.
1/1黑龍江省大慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2023學(xué)年高一上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題
一、單選題
1.(2023高一上·大慶月考)函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?/p>
A.B.
C.D.
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的概念與表示
【解析】【解答】要使函數(shù)有意義,則,解得且,
所以函數(shù)定義域?yàn)?
故答案為:A
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式,寫(xiě)出自變量滿(mǎn)足的條件,即可求解.
2.(2023高一上·大慶月考)函數(shù)在上的最小值為()
A.2B.1C.D.
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的最大(小)值
【解析】【解答】因?yàn)楹瘮?shù),
所以函數(shù)在上是減函數(shù),
所以當(dāng)時(shí),.
故答案為:C
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式可知函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性求最小值.
3.(2023高一上·大慶月考)若且為第三象限角,則的值等于()
A.B.C.D.
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系
【解析】【解答】因?yàn)榍覟榈谌笙藿牵?/p>
所以,
則.
故答案為:C
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及角所在的象限,即可求解.
4.(2023高一上·大慶月考)設(shè)集合,若A為空集,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()
A.B.C.D.
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】集合關(guān)系中的參數(shù)取值問(wèn)題
【解析】【解答】當(dāng)時(shí),原不等式為,A為空集;
當(dāng)時(shí),因?yàn)锳為空集
所以無(wú)解,
只需滿(mǎn)足,
解得,
綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為:D
【分析】分兩種情況分類(lèi)討論,時(shí)符合題意,時(shí)只需滿(mǎn)足即可求解.
5.(2023高一上·大慶月考)已知奇函數(shù)在上是增函數(shù),若則的大小關(guān)系是()
A.B.C.D.
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合;對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)
【解析】【解答】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù),
所以,
因?yàn)椋?/p>
且函數(shù)在上是增函數(shù),
所以,
故答案為:B
【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù),只需比較,利用對(duì)數(shù)性質(zhì)及指數(shù)性質(zhì)比較,,即可求解.
6.(2023高一上·大慶月考)已知,則()
A.2B.0C.D.
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的值;對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則
【解析】【解答】
.
故答案為:D
【分析】將自變量代入函數(shù)解析式,利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)求值即可.
7.(2023高一上·大慶月考)已知函數(shù)則().
A.B.C.D.
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則;分段函數(shù)的應(yīng)用
【解析】【解答】,
故答案為:D.
【分析】利用分段函數(shù)的解析式結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),從而求出函數(shù)值。
8.(2023高一上·大慶月考)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()
A.B.C.D.
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
【解析】【解答】設(shè)g(x)=x2﹣ax+1,
則要使f(x)=ln(x2﹣ax+1)在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞增,
由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得:
滿(mǎn)足,即,
得a,
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是,
故答案為:C.
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.
9.(2023高一上·大慶月考)已知恒為正數(shù),則取值范圍是()
A.B.
C.D.
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【解析】【解答】當(dāng)時(shí),是減函數(shù),,
則,解得;
當(dāng)時(shí),是增函數(shù),,
則,解得,又,所以;
綜上取值范圍是.
故答案為:A
【分析】分兩種情況分類(lèi)討論,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
10.(2023高一上·大慶月考)化簡(jiǎn)得()
A.B.
C.D.
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用
【解析】【解答】
故答案為:A
【分析】利用求出,第一個(gè)根號(hào)分子分母同時(shí)乘以,第二個(gè)根號(hào)分子分母同時(shí)乘以,結(jié)合平方關(guān)系即可得到。
11.(2023高一上·大慶月考)在平面直角坐標(biāo)系中,集合設(shè)集合中所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為,則有()
A.B.C.D.
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì);對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【解析】【解答】作出函數(shù)與圖象:
設(shè)與圖象交于不同的兩點(diǎn),設(shè)為,,不妨設(shè),則,
在R上遞減,
,即,
,
即,
故答案為:B
【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可知,圖象有兩交點(diǎn),設(shè)兩交點(diǎn),,根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知,即可得到,進(jìn)而求出.
12.(2023高一上·蘭州期中)若對(duì)于定義在上的函數(shù),其圖象是連續(xù)不斷的,且存在常數(shù)使得對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立,則稱(chēng)是一個(gè)“特征函數(shù)”.下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為()
①是常數(shù)函數(shù)中唯一的“特征函數(shù)”;
②不是“特征函數(shù)”;
③“特征函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn);
④是一個(gè)“特征函數(shù)”.
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的連續(xù)性;函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系
【解析】【解答】對(duì)于①中,設(shè),當(dāng)時(shí),函數(shù)是一個(gè)“特征函數(shù)”,
所以不是唯一的一個(gè)常值的“特征函數(shù)”,所以①不正確;
對(duì)于②中,函數(shù),
則,即,
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),方程由唯一的解,
所以不存在常數(shù)使得對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立,
所以函數(shù)不是“特征函數(shù)”,所以②正確.
對(duì)于③中,令,可得,所以,
若,顯然有實(shí)數(shù)根,若,,
又因?yàn)榈暮瘮?shù)圖象是連續(xù)的,所以在上必由實(shí)數(shù)根,
因此任意的“特征函數(shù)”必有實(shí)根,即任意“特征函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn),
所以③是正確;
對(duì)于④中,假設(shè)是一個(gè)“特征函數(shù)”,則對(duì)任意的實(shí)數(shù)成立,
則有,而此式有解,所以是“特征函數(shù)”,所以④正確的,
所以正確命題共有②③④.
故答案為:C.
【分析】利用新定義“特征函數(shù)”,對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)進(jìn)行判定,即可求解,得到答案.
二、填空題
13.(2023高一上·大慶月考)已知冪函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn),則
【答案】9
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的概念與表示
【解析】【解答】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖像過(guò)點(diǎn),
所以,解得,
故,
所以.
故答案為:9
【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求出,利用函數(shù)解析式即可求值.
14.(2023高一上·大慶月考)一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)與面積的數(shù)值都是5,則這個(gè)扇形中心角的弧度數(shù)為.
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】扇形的弧長(zhǎng)與面積
【解析】【解答】設(shè)扇形的半徑為,由題意可得:,
據(jù)此可得這個(gè)扇形中心角的弧度數(shù)為。
【分析】利用扇形的弧長(zhǎng)公式結(jié)合扇形的面積公式,從而建立扇形中心角的弧度數(shù)和圓的半徑方程組,從而求出這個(gè)扇形中心角的弧度數(shù)。
15.(2023高一上·大慶月考)20世紀(jì)30年代,里克特(C.F.Richter)制定了一種表明地震能量大小的尺度,就是使用測(cè)震儀地震能量的等級(jí),地震能量越大,測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大,這就是我們常說(shuō)的里氏震級(jí)M,其計(jì)算公式為其中,A是被測(cè)量地震的最大振幅,是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅(使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測(cè)震儀距實(shí)際的距離造成的偏差),眾所周知,5級(jí)地震已經(jīng)比較明顯,計(jì)算8級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的倍.
【答案】1000
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則;對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
【解析】【解答】由可得,即,
當(dāng)時(shí),地震的最大振幅為;當(dāng)時(shí),地震的最大振幅為;
所以,兩次地震的最大振幅之比是:,即8級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的1000倍.
故答案為:1000
【分析】先根據(jù)求得地震最大振幅關(guān)于M的函數(shù),將震級(jí)代入分別求出最大振幅,最后求出兩次地震的最大振幅之比即可.
16.(2023高一上·大慶月考)已知函數(shù)滿(mǎn)足,函數(shù),且與的圖像的交點(diǎn)為,則
【答案】40
【知識(shí)點(diǎn)】奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性;函數(shù)的圖象
【解析】【解答】因?yàn)楹瘮?shù)滿(mǎn)足,
所以函數(shù)圖象關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng),
又,
所以的圖象也關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng),
因此與的圖像的交點(diǎn)為關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng),
所以
故答案為:40
【分析】由知函數(shù)圖象關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng),,圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng),故交點(diǎn)關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng),即可求解.
三、解答題
17.(2023高一上·大慶月考)
(1)計(jì)算;
(2)已知,求的值.
【答案】(1)解:
(2)解:
.
【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用;運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值
【解析】【分析】(1)根據(jù)終邊相同的角同名三角函數(shù)值相等化簡(jiǎn)求值即可(2)先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn),再利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系化為正切即可.
18.(2023高一上·大慶月考)設(shè)
(1)求
(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)解:由解得,故,
因?yàn)椋?,?
所以.
(2)解:因?yàn)椋?/p>
所以,
故.
【知識(shí)點(diǎn)】集合關(guān)系中的參數(shù)取值問(wèn)題;交集及其運(yùn)算
【解析】【分析】(1)化簡(jiǎn)集合,根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解(2)由可知,結(jié)合數(shù)軸求解即可.
19.(2023高一上·大慶月考)已知冪函數(shù)
(1)求的解析式;
(2)①若圖像不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),直接寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
②若圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),解不等式.
【答案】(1)解:因?yàn)閮绾瘮?shù),
所以,解得或,
所以函數(shù)為或.
(2)解:①因?yàn)閳D像不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),
所以,
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間.
②因?yàn)閳D像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),
所以,
因?yàn)闉榕己瘮?shù),且在上為增函數(shù),
所以,
又在上為增函數(shù),
所以,
解得,
所以不等式的解為.
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的概念與表示;冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用
【解析】【分析】(1)根據(jù)冪函數(shù)可得,求出m即可(2)①根據(jù)圖象不過(guò)原點(diǎn)確定函數(shù)解析式,寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間即可②根據(jù)圖象過(guò)原點(diǎn)確定函數(shù)解析式,利用函數(shù)單調(diào)性解不等式.
20.(2023高一上·大慶月考)已知函數(shù)其反函數(shù)為
(1)求證:對(duì)任意都有,對(duì)任意都有
(2)令,討論的定義域并判斷其單調(diào)性(無(wú)需證明).
(3)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域;
【答案】(1)證明:因?yàn)椋?/p>
所以對(duì)任意都有.
因?yàn)槠浞春瘮?shù)為,
當(dāng)時(shí),
,
所以對(duì)任意都有.
(2)解:因?yàn)椋?/p>
所以,
當(dāng)時(shí),解得,且函數(shù)在上為增函數(shù)
當(dāng)時(shí),解得,且函數(shù)在上為增函數(shù)
所以時(shí)函數(shù)定義域?yàn)?,函?shù)在上為增函數(shù);當(dāng)時(shí)函數(shù)定義域?yàn)?,函?shù)在上為增函數(shù).
(3)解:當(dāng)時(shí),,
令,
則
因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸為,
所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
故函數(shù)的值域?yàn)?
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明;抽象函數(shù)及其應(yīng)用;二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值
【解析】【分析】(1)寫(xiě)出其反函數(shù)為,根據(jù)解析式即可證明(2)寫(xiě)出,分類(lèi)討論,寫(xiě)出定義域及單調(diào)性即可(3)寫(xiě)出,利用換元法求其值域即可.
21.
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