人教版八年級上冊數(shù)學(xué)全冊同步講義

人教版八年級上冊數(shù)學(xué)全冊同步講義PAGEPAGE5第1講三角形中的線段知識要點梳理

知識點一：1、三角形有關(guān)概念

（1）三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形。

（2）三角形的基本元素：

①三角形的三條邊：即組成三角形的線段；

②三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角；三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角叫做三角形的外角。

③三角形的頂點：即相鄰兩邊的公共端點。（3）三角形的特征：①三條線段不在同一直線上，且首尾順次相接；

②三角形是一個封閉的圖形。

（4）三角形的符號：

①三角形用符號“△”表示。頂點是A、B、C的三角形，記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”；

注意：△ABC是三角形ABC的符號標(biāo)記，單獨的△沒有意義②三角形ABC的邊AB可用邊AB所對的角C的小寫字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示。

2、三角形的分類

(1)按邊分類：

要點詮釋：

①不等邊三角形：三邊都不相等的三角形;

②等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，

兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;

③等邊三角形：三邊都相等的三角形.

(2)按角分類：

要點詮釋：①銳角三角形：三個內(nèi)角都是銳角的三角形;②鈍角三角形：有一個內(nèi)角為鈍角的三角形.

知識點二：三角形三邊間的關(guān)系

定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊。定理的數(shù)學(xué)語言：如圖1，|b－c|＜a＜b＋c推論：三角形任意兩邊之差小于第三邊。要點詮釋：（1）理論依據(jù)：兩點之間線段最短。（2）給出三條線段的長度，判斷它們能否構(gòu)成三角形。判斷方法常用的有兩種（設(shè)a、b、c為三邊的長）：①a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b都能成立，則以a、b、c為三邊的長可以構(gòu)成一個三角形（此法一般不用）;

②|b－c|＜a＜b＋c長為a，b，c的三條線段可組成三角形；或若c是最長的線段，且a＋b＞c，則以a、b、c為三邊的長可構(gòu)成一個三角形。

（3）已知三角形兩邊的長，可以確定第三邊的取值范圍:

設(shè)三角形的兩邊的長為a、b，則第三邊的長c的取值范圍是。

（4）證明線段之間的不等關(guān)系。

知識點三：三角形的高、中線、角平分線

1、三角形的高從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高．三角形的高的數(shù)學(xué)語言：如圖2，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC邊上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝90°。AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；

要點詮釋：①三角形的高是線段；②三角形有三條高，且相交于一點，這一點叫做三角形的垂心。③三角形的三條高：

(ⅰ)銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，三條高的交點也在三角形內(nèi)部；(ⅱ)鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，且三條高的交點在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三條高的交點是直角三角形的直角頂點。2、三角形的中線

三角形的一個頂點與它的對邊中點的連線叫三角形的中線．三角形的中線的數(shù)學(xué)語言：

如圖3，AD是ΔABC的中線或AD是ΔABC的BC邊上的中線或BD＝CD＝BC。AD是ΔABC的中線BD＝CD＝BC。要點詮釋：

①三角形的中線是線段；②三角形三條中線全在三角形內(nèi)部；③三角形三條中線交于三角形內(nèi)部一點，這一點叫三角形的重心．④中線把三角形分成面積相等的兩個三角形。3、三角形的角平分線三角形的一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。三角形的角平分線的數(shù)學(xué)語言：如圖4，AD是ΔABC的角平分線，或∠BAD＝∠CAD且點D在BC上。即AD是ΔABC的角平分線∠BAD＝∠DAC＝∠BAC(或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC)要點詮釋：①三角形的角平分線是線段；②一個三角形有三條角平分線，并且都在三角形的內(nèi)部；③三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點，這一點叫做三角形的內(nèi)心．④可以用量角器或圓規(guī)畫三角形的角平分線。知識點四：三角形的穩(wěn)定性

如果三角形的三邊固定，那么三角形的形狀大小就完全固定了，這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性．

要點詮釋：

①三角形的形狀固定是指三角形的三個內(nèi)角不會改變，大小固定指三條邊長不改變．

②三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅固而穩(wěn)定；在柵欄門上斜著釘一條(或兩條)木板，構(gòu)成一個三角形，就可以使柵欄門不變形．大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個道理．

③四邊形沒有穩(wěn)定性，也就是說，四邊形的四條邊長確定后，不能確定它的形狀，它的各個角的大小可以改變．四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)用，如活動掛架，伸縮尺．有時我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜著釘一根木板，使它不變形．典型例題：題型一三角形的概念例題1下列說法:(1)不等邊三角形就是三條邊都不相等的三角形;(2)等邊三角形一定是等腰三角形;(3)有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形;(4)有一個角是直角的三角形是直角三角形;(5)有一個角是銳角的三角形是銳角三角形.其中正確的說法有____________.題型二三角形三邊的關(guān)系例題2．以下列各組線段為邊,能組成三角形的是()A.2cm,3cm,5cmB.1cm,11cm,11cmC.5cm,8cm,2cmD.三邊之比為5:10:4舉一反三【變式1】用9根火柴棒首尾順次連接擺成一個三角形，能擺成不同的三角形的個數(shù)為;用10根呢?【變式2】已知三角形的三邊長分別為3,8,;若的值為偶數(shù),則的值有______個.【變式3】等腰三角形的兩邊長分別為12和6，則此三角形的周長為（）。A、24B、30C、24或30D、以上都不對題型三三角形的線段例題3如圖,△ABC中,∠1=∠2,G是AD中點,連結(jié)BG并延長,交AC于點E,CH⊥AD,延長線交AB于點F.請?zhí)羁?AG是△ABE的_________;△ABC的角平分線是________;△ABD的中線是______;AH是________和_______和_______的高.舉一反三【變式1】下列說法:(1)三角形的高必在三角形內(nèi)部;(2)三角形的中線必在三角形內(nèi)部;(3)三角形的角平分線必在三角形內(nèi)部;(4)三角形的高、中線、角平分線都是線段.其中正確的有__________.【變式2】如圖,BM是△ABC中AC邊上的中線,已知AB=6cm,BC=4cm,那么△ABM與△BCM的周長差是多少?【變式3】(1)已知AD是△ABC的中線,△ABD的面積為4,則△ABC的面積是________;(2)已知在△ABC中，D是BC上一點，BD:CD=2:1,△ABD的面積為6,則△ABC的面積是___________;【變式4】在△ABC中，AB=2BC,AD、CE分別是BC、AB邊上的高，試判斷AD和CE的大小關(guān)系，并說明理由。鞏固練習(xí)一、選擇題1.下面四個圖形中，線段BE是△ABC的高的圖是（）A．B．C．D．2.如圖1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直線AC翻折180°,使點B落在點B′的位置,則線段AC具有性質(zhì)()A.是邊BB′上的中線B.是邊BB′上的高C.是∠BAB′的角平分線D.以上三種圖2圖1圖2圖13.如圖2所示,D,E分別是△ABC的邊AC,BC的中點,則下列說法不正確的是()A.DE是△BCD的中線B.BD是△ABC的中線C.AD=DC,BD=ECD.∠C的對邊是DE4.下列長度的三條線段中，能組成三角形的是（）3cm，5cm，8cmB、8cm，8cm，18cmC、0.1cm，0.1cm，0.1cmD、30cm，40cm，8cm5.如果線段a，b，c能組成三角形，那么，它們的長度比可能是（）A、1∶2∶4B、1∶3∶4C、3∶4∶7D、2∶3∶46.如果三角形的兩邊分別為7和2，且它的周長為偶數(shù)，那么第三邊的長為（） A、5B、6C、7D、8二、填空題1.如圖4，圖中所有三角形的個數(shù)為，在△ABE中，AE所對的角是，∠ABC所對的邊是，AD在△ADE中，是的對邊，在△ADC中，是的對邊；2.如圖5，已知∠1=0.5∠BAC，∠2=∠3，則∠BAC的平分線為，∠ABC的平分線為；3.如圖6，D、E是邊AC的三等分點，圖中有個三角形，BD是三角形中邊上的中線，BE是三角形中邊上的中線；圖4圖5圖4圖5圖64.如圖7，在△ABC中，AD是中線，則△ABD的面積△ACD的面積（填“＞”“＜”“＝”）。5.如圖8，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，則∠CDF=度。圖7圖8圖7圖8解答題1.⑴已知等腰三角形的一邊等于8cm，另一邊等于6cm，求此三角形的周長；⑵已知等腰三角形的一邊等于5cm，另一邊等于2cm，求此三角形的周長。 提高拓展：1.如圖3所示,在△ABC中,已知點D,E,F分別為邊BC,AD,CE的中點,且S△ABC=4cm2,則=()圖3A.2cm2B.1cm2C.cm2D.cm2圖32.已知三角形三邊長為a、b、c，化簡|a＋b－c|-|a－b－c|3.在△ABC中,AB=AC,AD是中線,△ABC的周長為34cm,△ABD的周長為30cm,求AD的長.課后鞏固1.已知三角形的三邊長分別為3、x、8，若x的值為奇數(shù)，則x的值有（）。A、1個B、2個C、4個D、3個2.下列各組三條線段中，不能組成三角形的是（）。A、三線段之比為2：2：3B、a+1，a+2，a+3（a﹥0）C、5cm，6cm，10cmD、3cm，5cm，9cm4.下列說法：①三角形的高、中線、角平分線都是線段；②三角形的三條中線都在三角形內(nèi)部；③三角形的高有兩條在三角形外部，還有一條在三角形內(nèi)部；④如果P是△ABC的AC邊的中點，則PB是△ABC的中線。其中正確的是（）。A、①②④B、②③④C、①④D、①②5、如圖2，DE∥BC，CD是△ABC的平分線，∠ABC=60°，∠A=50°，則∠EDC=________。6、如圖，AD為△ABC的中線，若AB=10，AC=7，則△ABD與△ACD的周長之差是：________。第2講三角形中的角、多邊形知識點梳理：知識點一：三角形的內(nèi)角與外角三角形的內(nèi)角：（1）定義：三角形中相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的角.（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于（3）三角形內(nèi)角和定理的作用：①在三角形中已知任意兩個角的度數(shù)可以求出第三個角的度數(shù)；②已知三角形三個內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角度數(shù)；③求一個三角形中各角之間的關(guān)系.（二）三角形的外角（1）定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的.三角形的外角和為°.（2）特點：①外角的頂點在三角形的一個頂點上；②外角的一條邊是三角形的一邊；③外角的另一條邊是三角形某條邊的.（3）性質(zhì)：①三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個的和.②三角形的一個外角（大于，等于或小于）與它不相鄰的任何一個內(nèi)角.知識點二：多邊形（一）多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做.注意：各個角都相等、各條邊都相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不可.如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形，四個角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個角都相等的四邊形才是正方形.（二）多邊形的對角線：連接多邊形的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.從邊形的一個頂點出發(fā)，可以畫條對角線，邊形一共有條對角線.（三）多邊形的內(nèi)角和公式：邊形的內(nèi)角和為.內(nèi)角和公式的應(yīng)用：（1）已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；（2）已知多邊形內(nèi)角和，求其邊數(shù).（四）多邊形的外角和定理：多邊形的外角和等于.外角和定理的應(yīng)用：（1）已知外角度數(shù)，求正多邊形邊數(shù)；（2）已知正多邊形邊數(shù)，求外角度數(shù).知識點三：鑲嵌（一）平面鑲嵌的定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做多邊形覆蓋平面（或平面鑲嵌）.（二）鑲嵌的條件：當(dāng)圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個時，就能拼成一個平面圖形.典例分析：題型一：三角形的內(nèi)角和例1、若三角形的一個角是另一個角的6倍，而這兩個角的和比第三個角大，求此三角形的最大角。針對練習(xí)1、在△ABC中，∠B＝20°+∠A，∠C＝∠B－10°，求∠A的度數(shù).2.如圖，AE是△ABC的角平分線，AD⊥BC于點D，若∠BAC=128°，∠C=36°，則∠DAE的度數(shù)是_______題型二：三角形的內(nèi)角和外角例2、如圖在直角△ABD中，,,C為AD上一點（不與A、D重合），則可能是（）A、B、C、D、思考：本題你能求出的范圍嗎？例3、如圖的平分線和△ABC的外角的平分線交于點D，，求的度數(shù)。針對練習(xí)第1題1.如圖，CD∥AB，∠1=120°，∠2=80°，則∠E的度數(shù)是（）第1題2.如圖所示，已知D是△ABC邊AB上一點，E是邊AC上的一點，BE、CD相交于點F，

（1）若∠A＝62°，∠ACD＝15°，∠ABE＝20°.求∠BDC和求∠BFD的度數(shù)；（2）試說明∠BFC＞∠A.題型三：多邊形的內(nèi)角和外角例4、（1）一個多邊形的每一個外角都等于30°，這個多邊形的邊數(shù)是，它的內(nèi)角和是。（2）正多邊形的內(nèi)角和等于1440°，那么這個正多邊形的邊數(shù)為.（3）正八邊形的每個內(nèi)角為°對角線有條針對練習(xí)1．已知一個多邊形的每一個內(nèi)角都等于108°，則這個多邊形的邊數(shù)是_________．2.正十二邊形每個內(nèi)角的度數(shù)為．3.一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個多邊形的邊數(shù)為．題型四：平面鑲嵌問題例5、一幅美麗的圖案，在某個頂點處由四個邊長相等的正多邊形鑲嵌而成其中三個分別為正三角形、正四邊形、正六邊形，那么另一個為（）A.正三邊形B.正四邊形C.正五邊形D.正六邊形針對練習(xí)：1、下列正多邊形中，不能夠鋪滿地面的是（）.(A)正三角形(B)正方形(C)正六邊形(D)正八邊形2、現(xiàn)有四種地面磚，它們的形狀分別是：正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形，且它們的邊長都相等．同時選擇其中兩種地面磚密鋪地面，選擇的方式有（）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種3、某公園便道用三種不同的正多邊形地磚鋪設(shè)，其中已選好了用正十二邊形和正方形兩種，還需要選用，使這三種組合在一起把便道鋪滿.題型五綜合找規(guī)律如圖，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點A1，∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點A2，…，∠An﹣1BC的平分線與∠An﹣1CD的平分線交于點An．設(shè)∠A=θ．則：（1）求∠A1的度數(shù)；（2）∠An的度數(shù)．針對練習(xí)：1.如圖所示,∠ABC,∠ACB的內(nèi)角平分線交于點O,∠ABC的內(nèi)角平分線與∠ACB的外角平分線交于點D,∠ABC與∠ACB的相鄰?fù)饨瞧椒志€交于點E,且∠A=60°,則∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=________.鞏固練習(xí)一、選擇題1、下面各角能成為某多邊形的內(nèi)角的和的是（）A、430°B、4343°C、4320°D、4360°2、下列說法錯誤的個數(shù)是（）（1）鈍角三角形三邊上的高都在三角形的外部（2）三角形中，至少有兩個銳角，最多有一個直角或鈍角（3）三角形的一個外角等于它的兩個內(nèi)角的和（4）三角形的一個外角大于它的任何一個內(nèi)角（5）三角形的三個外角（每個頂點只取一個外角）中，鈍角個數(shù)至少有2個A.1個B.2個C.3個D.4個3、若一個三角形的三個內(nèi)角度數(shù)之比為3：2：1，則與之相鄰的三個外角度數(shù)之比為（）A.3：2：1B.1：2：3C.5：4：3D.3：4：54.如圖，直線∥，∠1=40°，∠2=65°，則∠3=（）A．65° B．70° C．75° D．85°第5題第5題5.如圖，將三角板的直角頂點放在直角尺的一邊上，∠1=30°，∠2=50°，則∠3的度數(shù)為（）A．80B．50C．30D．206.如圖所示，已知△ABC為直角三角形，∠B=90°，若沿圖中虛線剪去∠B，則∠1+∠2等于（）A、90°B、135°C、270°D、315°二．填空題1．某多邊形內(nèi)角和與外角和共1080°，則這個多邊形的邊數(shù)是_______。2．如圖，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝_________3．用三種邊長相等的正多邊形鋪地面，已選了正方形和正五邊形兩種，還應(yīng)選正_______邊形。4、一個四邊形的四個內(nèi)角中最多有______個鈍角,最多有______個銳角.5、一個多邊形的每一個外角都等于72°,這個多邊形的邊數(shù)是_________,它的內(nèi)角和是______度，對角線有_____條（第7題）6.如圖，已知，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于E、F，點G在直線EF上，GH⊥AB，若∠EGH=32°，則∠DFE的度數(shù)為____________.（第7題）7.如圖所示，在折紙活動中，小明制作了一張△ABC紙片，點D、E分別是邊AB、AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平，A與A'重合，若∠A=70°，則∠1+∠2=____°.若∠A=°，則∠1+∠2=____°.（用表示）第8題8.將一副直角三角板如圖放置，使含30°角的三角板的一條直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊重合，則α=________．第8題三、解答題1、已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC．求證：AD∥BC．2、如圖,在△ABC中,D是BC邊上一點,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC的度數(shù).3將一副三角板拼成如圖所示的圖形，過點C作CF平分∠DCE交DE于點F．

（1）求證：CF∥AB．（2）求∠DFC的度數(shù)．

拓展提高：1.（河北）一個正方形和兩個等邊三角形的位置如圖所示，若∠3=50°，則∠1+∠2=（）A．90° B．100° C．130° D．180°2.一個多邊形截去一個角后，形成另一個多邊形的內(nèi)角和為720°，那么原多邊形的邊數(shù)為（）A．5B．5或6C．5或7D．5或6或73.（1）如圖1是一個五角星ABCDE，請算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小.（2）如圖2，3，4，5的變式圖形中，上面的結(jié)論成立嗎？為什么圖1圖2圖3圖4圖54、（1）如圖①∠1＋∠2與∠B＋∠C有什么關(guān)系？為什么？（2）把圖①△ABC沿DE折疊，得到圖②，填空：∠1＋∠2_______∠B＋∠C(填“＞”“＜”“=”)，當(dāng)∠A＝40°時，∠B＋∠C＋∠1＋∠2＝______（3）如圖③，是由圖①的△ABC沿DE折疊得到的，如果∠A＝30°，則x＋y＝360°－（∠B＋∠C＋∠1＋∠2）＝360°－＝,猜想∠BDA＋∠CEA與∠A的關(guān)系為5、一個零件的形狀如下圖所示，規(guī)定∠A＝90°，∠B和∠C分別是32°和21°，檢驗工人量得∠BDC＝149°，就斷定這個零件不合格，請你運用三角形的有關(guān)知識說明零件不合格的原因。6、如圖所示,在△ABC中,∠A=α,△ABC的內(nèi)角平分線或外角平分線交于點P,且∠P=β,試探求下列各圖中α與β的關(guān)系,并選擇一個加以說明.第3講全等三角形的性質(zhì)【知識點與方法梳理】全等形：形狀與大小都完全相同的兩個圖形就是全等形．平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等全等三角形的記法：全等于，記作：≌，其中與為對應(yīng)角，AB與DE為對應(yīng)邊。全等三角形的性質(zhì)：（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等．（2）全等三角形的對應(yīng)角相等．找對應(yīng)邊和對應(yīng)角的常用方法有：（1）有公共邊的，公共邊是對應(yīng)邊.（2）有公共角的，公共角是對應(yīng)角.（3）有對頂角的，對頂角是對應(yīng)角，一對最長的邊是對應(yīng)邊，一對最短的邊是對應(yīng)邊.（4）一對最大的角是對應(yīng)角，一對最小的角是對應(yīng)角（5）全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊；兩個對應(yīng)角所夾的邊也是對應(yīng)邊．（6）全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角；兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角【經(jīng)典例題】[例1]如圖，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其他的對應(yīng)邊和對應(yīng)角．[例2]、如圖，如果圖中的兩個三角形全等，根據(jù)圖中所標(biāo)數(shù)據(jù)，可以推理得到∠α=______[例3]、如圖所示，△ABD≌△ACE，點B和點C是對應(yīng)頂點，AB=8，BD=7，AD=6，則BE的長是__________【經(jīng)典練習(xí)】1、如圖，△ABC≌△ADE，則AB=，∠=∠．若∠=130°，∠BAD=40°，則∠BAC=2．△ABC≌△DEF，且△ABC的周長為12，若AB=3，EF=4，則AC=．3、△ABC≌△BAD，A和B，C和D是對應(yīng)頂點，如果AB=8cm，BD=6cm，AD=5cm，則BC=________cm．4、如圖，△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=500，∠AEC=1200，則∠DAC的度數(shù)等于.5.如圖1，若△ABC≌△ADE，∠EAC=35°，則∠BAD=_________度.6、已知：△DEF≌△MNP，且EF＝NP，∠F＝∠P，∠D＝48°，∠E＝52°，MN＝12cm，求：∠P的度數(shù)及的長.7、在△ABC中，∠B＝∠C，與△ABC全等的三角形有一個角是100°,那么在△ABC中與這100°角對應(yīng)相等的角是（）A.∠AB.∠BC.∠CD.∠B或∠C8、如圖所示，△ABD≌△CDB，下面四個結(jié)論中，不正確的是（）A.△ABD和△CDB的面積相等B.△ABD和△CDB的周長相等C.∠A+∠ABD＝∠C+∠CBDD.AD∥BC，且AD＝BC9、如圖，在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：5：10，又△MNC≌△ABC，則∠BCM：∠BCN等于10、如圖，已知△ABE≌△ACF，∠E=∠F=90°，∠CMD=70°，則∠2=______度．【鞏固練習(xí)】基礎(chǔ)訓(xùn)練題1、如圖，△ABC≌△CDA，并且BC=DA，那么下列結(jié)論錯誤的是（）A、∠1=∠2B、AC=CAC、AB=ADD、∠B=∠D2、下列說法錯誤的有（）

①只有兩個三角形才能完全重合；②如果兩個圖形全等，它們的形狀和大小一定都相同；

③兩個正方形一定是全等圖形；④邊數(shù)相同的圖形一定能互相重合．A、4個B3個C2個D1個3、已知△ABC與△DEF全等，∠A=∠D=90°，∠B=37°，則∠E的度數(shù)是（）A、37°B、53°C、37°或63°D、37°或53°4.一個三角形的三邊為2、5、x，另一個三角形的三邊為y、2、6，若這兩個三角形全等，則x+y=____5、已知如圖△ABC≌△DEF，且BC=EF,∠B=∠DEF．則∠A=____，AC=____、DE=___．6、如圖，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，則DE的長是7、如圖，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，則∠ACA′的度數(shù)為8、如圖，若△ABC≌△DEF，則∠E等于9、如圖，△ABC≌△DEF，DF和AC，F(xiàn)E和CB是對應(yīng)邊．若∠A=100°，∠F=47°，則∠DEF等于10、如圖，△ABC≌△ADE，∠DAC=60°，∠BAE=100°，BC、DE相交于點F，則∠DFB的度數(shù)是能力提高題1.已知等腰△ABC的周長為18cm，BC=8cm，若△ABC≌△A′B′C′，則△A′B′C′中一定有一條邊等于（）A、7cmB、2cm或7cmC、5cmD、2cm或5cm2、如圖所示，兩個三角形全等，其中已知某些邊的長度和某些角的度數(shù)，則x=____度．3、如圖，△ABE和△ACD是△ABC分別沿著AB，AC邊翻折180°形成的，若∠BAC=150°，則∠θ的度數(shù)是4、如圖所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延長線交DE于F，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠AED=105°，∠DAC=10°，則∠DFB為第4講全等三角形的判定(一)【知識點與方法梳理】三角形全等的判定一（定理）：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”．三角形全等的判定二（公理）：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(簡稱“邊角邊”或“SAS”)利用尺規(guī)作圖法做一個角等于已知角的理論依據(jù)是：三角形的全等邊邊邊定理BACBACD例如:如圖,△ABC與△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B【經(jīng)典例題】例1.如圖：已知∠AOB。利用尺規(guī)作圖法求作：∠A′B′C′，使∠A′B′C′=∠AOB例2.如圖，已知AC=FE、BC=DE，點A、D、B、F在一條直線上，AD=FB．求證：△ABC≌△FDE例3.已知：AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2．求證：△ABD≌△ACE．例4、已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點B，C，D在一條直線上求證：BE=ADEDEDCAB【經(jīng)典練習(xí)】1.如圖,已知,AB=CD,CE=DF,AE=BF,則AE∥BF嗎?為什么?2、如圖，將兩根鋼條AA'、BB'的中點O連在一起，使AA'、BB'可以繞著點O自由轉(zhuǎn)動，就做成了一個測量工件，則A'B'的長等于內(nèi)槽寬AB，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（）（A）邊角邊（B）角邊角（C）邊邊邊（D）角角邊3.已知：如圖，AB＝AC，F(xiàn)、E分別是AB、AC的中點．求證：△ABE≌△ACF．4．已知，如圖，點B、F、C、E在同一直線上，AC、DF相交于點G，AB⊥BE，垂足為B，DE⊥BE，垂足為E，且AB＝DE，BF＝CE。求證：△ABC≌△DEF；5、如圖，AB=AC，BD=CD，求證：∠1=∠2．6、如圖，已知AB=CD，AC=BD，求證：∠A=∠D．7、如圖，AC與BD交于點O，AD=CB，E、F是BD上兩點，且AE=CF，DE=BF.請推導(dǎo)下列結(jié)論：⑴AD//BC；⑵AE//CF．已知：如圖，，，。求證：。9.如圖,AE=AD,要使ΔABD≌ΔACE,請你增加一個條件是ABCDABCD11. 已知AC=FE,BC=DE,點A,D,B,F在一條直線上，AD=BF,求證：∠E=∠CDOCBAB12.如圖，DOCBAB使（只添一個即可）．13.在△ABC中，AB＝AC，BE、CF是中線，則由可得△AFC≌△AEB.14.已知：點A、F、E、C在同一條直線上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求證：△ABE≌△CDF．【鞏固練習(xí)】基礎(chǔ)訓(xùn)練題1、如圖1，AB=AD，CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，則∠ACD的度數(shù)是()A.120°B.125°C.127°D.104°2、如圖2，線段AD與BC交于點O，且AC=BD，AD=BC，則下面的結(jié)論中不正確的是()A.△ABC≌△BADB.∠CAB=∠DBAC.OB=OCD.∠C=∠D3、如圖3，在△ABC和△A1B1C1中，已知AB=A1B1，BC=B1C1，則補充條件____________，可得到△ABC≌△A1B1C1．4.已知如圖，A、E、F、C四點共線，BF=DE，AB=CD.⑴請你添加一個條件，使△DEC≌△BFA；⑵在⑴的基礎(chǔ)上，求證：DE∥BF.5、已知：如圖AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE，求證：∠BDC=∠DAE6、如圖，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，試說明△ABD≌△ACD。 7、已知：如圖，∥，。求證：。8、已知：如圖，∥，，。求證：。9、已知：如圖，點A、B、C、D在同一條直線上，，，，，垂足分別是A、D。求證：10、如圖，在中，是上一點，交于點，，，與有什么位置關(guān)系？說明你判斷的理由。能力提高題1、已知：如圖，，。求證∠CAO=∠DBO2、已知：如圖,D、E分別是△ABC的邊AB,AC的中點,點F在DE的延長線上,且EF=DE．求證：(1)BD=FC(2)AB∥CF3、已知:如圖,AB=AC,EB=EC,AE的延長線交BC于D．求證：BD=CD．4、已知:如圖,AB=AC,AD=AE=BC,∠BAC=∠DAE,∠BDA=∠BCE.求證:(1)BD=CE(2)BE=AB5、如圖，已知，AB∥DE，AB=DE，AF=DC。請問圖中有那幾對全等三角形？請依次給予證明。BBCDASFE6.已知如圖：AB=CD，BE=ED，∠BAD=∠BDA，求證：AC=2AE（提示：倍長中線法）第5講全等三角形的判定（二）【知識點與方法梳理】復(fù)習(xí)鞏固：三角形全等的判定一（公理）：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”．三角形全等的判定二（定理）：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(簡稱“邊角邊”或“SAS”)新課要點：三角形全等的判定三（定理）兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）．三角形全等的判定四（定理）兩個角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）．【經(jīng)典例題】例1.如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于O點，DCBAO1234DCBAO1234求證：（1）△ABC≌△ADC；（2）BO＝DO．例2.如圖，∠DCE=90o，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分別為A、B，試說明AD+AB＝BE.例3.已知：如圖，AB=DE，直線AE，BD相交于C，∠B＋∠D=180°，AF∥DE，交BD于F．求證：CF=CD．【經(jīng)典練習(xí)】1.已知：如圖，∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要說明△ABC≌△DEF，（1）若以“SAS”為依據(jù)，還須添加的一個條件為________________.（2）若以“ASA”為依據(jù)，還須添加的一個條件為________________.（3）若以“AAS”為依據(jù)，還須添加的一個條件為________________.2.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，則△______≌△_______.依據(jù)是ADADBCEF若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，則∠BCF=()A.150°B.40°C.80°D.90°4.如圖,AB=CD，AD=BC，O為BD中點，過O點作直線與DA、BC延長線交于E、F，若，EO=10，（1）求∠DBC的度數(shù)（2）求FO的長5．如圖，已知∠1=∠2，∠3=∠4，AB與CD相等嗎？請你說明理由.6.如圖，C為線段AB上一點，在△ACM和△CBN中，AC=MC，BC=NC，∠ACM=∠BCN=60°，求證：①AN=MB，②CE=CF7.如圖，AB=AC，AD=AE.AB、DC相交于M，AC、BE相交于N，∠DAB=∠EAC.求證：AM=AN8.如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB,AD=AC,AF平分∠CAB交CE于點F，DF的延長線交AC于點G.(1)求證DF//BC(2)若AD=8cm，AG=5cm，求DE的長【鞏固練習(xí)】基礎(chǔ)訓(xùn)練題1.如圖，AB∥CD，AD∥BC，那么AD=BC，AB=ＤC，你能說明其中的道理嗎？(可添加輔助線)2.如圖，AE⊥AB，AD⊥AC，AB=AC，∠B=∠C，求證：BD=CE。3.已知∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE.求證；AB=AC，AD=AE；4.已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF。判斷AD是△ABC的中線還是角平分線？請說明理由。5.如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD，且點E在AD上。求證：BC=AB+DC。6.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求證：∠F=∠CDDCBAFE能力提高題1.已知如圖，E.F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF,求證：AC與BD互相平分.AABEOFDCBACDF2BACDF21E3.如圖，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求證：AD//BC4.已知：在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD.(1) 如圖1，若∠AOB=∠COD=60°，求證：①AC=BD;②∠APB=60°。(2)如圖2，若∠AOB=∠COD=,則AC與BD是否相等？（直接回答，不用證明）求此時的∠APB（用表示）5.如圖9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC邊上的中線，過C作AD的垂線，交AB于點E，交AD于點F，求證：∠ADC＝∠BDE．ABABCDEF圖9第6講全等三角形的判定(三)【知識點與方法梳理】復(fù)習(xí)鞏固：三角形全等的判定一三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”．三角形全等的判定二有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(簡稱“邊角邊”或“SAS”)三角形全等的判定三兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）．三角形全等的判定四兩個角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）．新課要點：三角形全等的判定五斜邊與一直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．（ＨＬ）【經(jīng)典例題】例1.如圖，B、E、F、C在同一直線上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，求證：例2.已知如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AD=BC，求證：AD∥BC.AADBC例3.如圖，AD是△ABC的高，E為AC上一點，BE交AD于F，具有BF=AC，F(xiàn)D=CD，試探究BE與AC的位置關(guān)系.AABDCEFABEDFC例4.如圖，A、E、F、B四點共線，AC⊥CE、BD⊥ABEDFC【經(jīng)典練習(xí)】1.如圖，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，若利用“AAS”證明△ABC≌△ABD，則需要加條件或；若利用“HL”證明△ABC≌△ABD，則需要加條件或．2.如圖，在△ABC中，已知D是BC中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，DE＝DF.求證：AB=AC3．如圖，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分別為E、F，AC∥DB，且AC=BD，那么Rt△AEC≌Rt△BFD的理由是（）.A．SSS B.AAS C.SAS D.HLABCDEF124.已知：如圖，AC平分∠ABCDEF125.如圖，在△ABC中，AB=AC，DE是過點A的直線，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．（1）若BC在DE的同側(cè)（如圖①）且AD=CE，說明：BA⊥AC．（2）若BC在DE的兩側(cè)（如圖②）其他條件不變，問AB與AC仍垂直嗎？若是請予證明，若不是請說明理由．【鞏固練習(xí)】基礎(chǔ)訓(xùn)練題1．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB=∠DFE=，AB=DE，AC=DF，那么Rt△ABC與Rt△DEF（填全等或不全等）ACDB2．如圖，點C在∠DAB的內(nèi)部，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，CD=CB那么Rt△ADC≌ACDBA．SSS B.ASA C.SAS D.HL3．下列說法正確的個數(shù)有（）.①有一角和一邊對應(yīng)相等的的兩個三角形全等；②有兩邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；③有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；④有兩角和一邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.A．1個 B.2個 C.3個 D.4個4．過等腰△ABC的頂點A作底邊的垂線，就得到兩個全等三角形，其理由是.┐ABMC┐ABMC☆7.如果兩個三角形中兩條邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等，那么這兩個三角形的第三條邊所對的角的關(guān)系是（）ACACDBAABCDEFAEDBCAEDBC能力提高題1.如圖①，E、F分別為線段AC上的兩個動點，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于點M．（1）求證：MB=MD，ME=MF（2）當(dāng)E、F兩點移動到如圖②的位置時，其余條件不變，上述結(jié)論能否成立？若成立請給予證明；若不成立請說明理由．2.如圖，在ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，且DE=DF，試說明AB=AC.3.如圖：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求證：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。4.如圖，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，BD的延長線垂直于過C點的直線于E，直線CE交BA的延長線于F．求證：BD=2CE．第7講角平分線的判定與性質(zhì)【知識點與方法梳理】角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。角平分線的判定定理：到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。作已知角的平分線的方法：已知：∠ＡＯＢ(如圖)求作：∠ＡＯＢ的角平分線OC.作法：1.以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交OA于M，交OB于N。2.分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C。3.作射線OC，射線OC即為所求?！窘?jīng)典例題】例1．已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上BD=DF，求證：CF=EBAACDEBF例2.已知：如圖，AD、BE是△ABC的兩條角平分線，AD、BE相交于O點求證：O在∠C的平分線上例3.如圖AB∥CD，∠B＝90°，E是BC的中點。DE平分∠ADC，求證：AE平分∠DAB?！窘?jīng)典練習(xí)】1如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，BE，CD相交于點O，OB＝OC，求證∠BAO＝∠CAO2.如圖，OC是∠AOB的角平分線，P是OC上一點，PD⊥OA交于點D，PE⊥OB交于點E，F(xiàn)是OC上除點P、O外一點，連結(jié)DF、EF，則DF與EF的關(guān)系如何？證明你的結(jié)論。FFEDCBAOP3.如圖，在CD上求作一點P，使它到OA，OB的距離相等（寫出作法）。OODCBA4.要將如圖中的∠MON平分，小梅設(shè)計了如下方案：在射線OM，ON上分別取OA＝OB，過A作DA⊥OM于A，交ON于D，過B作EB⊥ON于B交OM于E，AD，EB交于點C，過O，C作射線OC即為MON的平分線，試說明這樣做的理由.5.如圖△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE、DF分別垂直AB、AC，垂足為E、F，求證：EB=FCAEBDCF6.如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AEBDCF【鞏固練習(xí)】基礎(chǔ)訓(xùn)練題1.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分線，交AC于點D，若CD=n，AB=m，則△ABD的面積是（）A.m+nB.mnC.D.2.如圖，已知AC平分∠PAQ，點B，B′分別在邊AP，AQ上，如果添加一個條件，即可推出AB=AB′，那么該條件不可以是（）A、BB′⊥ACB、BC=B′CC、∠ACB=∠ACB′D、∠ABC=∠AB′C3、如圖，F(xiàn)D⊥AO于D，F(xiàn)E⊥BO于E，下列條件：①OF是∠AOB的平分線；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=∠OFE。其中能夠證明△DOF≌△EOF的條件的個數(shù)有（）A.1個B.2個C.3個D.4個4.如圖，在ΔABC中，,分別是AB、AC上的點，EF=5cm，BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且PD⊥BC于D，PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,已知PD=4cm則ΔPEF的周長是___________cm.5.如圖（7）：AC⊥BC，BM平分∠ABC且交AC于點M，N是AB的中點且BN=BC。求證：（1）MN平分∠AMB，（2）∠A=∠CBM。6.如圖：在△ABC中，∠B，∠C相鄰的外角的平分線交于點D。求證：點D在∠A的平分線上。7.如圖8、AB＝CD，△PCD的面積等于△PAB的面積，求證：OP平分∠BOD。8.如圖9、在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分線AD、CE交于點O，求證：AE+CD＝AC。能力提高題1.已知：如圖，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求證：AB＝AC+CD。2.已知，如圖2，∠1＝∠2，P為BN上一點，且PD⊥BC于D，AB+BC＝2BD，求證：∠BAP+∠BCP＝180°。3、如圖，已知∠CAD=∠CDA，AC=BD，E在BC上，DE=EC，求證：AD平分∠BAEABDEC(提示:延長AE到P,使得EP=AE,連接CP,證三角形ABD與PAC全等)4.如圖，已知AB∥CD，O是∠ACD，∠CAB的平分線的交點，且OE⊥AC于E點，OE=12，求AB與CD之間的距離ABEOCD第8講全等三角形章節(jié)復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)綱要：三角形全等的判定一三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”．推理模式：在△ABC與△DEF中∵∴△ABC≌△DEF(SSS)三角形全等的判定二有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(簡稱“邊角邊”或“SAS”)推理模式：在△ABC與△DEF中∵∴△ABC≌△DEF(SAS)三角形全等的判定三兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）．推理模式：在△ABC與△DEF中∵∴△ABC≌△DEF(ASA)三角形全等的判定四兩個角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）．推理模式：在△ABC與△DEF中∵∴△ABC≌△DEF(AAS)三角形全等的判定五斜邊與一直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．（ＨＬ）推理模式：在Rt△ABC與Rt△DEF中∵∴△ABC≌△DEF(HL)特別注意：全等三角形的判定中沒有邊邊角定理，即不存在SSA定理反例如圖：在△ABC與△DEF中，AB=DE,AC=DF,,顯然這兩個三角形不全等。角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。推理模式：∵于,于∴角平分線的判定定理：到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。推理模式：∵于,于,∴點在的平分線上（或）典例分析例1.已知：如圖，∠ABC=∠DEF，AB=DE，要說明ΔABC≌ΔDEF(1)若以“SAS”為依據(jù)，還要添加的條件為(2)若以“ASA”為依據(jù)，還要添加的條件為(3)若以“AAS”為依據(jù)，還要添加的條件為例2.（貴州銅仁9分）如圖，E、F是四邊形ABCD的對角線BD上的兩點，AE∥CF，AE=CF，BE=DF．求證：△ADE≌△CBF．例3.如圖，C為線段AB上一點，△ACM和△CBN都是等邊三角形，連接AN交MC于E,連接BM交NC于F.求證：①AN=MB，②CE=CF例4.如圖，A、E、F、B四點共線，AC⊥CE、BD⊥DF、AE=BF、AC=BD，求證：△ACF≌△BDE.經(jīng)典練習(xí)：1、下列條件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′的是()A、AB=A′B′，∠A=∠A′，AC=A′C′B、AB=A′B′，∠A=∠A′，∠B=∠B′C、AB=A′B′，∠A=∠A′，∠C=∠C′D、∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′2．在△ABC與△A′B′C′中，已知∠A＝44°15′，∠B＝67°12′，∠C′＝68°33′，∠A′＝44°15′，且AC＝A′C′，則這兩個三角形（）A．一定不全等B．一定全等C．不一定全等D．以上都不對3．已知ΔABC中，AB=10，BC=15，CA=20，點O是ΔABC內(nèi)角平分線的交點，(三角形三個內(nèi)角的平分線交于一點)則ΔABO、ΔBCO、ΔCAO的面積比是()A．1:1:1B．1:2:3C．2:3:4D．3:4:54．如圖，已知點E在△ABC的外部，點D在BC邊上，DE交AC于F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，則有()A．△ABD≌△AFDB．△AFE≌△ADCC．△AEF≌△DFCD．△ABC≌△ADE第5題圖第4題圖第3題圖第5題圖第4題圖第3題圖5．如圖，AB>AC，點P為ΔABC的角平分線AD上一點，則下列說法正確的是（）A．AB–AC>PB–PCB．AB–AC<PB–PCC．AB–AC=PB–PCD．無法確定6．下列說法不正確的是（）A．有兩個角和一條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等B．有一條邊和一個銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等C．有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等D．有兩條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等7.在△ABC中，AC=5，中線AD=4，則邊AB的取值范圍是()A．1<AB<9B．3<AB<13C．5<AB<13D．9<AB<138、如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，過B作BE⊥AD于E，過E作EF∥AC交AB于F，則()A、AF=2BFB、AF=BFC、AF>BFD、AF<BFACDB9.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BCACDB若BC=64，且BD：CD=9：7，則點D到AB邊的距離為()A、18B、32C、28D、2410．（山東淄博）已知一等腰三角形的腰長為5，底邊長為4，底角為β．滿足下列條件的三角形不一定與已知三角形全等的是()(A)兩條邊長分別為4，5，它們的夾角為β(B)兩個角是β，它們的夾邊為4(C)三條邊長分別是4，5，5(D)兩條邊長是5，一個角是β圖1211、如圖10所示，有兩個長度相同的滑梯(即BC=EF)，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，則△ABC≌△DEF，理由是______．圖1212、如果兩個三角形中兩條邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等，那么這兩個三角形的第三條邊所對的角的關(guān)系是13.（山東臨沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一點E，使EC=BC，過點E作EF⊥AC交CD的延長線于點F，若EF=5cm，則AE=cm．14．兩塊完全相同的三角形紙板ABC和DEF，按如圖所示的方式疊放，陰影部分為重疊部分，點O為邊AC和DF的交點.不重疊的兩部分△AOF與△DOC是否全等？為什么？15．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，點D是AC的中點，將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個端點分別與A、D重合，點E為直角三角板的直角頂點，連結(jié)BE、EC。試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的猜想．AABCDE16.我們知道，兩邊及其中一邊的對角分別對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等．那么在什么情況下，它們會全等?(1)閱讀與證明：對于這兩個三角形均為直角三角形，顯然它們?nèi)龋畬τ谶@兩個三角形均為鈍角三角形，可證它們?nèi)?證明略)．對于這兩個三角形均為銳角三角形，它們也全等，可證明如下：已知：△ABC、△A1B1C1均為銳角三角形，AB=A1B1，BC=B1Cl，∠C=∠Cl．求證：△ABC≌△A1B1C1．(請你將下列證明過程補充完整)證明：分別過點B，B1作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1.則∠BDC=∠B1D1C1=900，∵BC=B1C1，∠C=∠C1，∴△BCD≌△B1C1D1，∴BD=B1D1．(2)歸納與敘述：由(1)可得到一個正確結(jié)論，請你寫出這個結(jié)論．17.如圖，PA、PC分別是外角與的平分線，并交于點P，PDBM于點D，PFBN于點F，求證：BP是的平分線。思考題1.已知：如圖，在△ABC中，D為BC的中點，過D點的直線GF交AC于F，交AC的平行線BG于點G，DE⊥GF，并交AB于點E，連結(jié)EG．（1）求證BG=CF；（2）試猜想BE+CF與EF的大小關(guān)系，并加以證明．2.如圖，圖（1）中等腰△ABC與等腰△DEC共點于C，且∠BCA＝∠ECD，連結(jié)BE，AD，若BC＝AC、EC＝DC．求證：BE＝AD；若將等腰△EDC繞點C旋轉(zhuǎn)至圖（2）（3）（4）情況時，其余條件不變，BE與AD還相等嗎？為什么?（1）（1）（2）（3）（4） 第9講全等三角形測試一.選擇題(每小題3分,共30分)1、下列條件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′的是()A、AB=A′B′，∠A=∠A′，AC=A′C′B、AB=A′B′，∠A=∠A′，∠B=∠B′C、AB=A′B′，∠A=∠A′，∠C=∠C′D、∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′2．在△ABC與△A′B′C′中，已知∠A＝44°15′，∠B＝67°12′，∠C′＝68°33′，∠A′＝44°15′，且AC＝A′C′，則這兩個三角形（）A．一定不全等B．一定全等C．不一定全等D．以上都不對3．已知ΔABC中，AB=10，BC=15，CA=20，點O是ΔABC內(nèi)角平分線的交點，(三角形三個內(nèi)角的平分線交于一點)則ΔABO、ΔBCO、ΔCAO的面積比是()A．1:1:1B．1:2:3C．2:3:4D．3:4:54．如圖，已知點E在△ABC的外部，點D在BC邊上，DE交AC于F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，則有()A．△ABD≌△AFDB．△AFE≌△ADCC．△AEF≌△DFCD．△ABC≌△ADE第5題圖第4題圖第3題圖第5題圖第4題圖第3題圖5．如圖，AB>AC，點P為ΔABC的角平分線AD上一點，則下列說法正確的是（）A．AB–AC>PB–PCB．AB–AC<PB–PCC．AB–AC=PB–PCD．無法確定6．下列說法不正確的是（）A．有兩個角和一條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等B．有一條邊和一個銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等C．有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等D．有兩條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等7、1．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別是D，E，AD，CE交于點H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，則CH的長是()

A.1B.2C.3D.48.在△ABC中，AC=5，中線AD=4，則邊AB的取值范圍是()A．1<AB<9B．3<AB<13C．5<AB<13D．9<AB<13AACDB9.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=64，且BD：CD=9：7，則點D到AB邊的距離為()A、18B、32C、28D、2410．（山東淄博）已知一等腰三角形的腰長為5，底邊長為4，底角為β．滿足下列條件的三角形不一定與已知三角形全等的是()(A)兩條邊長分別為4，5，它們的夾角為β(B)兩個角是β，它們的夾邊為4(C)三條邊長分別是4，5，5(D)兩條邊長是5，一個角是β二、填空題(每小題3分,共24分)11.已知ΔABC≌ΔDEF，A與D，B與E分別是對應(yīng)頂點，∠A=52°，∠B=67°，BC=15cm，則∠F=°，F(xiàn)E=cm12.已知：如圖，∠ABC=∠DEF，AB=DE，要說明ΔABC≌ΔDEF(1)若以“SAS”為依據(jù)，還要添加的條件為(2)若以“ASA”為依據(jù)，還要添加的條件為(3)若以“AAS”為依據(jù)，還要添加的條件為13．已知，如圖，AD=AC，BD=BC，O為AB上一點，那么，圖中共有

對全等三角形．14．如圖(左)，△ABC≌△ADE，則，AB=

，∠E=∠

．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，則∠BAC=

°．15.如圖（右），把△ABC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于點D，則∠AB′D=°16.（山東臨沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一點E，使EC=BC，過點E作EF⊥AC交CD的延長線于點F，若EF=5cm，則AE=cm．17.（甘肅白銀）如圖所示，已知點A、D、B、F在一條直線上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，還需添加一個條件，這個條件可以是．（只需填一個即可）18.如圖，△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB、AC邊翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，則∠a的度數(shù)為三.解答題19．（7分）兩塊完全相同的三角形紙板ABC和DEF，按如圖所示的方式疊放，陰影部分為重疊部分，點O為邊AC和DF的交點.不重疊的兩部分△AOF與△DOC是否全等？為什么？20．已知（8分）：如圖AB=CD，BC=DA，求證：∠A=∠C21．（8分）已知：如圖，A、E、F、B四點在一條直線上，AC⊥CE，BD⊥DF，AE=BF，AC=BD。求證：CF=DE22.（8分）如圖，已知AB=AC，AD=AE，BE與CD相交于O，ΔABE與ΔACD全等嗎？說明你的理由。23.（廣東廣州8分）如圖，點D在AB上，點E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求證：BD=CE．24.（貴州銅仁9分）如圖，E、F是四邊形ABCD的對角線BD上的兩點，AE∥CF，AE=CF，BE=DF．求證：△ADE≌△CBF．25．（9分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，點D是AC的中點，將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個端點分別與A、D重合，點E為直角三角板的直角頂點，連結(jié)BE、EC。試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的猜想．AABCDE26（9分）．如圖1，的邊在直線上，，且；的邊也在直線上，邊與邊重合，且．（1）在圖1中，請你通過觀察、測量，猜想并寫出與所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）將沿直線向左平移到圖2的位置時，交于點，連結(jié)，．補全圖形后，猜想并寫出與所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請證明你的猜想；（3）將沿直線向左平移到圖3的位置時，的延長線交的延長線于點，連結(jié)，．你認(rèn)為（2）中所猜想的與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．圖3圖2圖3圖2圖1圖1第10講軸對稱知識點梳理：1、關(guān)于“軸對稱圖形”與“軸對稱”的認(rèn)識⑴軸對稱圖形：如果_____個圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠________，那么這個圖形叫軸對稱圖形，這條直線叫做____________。⑵軸對稱：對于____個圖形，如果沿著一條直線對折后，它們能完全重合，那么稱這兩個圖形成________，這條直線就是對稱軸。兩個圖形中的對應(yīng)點叫做__________2、線段垂直平分線的性質(zhì)定義：過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，又叫線段的中垂線性質(zhì)：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離.判定：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的上.1、如圖：直線CD⊥AB，垂足為E，2、如圖，若PA=PB且AE=BE，P是CD上一點，則P在的垂直平分線上∴=3、如果兩個圖形成軸對稱，其對稱軸就是任意一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線4、畫線段AB的垂直平分線的方法：5、畫一個圖形的軸對稱圖形的方法：①找出構(gòu)成原圖形的關(guān)鍵點②分別作出這些關(guān)鍵點關(guān)于對稱軸的對應(yīng)點③連接這些對應(yīng)點就可以得到原圖形的軸對稱圖形6、點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)為，點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)為【經(jīng)典例題】例1、（牡丹江）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（）A．B．C．D．例2、觀察下圖中各組圖形，其中成軸對稱的為___________（填序號）．例3、李芳同學(xué)球衣上的號碼是253，當(dāng)他把鏡子放在號碼的正前方時，鏡子中的號碼是（）（（A）（B）（C）（D）例4、如圖，△ABC中邊AB的垂直平分線分別交BC，AB于點D，E，AE=3cm，△ADC的周長為9cm，則△ABC的周長是多少？例5、如圖，△ABC的內(nèi)部有一點P，且D，E，F(xiàn)是P分別以AB，BC，AC為對稱軸的對稱點．若△ABC的內(nèi)角∠A=70°，∠B=60°，∠C=50°，求∠ADB+∠BEC+∠CFA的度數(shù)例6、如圖所示，∠ABC內(nèi)有一點P，在BA、BC邊上各取一點P1、P2，使△PP1P2的周長最小．例7、例題：已知△ABC，過點A作直線L．求作：△A′B′C′使它與△ABC關(guān)于L對稱．作法：（1）作點C關(guān)于直線L的對稱點C′；（2）作點B關(guān)于直線L的對稱點B′；（3）點A在L上，故點A的對稱點A′與A重合；（4）連結(jié)A′B′、B′C′、C′A′．則△A′B′C′就是所求作的三角形．例8.在3×3的正方形格點圖中，有格點△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF關(guān)于某直線成軸對稱，請在下面給出的圖中畫出4個這樣的△DEF．例9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A（-3，5），B（-4，3），C（-1，1）．作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A′B′C′，請直接寫出點B′關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)．經(jīng)典練習(xí)：1．下列幾何圖形中，eq\o\ac(○,1)線段eq\o\ac(○,2)角eq\o\ac(○,3)直角三角形eq\o\ac(○,4)半圓，其中一定是軸對稱圖形的有（）A．1個B．2個C．3個D．4個2．圖9-19中，軸對稱圖形的個數(shù)是（）A．4個B．3個C．2個D．1個3．下列圖形中不是軸對稱圖形的是（）A．有兩個角相等的三角形；B．有一個角是45°的直角三角形．C．有兩個角分別是50°和80°的三角形D．平行四邊形．4．如圖9－13所示，△ABC中，BC邊的垂直平分線DE交BC于D，交AC于E，BE＝5厘米，△BCE的周長是18厘米，則BC＝厘米．5．如圖9－14，在△ABC中，∠C＝90°．BD平分∠ABC交AC于D，DE垂直平分AB，若DE＝1厘米，BD=2厘米，則AC＝厘米．6．如圖，若P為∠AOB內(nèi)一點，分別作出P點關(guān)于OA、OB的對稱點P1