第02講空間點直線平面之間的位置關(guān)系

第02講空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系1．平面基本事實1，過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面．基本事實2，如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)．基本事實3，如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．基本事實4，平行于同一條直線的兩條直線平行．2．“三個”推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．3．空間中直線與直線的位置關(guān)系(1)異面直線的定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線.(2)異面直線的畫法(襯托平面法)如圖①②③所示，為了表示異面直線不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面來襯托.(3)判斷兩直線為異面直線的方法①定義法；②兩直線既不平行也不相交.(4)空間兩條直線的三種位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線：在同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點,平行直線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點)),異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點))4．空間中直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點有無數(shù)個公共點只有1個公共點沒有公共點符合表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示5．空間中平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交公共點沒有公共點有無數(shù)個公共點(在一條直線上)符號表示α∥βα∩β＝l圖形表示6．等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．基本事實的應(yīng)用例1．（1）下列命題是真命題的是（

）A．如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合B．若四點不共面，則其中任意三點不共線C．空間中，相交于同一點的三條直線在同一平面內(nèi)D．三個不重合的平面最多可將空間分成七個部分【答案】B【分析】A.這兩個平面可能相交或重合，所以該選項錯誤；B.該選項正確；C.空間中，相交于同一點的三條直線不一定在同一平面內(nèi)，所以該選項錯誤；D.三個不重合的平面最多可將空間分成八個部分，所以該選項錯誤.【詳解】A.如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面可能相交或重合，所以該選項錯誤；B.若四點不共面，則其中任意三點不共線，所以該選項正確；C.空間中，相交于同一點的三條直線不一定在同一平面內(nèi)，如三棱錐,相交于同一點的三條直線不在同一平面內(nèi)，所以該選項錯誤；D.三個不重合的平面最多可將空間分成八個部分，所以該選項錯誤.故選：B（2）(多選)下列命題中，錯誤的結(jié)論有（

）A．如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等B．如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等C．如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補D．如果兩條直線同時平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行【答案】AC【分析】由等角定理可判斷A、B的真假；舉反例可判斷C的真假；由平行公理可判斷D的真假.【詳解】對于選項A：如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補，故選項A錯誤；對于選項B：由等角定理可知B正確；對于選項C：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，這兩個角的關(guān)系不確定，既可能相等也可能互補，也可能既不相等，也不互補.反例如圖，在立方體中，與滿足，，但是，，二者不相等也不互補.故選項C錯誤；對于選項D：如果兩條直線同時平行于第三條直線，那么這兩條直線平行，故選項D正確.故選：AC.（3）如圖，在正方體中，A、B、C、D分別是頂點或所在棱的中點，則A、B、C、D四點共面的圖形______（填上所有正確答案的序號）．【答案】①③④【分析】四點共面主要通過證明兩線平行說明，本題利用中位線、平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合平行線的傳遞性進行說明，證明平行時絕不能憑直觀感覺或無理論依據(jù)．圖①：證明AB∥EF，CD∥EF，可得AB∥CD；圖③：證明BD∥EF，AC∥EF，可得BD∥AC；圖④：證明GH∥EF，AC∥EF，BD∥GH，可得BD∥AC．【詳解】圖①：取GD的中點F，連結(jié)BF、EF，∵B、F均為相應(yīng)邊的中點，則：∥又∵∥，則∥即ABFE為平行四邊形∴AB∥EF同理:CD∥EF則AB∥CD即A、B、C、D四點共面，圖①正確；圖②：顯然AB與CD異面，圖②不正確；圖③：連結(jié)AC,BD,EF,∵BE∥DF即BDFE為平行四邊形∴BD∥EF又∵A、C分別為相應(yīng)邊的中點，則AC∥EF∴BD∥AC即A、B、C、D四點共面，圖③正確；圖④：連結(jié)AC,BD,EF,GH,∵GE∥HF即GEFH為平行四邊形，則GH∥EF又∵A、C分別為相應(yīng)邊的中點，則AC∥EF同理：BD∥GH∴BD∥AC即A、B、C、D四點共面，圖④正確．故答案為：①③④．（4）如圖，在長方體中，E，F(xiàn)分別是和的中點．(=1\*romani)證明：E，F(xiàn)，D，B四點共面．(=2\*romanii)證明：BE，DF，三線共點．【分析】(=1\*romani)連接EF，BD，，易得，再由，得到證明；．(=2\*romanii)由直線BE和DF相交，延長BE，DF，設(shè)它們相交于點P，然后再論證平面，平面即可.【詳解】(=1\*romani)如圖，連接EF，BD，．∵EF是的中位線，∴．∵與平行且相等，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴E，F(xiàn)，D，B四點共面．(=2\*romanii)∵，且，∴直線BE和DF相交．延長BE，DF，設(shè)它們相交于點P，∵直線BE，直線平面，∴平面，∵直線DF，直線平面，∴平面，∵平面平面，∴，∴BE，DF，三線共點．（5）如圖，長方體的底面是正方形，E，F(xiàn)分別是，上的點，且，．(=1\*romani)證明：點F在平面內(nèi)；(=2\*romanii)若，求三棱錐的體積．【答案】(=1\*romani)證明見解析；(=2\*romanii)【分析】(=1\*romani)利用長方體的性質(zhì)得到，利用對應(yīng)線段成比例和相似三角形得到，再利用基本事實4得到，即證明四點共面；(=2\*romanii)利用等體積法和三棱錐的體積公式進行求解.【詳解】(=1\*romani)證明：如圖，連接，，在長方體中，，且，所以四邊形是平行四邊形，則．因為，，所以，所以，所以，所以，所以四點共面，即點在平面內(nèi)．(=2\*romanii)解：在長方體中，點到平面的距離即為點到平面的距離，即為；所以．（6）如圖，正四棱柱．(=1\*romani)請在正四棱柱中，畫出經(jīng)過、、三點的截面（無需證明）；(=2\*romanii)若、分別為、中點，證明：、、三線共點．【分析】(=1\*romani)利用平面的性質(zhì)求解，(=2\*romanii)連接，可證得四邊形為梯形，則相交，希望利用平面的基本性質(zhì)可證得結(jié)論【詳解】(=1\*romani)如圖，作直線分別交的延長線于，連接交于，連接交于，連接，則五邊形為經(jīng)過、、三點的截面(=2\*romanii)證明：連接，則，∥，因為、分別為、中點，所以，∥，所以，∥，所以四邊形為梯形，所以相交，設(shè)交于點，所以，因為平面，平面，所以點為平面和平面的公共點，因為平面平面，所以，所以、、交于同一點，即、、三線共點【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：共面、共線、共點問題的證明(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)．(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上．(3)證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點．二．空間位置關(guān)系的判斷例2．（1）“直線與直線沒有公共點”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由兩直線沒有公共點時，可能平行，也可能是異面直線，結(jié)合充分、必要條件的概念進行判定.【詳解】直線與直線沒有公共點時，它們可以平行，也可能是異面直線，故“直線與直線沒有公共點”是“”的必要不充分條件，故選：B（2）已知兩條不同的直線l，m和一個平面α，下列說法正確的是（）A．若l⊥m，m∥α，則l⊥α B．若l⊥m，l⊥α，則m∥αC．若l⊥α，m∥α，則l⊥m D．若l∥α，m∥α，則l∥m【答案】C【分析】利用線面平行、垂直的判定及性質(zhì)對各選項逐一分析判斷即可作答.【詳解】對于A，若l⊥m，m∥α，則l⊥α或或，故A不正確；對于B，若l⊥m，l⊥α，則m∥α或，故B不正確；對于C，m∥，過m的平面交于直線n，于是有m∥n，而l⊥，則有l(wèi)⊥n，l⊥m，故C正確；對于D，若l∥α，m∥α，則l∥m或相交或異面，故D不正確.故選：C【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：在判斷直線與平面的位置關(guān)系時，三種情形都要考慮到，避免疏忽或遺漏，另外，我們可以借助空間幾何圖形，把要判斷關(guān)系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中，便于作出正確判斷，避免憑空臆斷.（3）已知，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【分析】根據(jù)線線、線面、面面位置關(guān)系有關(guān)知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】對于A，若，，則平行，相交或異面，故A錯誤；對于B，若，，則相交或平行，故B錯誤；對于C，若，，則（垂直于同一平面的兩條直線互相平行），故C正確；對于D，若，，則相交或平行，故D錯誤.故選：C.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若，則”此類的錯誤．（4）已知正方體（如圖所示），則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)異面直線的定義，垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，判斷選項.【詳解】A.，與相交，所以與異面，故A錯誤；B.與平面相交，且，所以與異面，故B錯誤；是矩形，不是菱形，所以對角線與不垂直，故C錯誤；，，，，所以平面，所以，故D正確.故選：D（5）（多選）已知直線與平面相交于點，則（

）A．內(nèi)不存在直線與平行 B．內(nèi)有無數(shù)條直線與垂直C．內(nèi)所有直線與是異面直線 D．至少存在一個過且與垂直的平面【答案】ABD【分析】利用線線，線面的位置關(guān)系逐項分析即得.【詳解】直線與平面相交于點，則直線與平面相交，所以內(nèi)不存在直線與平行，故A正確；平面內(nèi)與在平面內(nèi)射影PO垂直的直線，平面內(nèi)與平行的直線都與垂直，有無數(shù)條，故B正確；平面內(nèi)過點的直線與直線相交，故C錯誤；取直線上除斜足外一點A，過該點作平面的垂線AO，則平面POA就垂直于平面，故D正確.故選：ABD.三．求異面直線所成的角例3．（1）如圖，在正方體中，異面直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將平移到與相交，求所成的角，即異面直線所成的角.【詳解】正方體中，，所以與所成的角即異面直線與所成的角，因為為正三角形，所以與所成的角為，所以異面直線與所成的角為.故選：C.（2）已知直三棱柱的所有棱長都相等，為的中點，則與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中點，連接，則,所以異面直線與所成角就是直線與所成角，在中，利用余弦定理，即可求解．【詳解】由題意，取的中點，連接，則,所以異面直線與所成角就是直線與所成角，設(shè)正三棱柱的各棱長為,則，設(shè)直線與所成角為，在中，由余弦定理可得，即異面直線與所成角的余弦值為，故選D．【點睛】本題主要考查了異面直線所成角的求解，其中解答中把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．（3）如圖，在長方體中，已知，，E為的中點，則異面直線BD與CE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義，利用幾何法找到所成角，結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】取的中點F，連接EF，CF，，易知，所以為異面直線BD與CE，，所以由余弦定理得.故選：C（4）如圖，圓柱的底面直徑與母線相等，是弧的中點，則與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出輔助線，找到異面直線形成的夾角，求出各邊長，利用余弦定理求出夾角.【詳解】取的中點，連接，則，且，故四邊形為平行四邊形，所以，所以或其補角為與所成角，設(shè)，則，由勾股定理得，，，由余弦定理得，故，所以與所成角為.故選：C【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為兩條異面直線所成的角．四．正方體的切割(截面)問題例4．（1）用一個平面去截一個正方體，截面邊數(shù)最多有（

）A．5條 B．6條 C．7條 D．8條【答案】B【分析】根據(jù)平面及其基本性質(zhì)，結(jié)合圖形進行分析判斷即可得到答案．【詳解】正方體有六個面，用一個平面去截一個正方體，截面的形狀可能是：三角形、四邊形、五邊形、六邊形，如圖所示，因此截面邊數(shù)最多有6條．故選：B．（2）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點，MD＝eq\f(1,3)DD1，NB＝eq\f(1,3)BB1，那么正方體中過M，N，C1的截面圖形是()A．三角形 B．四邊形C．五邊形 D．六邊形【答案】C【詳解】先確定截面上的已知邊與幾何體上和其共面的邊的交點，再確定截面與幾何體的棱的交點．設(shè)直線C1M，CD相交于點P，直線C1N，CB相交于點Q，連接PQ交直線AD于點E，交直線AB于點F，則五邊形C1MEFN為所求截面圖形．（3）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中點，平面α經(jīng)過直線BD且與直線C1E平行，若正方體的棱長為2，則平面α截正方體所得的多邊形的面積為__________．【答案】eq\f(9,2)【詳解】如圖，過點B作BM∥C1E交B1C1于點M，過點M作BD的平行線，交C1D1于點N，連接DN，則平面BDNM即為符合條件的平面α，由圖可知M，N分別為B1C1，C1D1的中點，故BD＝2eq\r(2)，MN＝eq\r(2)，且BM＝DN＝eq\r(5)，∴等腰梯形MNDB的高為h＝eq\r(\r(5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(3\r(2),2)，∴梯形MNDB的面積為eq\f(1,2)×(eq\r(2)＋2eq\r(2))×eq\f(3\r(2),2)＝eq\f(9,2).（4）如圖，在棱長為的正方體中，分別是正方形的中心，在線段上，，則過點的正方體的截面的面積是__．【答案】【分析】根據(jù)題意，作出截面圖形，進而求解即可.【詳解】取中點，中點，中點，中點，因為，所以截面為矩形，且，，所以截面的面積是.故答案為：.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：對于與幾何體相關(guān)的截面問題，做出截面是解題關(guān)鍵.我們通?？衫每臻g幾何公理及推論或?qū)ζ矫嫜由暾页龉簿€，共面關(guān)系；也可在后續(xù)學(xué)習(xí)了面面平行的性質(zhì)后，利用性質(zhì)做出截面在平行平面上的交線.(1)作截面應(yīng)遵循的三個原則：①在同一平面上的兩點可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的交點；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線．(2)作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實3作交線；②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線．1．給出以下四個命題：①依次首尾相接的四條線段必共面；②過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面；③空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角必相等；④垂直于同一直線的兩條直線必平行．其中正確命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3【答案】B【詳解】①中，空間四邊形的四條線段不共面，故①錯誤．②中，由基本事實1知道，過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面，故②正確．③中，由空間角的等角定理知，空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補，故③錯誤．④中，空間中，垂直于同一直線的兩條直線可相交，可平行，可異面，故④錯誤．2．在長方體ABCD?A1B1C1D1中，直線A1C與平面AB1D1的交點為M，O為線段B1D1的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．A，M，O三點共線 B．M，O，A1，A四點共面C．B，B1，O，M四點共面 D．A，O，C，M四點共面【答案】C【分析】由長方體性質(zhì)易知，，，四點共面且，是異面直線，再根據(jù)與、面、面的位置關(guān)系知在面與面的交線上，同理判斷、，即可判斷各選項的正誤.【詳解】因為，則，，，四點共面.因為，則平面，又平面，則點在平面與平面的交線上，同理，、也在平面與平面的交線上，所以、、三點共線，從而，，，四點共面，，，，四點共面.由長方體性質(zhì)知：，是異面直線，即，，，四點不共面.故選：C.3．正方體的棱長為2，E是棱的中點，則平面截該正方體所得的截面面積為（

）A．5 B． C． D．【答案】D【分析】作出示意圖，設(shè)為的中點，連接，易得平面截該正方體所得的截面為，再計算其面積.【詳解】如圖所示，設(shè)為的中點，連接，設(shè)為的中點，連接，由且，得是平行四邊形，則且，又且，得且，則共面，故平面截該正方體所得的截面為.又正方體的棱長為2，，，，，故的面積為.故選：D.4．在長方體中，點，分別是棱，的中點，點為對角線，的交點，若平面平面，，且，則實數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長交的延長線于，利用平面的基本性質(zhì)可得直線即為直線，然后利用正方體的性質(zhì)可得，即得.【詳解】延長交的延長線于，連接交于，∵平面，平面，平面平面，∴，故直線即為直線，取的中點，連接，又點，分別是棱，的中點，∴，∴，，∴，即.故選：B.5．已知正方形ABCD中E為AB中點，H為AD中點，F(xiàn)，G分別為BC，CD上的點，，，將沿著BD折起得到空間四邊形，則在翻折過程中，以下說法正確的是（

）．A． B．EF與GH相交C．EF與GH異面 D．EH與FG異面【答案】B【分析】由條件可得且，則四邊形為梯形，從而可得出答案.【詳解】由，，則且由E為AB中點，H為AD中點，則且所以且，則四邊形為梯形.梯形的兩腰延長必交于一點所以相交，

EH與FG平行故選項A，C，D不正確，選項B正確.故選：B6．已知，是空間中兩個不重合的平面，，是兩條不同的直線，則下列說法錯誤的是（

）A．若，則存在，，使得B．若，則存在，，使得C．若，則存在，使得D．若，則存在，使得【答案】C【分析】根據(jù)空間直線、平面之間的位置關(guān)系和性質(zhì)即可判斷.【詳解】由空間直線、平面之間的位置關(guān)系可知選項A，B，D均正確，對于選項C，當(dāng)時，平面內(nèi)的任何一條直線都只可能與平面平行，故選項C錯誤.故選:C．7．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，有以下四個命題：①若，，則

②若，，則③若，，則

④若，，，則其中正確的命題是（

）A．②③ B．②④ C．①③ D．①②【答案】A【分析】由線面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、面面平行的判定定理和面面垂直的性質(zhì)定理對各命題進行檢驗.【詳解】若，，則或，命題①錯誤；由面面垂直的判定定理可知，命題②正確；垂直于同一條直線的兩個平面互相平行，命題③正確；若，，，則可能相交可能平行可能異面，不一定互相垂直，命題④錯誤.故選：A8．已知平面，直線、，若，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】利用線面的位置關(guān)系結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，且，則或，即“”“”；若，且，則或、異面，則“”“”.因此，“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.9．設(shè)為兩個不同的平面，則的一個充分條件可以是（

）A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．垂直于同一條直線C．平行于同一條直線 D．垂直于同一個平面【答案】B【分析】利用線面，面面平行垂直的判定或性質(zhì)對各個選項進行分析即可得到答案.【詳解】對于A，內(nèi)有無數(shù)條直線與平行不能得出兩個平面可以相交，故A錯；對于B，垂直于同一條直線可以得出，反之當(dāng)時，若垂直于某條直線，則也垂直于該條直線，正確；對于C，平行于同一條直線，則兩個平面可以平行也可以相交，故錯誤；對于D，垂直于同一平面的兩個平面可以平行也可以相交，故錯誤；故選：B．10．在空間中，下列命題是真命題的是（

）A．經(jīng)過三個點有且只有一個平面B．平行于同一平面的兩直線相互平行C．如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等D．如果兩個相交平面垂直于同一個平面，那么它們的交線也垂直于這個平面【答案】D【分析】由三點共線判斷A；由線面、線線位置關(guān)系判斷B；根據(jù)等角定理判斷C；由線面平行和垂直的判定以及性質(zhì)判斷D.【詳解】當(dāng)三點在一條直線上時，可以確定無數(shù)個平面，故A錯誤；平行于同一平面的兩直線可能相交，故B錯誤；由等角定理可知，如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補，故C錯誤；如果兩個相交平面垂直于同一個平面，且，則在平面、內(nèi)分別存在直線垂直于平面，由線面垂直的性質(zhì)可知，再由線面平行的判定定理得，由線面平行的性質(zhì)得出，則，故D正確；故選：D11．設(shè)，為兩個平面，則的充要條件是（）A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行B．內(nèi)有兩條相交直線與平行C．，平行于同一條直線D．，垂直于同一平面【答案】B【分析】本題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷．【詳解】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．【點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若，則”此類的錯誤．12．下列說法中正確的是（

）A．如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線平行B．平面內(nèi)的三個頂點到平面的距離相等，則與平行C．，，則D．，，，則【答案】D【分析】根據(jù)線面關(guān)系，逐一判斷每個選項即可.【詳解】解：對于A選項，如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行，而不是任意的直線平行，故錯誤；對于B選項，如圖，，，，分別為正方體中所在棱的中點，平面設(shè)為平面，易知正方體的三個頂點，，到平面的距離相等，但所在平面與相交，故錯誤；對于選項C，可能在平面內(nèi)，故錯誤；對于選項D，正確.故選：D.13．已知直線平面，直線平面，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】結(jié)合空間線面位置關(guān)系，根據(jù)充分必要條件的定義可判斷．【詳解】若直線平面，直線平面，，則；若直線平面，直線平面，，則平面和平面平行、相交或垂直，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B．14．如圖，在正方體中，是棱的中點，是側(cè)面內(nèi)的動點，且與平面的垂線垂直，則下列說法不正確的是（

）A．與不可能平行B．與是異面直線C．點的軌跡是一條線段D．三棱錐的體積為定值【答案】A【分析】設(shè)平面與直線交于，連接，，則為的中點，分別取，的中點，，連接，，，證明平面平面，即可分析選項ABC的正誤；再由，得點到平面的距離為定值，可得三棱錐的體積為定值判斷D．【詳解】解：設(shè)平面與直線交于，連接，，則為的中點，分別取，的中點，，連接，，，如圖.∵，平面，平面，∴平面，同理可得平面，又、是平面內(nèi)的兩條相交直線，∴平面平面，而平面，∴平面，得點的軌跡為一條線段，故C正確；并由此可知，當(dāng)與重合時，與平行，故A錯誤；∵平面平面，和平面相交，∴與是異面直線，故B正確；∵，則點到平面的距離為定值，∴三棱錐的體積為定值，故D正確．故選：A．15．如圖，在長方體中，，M、N分別是、與是（

）A．相互垂直的相交直線B．相互垂直的異面直線C．相互不垂直的異面直線D．夾角為60°的異面直線【答案】B【分析】連接，可證直線與為異面直線，并可求其所成的角.【詳解】設(shè)，連接，因為平面，平面，，故直線與異面直線.在矩形中，因為為所在棱的中點，故，而，故，故四邊形為平行四邊形，故，所以或其補角為異面直線與所成的角，在中，，故，故，故選：B16．如下圖所示，在正方體中，如果點E是的中點，那么過點、B、E的截面圖形為（

）A．三角形

B．矩形 C．正方形 D．菱形【答案】D【分析】根據(jù)題意作出截面圖形，然后利用正方體的性質(zhì)求解即可.【詳解】分別取的中點，連接，如圖即為過點、B、E截正方體所得的截面圖形，由題意可知：且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為且，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以,所以，同理，所以四邊形為平行四邊形，又因為，所以平行四邊形為菱形，故選：.17．四面體ABCD的所有棱長都是3，點M，N，P分別在棱AB，AD，CD上，，，，平面MNP交BC于點Q，則BQ的長為（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】延長交于，交于點，過作∥交于，過作∥交于點點，可得為邊長為1的等邊三角形，再利用平行線分線段成比例定理可求得結(jié)果.【詳解】因為四面體ABCD的所有棱長都是3，，，，所以，延長交于，交于點，過作∥交于，因為為邊長為1的等邊三角形，為的中點，所以≌，所以，所以，過作∥交于點點，所以為邊長為1的等邊三角形，所以，所以，因為∥，所以，即，所以，故選：C18．如圖，在正三棱柱中，，是棱的中點，在棱上，且，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取棱靠近點的三等分點，取棱的中點，取的中點，連接，，，．證明，得是異面直線與所成的角（或補角）．設(shè)，用余弦定理計算出余弦值．【詳解】取棱靠近點的三等分點，取棱的中點，取的中點，連接，，，．由已知，又，所以是平行四邊形，，同時可得是中點，而是中點，所以．所以，則是異面直線與所成的角（或補角）．又，平面，則平面，平面，則，設(shè)，則，從而，，，，，故，，．在中，由余弦定理可得．所以異面直線與所成的角的余弦值為．故選：B．19．如圖，在三棱錐M－EFG中，，EF=FG=2，平面平面EFG，則異面直線ME與FG所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)O，C，D分別為線段，，的中點，連接，，，，利用三角形中位線定理可知是異面直線與所成的角或其補角，再利用解三角形的知識求出的邊長，最后利用余弦定理即可得解.【詳解】解法一

如圖，設(shè)O，C，D分別為線段，，的中點，連接，，，則，，，，∴是異面直線與所成的角或其補角.∵，為的中點，∴，，∵平面平面，平面平面，∴平面.設(shè)為的中點，連接，，則平面，，，，∴，連接，易得，，∴在中，，∴，∴，∴異面直線與所成角的余弦值為.故選：D.解法二

如圖，設(shè)為線段的中點，連接，，∵，∴，，∵平面平面，平面平面，∴平面，∵，∴，，故以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，∴，M（0，0，3），，，∴，，∴，∴異面直線與所成角的余弦值為.故選:D.20．如圖，E是正方體的棱上的點．若，則直線與直線的夾角的正切值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由正方體可得，所求的角即為直線與直線所成的夾角，在中可得，即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意可知，連接，如下圖所示：則直線與直線的夾角即為直線與直線所成的夾角，上圖中即為直線與直線的夾角，不妨設(shè)正方體的棱長為，由可得利用勾股定理可得，又易知平面，平面，所以，即在中，.故選：D21．如圖，在正三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在三棱錐內(nèi)構(gòu)造直線使其平行于，然后構(gòu)造三角形，運用異面直線夾角的定義求解即可.【詳解】取的中點D，連接交于點E，連接DE，則且，則為異面直線與所成的角或其補角．易求，，則，所以.故選：A．22．在正四面體中，異面直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】取中點，由線面垂直的判定可得平面，由線面垂直的性質(zhì)可得.【詳解】取中點，連接，均為等邊三角形，為中點，，，，平面，平面，又平面，，即異面直線與所成的角為.故選：A.23．安徽徽州古城與四川閬中古城?山西平遙古城?云南麗江古城被稱為中國四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底層部分可近似看作一個正方體.已知該正方體中，點分別是棱的中點，過三點的平面與平面的交線為，則直線與直線所成角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出平面與平面的交線，再求與直線所成角.【詳解】如圖所示，在平面中，連接與交于，則，在平面中，連接與交于，則，則為平面與平面的交線，且，而在等邊中與所成的角為，故與直線所成角.故選：24．如圖，在正方體中，M，N分別為AC，的中點，則下列說法中不正確的是（

）A．平面B．C．直線MN與平面ABCD所成的角為60°D．異面直線MN與所成的角為45°【答案】C【分析】取棱中點，利用線面平行的判定推理判斷A；利用線面垂直的性質(zhì)推理判斷B；求出線面角、線線角判斷CD作答.【詳解】在正方體中，取棱中點，連接，因為M，N分別為AC，的中點，則，因此四邊形為平行四邊形，則平面，平面，所以平面，A正確；因為平面，則，所以，B正確；顯然平面，則是與平面所成的角，又，有，由于，所以直線MN與平面ABCD所成的角為，C錯誤；因為，，則是異面直線MN與所成的角，顯然，D正確.故選：C25．下列命題為真命題的是（

）A．已知a?b?c?d是空間中的四條不同直線，若，，則直線a?b所成角的大小與直線c?d所成角的大小相等B．已知a?b是兩條直線，?是兩個平面，若，，則a?b是異面直線C．已知m?n是兩條空間直線，是平面，則“”是“m?n與所成的角相等”的必要非充分條件D．已知AB?CD是平面的垂線，其垂足分別為B?D，若，，，則【答案】AA，C在平面同側(cè)和異側(cè)判斷；【詳解】A.由異面直線所成的角的定義知，直線a?b所成角的大小與直線c?d所成角的大小相等，故正確；B.a?b是兩條直線，?是兩個平面，若，，則a?b異面或平行，故錯誤，C.若，則m?n與所成的角相等，故充分，當(dāng)m?n與所成的角相等時，則m?n平行，相交或異面，故錯誤；A，C在平面同側(cè)時，,當(dāng)A，C在平面異側(cè)時，的垂線，，故錯誤；故選：A26．如圖，在三棱錐中，，，，且直線AB與DC所成角的余弦值為，則該三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意，將三棱錐放入對應(yīng)的長方體中，根據(jù)已知條件建立關(guān)于長方體的長?寬?高的邊長a，b，c的方程組，求解得，進而可得外接球的直徑即為長方體的體對角線長，從而根據(jù)球的體積公式即可求解.【詳解】解：由題意知，，則平面ADC，所以，又，，所以平面ABC，將三棱錐放入對應(yīng)的長方體中，如圖：易知，所以為直線AB與DC所成的角，所以，解得.設(shè)長方體的長?寬?高分別為a，b，c，則，，，三式相加得，所以長方體的外接球的半徑為，所以該三棱錐的外接球的體積為.故選：C.27．在空間四邊形中，，，，分別是，，，的中點．若，且與所成的角為，則的長為（

）A．1 B． C．1或 D．或【答案】C【分析】連接，可得或，求解三角形即可求出.【詳解】如圖，連接，在中，因為為中點，所以，，在中，因為為中點，所以，，因為與所成的角為，所以或，當(dāng)時，為等邊三角形，所以，當(dāng)，由余弦定理可得，即，所以的長為1或.故選：C.28．（多選）如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點（不與各邊的端點重合），且AE:EB=AH:HD=m，CF:FB=CG:GD=n，AC⊥BD，AC=4，BD=6.則下列結(jié)論正確的是（

）A．E，F(xiàn)，G，H一定共面B．若直線EF與GH有交點，則交點一定在直線AC上C．AC∥平面EFGHD．當(dāng)m=n時，四邊形EFGH的面積有最大值6【答案】ABD【分析】A根據(jù)等比例的性質(zhì)可得；B、C由題設(shè)得、，若易得直線EF與GH有交點，結(jié)合點、線、面的關(guān)系判斷交點位置即可確定正誤；D由B、C的分析知EPGH為平行四邊形，結(jié)合有EFGH為矩形，設(shè)并得到EFGH面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，由二次函數(shù)性質(zhì)求最值即可判斷.【詳解】因為，則，又，則.所以，即四點共面，A正確；因為，所以，同理.當(dāng)時又，此時四邊形EFGH為梯形，即直線EF與GH有交點，交點在面ABC內(nèi)，又在面ADC內(nèi)，而面面，所以直線EF與GH的交點在直線AC上，B正確，C錯誤；因為及得：，四邊形EPGH為平行四邊形，又，所以，故平行四邊形EFGH為矩形.設(shè)，因為，所以，而，所以，所以，則矩形EFGH的面積，可得，D正確.故選：ABD29．（多選）我們知道，平面幾何中有些正確的結(jié)論在空間中不一定成立．下面給出的平面幾何中的四個真命題，在空間中仍然成立的有（

）A．平行于同一條直線的兩條直線必平行B．垂直于同一條直線的兩條直線必平行C．一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補D．一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補【答案】AC【分析】根據(jù)線線平行傳遞性和課本中的定理可判斷AC正確；垂直于同一條直線的兩條直線位置關(guān)系不確定，可判斷B，通過舉反例可判斷D.【詳解】根據(jù)線線平行具有傳遞性可知A正確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線，位置關(guān)系可能是異面、相交、平行，故B錯誤；根據(jù)定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補可知C正確；如圖，且，則但和的關(guān)系不確定，故D錯誤.故選：AC30．（多選）已知異面直線與直線，所成角為，平面與平面所成的二面角為，直線與平面所成的角為，點為平面、外一定點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．過點且與直線、所成角均為的直線有3條B．過點且與平面、所成角都是的直線有4條C．過點作與平面成角的直線，可以作無數(shù)條D．過點作與平面成角，且與直線成的直線，可以作3條【答案】BC【分析】根據(jù)選項，可知A只有1條，根據(jù)，可知B有4條，做以為頂點，且與圓錐中軸線夾角為，且底面在上的圓錐可知C有無數(shù)條，同理做與圓錐中軸線夾角為的母線可知該直線條數(shù)，選出選項即可.【詳解】：因為異面直線與直線所成角為，所以過點與直線所成角均為的直線只有1條，故選項A錯誤；因為平面與平面所成的二面角為，則過點與平面所成角都是和的直線各有一條，若過點與平面所成角都是，則在的兩側(cè)各有一條，所以共條，故B正確；因為點為平面外，且過點作與平面成角的直線，則在以為頂點，底面在上的圓錐的母線，如圖所示：所以可以做無數(shù)條，故選項C正確；過點作與平面成角的直線，形成以為頂點，與圓錐中軸線夾角為，且底面在上的圓錐的母線，設(shè)直線與的交點為Q,不妨假設(shè)在a上，設(shè)直線a與的交點為Z,所以，故能做出兩條滿足條件的直線，故D錯誤.故選：BC【點睛】方法點睛：該題考查立體幾何綜合應(yīng)用，屬于難題，關(guān)于角度的方法有：（1）異面直線所成角：平移異面直線至有交點，則異面直線所成角即為平移后相交直線所成角；（2）線面角：過線上一點做面的垂線，連接垂足及線與面的交點形成線段，則線與該線段所成角即為線面角；（3）面面角：過面面交線上一點在兩個面中分別做交線的垂線，則兩垂線的夾角即為面面角.31．（多選）如圖，在正方體中，為正方形的中心，當(dāng)點在線段上（不包含端點）運動時，下列直線中一定與直線異面的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】對于A，當(dāng)為的中點時，，故A不正確；對于BCD，根據(jù)異面直線的判定定理可知都正確.【詳解】對于A，當(dāng)為的中點時，，故A不正確；對于B，因為平面，平面，，平面，所以直線與直線一定是異面直線，故B正確；對于C，因為平面，平面，，平面，所以直線與直線一定是異面直線，故C正確；對于D，因為平面，平面，，平面，所以直線與直線一定是異面直線，故C正確；故選：BCD32．（多選）如圖，正四棱柱中，，，點E，F(xiàn)，G分別為棱CD，，的中點，則下列結(jié)論中正確的有(

)A．與FG共面 B．AE與異面C．平面AEF D．該正四棱柱外接球的表面積為【答案】ABC【分析】證明即可判斷；連接，證明與分別是兩個互相平行的平面里面的不平行直線即可判斷；取的中點為，連接，連接，證明即可判斷；根據(jù)長方體外接球球心為體對角線中點即可計算長方體外接球半徑，從而計算其外接球表面積，從而判斷D．【詳解】①，且是中點，是中點，，且，四邊形是平行四邊形，與共面，故A正確；②連接四邊形為平行四邊形，，，故與不平行，而平面平面，平面面，和互為異面直線，故B正確；③取的中點為，連接，連接.是中點，是中點，，且四邊形是平行四邊形，是的中點，又是中點，在中，．是中點，是中點，四邊形是平行四邊形，，平面平面平面，故C正確．④設(shè)該四棱柱外接球半徑為，則，故該正四棱柱外接球的表面積為，故D錯誤．故選：ABC.33．（多選）如圖，正方體中，其棱長為3.，分別為棱，的中點，過，，三點作該正方體的截面，截面是一個多邊形.則（

）A．截面和面的交線與截面和面的交線等長B．截面是一個五邊形.C．截面是一個梯形.D．截面在頂點處的內(nèi)角的余弦值為【答案】ABD【分析】做出截面，依次判斷選項即可.【詳解】延長至，使；延長至，使；連接，因，，則為等腰直角三角形，同理可得為等腰直角三角形，又，則.因分別為中點，則.又，則四邊形為平行四邊形，得.又分別是中點，則.故，，則，則.平面，平面，則平面，連接交于.因，則，得.同理，可得平面，連接交于，則.又，則.即五點共面.順次連接，得截面為五邊形.對于A，如圖可知，截面和面的交線為DE，截面和面的交線為，又幾何體棱長為3，，，則，，故，則A正確；對于BC選項，由圖可知B正確，C錯誤；對于D選項，由圖可知截面在頂點處的內(nèi)角為，連接，因，則四邊形為平行四邊形，得.又由A選項分析可知，，則在三角形中由余弦定理有，則D正確.故選：ABD34．（多選）如圖，正四棱柱中，，、分別為的中點，則（

）A．B．直線與直線所成的角為C．直線與直線所成的角為D．直線與平面所成的角為【答案】ACD【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理、線面角的定義，結(jié)合異面直線所成的角定義逐一判斷即可.【詳解】對A選項，如圖，取的中點，連接，，，又，分別為的中點，，且，四邊形為平行四邊形，，又易知，，所以本選項正確；對B選項，假設(shè)直線與直線所成的角為，即，由正四棱柱的性質(zhì)可知：平面，而平面，所以，顯然平面，所以平面，而由正四棱柱的性質(zhì)可知：平面，所以，顯然這是不可能的，所以假設(shè)不成立，因此本選項錯誤；對C選項，在矩形中，因為，所以，而，因此，所以直線與直線所成的角為，本選項正確；對D選項，由A選項分析可知，直線與平面所成的角為，又根據(jù)題意易知，本選項正確，故選：ACD35．在直三棱柱中，AB⊥BC，，點P在棱BC上運動，則過點P且與AC垂直的平面α截該三棱柱所得的截面面積的最大值為______.【答案】【分析】根據(jù)線線垂直，證明線面垂直，找到與垂直的平面，從而平面平面，由此能求出過點且與垂直的平面截該三棱柱所得的截面面積的最大值．【詳解】取中點為，中點為，連接，，，則有，且，因為三棱柱是直三棱柱，故平面,所以平面，即，，所以平面，平面平面，因為點在棱上運動，當(dāng)點運動到點時，此時截面最大，進而面積最大，，，此時.故答案為：．36．在正方體中，分別是棱的中點，過、、的平面把正方體截成兩部分體積分別為，則__________.【答案】【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)畫出過的截面，再利用柱體、錐體的體積公式求，即可得結(jié)果.【詳解】延長交的延長線與點，連接交于點，連接：延長交的延長線與點，連接交于點，連接：所以過、、的截面為，如下圖所示：設(shè)正方體的棱長為，由，分別是棱、的中點，所以，所以，，則過、、的截面下方幾何體的體積為，所以另一部分體積為，則.故答案為：.37．如圖，在直三棱柱中，D為的中點，，，則異面直線BD與AC所成的角的余弦值________．【答案】【分析】取的中點E，易得（或其補角）為異面直線與所成的角，根據(jù)直棱柱的性質(zhì)結(jié)合條件即得.【詳解】如圖，取的中點E，連接，則，所以（或其補角）即為異面直線與所成的角，由題可知，，所以，故答案為：.38．已知在長方體中，，，，則異面直線與AC所成角的余弦值為_________【答案】【分析】連接交于，若為中點，連接，根據(jù)線線平行關(guān)系確定異面直線夾角的平面角，結(jié)合已知求其余弦值.【詳解】連接交于，即為、的中點，若為中點，連接，所以，故異面直線與AC所成角，即為或其補角，又，，，在△中，所以異面直線與AC所成角的余弦值為.故答案為：39．在四面體中，，，且，，異面直線，所成角為，則該四面體外接球的表面積為______.【答案】或【分析】由題意將四面體補成一個直三棱柱，由此可求出外接球的半徑，求得答案.【詳解】由題意可以將四面體補成一個如圖所示的直三棱柱，因為異面直線，所成角為，所以或，設(shè)的外接圓半徑為r，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，設(shè)四面體的外接球半徑為R，則，所以該四面體外接球的半徑或，則外接球的表面積為.或，故答案為：或40．如圖，在四面體中，，AC與BD所成的角為60°，M、N分別為AB、CD的中點，則線段MN的長為______．【答案】或【分析】取的中點，連接、，求出的值，利用余弦定理可求得線段的長.【詳解】取的中點，連接、，、分別為、的中點，且，同理可得且，為異面直線與所成的角或其補角，則或.在中，.若，則為等邊三角形，此時，；若，由余弦定理可得.綜上所述，或.故答案為：或.41．如圖已知A是所在平面外一點，，E?F分別是的中點，若異面直線與所成角的大小為，則與所成角的大小為___________.【答案】或【分析】取的中點，連接，則或，分別分析這兩種情況下的大小即為與所成角.【詳解】解：如圖所示：取的中點，連接，則，，所以為異面直線與，所以，當(dāng)時，為等邊三角形，，即與所成角的大小為；當(dāng)時，，為等腰三角形，，即與所成角的大小為.故答案為：或.42．已知球O是正三棱錐(底面為正三角形，頂點在底面的射影為底面中心)A－BCD的外接球，BC＝3，AB＝2eq\r(3)，點E在線段BD上，且BD＝3BE，過點E作球O的截面，則所得的截面中面積最小的截面圓的面積是________．【答案】2π【詳解】如圖，設(shè)△BDC的中心為O1，球O的半徑為R，連接AO1，O1D，OD，O1E，OE，則O1D＝3sin60°×eq\f(2,3)＝eq\r(3)，AO1＝eq\r(AD2－DO\o\al(2,1))＝3，在Rt△OO1D中，R2＝3＋(3－R)2，解得R＝2，∵BD＝3BE，DE＝2，在△DEO1中，O1E＝eq\r(3＋4－2×\r(3)×2cos30°)＝1，∴OE＝eq\r(O1E2＋OO\o\al(2,1))＝eq\r(2)，過點E作球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時，截面圓的面積最小，此時截面圓的半徑為eq\r(22－\r(2)2)＝eq\r(2)，面積為2π.43．小明同學(xué)對棱長為2的正方體的性質(zhì)進行研究，得到了如下結(jié)論：①12條棱中可構(gòu)成16對異面直線；②過正方體的一個頂點的截面可能是三角形、四邊形、五邊形、六邊形；③以正方體各表面中心為頂點的正八面體的表面積是4eq\r(3)＋4；④與正方體各棱相切的球的體積是eq\f(8\r(2)π,3).其中正確的序號是________．【答案】④【詳解】對于①，12條棱中可構(gòu)成異面直線的有24對，原因為：對于每一條棱，有三條和它平行，四條和它相交，因此有4條和它異面，而擴展到12條棱為12×4＝48，而由于兩條作為一對，需要再除以2，得到24對，故錯誤；對于②，如圖，過正方體的一個頂點的截面可能是三角形、四邊形、五邊形，故錯誤；對于③，先畫出圖形：正八面體每個面是全等的正三角形，棱長為eq\f(\r(2),2)×2＝eq\r(2)，表面積為8×eq\f(\r(3),4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)))2＝4eq\r(3)，故錯誤；對于④，由于此球與正方體的各棱相切，則球的半徑正好是正方體的面對角線的一半，正方體的棱長為2，則球的半徑是R＝eq\f(2×\r(2),2)＝eq\r(2)，則V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)))3＝eq\f(8\r(2)π,3)，故正確．44．如圖，在正方體中，對角線與平面交于點O，AC與BD交于點M，E為AB的中點，F(xiàn)為的中點．求證：(1)，O，M三點共線；(2)E，C，，F(xiàn)四點共面