第03講兩角和與差的正弦余弦和正切公式

第03講兩角和與差的正弦、余弦、正切公式兩角和與差的余弦、正弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1?tanαtanβ一．兩角和與差的三角函數(shù)公式例1．（1）已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系得出的值，再用兩角差的余弦公式即可解題.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，所?故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)求值問題，解題方法如下：（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合角的范圍，求得的值；（2）湊角，利用差角余弦公式求得結(jié)果.（2）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將所給的三角函數(shù)式展開變形，然后再逆用兩角和的正弦公式即可求得三角函數(shù)式的值.【詳解】由題意可得：，則：，，從而有：，即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和與差的正余弦公式及其應(yīng)用，屬于中等題.（3）已知α∈,cosα=,則tan等于()A．7 B． C． D．7【答案】B【分析】先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求tanα，再根據(jù)兩角差正切公式求結(jié)果.【詳解】由已知得tanα=,則tan.選B【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角差正切公式，考查基本求解能力.（4）若，，則________.【答案】【解析】首先根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，然后再根據(jù)利用兩角和的正弦公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，所，所?故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角和的正弦公式的應(yīng)用，其中將變形為是解題的關(guān)鍵，屬于?？碱}.（5）________．【答案】【分析】由題意觀察出角之間的關(guān)系為，，故原式轉(zhuǎn)化為，利用兩角差的余弦公式化簡求解.【詳解】.故答案為：【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導(dǎo)公式的推廣，可用α，β的三角函數(shù)表示α±β的三角函數(shù)，在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，特別要注意角與角之間的關(guān)系，完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的．二．兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用與變形例2．（1）的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)積化和差及誘導(dǎo)公式即得.【詳解】.故選：A.（2）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】逆用兩角差余弦公式及二倍角公式得到結(jié)果.【詳解】．故選：B．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：兩角和（差）的正/余弦公式常見題型及解法(1)兩特殊角之和/差的正/余弦值，利用公式直接展開求解．(2)含有常數(shù)的式子，先將系數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值，再利用兩角差的余弦公式求解．(3)求非特殊角的三角函數(shù)值，把非特殊角轉(zhuǎn)化為兩個(gè)特殊角的差，然后利用兩角和/差的正/余弦公式求解．（3）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)恒等變換公式化簡已知等式，再根據(jù)誘導(dǎo)公式簡化即可得到答案.【詳解】故選:A（4）中已知且，則（

）A．2 B．2 C．1 D．1【答案】B【分析】根據(jù)進(jìn)行化簡整理即可求得的值.【詳解】由題意得，則有整理得：，故選：B（5）（多選）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)兩角和的正切公式、二倍角公式、誘導(dǎo)公式求得正確答案.【詳解】因?yàn)?，故A正確；，故B正確；，故C正確；因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤．故選：ABC（6）____________．【答案】【分析】由正切的差角公式，可得，經(jīng)過等量代換與運(yùn)算可得答案.【詳解】．故答案為：.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：利用公式T(α±β)化簡求值的兩點(diǎn)說明=1\*GB4㈠分析式子結(jié)構(gòu)，正確選用公式形式：T(α±β)是三角函數(shù)公式中應(yīng)用靈活程度較高的公式之一，因此在應(yīng)用時(shí)先從所化簡(求值)式子的結(jié)構(gòu)出發(fā)，確定是正用、逆用還是變形用，并注意整體代換．(1)整體意識(shí)：若化簡的式子中出現(xiàn)了“tanα±tanβ”及“tanα·tanβ”兩個(gè)整體，?？紤]tan(α±β)的變形公式．(2)熟知變形：兩角和的正切公式的常見四種變形：①tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；②1－tanαtanβ＝eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)；③tanα＋tanβ＋tanα·tanβ·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；④tanα·tanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β).提醒：當(dāng)一個(gè)式子中出現(xiàn)兩角正切的和或差時(shí)，?？紤]使用兩角和或差的正切公式．=2\*GB4㈡化簡求值中要注意“特殊值”的代換和應(yīng)用：當(dāng)所要化簡(求值)的式子中出現(xiàn)特殊的數(shù)值“1”，“eq\r(3)”時(shí)，要考慮用這些特殊值所對(duì)應(yīng)的特殊角的正切值去代換，如“1＝tan

eq\f(π,4)”，“eq\r(3)＝tan

eq\f(π,3)”，這樣可以構(gòu)造出利用公式的條件，從而可以進(jìn)行化簡和求值．三．角的變換問題例3．（1）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用題目條件結(jié)合誘導(dǎo)公式即可得出答案.【詳解】故選：B.（2）若，，且，，則的值是（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】根據(jù)角的變換可得，，從而可得，然后根據(jù)已知條件分別得到，的值，進(jìn)而求解得到結(jié)果．【詳解】解：因?yàn)?，，，，，，，又因?yàn)?，，所以為第二象限角，為第二象限角，所以，，又因?yàn)?，所以，所以，．故選：A.（3）已知，，則的值為（

）A． B．或 C． D．【答案】A【分析】由給定條件探求并縮小與的范圍，再求出的值即可作答.【詳解】因，，且，于是得，則，，所以.故選：A【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：已知三角函數(shù)值求角的解題步驟(1)界定角的范圍，根據(jù)條件確定所求角的范圍．(2)求所求角的某種三角函數(shù)值．為防止增解最好選取在范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù)．(3)結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角．提醒：在根據(jù)三角函數(shù)值求角時(shí)，易忽視角的范圍，而得到錯(cuò)誤答案．（4）已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0))，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－sinα＝eq\f(4\r(3),5)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))的值是()A．－eq\f(2\r(3),5)B．－eq\f(\r(2),10)C.eq\f(2\r(3),5)D．－eq\f(4,5)【答案】B【詳解】由coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－sinα＝eq\f(4\r(3),5)，得cosαcoseq\f(π,6)－sinαsineq\f(π,6)－sinα＝eq\f(4\r(3),5)，即eq\f(\r(3),2)cosα－eq\f(3,2)sinα＝eq\f(4\r(3),5)，所以eq\f(1,2)cosα－eq\f(\r(3),2)sinα＝eq\f(4,5)，即coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(4,5).因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0))，所以α＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3))))＝eq\f(3,5)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－eq\f(\r(2),2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)－\f(4,5)))＝－eq\f(\r(2),10).故選B.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：解決給值(式)求角問題的方法解決此類題目的關(guān)鍵是求出所求角的某一三角函數(shù)值，而三角函數(shù)的選取一般要根據(jù)所求角的范圍來確定，當(dāng)所求角范圍是(0，π)或(π，2π)時(shí)，選取求余弦值，當(dāng)所求角范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))時(shí)，選取求正弦值．（5）已知，則的值為______．【答案】【解析】由誘導(dǎo)公式可得，，且，代入可得到答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、湊角的應(yīng)用，涉及到同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，關(guān)鍵點(diǎn)是利用，轉(zhuǎn)化求值，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.（6）若為銳角，且，，則________，________.【答案】

【分析】先由三角恒等式求出的值，利用正弦的和角公式，即可代值計(jì)算求得；根據(jù)的范圍，即可由其余弦值，求得角.【詳解】因?yàn)闉殇J角，且，，所以，，所以；，又0<α+β<π，所以cos(α+β)=，α+β=.故答案為：；.（7）已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(24,25)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝.【答案】－eq\f(4,5)【詳解】由題意知，α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)<0，所以cos(α＋β)＝eq\f(4,5)，因?yàn)棣拢璭q\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝－eq\f(7,25)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))))＝cos(α＋β)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝－eq\f(4,5).思維升華常見的角變換：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(π,3)＋α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(π,2)等．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：給值求值的解題策略(1)已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系，即拆角與湊角．=1\*GB3①當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式．=2\*GB3②當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．(2)由于和、差角與單角是相對(duì)的，因此解題過程中根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換．常見角的變換有：①α＝(α－β)＋β；②α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．1．已知，且，則（

）A．7 B． C． D．【答案】A【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得、，再根據(jù)兩角差的正切公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，則，所以.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角恒等變換，解題的關(guān)鍵是利用同角關(guān)系求出、，再利用湊角去求值，出考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2．已知，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知得，再利用和角的正切公式求的值.【詳解】由題得，所以，所以.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角方程，考查和角的正切公式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.3．（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，以及兩角和的余弦公式直接化簡，即可得出結(jié)果.【詳解】.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題主要考查利用兩角和的余弦公式化簡求值，涉及誘導(dǎo)公式，正確解題的關(guān)鍵是熟練掌握公式.4．若為銳角，＝，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用兩角和的余弦公式展開所給條件，平方求得，代入即可得到答案．【詳解】因?yàn)椋?，所以．兩邊平方得：．所以．故選：B．5．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差的余弦公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：A6．已知，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【詳解】由題意，可將展開為，再結(jié)合兩角和的正切公式及即可求值.【解答】∵，∴.故選：D.7．已知，則（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】利用兩角和的正切恒等變換公式可求得=，對(duì)所求式子利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡，再利用弦化切即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，解?，則，故選：D.8．（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】逆用正切的和差公式與特殊角的三角函數(shù)值即可求解.【詳解】.故選：C.9．已知，均為銳角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】對(duì)已知的式子化簡，然后利用兩角和的正切公式可求出結(jié)果【詳解】由，得，所以所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，故選：B10．的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】由正切的和角公式展開、移項(xiàng)整理即可得出答案.【詳解】因?yàn)樗运怨蔬x：B.11．在△ABC中，cosAcosB>sinAsinB，則△ABC的形狀是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】C【詳解】依題意可知cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)>0，所以－cosC>0，所以cosC<0，所以C為鈍角．故選C.12．在△ABC中，若sin(B＋C)＝2sinBcosC，則△ABC是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】D【詳解】因?yàn)閟in(B＋C)＝2sinBcosC，所以sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，即sinBcosC－cosBsinC＝0，所以sin(B－C)＝0，所以B＝C.所以△ABC是等腰三角形．13．已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tanα，tanβ是方程x2＋12x＋10＝0的兩根，則tan(α＋β)等于()A.eq\f(4,3)B．－2或eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D．－2【答案】A【詳解】因?yàn)棣?，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tanα，tanβ是方程x2＋12x＋10＝0的兩根，所以tanα＋tanβ＝－12，tanα·tanβ＝10，所以tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(－12,1－10)＝eq\f(4,3).故選A.14．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),3)，則cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的值是()A．－eq\f(2\r(3),3)B．±eq\f(2\r(3),3)C．－1D．±1【答案】C【詳解】cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝cosx＋eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\f(3,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosx＋\f(1,2)sinx))＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝－1.15．若cos2α－cos2β＝a，則sin(α＋β)sin(α－β)等于()A．－eq\f(a,2)B.eq\f(a,2)C．－aD．a(chǎn)【答案】C【詳解】sin(α＋β)sin(α－β)＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)·(sinαcosβ－cosαsinβ)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)＝cos2β－cos2α＝－a.16．已知α－β＝eq\f(π,6)，tanα－tanβ＝3，則cos(α＋β)的值為()A.eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),3) B.eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,3)＋eq\f(\r(3),2) D.eq\f(1,3)－eq\f(\r(3),2)【答案】D【詳解】由tanα－tanβ＝3，得eq\f(sinα,cosα)－eq\f(sinβ,cosβ)＝3，即eq\f(sinαcosβ－cosαsinβ,cosαcosβ)＝3.∴sin(α－β)＝3cosαcosβ.又知α－β＝eq\f(π,6)，∴cosαcosβ＝eq\f(1,6).而cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(\r(3),2)，∴sinαsinβ＝eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,6).∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(1,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,6)))＝eq\f(1,3)－eq\f(\r(3),2).17．已知sinα＝eq\f(2\r(5),5)，sin(β－α)＝－eq\f(\r(10),10)，α，β均為銳角，則β等于()A.eq\f(5π,12)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)【答案】C【詳解】因?yàn)閟inα＝eq\f(2\r(5),5)，sin(β－α)＝－eq\f(\r(10),10)，且α，β均為銳角，所以cosα＝eq\f(\r(5),5)，cos(β－α)＝eq\f(3\r(10),10)，所以sinβ＝sin[α＋(β－α)]＝sinα·cos(β－α)＋cosαsin(β－α)＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)＋eq\f(\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(10),10)))＝eq\f(25\r(2),50)＝eq\f(\r(2),2)，所以β＝eq\f(π,4).故選C.18．已知?jiǎng)t（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求出和，然后利用兩角和的余弦公式展開代入即可求出cos（α+β）．【詳解】∵∴∴，∴，∴．故選：D19．已知，為第二象限角，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出的值，再利用兩角和的余弦公式計(jì)算的值即可求解.【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：A.20．已知且，則=（

）A．B．C．D．或【答案】C【分析】根據(jù)給定條件利用三角恒等變換求出的值，再判斷的范圍即可得解.【詳解】因，則，，因，，則，又，有，于是得，因此，，所以.故選：C21．設(shè)，且，，則（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】根據(jù)兩角和與差的余弦公式，結(jié)合角度的范圍求解即可【詳解】因?yàn)?，，所以?易知，，，則，故.故選：A22．（多選）已知，則的可能取值為（

）A．0 B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式，結(jié)合輔助角公式、正弦型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，得，即，所以或，即或，當(dāng)時(shí)，或，故選：AD23．（多選）下列選項(xiàng)中正確的有（

）A．若是第二象限角，則B．C．D．【答案】ABCD【分析】對(duì)于A，可利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡；對(duì)于B，可利用及同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡；對(duì)于C，可先利用兩角差的余弦公式及誘導(dǎo)公式統(tǒng)一角之后再進(jìn)行化簡；對(duì)于D，可利用二倍角的正切公式化簡.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，從而，所以A正確；對(duì)于B，，所以B正確；對(duì)于C，，所以C正確；對(duì)于D，，所以D正確.故選：ABCD.24．已知，tanα=2，則cos(α?π4)【答案】【詳解】由得，又，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以?5．已知，則__________．【答案】【詳解】∵，∴，∴，整理得，解得．∴．答案：26．已知，則______．【答案】或【分析】首先根據(jù)誘導(dǎo)公式求出，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求出的值，從而可求出的值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以或，?dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.故答案為：或.27．函數(shù)

是奇函數(shù)，則______；【答案】【分析】由兩角和的余弦公式化簡函數(shù)后，根據(jù)奇偶性得出的表達(dá)式，從而得出結(jié)論．【詳解】，它是奇函數(shù)，則，，，又，所以．故答案為：．28．的值是_____.【答案】【分析】利用余弦的和差公式、誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值可解.【詳解】.故答案為：.29．求值________.【答案】【分析】由題意，根據(jù)正弦函數(shù)的和角公式，可得答案.【詳解】.故答案為：.30．_________.【答案】1【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式即得.【詳解】.故答案為：1.31．式子的值為__________【答案】【分析】逆用兩角和正切公式進(jìn)行求解即可.【詳解】故答案為：32．在中，若，則_________.【答案】【分析】利用兩角和的正切公式結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡可得的值，再利用二倍角的正切公式化簡可得的值.【詳解】因?yàn)椋?，，由題意可得，若，則，不妨設(shè)為銳角，則，則，不合乎題意，所以，，故，因此，.故答案為：.33．tan25°－tan70°＋tan70°tan25°＝________.【答案】－1【分析】逆用兩角差的正切公式化簡求值．【詳解】∵tan25°－tan70°＝tan(25°－70°)(1＋tan25°tan70°)＝tan(－45°)(1＋tan25°tan70°)＝－1－tan25°tan70°∴tan25°－tan70°＋tan70°tan25°＝－1.故答案為：．34．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝.【答案】eq\f(1,2)【詳解】原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝cos60°＝eq\f(1,2).35．cos75°－cos15°的值等于．【答案】－eq\f(\r(2),2)【詳解】原式＝cos(120°－45°)－cos(45°－30°)＝cos120°cos45°＋sin120°sin45°－(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝－eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝－eq\f(\r(2),2).36．已知sinα－cosβ＝eq\f(1,2)，cosα－sinβ＝eq\f(1,3)，則sin(α＋β)＝.【答案】eq\f(59,72)【詳解】由sinα－cosβ＝eq\f(1,2)兩邊平方得sin2α－2sinαcosβ＋cos2β＝eq\f(1,4)，①由cosα－sinβ＝eq\f(1,3)兩邊平方得cos2α－2cosαsinβ＋sin2β＝eq\f(1,9)，②①＋②得(sin2α＋cos2α)－2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＋(cos2β＋sin2β)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,9)，∴1－2sin(α＋β)＋1＝eq\f(13,36).∴sin(α＋β)＝eq\f(59,72).37．形如eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))的式子叫做行列式，其運(yùn)算法則為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc，則行列式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)sin\f(π,6),sin\f(π,3)cos\f(π,6)))的值是．【答案】0【詳解】eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)sin\f(π,6),sin\f(π,3)cos\f(π,6)))＝coseq\f(π,3)coseq\f(π,6)－sineq\f(π,3)sineq\f(π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(π,6)))＝coseq\f(π,2)＝0.38．化簡：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝.【答案】sin(α＋γ)【詳解】sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ)．39．已知3cosα－eq\r(3)sinα＝2eq\r(3)cos(α＋φ)，其中－π<φ<π，則φ＝.【答案】eq\f(π,6)【詳解】∵3cosα－eq\r(3)sinα＝2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosα－\f(1,2)sinα))＝2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosαcos\f(π,6)－sinαsin\f(π,6)))＝2eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))，又∵3cosα－eq\r(3)sinα＝2eq\r(3)cos(α＋φ)且－π<φ<π，∴φ＝eq\f(π,6).40．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝eq\f(1,2)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(α,2)))＝－eq\f(1,3)，則taneq\f(α＋β,2)＝________.【答案】eq\f(1,7)【詳解】taneq\f(α＋β,2)＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(α,2)))))＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,3),1－\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))))＝eq\f(1,7).41．化簡：tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于________．【答案】1【詳解】原式＝tan10°tan20°＋tan60°(tan20°＋tan10°)＝tan10°tan20°＋eq\r(3)tan(20°＋10°)(1－tan20°tan10°)＝tan10°tan20°＋1－tan20°tan10°＝1.42．在中，，，則的形狀為______．【答案】等邊三角形.【分析】根據(jù)兩角和的正切公式，整理化簡，可得角C的大小，根據(jù)兩角和、差的正弦公式，化簡整理，即可得答案.【詳解】，，，，，則．，且，，，，為等邊三角形.43．已知，，若，則________．【答案】【詳解】因?yàn)?所以,又因?yàn)?所以,所以===,又因?yàn)?所以β=.44．已知，．(1)證明：；(2)計(jì)算：的值．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）由已知可得，然后利用兩角和與差的正弦公式化簡后，整理，再根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系化為正切即可得結(jié)論，或?qū)σ阎阶永脙山呛团c差的正弦公式展開，可求出，，兩式相除可得結(jié)論，（2）結(jié)合兩角差的正切公式的變形公式化簡，再將（1）中的結(jié)論代入可求得結(jié)果（1）方法一：由條件，則即整理得也即，得證．方法二：由條件，即，得，從而可得得證．（2）由于所以原式45．已知為銳角，(1)求；(2)求.【答案】(1)；(2)【分析】（1）先求出，再利用求解即可；（2）直接通過計(jì)算出正弦值，再通過角的范圍求出答案.【詳解】(1).為銳角，，又在上單調(diào)遞減，，，

.(2)，為銳角，，.46．已知，，其中.（1）求的值；（2）求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)求得的值；（2）先求，再求，再根據(jù)的范圍，求得.【詳解】（1）∵，∴，∵，∴.則.（2）由（1），，，則.則.∵，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，兩角和的正弦公式、正切公式，還考查了由三角函數(shù)值確定角的大小，屬于中檔題.47．已知α，β均為銳角，且sinα＝eq\f(3,5)，tan(α－β)＝－eq\f(1,3).(1)求sin(α－β)的值；(2)求cosβ的值．【詳解】(1)∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴－eq\f(π,2)＜α－β＜eq\f(π,2).又∵tan(α－β)＝－eq\f(1,3)＜0，∴－eq\f(π,2)＜α－β＜0.∴sin(α－β)＝－eq\f(\r(10),10).(2)由(1)可得，cos(α－β)＝eq\f(3\r(10),10).∵α為銳角，且sinα＝eq\f(3,5)，∴cosα＝eq\f(4,5).∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq\f(4,5)×eq\f(3\r(10),10)＋eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(10),10)))＝eq\f(9\r(10),50).48．已知sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α－β)＝eq\f(1,3)，求eq\f(tanα,tanβ)的值．【詳解】∵sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(1,2).①∵sin(α－β)＝eq\f(1,3)，∴sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f(1,3).②由①，②解得sinαcosβ＝eq\f(5,12)，cosαsinβ＝eq\f(1,12)，∴eq\f(tanα,tanβ)