專題03正方形的性質(zhì)與判定（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)8種題型1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)中考2種考法）（原卷版）

專題03正方形的性質(zhì)與判定（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)8種題型1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)中考2種考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)五種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1：正方形的定義知識(shí)點(diǎn)2：正方形的性質(zhì)（重難點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)3：正方形的判定（重難點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1：由正方形的性質(zhì)求角的度數(shù)題型2：由正方形的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)度題型3：由正方形的性質(zhì)證明線段相等題型4：由正方形的性質(zhì)解決正方形的周長(zhǎng)與面積問題題型5：正方形的判定題型6：正方形的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用題型7：與正方形有關(guān)的動(dòng)態(tài)問題題型8：與正方形有關(guān)的存在性問題【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1正方形的性質(zhì)運(yùn)用不正確導(dǎo)致出錯(cuò)【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1：正方形性質(zhì)考法2：正方形判定【方法五】成果評(píng)定法【知識(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1：正方形的定義有一組鄰邊相等并且有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做正方形.知識(shí)點(diǎn)2：正方形的性質(zhì)1.正方形即是矩形又是菱形，因而它具備兩者所有的性質(zhì)．2.正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等.3.正方形的兩條對(duì)角線相等并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.4.正方形是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸；又是中心對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)稱中心知識(shí)點(diǎn)3：正方形的判定1.從平行四邊形出發(fā)：有一個(gè)內(nèi)角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形。2.從矩形出發(fā)：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.3.從菱形出發(fā)：有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形.例1.如果要證明平行四邊形為正方形，那么我們需要在四邊形是平行四邊形的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步證明（）A．AB=AD且AC⊥BDB．AB=AD且AC=BDC．∠A=∠B且AC=BDD．AC和BD互相垂直平分【方法二】實(shí)例探索法題型1：由正方形的性質(zhì)求角的度數(shù)例2.（1）如圖（1），已知P正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BP=BC，則度數(shù)是；（2）如圖（2），正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是OB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE=BD，∠ECB的度數(shù)是_______．AABCDEO（2）（1）例3.正方形ABCD被兩條分別與邊AB、BC平行的線段EF、GH分割成4個(gè)小矩形，P是EF與GH的交點(diǎn)，若矩形PFCH的面積恰好是矩形AGPE面積的2倍，求∠HAF的大?。瓵ABCDEFGHP題型2：由正方形的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)度例4.如圖，已知有一塊面積為1的正方形ABCD，M、N分別為AD、BC上的中點(diǎn)，將點(diǎn)C折到MN上，落在P點(diǎn)的位置，折痕為BQ，連結(jié)PQ．求：（1）MP的長(zhǎng)；（2）PQ的長(zhǎng)．題型3：由正方形的性質(zhì)證明線段相等例5.如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC上截取CE=CD，作EF⊥AC交AD于點(diǎn)F．求證：AE=EF=FD．AABCDEF例6.如圖，已知E是正方形ABCD的邊BC上的任意一點(diǎn)，BF⊥AE，垂足為G，交CD于點(diǎn)F．求證：AE=BF．AABCDEFG例7.已知：Q為正方形ABCD的CD邊的中點(diǎn)，P為CD上一點(diǎn)，且∠BAP=2∠QAD．求證：AP=PC+BC．AABCDPQ例8.已知：在正方形ABCD中，M為AB的中點(diǎn)，MN⊥MD，BN平分∠CBE并交MN于N．求證：MD=MN．AABCDEMNG題型4：由正方形的性質(zhì)解決正方形的周長(zhǎng)與面積問題例9.已知：如圖邊長(zhǎng)為的正方形的對(duì)角線、交于點(diǎn)，、分別為、上的點(diǎn)，且．求證：（1）．（2）、分別在、延長(zhǎng)線上，，四邊形與正方形重合部分的面積等于．題型5：正方形的判定例10.如圖所示，已知矩形ABCD的各內(nèi)角平分線AQ、DF、BE、CH分別交BC、AD于點(diǎn)Q、F、E、H，試證明它們組成的四邊形MNPO是正方形．題型6：正方形的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用例11.如圖，在線段上取一點(diǎn)，使，以、為邊在同側(cè)作正方形和，在上取，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使．求證：四邊形為正方形．題型7：與正方形有關(guān)的動(dòng)態(tài)問題例12.如圖（1）所示，四邊形ABCD是由兩個(gè)全等的等腰直角三角形斜邊重合在一起組成的平面圖形．如圖（2）所示，點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，PH⊥BC交BD于點(diǎn)H，連接AP交BD于點(diǎn)E，點(diǎn)F為DH中點(diǎn)，連接AF；（1）求證：四邊形ABCD為正方形；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠PAF的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出∠PAF的值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）求證：．題型8：與正方形有關(guān)的探究問題例13.如圖四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E、K分別在BC，AB上，點(diǎn)G在BA的延長(zhǎng)線上，且CE＝BK＝AG．以線段DE、DG為邊作DEFG．(1)求證：DE＝DG，且DE⊥DG．(2)連接KF，猜想四邊形CEFK是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想．例14.如圖，在正方形中，點(diǎn)在邊上（點(diǎn)與點(diǎn)、不重合），過點(diǎn)作，與邊相交于點(diǎn)，與邊的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．（1）由幾個(gè)不同的位置，分別測(cè)量、、的長(zhǎng)，從中你能發(fā)現(xiàn)、、的數(shù)量之間具有怎樣的關(guān)系？并證明你所得到的結(jié)論．（2）聯(lián)結(jié)，如果正方形的邊長(zhǎng)為2，設(shè)，的面積為，求與之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域．（3）如果正方形的邊長(zhǎng)為2，的長(zhǎng)為，求點(diǎn)到直線的距離．【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1：正方形的性質(zhì)運(yùn)用不正確導(dǎo)致出錯(cuò)例15.如圖所示，菱形PQRS內(nèi)接于矩形ABCD，使得點(diǎn)P、Q、R、S分別為邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)．已知PB=15，BQ=20，PR=30，QS=40．求矩形ABCD的周長(zhǎng)．【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1：正方形性質(zhì)1．（2022?黃石）如圖，正方形OABC的邊長(zhǎng)為，將正方形OABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（）A．（﹣，0） B．（，0） C．（0，） D．（0，2）2．（2022?廣州）如圖，正方形ABCD的面積為3，點(diǎn)E在邊CD上，且CE＝1，∠ABE的平分線交AD于點(diǎn)F，點(diǎn)M，N分別是BE，BF的中點(diǎn)，則MN的長(zhǎng)為（）A． B． C．2﹣ D．3．（2022?青島）如圖，O為正方形ABCD對(duì)角線AC的中點(diǎn)，△ACE為等邊三角形．若AB＝2，則OE的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．4．（2022?泰州）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為與點(diǎn)D不重合的動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作正方形DEFG．設(shè)DE＝d1，點(diǎn)F、G與點(diǎn)C的距離分別為d2、d3，則d1+d2+d3的最小值為（）A． B．2 C．2 D．45．（2022?黔東南州）如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC的外側(cè)作正方形ABED，過點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F，則DF的長(zhǎng)為（）A．2+2 B．5﹣ C．3﹣ D．+16．（2022?重慶）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．E、F分別為AC、BD上一點(diǎn)，且OE＝OF，連接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，則∠CBE的度數(shù)為（）A．50° B．55° C．65° D．70°7．（2022?瀘州）如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊AB上的點(diǎn)，且BE＝2AE，過點(diǎn)E作DE的垂線交正方形外角∠CBG的平分線于點(diǎn)F，交邊BC于點(diǎn)M，連接DF交邊BC于點(diǎn)N，則MN的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．18．（2022?益陽(yáng)）如圖，將邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD沿其對(duì)角線AC平移，使A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′滿足AA′＝AC，則所得正方形與原正方形重疊部分的面積是．9．（2022?海南）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，AE＝AF，∠EAF＝30°，則∠AEB＝°；若△AEF的面積等于1，則AB的值是．10．（2022?黔東南州）如圖，折疊邊長(zhǎng)為4cm的正方形紙片ABCD，折痕是DM，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，分別延長(zhǎng)ME、DE交AB于點(diǎn)F、G，若點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn)，則FG＝cm．11．（2022?廣西）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接BE，過點(diǎn)E作EF⊥BE，分別交CD，BD于點(diǎn)F，G，連接BF，交AC于點(diǎn)H，將△EFH沿EF翻折，點(diǎn)H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，則△EGH′的周長(zhǎng)是．12．（2022?無(wú)錫）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，HG垂直平分AE且分別交AE、BC于點(diǎn)H、G，則BG＝．13．（2022?貴陽(yáng)）如圖，在正方形ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，連接BE，BE的垂直平分線交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，垂足為O，點(diǎn)F在DC上，且MF∥AD．（1）求證：△ABE≌△FMN；（2）若AB＝8，AE＝6，求ON的長(zhǎng)．14．（2022?遵義）將正方形ABCD和菱形EFGH按照如圖所示擺放，頂點(diǎn)D與頂點(diǎn)H重合，菱形EFGH的對(duì)角線HF經(jīng)過點(diǎn)B，點(diǎn)E，G分別在AB，BC上．（1）求證：△ADE≌△CDG；（2）若AE＝BE＝2，求BF的長(zhǎng)．15．（2022?恩施州）如圖，已知四邊形ABCD是正方形，G為線段AD上任意一點(diǎn)，CE⊥BG于點(diǎn)E，DF⊥CE于點(diǎn)F．求證：DF＝BE+EF．16．（2022?雅安）如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BE＝DF．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）若AB＝3，BE＝2，求四邊形AECF的面積．考法2：正方形判定17．（2022?攀枝花）如圖，以△ABC的三邊為邊在BC上方分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF．且點(diǎn)A在△BCF內(nèi)部．給出以下結(jié)論：①四邊形ADFE是平行四邊形；②當(dāng)∠BAC＝150°時(shí)，四邊形ADFE是矩形；③當(dāng)AB＝AC時(shí)，四邊形ADFE是菱形；④當(dāng)AB＝AC，且∠BAC＝150°時(shí)，四邊形ADFE是正方形．其中正確結(jié)論有（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）．18．（2022?邵陽(yáng)）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，且BE＝DF，OE＝OA．求證：四邊形AECF是正方形．【方法五】成果評(píng)定法一、單選題1．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考二模）如圖，把圖1中邊長(zhǎng)為10的菱形沿對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形，且此菱形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為16，將這四個(gè)直角三角形拼成如圖2所示的正方形，則圖2中的陰影面積為（

）A．2 B．4 C．9 D．162．（2023·上海崇明·統(tǒng)考二模）下列命題是真命題的是（

）A．四邊都相等的四邊形是正方形 B．一組鄰邊相等的矩形是正方形C．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形 D．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形3．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）如圖，學(xué)校為美化校園環(huán)境，決定在一個(gè)邊長(zhǎng)為10m的正方形花壇中，按圖中所示的分布方式種植郁金香和雛菊．則種植郁金香的總面積是(

)A． B． C． D．4．（2023·遼寧本溪·統(tǒng)考一模）下列命題中，是真命題的有（

）①對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形②對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形③對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形④對(duì)角線相等的菱形是正方形A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④5．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，G是邊中點(diǎn)，F(xiàn)在邊上，且，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．6．（2023·山東威?！そy(tǒng)考一模）如圖，正方形OABC的頂點(diǎn)A，C在坐標(biāo)軸上，將正方形繞點(diǎn)O第1次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形，依此方式，連續(xù)旋轉(zhuǎn)至第2023次得到正方形．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．7．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)E在正方形的對(duì)角線上，且，的兩直角邊分別交于點(diǎn)M，N．若正方形的邊長(zhǎng)為n，則重疊部分四邊形的面積為（）A． B． C． D．8．（2023·河北承德·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，、相交于點(diǎn)，、分別為和上的點(diǎn)（不與點(diǎn)、、重合）．其中．過點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、；過點(diǎn)作分別交、于點(diǎn)、；連接、，甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)給出了三個(gè)結(jié)論：甲：隨著長(zhǎng)度的變化，始終成立．乙：隨著長(zhǎng)度的變化，四邊形可能為正方形．丙：隨著長(zhǎng)度的變化，四邊形的面積始終不變，都是菱形面積的一半．下列選項(xiàng)正確的是（

）A．甲、乙、丙都對(duì) B．甲、乙對(duì)，丙不對(duì)C．甲、丙對(duì)，乙不對(duì) D．甲不對(duì)，乙、丙對(duì)二、填空題9．（2023·吉林長(zhǎng)春·?？级＃┮粋€(gè)正方形和一個(gè)直角三角形的位置如圖擺放．若，則的大小為______度．10．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）如圖，正方形中，點(diǎn)分別在上，連接，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：___________，使．11．（2023·北京通州·統(tǒng)考一模）在中，，將一個(gè)直角尺的直角頂點(diǎn)O與邊上的中點(diǎn)D重合，并繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，分別交于點(diǎn)E、F，如果四邊形恰巧是正方形，則的長(zhǎng)度為__________．12．（2023·天津西青·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)是正方形中延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，若，，則的長(zhǎng)為______．13．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，頂點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，頂點(diǎn)C在y軸的正半軸上，若直線與邊有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是____________．14．（2023·天津和平·統(tǒng)考二模）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，，在的右側(cè)，以為邊作正方形，為的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)等于________．15．（2023·吉林長(zhǎng)春·?？家荒＃┤鐖D，四個(gè)全等的直角三角形圍成正方形和正方形，即趙爽弦圖連結(jié)、，分別交、于點(diǎn)，已知，且，則圖中陰影部分的面積之和為______．16．（2023·河南濮陽(yáng)·統(tǒng)考一模）將大小不一的正方形紙片甲、乙、丙、丁放置在如圖所示的長(zhǎng)方形內(nèi)（相同紙片之間不重疊），其中，若正方形“乙”的邊長(zhǎng)是m，陰影部分“戊”與陰影部分“己”的周長(zhǎng)之差為___________．17．（2023·天津東麗·統(tǒng)考一模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)是邊中點(diǎn)，垂直平分且分別交、于點(diǎn)、，則的長(zhǎng)為______.18．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，連接，將沿翻折得到，交射線于，如果是直角三角形，則的長(zhǎng)為_____________；19．（2023春·安徽宣城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，G是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，連接．給出四種情況：①若G為上任意一點(diǎn)，則；②若，則；③若G為的中點(diǎn)，則四邊形是正方形；④若，則．則其中正確的是_____．三、解答題20．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)．過點(diǎn)A、D分別作與的平行線，并交于點(diǎn)E，連結(jié)．(1)求證：四邊形是矩形．(2)當(dāng)四邊形是正方形，時(shí)，______．21．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）在正方形中，E是邊上一點(diǎn)，在延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使．過點(diǎn)F作交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)N．(1)求證：；(2)若E是的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．22．（2023·山西長(zhǎng)治·統(tǒng)考一模）綜合與實(shí)踐問題情境：將正方形的邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，旋轉(zhuǎn)角為，連接，的平分線交直線于點(diǎn)．(1)特例分析：如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角時(shí)，的度數(shù)為；(2)深入探究：如圖2，當(dāng)時(shí)．①求的度數(shù)；②求證：．23．（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．(1)操作判斷操作一：在正方形紙片的邊上取一點(diǎn)E，沿折疊，得到折線，把紙片展平；操作二：對(duì)折正方形紙片，使點(diǎn)C和點(diǎn)E重合，得到折線把紙片展平．根據(jù)以上操作，判斷線段的大小關(guān)系是______，位置關(guān)系是______．(2)深入探究如圖2，設(shè)與交于點(diǎn)I．小華測(cè)量發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過思考，他連接，并作的高，嘗試證明，．請(qǐng)你幫助完成證明過程．(3)拓展應(yīng)用在（2）的探究中，已知正方形的邊長(zhǎng)為，當(dāng)點(diǎn)I是的三等分點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．24．（2023·吉林長(zhǎng)春·校考一模）圖、圖均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求以為邊畫一個(gè)平行四邊形．（1）平行四邊形的面積為．（2）圖、圖所畫圖形不全等．（3）點(diǎn)、均在格點(diǎn)上．25．（2023·安徽黃山·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖①，四邊形是正方形，是等邊三角形，M為對(duì)角線（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接．(1)連接是等邊三角形嗎？為什么？(2)求證：；(3)①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，的值最??；②如圖②，當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，的值最小，請(qǐng)你畫出圖形，并說(shuō)明理由．26．（2023春·江西撫州·九年級(jí)臨川一中?？计谥校┤鐖D，是正方形的邊上一點(diǎn)，連接．請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺完成畫圖．（保留畫圖痕跡，不寫作法）(1)在圖（1）中，平移線段，使點(diǎn)與點(diǎn)重合；(2)在圖（2）中，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段．27．（2023·北京豐臺(tái)·統(tǒng)考一模）在正方形中，點(diǎn)