《解析幾何》教學(xué)大綱

《解析幾何》教學(xué)大綱一、課程基本信息課程編碼：061106B中文名稱：解析幾何英文名稱：AnalyticGeometry課程類別：專業(yè)基礎(chǔ)及核心課總學(xué)時(shí)：48總學(xué)分：3適用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)先修課程：平面解析幾何、線性代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)二、課程的性質(zhì)、目標(biāo)和任務(wù)解析幾何是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)及核心課，是初等數(shù)學(xué)通向高等數(shù)學(xué)的橋梁，在大學(xué)一年級(jí)第一學(xué)期開設(shè)的專業(yè)必修課程。解析幾何的基本思想是以向量、坐標(biāo)為工具，將幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)化，從而利用代數(shù)的方法研究、解決幾何問題，其理論與方法對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展起著重要的作用，為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析、微分幾何、高等幾何等數(shù)學(xué)學(xué)科的后續(xù)課程提供必要的理論基礎(chǔ)。通過本課程的教學(xué)，使學(xué)生對(duì)空間解析幾何的基本思想與研究方法有完整的認(rèn)識(shí)，系統(tǒng)地掌握幾何知識(shí)和幾何圖形代數(shù)化的基本理論，受到幾何直觀性思維及邏輯推理等方面的訓(xùn)練，擴(kuò)大知識(shí)領(lǐng)域；培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，以及運(yùn)用向量法與坐標(biāo)法計(jì)算和證明幾問題的能力，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)其它課程打下基礎(chǔ)；另外能夠加深對(duì)中學(xué)幾何的理解和應(yīng)用，從而獲得在比較高的觀點(diǎn)下處理中學(xué)幾何問題的能力，為將來中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)打下良好的基礎(chǔ)；能夠借助解析幾何所具有的較強(qiáng)的直觀效果，提高學(xué)生認(rèn)識(shí)事物，解決實(shí)際問題的能力，為學(xué)生在創(chuàng)新能力培養(yǎng)等方面獲得重要的平臺(tái)。三、課程教學(xué)基本要求1、教學(xué)方法：以課堂教學(xué)講授方法為主，采用多媒體先進(jìn)的教學(xué)手段。講清楚數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的實(shí)際背景、內(nèi)涵和外延，定理的條件、結(jié)論和應(yīng)用，比較分析類似數(shù)學(xué)概念的異同，找出內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生在龐雜的學(xué)習(xí)內(nèi)容面前能時(shí)刻抓住主線，有整體概念。2、作業(yè)布置：課后習(xí)題選作，由于所用教材課后習(xí)題較多，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容選作部分題目，要求學(xué)生完成課后布置習(xí)題的80%以上，作業(yè)每周批改一次。3、教學(xué)輔導(dǎo)：習(xí)題課，典型問題分析，方法總結(jié)，難題講解；課后答疑輔導(dǎo)，解答課內(nèi)或課外學(xué)習(xí)中的問題。四、課程教學(xué)內(nèi)容及要求第一章向量與坐標(biāo)（16學(xué)時(shí)）【教學(xué)目標(biāo)與要求】1、教學(xué)目標(biāo)：向量、坐標(biāo)是研究解析幾何的工具，是學(xué)習(xí)該課程的基礎(chǔ)。通過本章學(xué)習(xí)，要對(duì)向量與坐標(biāo)系有充分的認(rèn)識(shí)，了解空間結(jié)構(gòu)代數(shù)化的基本思想與方法，能初步利用向量與坐標(biāo)解決平面、空間的一些幾何問題。2、教學(xué)要求：（1）理解向量的概念，理解單位向量、零向量、相等向量、自由向量、反向量、共線向量、共面向量等特殊向量的含義，掌握向量的線性運(yùn)算及性質(zhì)。（2）了解向量的線性相關(guān)性概念及向量線性相關(guān)性與向量共線、共面之間的關(guān)系，理解共線、共面及空間向量的分解定理。（3）理解標(biāo)架、仿射坐標(biāo)系、直角坐標(biāo)系等坐標(biāo)法的含義，了解向量在軸上的射影、射影向量的概念，會(huì)用射影定理。（4）理解向量的數(shù)量積、向量積、混合積的概念，熟練掌握各種運(yùn)算的計(jì)算方法，并熟悉它們的幾何意義和性質(zhì)。（5）熟練掌握用向量法解幾何問題的一些基本思路與方法，能靈活運(yùn)用它們解決幾何、代數(shù)、三角等問題，如：定理的證明，長度、面積、體積、交角的計(jì)算?！窘虒W(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】1、教學(xué)重點(diǎn)：向量與坐標(biāo)的概念；向量的數(shù)量積、向量積、混合積的概念及應(yīng)用。2、教學(xué)難點(diǎn)：利用向量法證明幾何命題?！窘虒W(xué)內(nèi)容】1.1向量的概念1.2向量的加法1.3數(shù)量乘向量1.4向量的線性關(guān)系與向量的分解1.5標(biāo)架與坐標(biāo)1.6向量在軸上的射影1.7兩向量的數(shù)量積1.8兩向量的向量積1.9三向量的混合積*1.10.三向量的雙重向量積（自學(xué)）第二章軌跡與方程（4課時(shí)）【教學(xué)目標(biāo)與要求】1、教學(xué)目標(biāo)：在平面上或空間取定了標(biāo)架之后，平面上或空間的點(diǎn)就與有序?qū)崝?shù)組（x,y）或(x,y,z)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，將進(jìn)一步建立作為點(diǎn)的軌跡的曲線、曲面與二元、三元方程之間的聯(lián)系，把研究曲線與曲面的幾何問題，歸結(jié)為研究其方程的代數(shù)問題，從而為用代數(shù)的方法對(duì)一些曲線與曲面進(jìn)行研究找到了有效的方法。2、教學(xué)要求：（1）理解平面曲線方程的含義，并能根據(jù)已知條件，利用向量法建立平面曲線的一般方程和參數(shù)方程，了解幾種常用平面曲線的生成規(guī)律。（2）理解空間曲面方程的定義，掌握用向量法建立空間曲面的一般方程和參數(shù)方程的方法與步驟，了解曲面的形狀，會(huì)對(duì)球面方程進(jìn)行討論。（3）理解空間曲線的一般方程的定義和形式，掌握求常見空間曲線的一般方程和參數(shù)方程的方法與步驟。（4）了解球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系的概念。【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】1、教學(xué)重點(diǎn)：求解空間曲面與空間曲線方程的一般方法。2、教學(xué)難點(diǎn)：利用向量法求曲線、曲面的向量式參數(shù)方程的方法?！窘虒W(xué)內(nèi)容】2．1平面曲線的方程2．2曲面的方程2．3空間曲線的方程第三章平面與空間直線（12課時(shí)）【教學(xué)目標(biāo)與要求】1、教學(xué)目標(biāo)：空間平面與直線是空間幾何中最簡單的曲面與曲線，如何利用向量法與坐標(biāo)法對(duì)其進(jìn)行討論與研究是這章的主要內(nèi)容。通過學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)平面與空間直線的各種形式的方程以及它們相互關(guān)系的各種解析表示，能夠?qū)W會(huì)把各種有關(guān)決定平面和直線的幾何條件轉(zhuǎn)換成平面和直線的解析方程的方法，并能熟練應(yīng)用一些計(jì)算公式。2、教學(xué)要求：（1）理解空間直角坐標(biāo)系下平面一般方程的意義，了解各種形的平面方程中的常數(shù)或參數(shù)的幾何意義，熟練掌握利用各種條件求平面方程的方法與步驟，并能進(jìn)行方程的各種形式間的互化。（2）理解空間直角坐標(biāo)系下直線一般方程的意義，了解各種形式的直線方程中的常數(shù)或參數(shù)的幾何意義，熟練掌握利用各種條件求直線方程的方法與步驟，并能進(jìn)行方程的各種形式間的互化。（3）掌握運(yùn)用平面、直線的方程和點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)行點(diǎn)、線、面各種位置關(guān)系的判斷，并會(huì)計(jì)算它們之間的距離和交角。（4）理解有軸平面束、平行平面束的概念，能靈活運(yùn)用它們的一般方程解題。（5）會(huì)一些常見的平面和直線的圖形的畫法?！窘虒W(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】1、教學(xué)重點(diǎn)：平面與直線的方程及位置關(guān)系。2、教學(xué)難點(diǎn)：各種條件下平面和直線方程的建立；兩異面直線的位置關(guān)系和距離公式推導(dǎo)?！窘虒W(xué)內(nèi)容】3．1平面的方程3．2平面與點(diǎn)的位置關(guān)系3．3兩平面的相關(guān)位置3．．空間直線的方程3．5直線與平面的相關(guān)位置3．6空間兩直線的相關(guān)位置3．7空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置3．8平面束第四章柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面（12課時(shí)）【教學(xué)目標(biāo)與要求】1、教學(xué)目標(biāo)：本章介紹柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面，其中柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面具有較為突出的幾何特征，是要從圖形出發(fā)，討論曲面的方程，學(xué)會(huì)用消參數(shù)法解決類似問題；二次曲面在方程上表現(xiàn)出特殊的簡單形式，會(huì)從它的方程出發(fā)，研究其圖形，學(xué)會(huì)使用平面截割法。2、教學(xué)要求：（1）理解柱面和錐面的定義、準(zhǔn)線、母線等概念，理解旋轉(zhuǎn)曲面的定義及旋轉(zhuǎn)軸、母線、經(jīng)線、緯線的概念。（2）掌握利用消參數(shù)法建立柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的方程的一般方法與步驟；掌握?qǐng)A柱面、圓錐面、以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面方程的特殊求法；了解母線平行于坐標(biāo)軸的柱面、以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面方程的特點(diǎn)，能從方程認(rèn)識(shí)圖形。（3）掌握討論橢球面、雙曲面、拋物面等二次曲面的一般方法，并能用平面截割法推斷常用空間曲面的形狀和性質(zhì)。（4）掌握橢球面、單葉雙曲面、雙葉雙曲面、橢圓拋物面、雙曲拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程與主要性質(zhì)，并能根據(jù)這些曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程畫出它們的圖形。（5）了解直紋面和非直紋面的概念，了解單葉雙曲面、雙曲拋物面的直母線?！窘虒W(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】1、教學(xué)重點(diǎn)：求特殊曲面的消參數(shù)法，研究二次曲面的平面截割法。2、教學(xué)難點(diǎn)：二次曲面方程的討論、圖形的畫法?！窘虒W(xué)內(nèi)容】4．1柱面4．2錐面4．3旋轉(zhuǎn)曲面4．4橢球面4．5雙曲面4．6拋物面*4．7單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線第五章二次曲線的一般理論（4課時(shí)）【教學(xué)目標(biāo)與要求】1、教學(xué)目標(biāo)：對(duì)二次曲線的方程進(jìn)行化簡與分類，會(huì)利用坐標(biāo)變換化簡二次曲線，并能根據(jù)簡化方程畫出其圖形，對(duì)中學(xué)平面解析幾何內(nèi)容有更深層次的理解。2、教學(xué)要求：（1）理解復(fù)平面、二次曲線的概念，掌握二次曲線與直線相關(guān)位置的討論。（2）理解移軸變換、轉(zhuǎn)軸變換對(duì)二次曲線方程系數(shù)的影響規(guī)律，以及這兩種坐標(biāo)變換在化簡二次曲線方程中所起的作用。（3）熟練掌握利用直角坐標(biāo)變換化簡二次曲線方程的方法，并會(huì)判別二次曲線的類型，會(huì)作出方程的圖形。（4）了解二次曲線的漸近線、主方向、主直徑、主平面、切線、中心等相關(guān)概念，了解利用主直徑和利用不變量化簡二次曲線方程式（由于課時(shí)限制，這部分內(nèi)容自學(xué)）?！窘虒W(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】1、教學(xué)重點(diǎn)：二次曲線方程式化簡與分類。2、教學(xué)難點(diǎn)：二次曲線方程的化簡與作圖?！窘虒W(xué)內(nèi)容】5．1二次曲線與直線的相關(guān)位置5．2二次曲線的漸近方向、中心、漸近線5．3.二次曲線的切線*5．4.二次曲線的直徑*5．5.二次曲線的主直徑與主方向5．6二次曲線方程的化簡與分類*5．7應(yīng)用不變量化簡二次曲線的方程五、教學(xué)學(xué)時(shí)分配建議《解析幾何》課程教學(xué)時(shí)數(shù)分配表總學(xué)時(shí)：48學(xué)分：3章節(jié)主要內(nèi)容（章節(jié)標(biāo)題）學(xué)時(shí)各環(huán)節(jié)學(xué)時(shí)分分配備注講授實(shí)驗(yàn)實(shí)踐討論、習(xí)題課等第一章向量與坐標(biāo)16142需要補(bǔ)充線性代數(shù)知識(shí)第二章軌跡與方程44第三章平面與空間直線12102第四章柱面、錐面旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面12102第五章二次曲線的一般理論44六、教學(xué)策略與方法建議由于課時(shí)的原因，有些內(nèi)容不能課堂上完全講授，需要學(xué)生課外自主學(xué)習(xí)，自主學(xué)習(xí)內(nèi)容不受學(xué)時(shí)和時(shí)間限制，也不列入考試內(nèi)容。課外學(xué)習(xí)內(nèi)容包括：1、預(yù)備知識(shí)：線性代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的補(bǔ)充，包括矩陣、行列式、線性方程組的基本概念。課堂上介紹基本內(nèi)容，要求學(xué)生課外學(xué)習(xí)課本后附錄中的內(nèi)容。2、解析幾何內(nèi)容補(bǔ)充：單葉雙曲面和雙曲拋物面的直母線；二次曲線的方程的化簡中的利用主直徑和利用不變量化簡方程的那部分內(nèi)容。3、拓展學(xué)習(xí)：幾何圖形、動(dòng)畫的制作，學(xué)習(xí)幾何畫板的簡單用法，MATLAB軟件中的繪圖命令的使用。教學(xué)課件中有部分幾何圖形是用幾何畫板和MATLAB軟件制用的，鼓勵(lì)同學(xué)們開始學(xué)習(xí)一些常用數(shù)學(xué)軟件，擴(kuò)大知識(shí)面，提高學(xué)習(xí)興趣。七、教材與學(xué)習(xí)資源建議1．呂林根，許子道編．解析幾何（第四版）．北京：高等教育出版社，2006．2．呂林根等編．解析幾何學(xué)習(xí)指導(dǎo)書．北京：高等教育出版社，2006．3．朱鼎勛編．空間解析幾何．北京：北京師范大學(xué)出版社，1984．4．南開大學(xué)幾何教研室編．空間解析幾何引論．天津：南