大綱版數(shù)學(xué)高考名師一輪復(fù)習(xí)教案94二面角及平面的垂直microsoftword文檔doc高中數(shù)學(xué)

/9．4二面角及平面的垂直一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo)1.掌握兩平面垂直的判定和性質(zhì)，并用以解決有關(guān)問(wèn)題2.掌握二面角及其平面角的概念，能靈活作出二面角的平面角，并能求出大小3．在研究垂直和求二面角的問(wèn)題時(shí)，要能靈活運(yùn)用三垂線定理及逆定理二．建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)1.二面角、平面角的定義——；范圍：.兩個(gè)平面相交成900二面角時(shí)，叫兩個(gè)平面垂直.2．判定兩平面垂直的方法：①利用“面面垂直的定義”，即證“兩平面所成的二面角是直二面角；②利用“面面垂直的判定定理”，即由“線面垂直面面垂直”.3．二面角的平面角的作法：①直接利用定義；②利用三垂線定理及其逆定理;③作棱的垂面.三、雙基題目練練手1.在三棱錐A—BCD中，假設(shè)AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是銳角三角形，那么必有()A.平面ABD⊥平面ADC B.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BCD D.平面ABC⊥平面BCD2.設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面.考察以下命題，其中正確的命題是（）3.設(shè)兩個(gè)平面α、β，直線l，以下三個(gè)條件：=1\*GB3①l⊥α;=2\*GB3②l∥β;=3\*GB3③α⊥β,假設(shè)以其中兩個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，可構(gòu)成正確命題的個(gè)數(shù)是（）A.3B.2C.1D.04.P為△ABC所在平面外的一點(diǎn)，那么點(diǎn)P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要條件是A.PA=PB=PCB.PA⊥BC，PB⊥AC()C.點(diǎn)P到△ABC三邊所在直線距離相等D.平面PAB、平面PBC、平面PAC與△ABC所在的平面所成的角相等5．如圖在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足__________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.6.夾在互相垂直的兩個(gè)平面之間長(zhǎng)為2a的線段和這兩個(gè)平面所成的角分別為45°和30°，過(guò)這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別向這兩個(gè)平面的交線作垂線，那么兩垂足間的距離為_(kāi)____________.◆答案提示：MD⊥PC或MB⊥PC;6.a四、典型例題做一做【例1】如以以下圖，在三棱錐S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.（1）求證：AB⊥BC；（2）假設(shè)設(shè)二面角S—BC—A為45°，SA=BC，求二面角A—SC—B的大小.ABCSEH證明（1）：作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC，∴AH⊥平面SBC.，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.SA∩SB=S，∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.解（2）：∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.∴平面SAB⊥BC，∠SBA為二面角S—BC—A的平面角.∴∠SBA=45°.設(shè)SA=AB=BC=a.作AE⊥SC于E，連結(jié)EH.由(1)知AH⊥平面SBC,∴AE在面SBC內(nèi)的射影EH⊥SC，∠AEH為二面角A—SC—B的平面角，AH=a，AC=a，SC=a，AE=a，∴sin∠AEH=，二面角A—SC—B為60°.【例2】已知正三棱柱ABC—A1B1C1，假設(shè)過(guò)面對(duì)角線AB1且與另一面對(duì)角線BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一邊A1C1于點(diǎn)D.（1）確定D的位置，并證明你的結(jié)論；（2）證明：平面AB1D⊥平面AA1D；（3）假設(shè)AB∶AA1=，求平面AB1D與平面AB1A1所成角的大小.CC1_B1_A1_BCA分析：此題結(jié)論不定，是“開(kāi)放性”的，點(diǎn)D位置確實(shí)定如果僅憑已知條件推理難以得出.由于AB1與BC1這兩條面對(duì)角線是相鄰二側(cè)面上的異面直線，于是可考慮將BC1沿BA平行移動(dòng)，BC1取AE1位置，那么平面AB1E1一定平行BC1，問(wèn)題可以解決.（1）解：如以以下圖，將正三棱柱ABC—A1B1C1補(bǔ)成一直平行六面體ABCE—A1B1C1E1，由AE1∥BC1，AE1平面AB1E1，知BC1∥平面AB1E1，故平面AB1E1應(yīng)為所求平面，此時(shí)平面AB1E1交A1C1于點(diǎn)D，由平行四邊形對(duì)角線互相平行性質(zhì)知，D為A1C1的中點(diǎn).AE1B1C1BCEDA1（2）證明：連結(jié)B1D，那么B1D⊥A1C1;從直三棱柱定義知AA1⊥底面A1B1C1，∴AA1⊥B1D,又A1D∩AA1=A1，∴B1D⊥平面AA1D，又B1D平面AB1D，∴平面AB1D⊥平面AA1D.（3）解：因?yàn)槠矫鍭B1D∩平面AA1D=AD，所以過(guò)A1作A1H⊥AD于點(diǎn)H.作HF⊥AB1于點(diǎn)F，連結(jié)A1F，從三垂線定理知A1F⊥AB1.故∠A1FH是二面角A1—AB1—D的平面角.設(shè)側(cè)棱AA1=1，側(cè)棱AB=.于是AB1==.在Rt△AB1A1中，A1F===，在Rt△AA1D中，AA1=1，A1D=A1C1=，AD==.∴A1H==.在Rt△A1FH中，sin∠A1FH==，∴∠A1FH=45°.因此知平面AB1D與平面AB1A1所成角為450或1350.【例3】在四棱錐P-ABCD中，已知ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，設(shè)PA=AB=1，BC=2，求二面角B-PC-D的大小.解析1.定義法過(guò)D作DE⊥PC于E，過(guò)E作EF⊥PC，交BC于F，連接FD，那么是所求二面角B-PC-D的平面角.求解二面角B-PC-D的大小，只需解△DEF即可.所求角為BBDPCAEF解析一解析2.垂面法易證面PAB⊥面PBC，過(guò)A作AM⊥BP于M，顯然AM⊥面PBC，從而有AM⊥PC，同法可得AN⊥PC，再由AM與AN相交與A得PC⊥面AMN.設(shè)面AMN交PC于Q，那么為二面角B-PC-D的平面角；∠MAN為它的補(bǔ)角，在三角形AMN中可解.計(jì)算較繁.BBDPCAＭＮＱ解析二解析3.利用三垂線求解把四棱錐P-ABCD補(bǔ)成如圖的直三棱柱PAB-EDC，顯然二面角E-PC-D與二面角D-PC-B互補(bǔ)，轉(zhuǎn)化為求二面角E-PC-D.易證面PEDA⊥PDC，過(guò)E作EF⊥PD于F，顯然PF⊥面PDC，在面PCE內(nèi)，過(guò)E作EG⊥PC于G，連接GF，由三線得GF⊥PC即為二面角E-PC-D的平面角，只需解△EFG即可.BBDPCA解析三EFG解析4.射影面積法。由解析3知，△PFC為△PEC在面PDC上的射影，由射影面積公式得，所求角為BBDPCA解析四EFG解析5.在面PDC內(nèi)，分別過(guò)D、B作DE⊥PC于E，BF⊥PC于F，連接EF即可.利用平面知識(shí)求BF、EF、DE的長(zhǎng)度，再利用空間余弦定理求出q即可.BBDPCA解析五ＥＦ◆思悟提煉：想一想求二面角都用了哪些方法：【例4】由一點(diǎn)S引不共面的三條射線SA、SB、SC，設(shè)ASB=，BSC=，ASC=，其中，，均為銳角，那么平面ASB平面BSC的充要條件是coscos=cos．證明：必要性．如圖(1)過(guò)點(diǎn)A作ADSB于D.∵平面ASB平面BSC∴AD平面BSC．過(guò)D作DESC于E，連AE，那么AESC．在Rt△ADS中，cos=；在Rt△DES中，cos=；(1)(1)ESDABC例3．在Rt△AES中，cos=，由此可得coscos===cos．必要性得證．充分性．如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AA1SB于A1，過(guò)點(diǎn)A1作A1C1SC于C1.在Rt△AA1S中，cos=；在Rt△A1C1S中，cos=;∵cos=coscos==,∴SC1=SAcos．(2)(2)C1C1SA1ABC過(guò)A作AC1SC，垂足為C1，在Rt△AC1S中，SC1=SAcos．由此得SC1=SC1，即C1與C1重合，故SCAC1．而SCA1C1，且AC1A1C1=C1，∴SC平面AA1C1，∴SCAA1．又∵SBAA1，SBSC=S，∴AA1平面BSC，而AA1平面ASB，∴平面ASB平面BSC．充分性得證．五．提煉總結(jié)以為師1.注意線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉(zhuǎn)化和應(yīng)用.2．求二面角的方法是：①找（或作）平面角，②用射影法:cosθ=；③用異面直線上兩點(diǎn)間距離公式.3．作平面角的方法：（1）定義法（2）三垂線定理；（3）垂面法.同步練習(xí)9.4二面角、面面垂直【選擇題】1.PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，C為圓上異于A、B的任一點(diǎn)，那么以下關(guān)系不正確的選項(xiàng)是()APA⊥BCBAC⊥PBCPC⊥BCDBC⊥平面PAC 2．在邊長(zhǎng)為a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B—AD—C后，BC＝a，且二面角B—AD—C的大小為（）A．30° B.45°C．60°D．90°3．在1200的二面角內(nèi)，有一點(diǎn)P到面α、β的距離分別是6和9，那么點(diǎn)P到棱l的距離等于（）A．3B.C.2D.12【填空題】4.設(shè)a、b是異面直線，α、β是兩個(gè)平面，且a⊥α，b⊥β，aβ，bα，那么當(dāng)_______（填上一種條件即可）時(shí)，有α⊥β.5．(浙江)設(shè)M、N是直角梯形ABCD兩腰的中點(diǎn)，DE⊥AB于E(如圖)．現(xiàn)將△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B為45，此時(shí)點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影恰為點(diǎn)B，那么M、N的連線與AE所成角的大小等于_________．6．一條直線與直二面角的兩個(gè)面所成的角分別是α和β，那么α＋β的范圍是_____．◆答案提示：1-3.BCB;4.a⊥b;5.;6.[0°，90°]；提示:3.l⊥平面PAB于C,PC是ΔPAB外接圓直徑，用余、正弦定理.【解答題】7．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形ABC為等腰直角三角形，且∠ABC=90ο，E為C1C的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1上是BF=BB1，AC=AA1=2,求平面EFA與面ABC所成角的大小答案：arctan8．已知矩形ABCD中,AB=1,BC=(>0),PA⊥面ABCD,PA=1（1）問(wèn)BC邊上是否存在一點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD并且說(shuō)明理由（2）假設(shè)BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q使得PQ⊥QD，求這時(shí)二面角Q—PD—A大小DDBACPQ解：（1）a=2時(shí)只有一點(diǎn)；a＞2時(shí)有兩點(diǎn)；a＜2時(shí)沒(méi)有點(diǎn)；（2）arctan9．（天津）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.（Ⅰ）證明PA//平面EDB；（Ⅱ）證明PB⊥平面EFD；（Ⅲ）求二面角C—PB—D的大小.（1）證明：連結(jié)AC，AC交BD于O，連結(jié)EO.∵底面ABCD是正方形，∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)在中，EO是中位線，∴PA//EO而平面EDB且平面EDB，所以，PA//平面EDB（2）證明：∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，∴.①同樣由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC.而平面PDC，∴.②由①和②推得平面PBC.而平面PBC，∴又且，所以PB⊥平面EFD.（3）解：由（2）知，，故是二面角C—PB—D的平面角.由（2）知，.設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，那么,，，.在中，.在中，,∴，二面角C—PB—D的大小為.10．（福建)如圖，直二面角D—AB—E中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE.（Ⅰ）求證AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；（Ⅲ）求點(diǎn)D到平面ACE的距離.分析：本小題主要考察直線、直線與平面、二面角及點(diǎn)到平面的距離等根底知識(shí)，考察空間想象能力，邏輯思維能力