高中數(shù)學(xué)人教版必修2作業(yè)1-3-1柱體錐體臺(tái)體的表面積與體積3

1.3.1柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．長(zhǎng)方體三個(gè)面的面積分別為2、6和9，則長(zhǎng)方體的體積是()A．6eq\r(3) B．3eq\r(6)C．11 D．12[答案]A[解析]設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，則ab＝2，ac＝6，bc＝9，相乘得(abc)2＝108，∴V＝abc＝6eq\r(3).2．圓臺(tái)的體積為7π，上、下底面的半徑分別為1和2，則圓臺(tái)的高為()A．3 B．4C．5 D．6[答案]A[解析]由題意，V＝eq\f(1,3)(π＋2π＋4π)h＝7π，∴h＝3.3．若一圓柱與圓錐的高相等，且軸截面面積也相等，那么圓柱與圓錐的體積之比為()A．1 B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(3,4)[答案]D[解析]設(shè)圓柱底面半徑為R，圓錐底面半徑r，高都為h，由已知得2Rh＝rh，∴r＝2R，V柱V錐＝πR2heq\f(1,3)πr2h＝34，故選D．4．如圖，網(wǎng)格上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則幾何體的體積為()A．6 B．9C．12 D．18[答案]B[解析]由三視圖知，其對(duì)應(yīng)幾何體為三棱錐，其底面為一邊長(zhǎng)為6，這邊上高為3，棱錐的高為3，故其體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×6×3×3＝9，故選B．5．某四棱臺(tái)的三視圖如圖所示，則該四棱臺(tái)的體積是()A．4 B．eq\f(14,3)C．eq\f(16,3) D．6[答案]B[分析]根據(jù)三視圖可知此幾何體為棱臺(tái)，分別確定棱臺(tái)的底面面積和高即可求得體積．[解析]由四棱臺(tái)的三視圖可知，臺(tái)體上底面積S1＝1×1＝1，下底面積S2＝2×2＝4，高h(yuǎn)＝2，代入臺(tái)體的體積公式V＝eq\f(1,3)(S1＋eq\r(S1S2)＋S2)h＝eq\f(1,3)×(1＋eq\r(1×4)＋4)×2＝eq\f(14,3).6．某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．8－2π B．8－πC．8－eq\f(π,2) D．8－eq\f(π,4)[答案]B[解析]該幾何體為一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體在兩端各削去一個(gè)eq\f(1,4)圓柱．V＝2×2×2－2×eq\f(1,4)×(π×12×2)＝8－π.二、填空題7．已知圓錐SO的高為4，體積為4π，則底面半徑r＝________.[答案]eq\r(3)[解析]設(shè)底面半徑為r，則eq\f(1,3)πr2×4＝4π，解得r＝eq\r(3)，即底面半徑為eq\r(3).8．如圖，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點(diǎn)．設(shè)三棱錐F－ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1－ABC的體積為V2，則V1V[答案]124[分析]找到棱錐的底、高與棱柱的底、高之間的關(guān)系，從而可以得出它們的體積之比．[解析]設(shè)三棱柱A1B1C1－ABC的高為h，底面三角形ABC的面積為S，則V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)S×eq\f(1,2)h＝eq\f(1,24)Sh＝eq\f(1,24)V2，即V1V2＝124.三、解答題9．已知圓臺(tái)的高為3，在軸截面中，母線AA1與底面圓直徑AB的夾角為60°，軸截面中的一條對(duì)角線垂直于腰，求圓臺(tái)的體積．[解析]如圖所示，作軸截面A1ABB1，設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑和母線長(zhǎng)分別為r，R，l，高為h.作A1D⊥AB于點(diǎn)D，則A1D＝3.又∵∠A1AB＝60°，∴AD＝A1D·eq\f(1,tan60°)，即R－r＝3×eq\f(\r(3),3)，∴R－r＝eq\r(3).又∵∠BA1A＝90°，∴∠BA1∴BD＝A1D·tan60°，即R＋r＝3×eq\r(3)，∴R＋r＝3eq\r(3)，∴R＝2eq\r(3)，r＝eq\r(3)，而h＝3，∴V圓臺(tái)＝eq\f(1,3)πh(R2＋Rr＋r2)＝eq\f(1,3)π×3×[(2eq\r(3))2＋2eq\r(3)×eq\r(3)＋(eq\r(3))2]＝21π.所以圓臺(tái)的體積為21π.10．若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，求此幾何體的體積．[解析]該空間幾何體的上部分是底面邊長(zhǎng)為4，高為2的正四棱柱，體積為16×2＝32；下部分是上底面邊長(zhǎng)為4，下底面邊長(zhǎng)為8，高為3的正四棱臺(tái)，體積為eq\f(1,3)×(16＋4×8＋64)×3＝112.故該空間幾何體的體積為144.能力提升一、選擇題1．某三棱錐的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是()A．3 B．2C．eq\r(3) D．1[答案]D[解析]由側(cè)視圖可知，該三棱錐的高為eq\r(22－12)＝eq\r(3).由俯視圖可知，該三棱錐的底面面積S＝eq\f(1,2)×2×eq\r(22－12)＝eq\r(3).根據(jù)三棱錐的體積公式，得V＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.2．如圖，某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，且體積為eq\f(1,2)，則該幾何體的俯視圖可以是()[答案]C[解析]若該幾何體的俯視圖是選項(xiàng)A，則該幾何體是正方體，其體積V＝13＝1≠eq\f(1,2)，所以A選項(xiàng)不是；若該幾何體的俯視圖是選項(xiàng)B，則該幾何體是圓柱，其體積V＝π×(eq\f(1,2))2×1＝eq\f(π,4)≠eq\f(1,2)，所以B選項(xiàng)不是；若該幾何體的俯視是選項(xiàng)D，則該幾何體是圓柱的四分之一，其體積V＝eq\f(1,4)(π×12×1)＝eq\f(π,4)≠eq\f(1,2)，所以D選項(xiàng)不是；若該幾何體的俯視圖是選項(xiàng)C，則該幾何體是三棱柱，其體積V＝eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,2)，所以C選項(xiàng)符合題意，故選C．3．如圖(1)所示，一只裝了水的密封瓶子，其內(nèi)部可以看成是由半徑為1cm和半徑為3cm的兩個(gè)圓柱組成的簡(jiǎn)單幾何體．當(dāng)這個(gè)幾何體如圖(2)水平放置時(shí)，液面高度為20cm，當(dāng)這個(gè)幾何體如圖(3)水平放置時(shí)，液面高度為28cm，則這個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的總高度為()A．29cm B．30cmC．32cm D．48cm[答案]A[解析]圖(2)和圖(3)中，瓶子上部沒有液體的部分容積相等，設(shè)這個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的總高度為h，則有π×12(h－20)＝π×32(h－28)，解得h＝29(cm)．4．下圖所示是一個(gè)幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，且正視圖、側(cè)視圖都是矩形，則該幾何體的體積是()A．24 B．12C．8 D．4[答案]B[解析]由三視圖該幾何體是兩個(gè)完全一樣的三棱柱．V＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×2×4×2＝12，故選B．二、填空題5．設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1、S2，體積分別為V1、V2，若它們的的側(cè)面積相等且S1S2＝94，則V1V2＝________.[答案]32[解析]設(shè)甲圓柱底面半徑r1，高h(yuǎn)1，乙圓柱底面半徑r2，高h(yuǎn)2，eq\f(S1,S2)＝eq\f(πr\o\al(2,1),πr\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，∴eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2)，又側(cè)面積相等得2πr1h1＝2πr2h2，∴eq\f(h1,h2)＝eq\f(2,3).因此eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr\o\al(2,1)h1,πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(3,2).6.一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為____.[答案]eq\f(10,3)[解析]由三視圖知，該幾何體由一個(gè)高為1，底面邊長(zhǎng)為2的正四棱錐和一個(gè)高為2，底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱組成，則體積為2×2×1×eq\f(1,3)＋1×1×2＝eq\f(10,3).三、解答題7．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示．已知正視圖是底邊長(zhǎng)為1的平行四邊形，側(cè)視圖是一個(gè)長(zhǎng)為eq\r(3)，寬為1的矩形，俯視圖為兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼成的矩形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的表面積S.[答案](1)eq\r(3)(2)6＋2eq\r(3)[解析](1)由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)平行六面體，如圖所示，其底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，高為eq\r(3)，所以V＝1×1×eq\r(3)＝eq\r(3).(2)由三視圖可知，該平行六面體中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，側(cè)面ABB1A1，CDD1C1均為矩形，S表＝2×(1×1＋1×eq\r(3)＋1×2)＝6＋2eq\r(3).8．某工廠為了制造一個(gè)實(shí)心工件，先畫出了這個(gè)工件的三視圖(如圖)，其中正視圖與側(cè)視圖為兩個(gè)全等的等腰三角形，俯視圖為一個(gè)圓(含圓心)，三視圖尺寸如圖所示(單位cm)．(1)求出這個(gè)工件的體積；(2)工件做好后，要給表面噴漆，已知噴漆費(fèi)用是每平方厘米1元，現(xiàn)要制作10個(gè)這樣的工件，請(qǐng)計(jì)算噴漆總費(fèi)用(精確到整數(shù)部分)．[解析](1)由三視圖可知，幾何體為圓錐，底面直徑為4cm，母線長(zhǎng)為3