新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.4.3第4課時余弦定理正弦定理應(yīng)用舉例課件

6.4.3

余弦定理、正弦定理第4課時

余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.了解實際測量中的專用名詞與術(shù)語.2.能用余弦定理、正弦定理解決簡單的距離、高度及角度等實際問題.3.培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑思想方法隨

堂

練

習(xí)

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、實際應(yīng)用問題中的專用名詞與術(shù)語【問題思考】1.填空:(1)基線:在測量過程中,我們把根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做基線.為使測量具有較高的精確度,應(yīng)根據(jù)實際需要選取合適的基線長度.一般來說,基線越長,測量的精確度越高.(2)仰角和俯角:在視線和水平線所成的角中,視線在水平線上方的角叫仰角,視線在水平線下方的角叫俯角(如圖①).(3)方位角:指從正北方向按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所轉(zhuǎn)過的水平角,如點B的方位角為α(如圖②).①②(4)方向角:從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向為始邊,順時針方向向西旋轉(zhuǎn)60°.2.做一做:從A處望B處的仰角為α,從B處望A處的俯角為β,則α,β的關(guān)系是(

)A.α>β

B.α=β

C.α+β=90°

D.α+β=180°解析:如圖,在A處望B處的仰角α與從B處望A處的俯角β是內(nèi)錯角,根據(jù)水平線平行,得α=β.答案:B二、解決實際問題的步驟【問題思考】1.解三角形應(yīng)用題的一般步驟:答案:C【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)若點A在點B的北偏西50°,則點B在點A的西偏北50°.(

×

)(2)方向角的取值范圍是0°~360°,方位角的取值范圍是0°~90°.(

×

)(3)方位角是270°的方向正好是正西方向.(

√

)(4)測量底部不能到達的建筑物的高度的方法是不唯一的.(

√

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

求距離問題分析:要求出A,B之間的距離,把AB放在△ABC(或△ADB)中,但不管在哪個三角形中,AC,BC(或AD,BD)這些量都是未知的.再把AC,BC(或AD,BD)放在△ACD和△BCD中求出它們的值.如圖,不可到達的A,B是地面上兩點,要測量A,B兩點之間的距離,步驟是:(1)取基線CD;(2)測量CD,∠ACB,∠BCD,∠ADC,∠BDA;(3)在△ACD中,解三角形得AC;在△BCD中,解三角形得BC;(4)在△ABC中,利用余弦定理得【變式訓(xùn)練1】

在某次軍事演習(xí)中,紅方為了準(zhǔn)確分析戰(zhàn)場形勢,在兩個相距為

的軍事基地C和D處測得藍方兩支精銳部隊分別在同一平面上的A處和B處,且∠ADB=30°,∠BDC=30°,∠DCA=60°,∠ACB=45°,如圖所示,求藍方這兩支精銳部隊之間的距離.探究二

求高度問題【例2】

在平地上有A,B兩點,點A在山坡D的正東,點B在山坡D的東南,而且在A的南偏西15°方向,且距A為

的地方,在A處測山坡頂C的仰角為30°,求山坡的高度.分析:欲求山坡的高度,只需求出AD,然后在Rt△ADC中求解.對于底部不可到達的建筑物的高度測量問題,我們可選擇一條過建筑物底部點的基線,在基線和基線所在的平面上取另外兩點,這樣四點可以構(gòu)成兩個小三角形.其中,把不含未知高度的那個小三角形作為依托,從中解出相關(guān)量,進而應(yīng)用到含未知高度的三角形中,利用正弦或余弦定理解決即可.【變式訓(xùn)練2】

在某點B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為θ,沿BE方向前進30m,至點C測得頂端A的仰角為2θ,再繼續(xù)前進m,至點D,測得頂端A的仰角為4θ,求θ的大小及建筑物的高.探究三

求角度問題【例3】

某漁船在航行中不幸遇險,發(fā)出求救信號,我海軍艦艇在A處獲悉后,立即測出該漁船在方位角為45°,距離為10km的C處,并測得漁船正沿方位角為105°的方向,以10km/h的速度向小島靠攏,我海軍艦艇立即以

km/h的速度前去營救,求艦艇的航向和靠近漁船所需的時間.1.三角形問題中,求某些角的度數(shù)時,最好用余弦定理,這是因為:余弦函數(shù)在區(qū)間(0,π)內(nèi)是單調(diào)遞減的,由所求得余弦值,不用判斷角的個數(shù)問題(主要區(qū)別鈍角、銳角問題),答案是唯一的,而正弦函數(shù)在區(qū)間(0,π)內(nèi)不是單調(diào)的,因而求出正弦值后有兩個角對應(yīng),還需判斷角的合理性.若用正弦定理求角,應(yīng)結(jié)合具體圖形來判斷角的解的個數(shù),也可盡量地利用直角三角形來解答.2.測量角度問題的情境屬于“根據(jù)需要對某些物體定位”,在實際應(yīng)用時,測量數(shù)量越準(zhǔn)確,定位精度越高.【變式訓(xùn)練3】

甲船在A處觀察乙船,乙船在它的北偏東60°的方向,兩船相距anmile,乙船正向北行駛,若甲船的速度是乙船速度的

倍,則甲船應(yīng)沿

方向行駛才能追上乙船.

解析:如圖,設(shè)到點C甲船追上乙船,甲船追上乙船所用的時間為t小時,乙船的速度為v

n

mile/h.答案:北偏東30°思想方法函數(shù)與方程思想在解三角形應(yīng)用舉例中的應(yīng)用【典例】

如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50m/min.在甲出發(fā)2min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1min后,再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為130m/min,山路AC長為1260m,經(jīng)測量,(1)求索道AB的長;(2)問:乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?a分析:(1)利用正弦定理求出AB的長;(2)先設(shè)再建立時間t與甲、乙間距離d的函數(shù)關(guān)系式,利用關(guān)系式求最值.(2)假設(shè)乙出發(fā)tmin后,甲、乙兩游客距離為d,此時甲行走了(100+50t)m,乙距離A處130tm,所以由余弦定理,得1.與函數(shù)思想相聯(lián)系的就是方程思想.所謂方程思想,就是在解決問題時,用事先設(shè)定的未知數(shù)溝通問題所涉及的各量間的制約關(guān)系,列出方程(組),從而求出未知數(shù)及各量的值,使問題獲得解決,所設(shè)的未知數(shù)溝通了變量之間的聯(lián)系.方程可以看做未知量與已知量相互制約的條件,它架設(shè)了由已知探索未知的橋梁.2.函數(shù)與方程思想在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用,本章在利用正、余弦定理求角或邊長時,往往滲透著函數(shù)與方程思想.【變式訓(xùn)練】

如圖,在地面上共線的三點A,B,C處測得一建筑物的仰角分別為30°,45°,60°,且AB=BC=60m,則建筑物的高度為(

)答案:D隨

堂

練

習(xí)1.已知A,B兩地相距10km,B,C兩地相距20km,且∠ABC=120°,則A,C兩地相距(

)答案:D2.如圖所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站C的北偏東40°,燈塔B在觀察站C的南偏東60°,則燈塔A在燈塔B的(

)A.北偏東10° B.北偏西10°C.南偏東10° D.南偏西10°解析:由題意可知,∠ACB=180°-40°-60°=80°,又AC=BC,∴∠CAB=∠CBA=50°,故A在B的北偏西10°.答案:B答案:D4.甲、乙兩樓相距20m,從