銳角三角函數(shù)導(dǎo)學(xué)案

第七章銳角三角函數(shù)（1）正切函數(shù)學(xué)習(xí)目的1、認識銳角的正切的概念。2、會求一種銳角的正切值。3、經(jīng)歷操作觀測思索求解等過程，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想措施。學(xué)習(xí)重點：銳角的正切的概念學(xué)習(xí)難點：銳角的正切的概念，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想措施知識要點在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的對邊與鄰邊的比值是∠A的正切，記作情境創(chuàng)設(shè)問題1.我們從家到學(xué)校，免不了要爬坡，有些坡好爬，有些坡爬起來很累，這是為何？觀測斜坡的傾斜程度，你有什么發(fā)現(xiàn)？怎樣刻畫斜坡的傾斜程度？如上圖，這兩個直角三角形中，∠C=∠C′=90°，且有一條直角邊相等，但斜邊不相等，哪個坡更陡？本節(jié)課我們研究兩直角邊的比值與銳角的關(guān)系，因此同學(xué)們首先應(yīng)思索：當(dāng)銳角固定期，兩直角邊的比值與否也固定？②給出正切概念：如圖，在Rt△ABC中，，把∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作：.二、經(jīng)典例題例1．根據(jù)下圖中所給條件分別求出下圖中∠A、∠B的正切值。通過上述計算，你有什么發(fā)現(xiàn)？互余兩角的正切值．例2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，AC=3,AB=5，求∠ACD、∠BCD的正切值。結(jié)論：等角的正切值．例3．如圖（1），∠A=30°，∠C=90°，根據(jù)三角函數(shù)定義求出30°、45°、60°的正切值．（1）（2）（3）例4．如圖，∠A=15°，∠C=90°，求出15°正切值．隨堂演習(xí)1.（1）在直角三角形ABC中，∠C=90°，b=9,a=12,則=，tanB=。（2）如圖，△ABC的三個頂點分別在正方形網(wǎng)格的格點上，則的＝．（3）在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,tanA=2，則BC長為。2.如圖，A、B、C三點在正方形網(wǎng)格線的交點處，若將△ACB繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AC’B’，則tanB’的值為（）A．B．C．D．ABABCC’B’3．Rt△ABC中，∠C=90°，若，則tanA=。4．在，若將各邊長度都擴大為本來的2倍，則∠A的正切值（）A．?dāng)U大2倍B．縮小2倍C．?dāng)U大4倍D．不變5.在Rt△ABC中∠A=75°，∠C=90°，求出75°正切值．9．等腰三角形ABC的底邊為10cm，周長為36cm，求tanC.AABC§7.2正弦、余弦(1)學(xué)習(xí)目的：1、認識銳角的正弦、余弦的概念。2、會求一種銳角的正弦、余弦值。3、經(jīng)歷操作觀測思索求解等過程，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想措施。教學(xué)重點：銳角的正弦、余弦的概念教學(xué)難點：銳角的正弦、余弦的概念，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想措施知識要點：1、正弦的定義如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角∠A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的______，記作________，即：sinA＝________=________.2、余弦的定義如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我們把銳角∠A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的______，記作=_________，即：cosA=______=_____。（你能寫出∠B的正弦、余弦的體現(xiàn)式嗎？）試試看____________________.教學(xué)過程一、情景創(chuàng)設(shè)1、問題1：如圖，小明沿著某斜坡向上行走了13m后，他的相對位置升高了5m，假如他沿著該斜坡行走了20m，那么他的相對位置升高了多少？行走了am呢？2、問題2：在上述問題中，他在水平方向又分別前進了多遠？20m13m20m13m3、B在△ABC中,∠C=90°.銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦,B記作sinA.CACA銳角A的鄰邊a與斜邊c的比叫做∠A的余弦,記作cosA.二、經(jīng)典例題例1.根據(jù)圖中數(shù)據(jù),分別求出∠A,∠B的正弦,余弦.練習(xí)：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為、、，且，，，下面四個式中錯誤的有()①sin；②cos；③tan；④sinA．1個B．2個C．3個D．4個例2、如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別是、、，：=2：3，求sinA與sinB的值。例3、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，CD⊥AB于D，AC=8。試求：⑴sinA的值；⑵cos∠ACD的值；⑶CD的長。練習(xí)：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，則sinA＝_____，cosA＝_____，sinB＝_____，cosB＝_____。在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，則sinA＝_____，cosB=_______,cosA=________,sinB=_______.3、如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9a，AC＝12a，AB＝15a，則tanB=________,cosB=______,sinB=_______4、比較：sin30°與sin60°的大小;cos30°與cos60°的大小?隨堂演習(xí)：(第2題)1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，則sinA=。(第2題)2．如圖，P是∠的邊OA上一點，且P點坐標(biāo)為（3,4），則sin=，cos＝.(第3題)3．如圖△ABC中，∠C=90°，sinA=，則BC：AC=()(第3題)A．3：4B．4：3C．3：5D．4：54．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，則cosB=()A．B．C．D．§7.2正弦、余弦(2)學(xué)習(xí)目的：1、認識銳角的正弦、余弦的概念。2、會求一種銳角的正弦、余弦值。3、經(jīng)歷操作觀測思索求解等過程，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想措施。教學(xué)重點：運用正弦余弦的有關(guān)概念處理問題。教學(xué)難點：運用正弦余弦的有關(guān)概念處理問題。復(fù)習(xí)導(dǎo)入如圖,在Rt△ABC中,∠C=90o,AC=12,BC=5.求:sinA、cosA、sinB、cosB的值.你發(fā)現(xiàn)sinA與cosB、cosA與sinB的值有什么關(guān)系嗎?結(jié)論：二、經(jīng)典例題比較大?、賡in40゜cos40゜②sin80゜cos30゜③sin45゜cos45゜2．已知α為銳角:（1）sinα=，則cosα=______,tanα=______,（2）cosα=，則sinα=______,tanα=______,（3）tanα=，則sinα=______,cosα=______,三．經(jīng)典例題例1、如圖，BC⊥AD于C，DF⊥AB于F，S△AFD:S△EFB=9，∠BAE=，求sin+cos的值；分析由已知易證Rt△AFD∽Rt△EFB，再根據(jù)S△AFD：S△EFB=9，可得AF：EF=3，AF=3EF；由勾股定理可求出AE=EF，從而輕易求得sin，cos的值。例2、如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥AB，AD=CD，BC=10，則AB的值是（）A．9B．8C．6D．3例3、如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于點E，EC=1，cosB=，求這個菱形面積。隨堂演習(xí)1．△ABC中，∠C=90°，若tanA，則sinA=。2．△ABC中，∠C=90°，AC=AB，則sinA=，tanB=。3.在Rt△ABC中,∠C=90o,且銳角∠A滿足sinA=cosA,則∠A的度數(shù)是()A.30oB.45oC.60oD.90o4.在Rt△ABC中,∠C=90o,sinA=,則BC:AC:AB等于()A.1:2:5B.C.D.5.如圖,在Rt△ABC中,CD是斜邊AB上的高,則下列線段的比中不等于sinA的是()A.B.(第6題)C.D.(第6題)6．如圖，自動扶梯AB段的長度為20米，傾斜角A為，高度BC為米(成果用含的三角函數(shù)表達)。7．△ABC中，∠C=90°，BC=2，AB=3，則下列結(jié)論對的的是()。A．B．C．D．7.34特殊角的三角函數(shù)與由三角函數(shù)值求銳角學(xué)習(xí)目的1.熟記30°、45°、60°特殊角的三角函數(shù)值，并運用其進行求值計算。2.會根據(jù)特殊角的正弦、余弦、正切值求該銳角的大小。3.經(jīng)歷操作觀測思索求解等過程，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想措施。學(xué)習(xí)重點運用三角函數(shù)有關(guān)概念處理問題教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)、歸納1．分別說出30°、45°、60°角的三角函數(shù)值。2.完畢下列表格三角函數(shù)值三角函數(shù)值三角函數(shù)θ30°45°60°sinθcosθtanθ二、典例分析例1．求下列各式的值。（1）2sin30°-cos45°（2）sin60°·cos60°（3）sin230°+cos230°練習(xí)：計算.（1）cos45°－sin30°（2）sin260°＋cos260°(3)tan45°－sin30°·cos60°(4)例2.求滿足下列條件的銳角α。(1)cosα=(2)2sinα=1(3)2sinα－=0(4)tanα－1=0練習(xí)：1.若sinα=,則銳角α=________.若cosα=1,則銳角α=_________.若∠A是銳角，且3tanA=,則cosA=_________.3.已知α為銳角,當(dāng)無意義時,求tan(α+15°)-tan(α-15°)的值.三、小結(jié)隨堂演習(xí)：1．sin30o的值等于.∠α的補角是120°,則∠α=______,sinα=______.2．下列計算錯誤的是()A．B．C．D．3.求滿足下列條件的銳角α:(1)cosα-=0(2)-tanα+=0(3)cosα-2=0(4)tan（α+10°）=4．計算(1)(2)5．已知tan2α－（1+）tanα+=0，求銳角α的度數(shù)．6．已知：如圖，在Rt△中，，．點為邊上一點，且，．求△周長．（成果保留根號）7．已知銳角△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c．（1）試闡明：S△ABC=absinC；（2）若a=30cm，b=36cm，∠C=30°，求△ABC的面積．7.5解直角三角形學(xué)習(xí)目的：1.理解直角三角形中5個元素的關(guān)系，會運用“勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余、銳角三角函數(shù)”解直角三角形。2.通過綜合運用“勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余、銳角三角函數(shù)”解直角三角形提高分析問題、處理問題的能力。3.培養(yǎng)學(xué)生對圖形的轉(zhuǎn)化能力。重點：邊角關(guān)系的靈活應(yīng)用難點：怎樣通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形，把問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的問題來處理問題。知識點：1．解直角三角形的定義：任何一種三角形均有六個元素，三條邊、三個角，在直角三角形中，已知有一種角是直角，我們把運用已知的元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形。2．解直角三角形的所需的工具。(1)兩銳角互余∠A＋∠B＝90°(2)三邊滿足勾股定理a2＋b2＝c2(3)邊與角關(guān)系sinA＝cosB＝EQ\f(a,c)，cosA＝sinB＝EQ\f(b,c)，tanA＝EQ\f(a,b)，tanB＝EQ\f(b,a)。3．一種直角三角形當(dāng)已知或已知，這個直角三角形就是可解的直角三角形4．解直角三角形的四種類型和解法如下表：類型已知條件解法兩邊兩直角邊a,bc=，tanA=，B=90°-A一直角邊a，斜邊cb=，sinA=，B=90°-A一邊一銳角一直角邊a，銳角AB=90°-A，b=atanB，c=斜邊c，銳角AB=90°-A，a=c·sinA，b=c·cosA5．解直角三角形時需要注意的幾種問題：（1）盡量使用原始數(shù)據(jù)，少用有誤差的近似值，使計算愈加精確。（2）非直角三角形問題，通過添加恰當(dāng)?shù)妮o助線轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題。（3）恰當(dāng)使用方程可使某些較復(fù)雜的解直角三角形問題化繁為簡、化難為易。（4）在選用三角函數(shù)時，盡量做乘法，防止除法，以使運算簡便。經(jīng)典例題：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為、、，由下列條件解直角三角形。⑴已知，∠B=60°⑵已知，（3）已知，∠A=60°配套練習(xí)：根據(jù)下列條件解直角三角形(1)在RtΔABC中，∠C＝90o，c＝10，∠A＝30o.(2）在RtΔABC中，∠C＝90o，a＝50，c＝.例2.如圖，已知在△ABC中，∠B=60°，AD=14，CD=12，S△ADC=，求BD的長。隨堂演習(xí)：1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=18，則AC=，BC=。2．在Rt△ABC中，∠C=90°，，，則∠A=，b=。3．在Rt△ABC中，∠C=90°，，，則tanB=，面積S=。4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC：BC=，AB=6，∠B=，AC=BC=。5．在下列直角三角形中不能求解的是（）A．已知一直角邊一銳角B．已知一斜邊一銳角C．已知兩邊D．已知兩角6.ΔABC中，∠A＋∠B＝90O,cosA＝，則sinB＝，若c＝10,則a＝．7.解直角三角形在Rt△ABC中8.為測量松樹AB的高度，一種人站在距松樹15米的E處，測得仰角∠ACD=52o,已知人的高度是1.72米，求樹高（精確到0.01米）（tan52o=1.2799）9．某塊綠地的形狀如圖所示，其中∠BAD=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的長。(參照數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414,eq\r(3)≈1.732,精確到1m)§7.6銳角三角函數(shù)的簡樸應(yīng)用（1）學(xué)習(xí)目的：1.經(jīng)歷探索實際問題的求解過程，深入體會三角函數(shù)在處理問題過程中的應(yīng)用。2.能把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能進行有關(guān)三角函數(shù)的計算并能對成果的實際意義進行闡明。3.對的理解“旋轉(zhuǎn)角、仰角、俯角、視線、方位角”從而對的理解實際問題，處理實際問題。重點：靈活應(yīng)用“銳角三角函數(shù)、勾股定理”解直角三角形難點：發(fā)現(xiàn)、構(gòu)造可解的直角三角形和需解的直角三角形方向角∠方向角∠1：北偏東30度?！?：南偏西60度旋轉(zhuǎn)角：∠旋轉(zhuǎn)角：∠AOB∠1是俯角，∠2仰角1122解題要領(lǐng)：把實際問題抽象為幾何問題，畫出幾何圖形，明確已知量和未知量，通過添加合適輔助線，構(gòu)造直角三角形，處理實際問題。問題引入：長為90CM的單擺AB旋轉(zhuǎn)30°后，最低點B升高了多少？經(jīng)典例題國慶長假，小明和同學(xué)一起到游樂場游玩，游樂場大型摩天輪的半徑為20米，旋轉(zhuǎn)一周需要12分鐘。小明乘坐最底部的車廂（離地面約0.5米）開始一周的觀光。（1）2分鐘后，小明離地面的高度是多少（精確到0.1米）？（2）摩天輪啟動多長時間后，小明和地面的高度將初次到達9m?(提醒cos55°=0.575)(3)小明將有多長時間持續(xù)保持在離地面9m以上的高度？例2．升國旗時，某同學(xué)站在離旗桿底部20m處行注目禮，當(dāng)國旗升至旗桿端時，該同學(xué)視線的仰角恰為40°，若雙眼離地面1.5m，則旗桿高度為多少m?（sin40°=0.64,tan40°=0.84）（圖6）例3．某商場為緩和本市“停車難”問題，擬建造地下停車庫，圖6是該地下停車庫坡道入口的設(shè)計示意圖，其中，AB⊥BD，∠BAD＝18o，C在BD上，BC＝0.5m．根據(jù)規(guī)定，地下停車庫坡道入口上方要張貼限高標(biāo)志，以便告知駕駛員所駕車輛能否安全駛?cè)耄∶髡J為CD的長就是所限制的高度，而小亮認為應(yīng)當(dāng)以CE的長作為限制的高度．小明和小亮誰說的對？請你判斷并計算出對的的成果．（成果精確到0.1m）參照數(shù)據(jù)：sin18°=0.31,cos18°=0.95，tan18°=0.32（圖6）隨堂演習(xí)：1．小明站在A處放風(fēng)箏，風(fēng)箏飛到C處時的線長為20米，這時測得∠CBD=60°，若牽引底端B離地面1.5米，求此時風(fēng)箏離地面高度。(計算成果精確到0.1米，)2．汶川地震后，搶險隊派一架直升飛機去A、B兩個村莊搶險，飛機在距地面450米上空的P點，測得A村的俯角為，B村的俯角為（如圖）．求A、B兩個村莊間的距離．（成果精確到米，參照數(shù)據(jù)）3．水平地面上的甲、乙兩樓的距離為30米，從甲樓頂部測得乙樓頂部的仰角為30°，測行乙樓底部的俯角為45°．求甲、乙兩樓的高度．§7.6銳角三角函數(shù)的簡樸應(yīng)用（2）學(xué)習(xí)目的：1.經(jīng)歷探索實際問題的求解過程，深入體會三角函數(shù)在處理問題過程中的應(yīng)用。2.能把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能進行有關(guān)三角函數(shù)的計算并能對成果的實際意義進行闡明。3.對的理解“旋轉(zhuǎn)角、仰角、俯角、視線、方位角”從而對的理解實際問題，處理實際問題。重點：借助列方程靈活應(yīng)用銳角三角函數(shù)解直角三角形難點：幾種可解的直角三角形和需解的直角三角形之間的聯(lián)絡(luò)解題要領(lǐng)：把實際問題抽象為幾何問題，畫出幾何圖形，通過添加合適輔助線構(gòu)造直角三角形，注意抓住幾種直角三角形之間的公共邊角，靈活應(yīng)用銳角三角函數(shù)借助列方程解直角三角形。問題引入：我校九年級某班在測量校內(nèi)旗桿高度的數(shù)學(xué)活動中，同學(xué)們設(shè)計了兩種測量方案，并根據(jù)測量成果填寫了如下《數(shù)學(xué)活動匯報》中的一部分．請你把下表中計算過程和成果填寫完整課題測量校內(nèi)旗桿高度目的運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)措施處理實際問題——測量旗桿高度方案BABACDMN方案二示意圖DDAMCNGB測量工具皮尺、測角儀皮尺、測角儀測量數(shù)據(jù)：，，，，計算過程（結(jié)果保留根號）解：解：測量成果經(jīng)典例題小明為了測量停留在空中的氣球的高度，他先在地面上找一點，站在這點測得氣球的仰角為27°，然后向氣球方向走了50米，測得氣球的仰角為40°。這時他就能算出氣球的高度了。他是怎樣求得氣球的高度呢？（小明的身高是1．6米）（tan27°=0.51,tan40°=0.84,成果精確到0．1米）27270400例2．如上圖所示，已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8.求：△ABC的面積(成果可保留根號).例3．如圖，小唐同學(xué)正在操場上放風(fēng)箏，風(fēng)箏從A處起飛，幾分鐘后便飛達C處，此時，在AQ延長線上B處的小宋同學(xué)，發(fā)現(xiàn)自己的位置與風(fēng)箏和旗桿PQ的頂點P在同一直線上.（1）已知旗桿高為10米，若在B處測得旗桿頂點P的仰角為30°，A處測得點P的仰角為45°，試求A、B之間的距離；（2）此時，在A處背向旗桿又測得風(fēng)箏的仰角為75°，若繩子在空中視為一條線段，求繩子AC約為多少？（成果可保留根號）圖圖隨堂演習(xí)：如圖，塔AB和樓CD的水平距離為80米，從樓頂C處與樓底D處測得塔頂A的仰角分別為45°和60°，試求塔高和樓高。2.如圖，飛機沿水平方向（A、B兩點所在直線）飛行，前方有一座高山，為了防止飛機飛行過低，就必須測量山頂M到飛行路線AB的距離MN.飛機可以測量的數(shù)據(jù)有俯角和飛行的距離（因安全原因，飛機不能飛到山頂?shù)恼戏絅處才測飛行距離），請設(shè)計一種距離MN的方案，規(guī)定：(1)指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表達，并在圖中標(biāo)出)；(2)用測出的數(shù)據(jù)寫出求距離MN的環(huán)節(jié).(2題圖)(2題圖)§7.6銳角三角函數(shù)的簡樸應(yīng)用（3）學(xué)習(xí)目的：1.對的理解“坡度、坡角、傾斜角”等在實際問題中的意義。2.能綜合運用解直角三角形的知識處理實際問題，深入培養(yǎng)“把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題”的能力．重點：用三角函數(shù)有關(guān)知識處理工程中的有關(guān)實際問題難點：根據(jù)處理問題的需要，對的添加輔助線，從而運用解直角三角形的措施處理實際問題知識點：坡度的概念，坡度與坡角的關(guān)系。如下圖，這是一張水庫攔水壩的橫斷面的設(shè)計圖，坡面的鉛垂高度與水平寬度的比叫做坡度(或坡比)，記作i，即i＝EQ\f(AC,BC)，坡度一般用l：m的形式，例如下圖中的1：2的形式。坡面與水平面的夾角叫做坡角。從三角函數(shù)的概念可以懂得，坡度與坡角的關(guān)系是i＝tanB，顯然，坡度越大，坡角越大，坡面就陡。（一）與（二）比較：（一）中坡度小，坡角∠A小，坡面平緩；（二）中坡度大，坡角∠A′大，坡面陡嘗試練習(xí)：(圖3)如圖3，一種小球由地面沿著坡度的坡面向上前進。(圖3)若小球升高了10m，此時小球沿坡面向上前進米；若小球沿坡面向上前進10m，此時小球升高米。典例剖析：例1．某數(shù)學(xué)活動小組組織一次登山話動。他們從山腳下A點出發(fā)沿斜坡AB抵達B點．再從B點沿斜坡BC抵達山巔