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Page127講導(dǎo)函數(shù)的混合還原知識與方法對于一個含有函數(shù)fx與其導(dǎo)函數(shù)f'x混合的不等式,多數(shù)同學(xué)對其意義感到困惑,導(dǎo)致解題思路受阻.解決此類問題,需要構(gòu)造新函數(shù),并根據(jù)題意判斷新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號,進(jìn)而利用其單調(diào)性加以解決.因此,正確還原出原函數(shù)(即新函數(shù)),便成為破題的關(guān)鍵.本講對這類問題進(jìn)行梳理.對于含有f1.基礎(chǔ)構(gòu)造(1)對于結(jié)構(gòu)f'x+(2)對于結(jié)構(gòu)f'x-(3)對于結(jié)構(gòu)式f'(x)g(x)+f(x)g(4)對于結(jié)構(gòu)f'x2.變形構(gòu)造(1)函數(shù)fx與x(1)對于xf'x(2)對于xf'x(3)一般地,對于mf'x+mfx(2)函數(shù)fx與e(1)對于f'x+f(2)對于f'x-(3)一般地,對于f'x+mfx,夠著函數(shù)(3)函數(shù)發(fā)fx與lnx對于f'(1)若f(x)>0,則構(gòu)造h(2)若f(x)<0,則構(gòu)造h(4)函數(shù)fx與sinx或cosx(1)對于fx+f(2)對于fx-f(3)對于f'x-(4)對于f'x+f典型例題逆用則【例1】已知fx,gx分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x<0時,f'xgA.-10C.-∞-【答案】A【解析】設(shè)hx=fxg所以當(dāng)x<0時,h'(x)<0,即函數(shù)又因為fx,gx所以函數(shù)hx為R上的奇函數(shù),則函數(shù)y=hx在因為f-1=0,所以h所以等式f(x)g(x)<0的解集為-10【例2】(多選)定義在0+∞上的函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為f'x且fA.f(B.f(C.f(D.f(【答案】ABC【解析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)x(x所以gx在0+∞即(化簡得f(x1)+f(由于2x>1,故g(2x由于x1同理x2x1+x取fx=1,符合題意,但fx綜上一定成立的有:ABC.方塞型【例3】已知定義在-∞0上的函數(shù)fx等式中一定成立的是()A.f(-e)C.f(-e)【答案】C【解析】令gx=x因為當(dāng)x<0時,2f(x)+x此時g'(x)>0,于是g所以g(-即e2f(-e)<e【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、構(gòu)造函數(shù)比較大小.構(gòu)造函數(shù)gx=x2fx,由2f(x)+xf聯(lián)系已知條件和結(jié)論,準(zhǔn)確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關(guān)鍵;解這類不等式的關(guān)鍵點也是難點就是構(gòu)造合適的函數(shù),構(gòu)造函數(shù)時往往從兩方面著手:(1)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”;(2)若是選擇題,也可尋找符合題設(shè)的特殊函數(shù).【例4】設(shè)函數(shù)fx是定義在-∞0上的可導(dǎo)函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為0,則不等式(x+2019)【答案】-【解析】根據(jù)題意,令gx所以g因為x∈-∞0時,所以gx在-又不等式(x+2019可化為(x+2019)即g(x+2019)>g(-3)解得-2022所以該不等式的解集是-2022故答案為:(-2022,-2019).【點睛】本題根據(jù)題意,構(gòu)造函數(shù)gx=x3f指數(shù)型【例5】定義在R上的函數(shù)fx滿足:f(x)>1-f'(x),f(0)=0,fA.0+∞C.-∞0【答案】A【解析】由f(x)>1-f'(x)知f(x)+f'(x)>1,exf(x)+exf'(x)>e【例6】已知函數(shù)f'x是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù),f1=e22(其中A.-∞1 B.1+∞【答案】A【解析】令gx=2fxex+1-1,則g'(x)=2(即g(x)<g(1),故x<1,不等式2f(x)<ex+1【例7】已知定義域為R的函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為f'x,且滿足f'(x)A.0+∞ B.-1+【答案】【解析】設(shè)Fx=fx+2e2x即函數(shù)Fx在定義域上單調(diào)遞增,因為f0=所以不等式f(x)+2>e2x等價于不等式f(x)+2e2x>1,即F(x)>F(0)【點睛】求解這類問題要通過對問題的條件和結(jié)論進(jìn)行對比、概括,準(zhǔn)確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關(guān)鍵;求解這類不等式的關(guān)鍵點和難點就是構(gòu)造函數(shù).對數(shù)型【例8】已知定義在e+∞上的函數(shù)fx滿足f(x)+xln?xf'(x)<0且fA.e2021 B.2021+∞ C.【答案】A【解析】因為定義在e,+∞上的函數(shù)fx滿足f(x)+xln?則g'(x)=f所以gx在e,+∞所以g2021要求f(x)>0,因為ln?x>0,所以只需所以e?x<2021故選:A.【點睛】本題由已知條件構(gòu)造函數(shù)gx結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值,即可f(x)>0【例9】設(shè)函數(shù)fx是定義在區(qū)間12+∞上的函數(shù),f'x是函數(shù)fA.1B.1C.0D.-【答案】C【解析】依題意,xf'(x)ln構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)ln?2x(x>1又ge2=fe2即g(e根據(jù)gx的定義域及單調(diào)性,可得12<ex2<e2【點睛】本題通過構(gòu)造函數(shù)gx=f三角函數(shù)型【例10】設(shè)函數(shù)fx在R上的存在導(dǎo)數(shù)為f'x,當(dāng)x∈0+∞A.f(5π6C.f(-5【答案】C【解析】令gx=fx當(dāng)x∈0+∞時,g'(x)=所以g所以g所以g所以f-5π又g(4π3所以答案為:C.綜合應(yīng)用型【例11】設(shè)函數(shù)fx滿足x2f'A.有極大值,無極小值B.有極小值,無極大值C.既有極大值又有極小值D.既無極大值也無極小值【答案】D【解析】x2f令hx=當(dāng)x>2時,h'(x)當(dāng)0<x<2時,h'(x)又h2=0,所以當(dāng)x>0時,函數(shù)h即當(dāng)x>0時,hx?0,所以f'x=hxx【例12】設(shè)函數(shù)fx在R上存在導(dǎo)函數(shù)f'x,對任意的實數(shù)x都有fx=f-x+2x,當(dāng)xA.-12+C.-1+∞【答案】A【解析】設(shè)gx則gx所以gx=g-當(dāng)x>0時,g而f'(x)>2x+1所以gx在0因為fa+1?f-a故選:A.【例13】設(shè)函數(shù)fx在R上存在導(dǎo)數(shù)f'x,對于任意的實數(shù)x,有fx+f-x=2x【答案】-【解析】解法1::特殊函數(shù)法取函數(shù)fx因為fx對稱軸為x=1,所以f所以原不等式等價于2m+2?0,所以m∈解析2:構(gòu)造函數(shù)法因為x?0時,f'構(gòu)造函數(shù)gx=fx所以gx所以gx由(1)式可得gx在-∞0上單調(diào)遞減,所以gx在0+∞上也單調(diào)遞減,fx在R上可導(dǎo)可得g于是f2+m-f-m?2m+2?gm+2強(qiáng)化訓(xùn)練1.設(shè)fx,gx分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x<0時,fx滿足fA.-B.-C.-D.-【答案】C【解析】令hx=fxgx奇函數(shù).(1)因為當(dāng)x<0時,h'(x)=f上單調(diào)遞增.因為h-3=f-3g-3=0,所以不等式f(x)g(x)<0等價于h(x)<h-單調(diào)遞增,且h3=-h-3=0,所以h(x)故選:C.2.已知fx是定義在-∞+∞上的函數(shù),f'A.f(x)>0B.f(x)<0C.fD.當(dāng)x∈-∞1時,f(x)【答案】A【解析】設(shè)gx=x所以函數(shù)gx在R又因為g1=0,所以x>1時,g(x)所以x>1時,(x-1)f(x)所以x<1時,(x-1)f(x)所以f(x)>0故答案為:A3.已知定義域為R的偶函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為f'x,對任意x∈0+∞【答案】-【解析】因為fx是R上的偶函數(shù),所以gx=因為對任意x∈(0,+所以g所以gx=x不等式g(2x)<g(1所以|2x|<|1-x|,即(2x)2解得-1<x<14.若fx是定義在D=-∞0∪0+(1)bf(a)>af(b),(2)bf(a)<af(b),(3)af(a)>bf(b)其中一定成立的是【答案】(1)【解析】由xf'(x)即xf'(x)所以y=fxx在-∞0和0+∞單調(diào)遞增,因為b5.已知函數(shù)fx的定義域是R,f0=2,對任意x∈R,f(x)+【答案】0【解析】構(gòu)造函數(shù)gx=ex?fx-ex,因為g'6.定義在R上的函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為f'x,f0=0,若對任意x∈A.-∞1 B.-∞0【答案】【解析】構(gòu)造函數(shù):gx因為對任意x∈R,都有所以g'所以函數(shù)gx在R由f(x)+ex<1化為:所以使得f(x)+ex<1成立的故選:D.7.已知函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)f'x滿足(x+xln?A.2f(1)>f(e) B.C.2f(1)<f(e) D.【答案】【解析】令gx由(x+xln?x)f'(x)所以g'故gx在1e+∞遞減;則g(e)<g(1)故選:A.8.定義在0π2上的函數(shù)fxA.3B.f(1)C.2D.3【答案】A【解析】因為x∈0π由f(x)>f'即f'(x)sin?則g'所以函數(shù)gx在0所以f(π4)故選:A.9.已知函數(shù)fx的定義域為-π2π2,f'xA.-π2πC.π4π2【答案】C【解析】構(gòu)造函數(shù)gx=fxcosx,因為f'即g(x)<g(π4),所以10.已知定義在0+∞上的連續(xù)函數(shù)fx滿足:xfA.有極小值,無極大值B.有極大值,無極小值C.既有極小值又有極大值D.既無極小值也無極小值【答案】A【解析】令g(x)=f(x)x(x>0),則g'(x)=xf所以f'x在0所以f'x在即f'x在所以由極值的定義得:fx有極小值,無極大值.故選A11.設(shè)函數(shù)f'x是函數(shù)fxx∈R的導(dǎo)函數(shù),若fxA.-∞2 B.12+【答案】B【解析】令Fx又當(dāng)x>0時,f'(x)所以Fx在0由,可得,故為偶函數(shù),不等式化為,所以,所以由函數(shù)單調(diào)性可知:,解得,故選:.12.設(shè)是定義在上的函數(shù),對任意的,恒有成立,函數(shù)滿足,則
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