強(qiáng)磁場(chǎng)中的能級(jí)級(jí)結(jié)構(gòu)

強(qiáng)磁場(chǎng)中的能級(jí)級(jí)結(jié)構(gòu)

1.非微擾方法的應(yīng)用自離子理論誕生以來，原子在磁體中的輻射結(jié)構(gòu)和復(fù)雜的動(dòng)態(tài)特性一直是人們研究和關(guān)心的問題?？紤]到磁體工程效應(yīng)的原子和分子物理參數(shù)在許多領(lǐng)域的應(yīng)用，如天文學(xué)和太空物理、原子分子光譜學(xué)、固體和輻射物理等。另一方面，從基礎(chǔ)研究的角度來看，由于電子對(duì)稱性（球?qū)ΨQ）和磁體（軸對(duì)稱性）的共同作用，均勻磁體的原子體系成為一個(gè)非分離變量系統(tǒng)，因此很難準(zhǔn)確解決schr9正交方程。這也給了該問題一個(gè)很好的基礎(chǔ)研究挑戰(zhàn)。實(shí)驗(yàn)室中可產(chǎn)生穩(wěn)恒強(qiáng)磁場(chǎng)的強(qiáng)度一般在幾十個(gè)特斯拉(T)的水平.對(duì)于這個(gè)強(qiáng)度的磁場(chǎng),傳統(tǒng)的微擾理論模型可以對(duì)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)給出較好的描述.其原因是:當(dāng)由于外部磁場(chǎng)導(dǎo)致的抗磁項(xiàng),遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電子-核之間的庫侖相互作用項(xiàng)時(shí),具有軸對(duì)稱性的抗磁項(xiàng)可以當(dāng)成微擾處理或者忽略不計(jì),所以傳統(tǒng)的微擾理論還是適用的.但隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的增強(qiáng),抗磁作用與原子中的庫侖作用可以相比擬時(shí),兩者均不能單獨(dú)作為微擾處理,特別是隨著20世紀(jì)70年代的天文觀測(cè)中發(fā)現(xiàn)在白矮星(102—105T)和中子星(107—109T)上存在著非常強(qiáng)的磁場(chǎng),發(fā)展非微擾方法同時(shí)精確處理中心對(duì)稱的庫侖作用和軸對(duì)稱的磁場(chǎng)效應(yīng)成為研究的重點(diǎn).在過去的20余年中,人們已經(jīng)發(fā)展了包括:finite-element,Kantorvich,半經(jīng)典閉合軌道理論,finitebasisexpansion[12—15],和powerseriesexpansion等非微擾方法研究強(qiáng)磁場(chǎng)中的原子能級(jí)結(jié)構(gòu)、輻射躍遷等動(dòng)力學(xué)過程.這些先進(jìn)的非微擾理論方法不僅被應(yīng)用于計(jì)算用于模擬強(qiáng)磁場(chǎng)天體大氣需要的原子能級(jí)結(jié)構(gòu)參數(shù),而且開始在Z箍縮和激光驅(qū)動(dòng)慣性約束聚變等離子體診斷中發(fā)揮重要的作用.然而,在上述方法中電子波函數(shù)的計(jì)算通常非常繁瑣,難以完成整套Z箍縮、慣性約束聚變和白矮星大氣等強(qiáng)磁場(chǎng)中的等離子體研究所需的大量的原子參數(shù)計(jì)算.另外,這些方法也不容易推廣到原子與交叉電磁場(chǎng)相互作用的情況.與原子的能級(jí),振子強(qiáng)度,光電離截面的研究相比,關(guān)于磁場(chǎng)中原子的四極矩研究相對(duì)少了很多.我們知道,四極矩Qαβ是一個(gè)重要的物理量,可以用以衡量體系偏離球?qū)ΨQ性的程度.在一定條件下,四極矩Qαβ能夠顯著地影響原子-原子之間的相互作用.例如,分子間常見的VanderWaals吸引力主要來源于原子-原子間的四極矩相互作用而不是偶極相互作用.此外,四極矩的計(jì)算精度對(duì)波函數(shù)的精度特別敏感,可以用于對(duì)波函數(shù)進(jìn)行更嚴(yán)格的檢驗(yàn).本文將發(fā)展一套簡(jiǎn)單、高效、高精度的非微擾量子理論方法求解強(qiáng)磁場(chǎng)中的Schr?dinger方程,并將其用于研究強(qiáng)磁場(chǎng)中的原子能級(jí)結(jié)構(gòu)問題.以氫原子與強(qiáng)磁場(chǎng)的相互作用為例,計(jì)算了磁場(chǎng)范圍為0—2.35×109T之間氫原子基態(tài)和低激發(fā)態(tài)的能級(jí)結(jié)構(gòu)和四極矩.2.cwdvr模型采用原子單位(如無特殊聲明,下文均統(tǒng)一使用原子單位),均勻強(qiáng)磁場(chǎng)中氫原子非相對(duì)論哈密頓量可以表示為式中,前兩項(xiàng)是無外場(chǎng)時(shí)氫原子的哈密頓;第三項(xiàng)表示原子-磁場(chǎng)間的順磁作用;第四項(xiàng)表征抗磁作用;無量綱數(shù)ξ=B/B0,B0=2.3505×105T為一個(gè)原子單位的磁場(chǎng)強(qiáng)度.我們假定穩(wěn)恒磁場(chǎng)的方向?yàn)閦方向,質(zhì)子質(zhì)量相對(duì)于電子質(zhì)量是無窮大,忽略了磁場(chǎng)對(duì)體系質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的修正.這里還忽略了電子自旋-磁場(chǎng)相互作用項(xiàng),因?yàn)樵撓嗷プ饔脙H僅導(dǎo)致相同的能量零點(diǎn)平移.由方程(1)可知,除了體系的總能量以外,還有另外兩個(gè)守恒量即:軌道角動(dòng)量的z分量和z宇稱.因此可以分別研究不同磁量子數(shù)m和宇稱πz=±1的氫原子本征態(tài)的能量和本征波函數(shù).首先,將方程(1)中總的哈密頓量H分解為這里,為不含外場(chǎng)的零級(jí)項(xiàng).磁場(chǎng)和原子相互作用導(dǎo)致的順磁作用項(xiàng)為抗磁作用項(xiàng)為注意到順磁作用V1與零級(jí)哈密頓量H0對(duì)易,在譜表象(spectralrepresentation,SR)里可以表示為對(duì)角矩陣,記為這里,|nlm〉是氫原子在無外場(chǎng)環(huán)境下的本征函數(shù),記為其中Plm(cosθ)為歸一化的連帶勒讓德函數(shù),unl(r)是徑向Schr?dinger方程的本征函數(shù),滿足在實(shí)際的計(jì)算中,unl(r)可以通過矩陣對(duì)角化的方式得到,并利用有限個(gè)平方可積的譜函數(shù)構(gòu)造SR表象的基矢.在此表象下,零級(jí)哈密頓量H0的矩陣元可表示為為了構(gòu)造完整的哈密頓矩陣元,還需要計(jì)算矩陣元〈n′l′m′|V2|nlm〉.如果直接在SR表象下計(jì)算這個(gè)矩陣元需要求兩重積分(因?yàn)檫@里m是好量子數(shù),省略了一重積分).為了得到收斂的結(jié)果,當(dāng)磁場(chǎng)較強(qiáng)時(shí)所需展開基矢的數(shù)目將非常可觀.對(duì)于矩陣對(duì)角化的計(jì)算而言,耗費(fèi)的機(jī)時(shí)基本上與基矢的數(shù)目為平方標(biāo)度關(guān)系.這對(duì)于大規(guī)模計(jì)算強(qiáng)磁場(chǎng)中的原子參數(shù)而言是難以承受的.考慮到抗磁作用項(xiàng)V2在坐標(biāo)表象(coordinaterepresentation,CR)下可表示成一對(duì)角矩陣.我們將分別在SR表象和CR表象下計(jì)算V1和V2相互作用矩陣元,利用快速的表象變換避免費(fèi)時(shí)的直接雙重積分,使得計(jì)算效率得以提高.在CR表象下,將波函數(shù)離散在三維網(wǎng)格點(diǎn)上這里|α(r)〉,|β(θ)〉和|γ(φ)〉分別是坐標(biāo)r,θ和ue788的本征函數(shù),相應(yīng)的本征值為rα,θβ和φγ.將與方位角ue788相關(guān)的運(yùn)動(dòng)展開在基函數(shù)上.相應(yīng)的譜重疊積分〈m′|m〉可以通過快速Fourier積分來計(jì)算.CR表象和SR表象間相應(yīng)的轉(zhuǎn)換矩陣元Φγm可以定義如下:這就是所謂的二維Gauss-Legendre-Fourier格點(diǎn).為了精確而且有效率的描述庫侖長(zhǎng)程相互作用和處理庫侖奇點(diǎn)問題,將徑向部分|α(r)〉離散在CWDVR(theCoulombwavediscretevariablerepresentation)格點(diǎn)上.使用正能態(tài)的庫侖波函數(shù)v(r)來構(gòu)造CWDVR表象.v(r)滿足如下方程:這里,ε,Z和λ分別表示參考體系的能量、核電荷數(shù)和角動(dòng)量.λ在我們的計(jì)算中,選為0.首先定義CWDVR基準(zhǔn)函數(shù)這里rα是v(r)的位于正半軸上的零點(diǎn);,aα=v′(rα)是v(r)的一階導(dǎo)數(shù)在r=rα處的值.在CWDVR坐標(biāo)表象中,約化的徑向哈密頓算符可以寫為這里,.將動(dòng)能算符和勢(shì)能算符在CWDVR坐標(biāo)表象中表示出來,可以得到將CWDVR表象下的哈密頓矩陣對(duì)角化,得到的本征值定義成譜函數(shù)的能量,相應(yīng)的本征矢量Rαnl定義成CWDVR和SR能譜表象間相應(yīng)的轉(zhuǎn)換矩陣在CWDVR表象中,抗磁作用V2為對(duì)角矩陣,其矩陣元為至此,強(qiáng)磁中氫原子總的哈密頓量在SR表象中記為在CWDVR表象中記為這里,L為三維SR表象和CWDVR坐標(biāo)表象間的變換矩陣,記為這樣,通過使用快速的表象表換替換了原先費(fèi)時(shí)的雙重積分.值得一提的是,CWDVR是一個(gè)非均勻網(wǎng)格,其在原子核附近具有更多更密的格點(diǎn),而在遠(yuǎn)區(qū)CWDVR給出近似均勻的網(wǎng)格.令;.針對(duì)不同體系,可以調(diào)節(jié)不同的κ,η值,使得構(gòu)造的CWDVR基矢最優(yōu)化.κ決定了遠(yuǎn)區(qū)網(wǎng)格點(diǎn)的分布和所能表示的最大的能量范圍.η影響近核區(qū)的網(wǎng)格點(diǎn)的分布密度.在文獻(xiàn)的算例中可以看到:僅需很少的網(wǎng)格點(diǎn)便可對(duì)原子結(jié)構(gòu)給出非常精確的描述,是處理含庫侖奇點(diǎn)問題的理想網(wǎng)格.這里徑向的CWDVR網(wǎng)格和角向的GaussLegendre-Fourier網(wǎng)格構(gòu)成了三維空間直積表示,使得SR表象和CR表象間的三維變換矩陣可以分解為三個(gè)一維空間變換矩陣的乘積,從而極大地提高了計(jì)算的效率.在三維直積空間網(wǎng)格上,哈密頓量是一個(gè)稀疏矩陣,其本征值和本征矢可由迭代方法利用優(yōu)化程序包ARPACK并行高速求出.其計(jì)算量與空間網(wǎng)格或基矢數(shù)目基本為線形標(biāo)度關(guān)系.將方程(18)中的譜表象哈密頓量或方程(19)中的坐標(biāo)表象哈密頓量對(duì)角化,可得強(qiáng)磁場(chǎng)中的氫原子能級(jí)和波函數(shù).為了和文獻(xiàn)上的結(jié)果相比較,下面給出的氫原子各個(gè)束縛態(tài)的結(jié)合能Eb等于總的哈密頓量對(duì)角化后的各個(gè)本征值減去相應(yīng)的朗道能級(jí)得到了體系的電子波函數(shù),可以計(jì)算所有可觀測(cè)量的平均值,比如:四極矩Qαβ.由于我們定義磁場(chǎng)的方向沿著Z軸,所以,四階張量Qαβ的各個(gè)分量滿足以下關(guān)系:利用恒等式〈r2〉≡〈x2〉+〈y2〉+〈z2〉,可知在球坐標(biāo)下上述的理論方法并不需要對(duì)場(chǎng)的具體形式進(jìn)行特別的限定,所以可直接推廣到原子與任意方向的交叉電磁場(chǎng)相互作用的研究,具有很強(qiáng)的普適性.實(shí)際上,我們已經(jīng)將該方法成功地應(yīng)用于激光與原子相互作用的研究.3.結(jié)果與分析3.1.算法的基本思想CWDVR基函數(shù)有4個(gè)可優(yōu)化的參數(shù)n,l,κ和η.如何優(yōu)化這些參數(shù),快速得到計(jì)算收斂的結(jié)果是一個(gè)值得研究的問題.下面以ξ=10氫原子能級(jí)結(jié)構(gòu)計(jì)算為例,具體說明我們發(fā)展的快速收斂的計(jì)算方法.在4個(gè)參數(shù)中,n,l的大小決定了整個(gè)展開基矢的數(shù)目或者說希爾伯特空間的大小.選取的n,l的數(shù)目越大,意味著展開的基矢越趨向完備,但是由于計(jì)算量和基矢數(shù)目的平方成正比,即意味計(jì)算效率越低.如前所述,κ決定了遠(yuǎn)區(qū)CWDVR網(wǎng)格點(diǎn)的分布和該網(wǎng)格所能表示最大的能量.κ越大,該CWDVR網(wǎng)格點(diǎn)對(duì)高能的部分描述的更準(zhǔn)確.η的絕對(duì)值越大,近核區(qū)的網(wǎng)格點(diǎn)的分布越密,對(duì)于離核附近的波函數(shù)刻畫得更為準(zhǔn)確.基于4個(gè)CWDVR參數(shù)的特點(diǎn),本文提出了一套確實(shí)可行的能夠快速得到收斂結(jié)果的計(jì)算方法.具體如下:首先,根據(jù)具體的情況和經(jīng)驗(yàn),選定初始的4個(gè)參數(shù).基本的原則是:n,l的大小要合適.如果n,l選擇過大,將降低優(yōu)化過程的效率.如果n,l選擇過小,則得不到收斂的結(jié)果.對(duì)于這個(gè)特定的例子(ξ=10),結(jié)合實(shí)際的計(jì)算資源,初始的n=100,l=20,η和κ分別取-16.0,5.00.固定參數(shù)n,l,分別單獨(dú)變化參數(shù)κ和η直至得到收斂的結(jié)果.如表1所示,隨著參數(shù)κ從5增大到20,氫原子基態(tài)的結(jié)合能Eb,四極矩Qzz和〈r2〉的數(shù)值在第13位有效數(shù)字上已經(jīng)收斂.將η的絕對(duì)值增到32(相當(dāng)于增加了近核區(qū)間的網(wǎng)格點(diǎn))結(jié)果收斂.使用聯(lián)想的微機(jī)(CPU主頻2.83GHz,3G的內(nèi)存),串行地完成每一次計(jì)算,耗時(shí)不超過10s.其次,固定3個(gè)參數(shù)n,κ和η,單獨(dú)變化參數(shù)l直至得到收斂的結(jié)果.這里先優(yōu)化參數(shù)l的原因是:ξ=10的磁場(chǎng)即便是對(duì)于氫原子基態(tài)而言也是比較強(qiáng)的,體系的對(duì)稱性更趨向于軸對(duì)稱,需要考慮更多的分波.相對(duì)于參數(shù)n來說,參數(shù)l的變化對(duì)計(jì)算結(jié)果更為敏感.例如:當(dāng)l從20變?yōu)?0時(shí),結(jié)合能E在第7位有效數(shù)字上有差異;Qzz和〈r2〉的數(shù)值分別在第3—2位有效數(shù)字上有差異.當(dāng)l逐漸增加,分別取30,50和70時(shí),Eb,Qzz和〈r2〉的數(shù)值逐步收斂.由此也能發(fā)現(xiàn),Qzz和〈r2〉對(duì)波函數(shù)的精度更為敏感.當(dāng)l從50增加到70后,Eb數(shù)值的差異在第12位有效數(shù)字上;Qzz和〈r2〉的數(shù)值差異分別在第9位和第8位有效數(shù)字上.進(jìn)一步增加l的取值到100,三組數(shù)值沒有顯著的變化.這時(shí)暫時(shí)將l的值固定為70.最后,固定3個(gè)參數(shù)l=70,κ=20和η=-32,單獨(dú)檢驗(yàn)參數(shù)n的收斂性.當(dāng)n的數(shù)目增加到130時(shí),Eb,Qzz和〈r2〉的數(shù)值已經(jīng)收斂,有11位有效數(shù)字的精度.至此,對(duì)于這個(gè)磁場(chǎng)強(qiáng)度,我們得到了一組優(yōu)化的基矢.對(duì)于實(shí)際的應(yīng)用,并不需要對(duì)于每一個(gè)磁場(chǎng)強(qiáng)度都進(jìn)行這樣的基組優(yōu)化.可以選擇一個(gè)恰當(dāng)大的磁場(chǎng)范圍,對(duì)該范圍內(nèi)最大、最小兩個(gè)磁場(chǎng)強(qiáng)度同時(shí)進(jìn)行統(tǒng)一的優(yōu)化.如果優(yōu)化出來的基組對(duì)于這兩個(gè)磁場(chǎng)強(qiáng)度都能得到令人滿意的精度,那么經(jīng)過優(yōu)化的基組可以適用于整個(gè)磁場(chǎng)范圍內(nèi)的所有計(jì)算.3.2.dvr和cwdvr基佐的選擇表2給出了氫原子基態(tài)的結(jié)合能Eb,〈r2〉以及四極矩Qzz隨磁場(chǎng)強(qiáng)度的變化.其中“A”是本文的數(shù)值結(jié)果.“A”右上角標(biāo)的數(shù)字表示不同的CWDVR展開基矢.表中括號(hào)里面的數(shù)字表示取不同的分波數(shù),數(shù)值結(jié)果的差異.“B”是Zhao等人使用B-splines方法計(jì)算得到的磁場(chǎng)中氫原子Eb的結(jié)果.“C”表示Kravchenko和Liberman使用冪級(jí)數(shù)展開的方法得到的氫原子能級(jí)結(jié)構(gòu);“D”是Potekhin和Turbiner計(jì)算的磁場(chǎng)中氫原子的四極矩Qzz;“E”表示Baye等人基于Lagrangemesh方法得到的能級(jí)結(jié)構(gòu)和四極矩Qzz.如表2所示,本文的數(shù)值結(jié)果Eb,〈r2〉和Qzz均達(dá)到了10到12位有效數(shù)字的精度,和其他的高精度計(jì)算結(jié)果非常好地符合.值得指出的是,〈r2〉和Qzz相對(duì)于結(jié)合能Eb,對(duì)波函數(shù)的數(shù)值精度更加敏感,所以表2的結(jié)果同時(shí)表明:我們的波函數(shù)精度得到了更為嚴(yán)格的檢驗(yàn).當(dāng)ξ=0—1.0時(shí),相對(duì)于其他高精度計(jì)算方法而言,CWDVR譜方法的計(jì)算效率更高.比如:ξ為0.01時(shí),使用很小的基組規(guī)模(n=20,l=8)便可得到收斂的結(jié)果.即便是磁場(chǎng)強(qiáng)度增強(qiáng)到1.0,所需的基矢規(guī)模也不大(n=30,l=30).這是由于該方法自身的特點(diǎn)決定的.在構(gòu)造CWDVR基矢的時(shí)候,利用了正能態(tài)的庫侖波函數(shù)來構(gòu)造基準(zhǔn)函數(shù),所以該方法能內(nèi)稟的處理庫侖奇點(diǎn)問題.此外,DVR方法能夠在保證計(jì)算精度的前提下,大幅節(jié)省數(shù)值計(jì)算的網(wǎng)格點(diǎn).當(dāng)庫侖相互作用比較強(qiáng),磁的作用相對(duì)比較弱的時(shí)候,CWDVR基矢是一個(gè)精度很高而且非常有效率的選擇.在表2中,ξ=0.01—1.0時(shí),〈r2〉以及四極矩Qzz高精度的結(jié)果為首次給出.當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度非常強(qiáng)的時(shí)候,體系基態(tài)的對(duì)稱性從原來的球?qū)ΨQ逐漸偏向軸對(duì)稱,這種方法需要較大規(guī)模的基組才能得到收斂的結(jié)果.如文獻(xiàn)所述,對(duì)于超強(qiáng)磁場(chǎng)選用半拋物坐標(biāo)系是更簡(jiǎn)單有效的選擇.表3給出了磁場(chǎng)中氫原子m=-2能量最低量子態(tài)的結(jié)合能Eb,〈r2〉以及四極矩Qzz.為了統(tǒng)一起見,和表2的標(biāo)識(shí)一樣,“A”表示本文的數(shù)值結(jié)果.“A”右上角標(biāo)的數(shù)字表示不同的CWDVR展開基矢.ξ=1.0和10時(shí),本文自身收斂的結(jié)果(氫原子m=-2能量最低量子態(tài)的結(jié)合能Eb,〈r2〉和Qzz)分別有11和10位有效數(shù)字,同樣和其他高精度的計(jì)算結(jié)果非常好地符合.在表3中,ξ=0.01—1.0,〈r2〉以及四極矩Qzz高精度的結(jié)果也是首次給出.相同的磁場(chǎng)強(qiáng)度下,相對(duì)于m=0能量最低的量子態(tài)1s0,m=-2能量最低量子態(tài)的3d-2的波函數(shù)在位型空間拓展的更遠(yuǎn).比如:ξ=0.01時(shí),1s0的〈r2〉約為3a.u.;3d-2的〈r2〉約為119a.u..所以在保證計(jì)算精度相當(dāng)?shù)那疤嵯?需要更大規(guī)模的基組.圖1和圖2展示了氫原子的低激發(fā)態(tài)結(jié)合能Eb隨磁場(chǎng)強(qiáng)度ξ變化的關(guān)系.如方程(21)所示,我們選擇作為體系的能量零點(diǎn)(如圖1中紅實(shí)線所示).如兩幅圖所示,各個(gè)能級(jí)的結(jié)合能均隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的增強(qiáng)而增加.一般來說,主量子數(shù)較低的能級(jí),由于自身束縛能比較大,磁場(chǎng)對(duì)其的影響較小.當(dāng)ξ約為0.31時(shí),3d-1的結(jié)合能已經(jīng)和2s的結(jié)合能相當(dāng).磁場(chǎng)強(qiáng)度為0時(shí),氫原子的2s,2p0和2p-1能量簡(jiǎn)并.在磁場(chǎng)的作用下,能級(jí)發(fā)生退簡(jiǎn)并.隨著磁場(chǎng)的增強(qiáng),可以觀察到軌道角動(dòng)量l較大的能級(jí),更容易受到磁場(chǎng)的影響;相同的n,l,|m|越大,結(jié)合能對(duì)磁場(chǎng)強(qiáng)度的變化更為敏感.從圖2中也能觀察到類似的規(guī)律.隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的增強(qiáng),能級(jí)的標(biāo)識(shí)是一個(gè)值得注意的問題.本文采用零級(jí)哈密頓H0本征的波函數(shù)作為展開的基矢能有效地解決這個(gè)問題.圖3展示了不同的磁場(chǎng)強(qiáng)度下,氫原子m=0體系第六個(gè)最低能級(jí)的基矢展開系數(shù).無外場(chǎng)時(shí),這個(gè)能級(jí)的展開系數(shù)不為0的基矢只有一項(xiàng):3s,相應(yīng)的展開系數(shù)為1.隨著磁場(chǎng)的增強(qiáng),3d0等其他基矢的展開系數(shù)從0逐漸增加.由于對(duì)稱性的關(guān)系,對(duì)于m=0的體系,m不等于0的基矢展開系數(shù)恒等于0.實(shí)際上,對(duì)于這個(gè)體系,我們也僅僅使用這些m=0的基矢進(jìn)行展開.同理,由于對(duì)稱性的原因,Δl為奇數(shù)的基矢展開系數(shù)也是嚴(yán)格為0的.磁場(chǎng)強(qiáng)度為0.001時(shí),基矢3s的展開系數(shù)降低到0.82;3d0的展開系數(shù)增加到0.17;其他基矢的展開系數(shù)太小,不能在圖3中展示出來.隨著場(chǎng)強(qiáng)的增強(qiáng),3s的展開系數(shù)不斷地降低;其它基矢的展開系數(shù)不斷增加.當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度為0.1時(shí),4d0的展開系數(shù)增加到0.38而3s的展開系數(shù)降低到0.08.這時(shí)氫原子m=0體系第六個(gè)最低能級(jí)的標(biāo)識(shí)應(yīng)當(dāng)由原先的3s改為4d0.隨著磁場(chǎng)的進(jìn)一步增強(qiáng),基矢3s在各個(gè)能級(jí)中所占的比重均不是主要的,3s已經(jīng)無法用于能級(jí)的標(biāo)識(shí).圖4展示了不同的磁場(chǎng)強(qiáng)度下,基矢3d0的展開系數(shù).這里展開系數(shù)小于0.05的基矢沒有展示出來.磁場(chǎng)強(qiáng)度比較低的時(shí)候,可以用3d0標(biāo)識(shí)氫原子m=0體系第4個(gè)最低能級(jí).隨著磁場(chǎng)的增強(qiáng),基矢3d0的展開系數(shù)從1逐漸降低.磁場(chǎng)強(qiáng)度增加到0.2時(shí),m=0體系第4個(gè)最低能級(jí)中展開系數(shù)最大的基矢變?yōu)?p0,所以不能使用3d0對(duì)該能級(jí)進(jìn)行標(biāo)識(shí).在圖4中,磁場(chǎng)強(qiáng)度為0.2和0.25時(shí),展示的是體系第5個(gè)最低能級(jí)中比重最大的基矢展開系數(shù).在這個(gè)磁場(chǎng)范圍內(nèi),體系第5個(gè)最低能級(jí)可以用3d0標(biāo)識(shí).圖5展示了氫原子(m=0)能量最低能級(jí)的四極矩Qzz隨磁場(chǎng)強(qiáng)度的變化規(guī)律.其中黑色實(shí)心球是本文的計(jì)算結(jié)果;紅色的虛線是AlexanderPotekhin和AlexanderTurbiner給出的擬合公式的結(jié)果;空心的正三角表示Baye等人的計(jì)算結(jié)果.從比較的結(jié)果來看,本文的結(jié)果和Baye等人的高精度計(jì)算結(jié)果符合得很好.ξ=1—10,兩組計(jì)算有9位以上有效數(shù)字一致.即使到了超強(qiáng)的磁場(chǎng)區(qū)域(ξ=1000),兩組計(jì)算仍然有5位以上有效數(shù)字一致.圖5的結(jié)果和文獻(xiàn)中擬合公式的結(jié)果最大的差距是2%.從圖中,還可以觀察到:ξ->0時(shí),1s的Qzz漸近行為趨向2.5×ξ2(藍(lán)線);隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的增強(qiáng),Qzz由無外場(chǎng)時(shí)的0逐漸增大.當(dāng)ξ約為2.4時(shí),Qzz的結(jié)果達(dá)到最大值0.5.ξ→∞時(shí),Qzz→(log10ξ)-2(綠線).這里順便指出文獻(xiàn)中一處筆誤“ξ→∞時(shí),Qzz→(lnξ)-2”.圖6(a)和(b)兩圖給出了ξ=0.0001—1000,氫原子(m=-1和m=-2)能量最低能級(jí)的四極矩Qzz隨磁場(chǎng)強(qiáng)度的變化規(guī)律.其中,實(shí)線是本文m=-1的結(jié)果;虛線是本文m=-2的結(jié)果;空心的正三角形和圓圈分別表示Baye等人m=-1和m=-2的計(jì)算結(jié)果.從比較的結(jié)果來看,本文的結(jié)果和Baye等人的結(jié)果符合的很好.ξ=1—10,兩組計(jì)算有9位以上有效數(shù)字一致.即使到了超強(qiáng)的磁場(chǎng)區(qū)域(ξ=1000),兩組計(jì)算仍然有3位以上有效數(shù)字一致.圖6(a)中給出了ξ小于1,Qzz精確的結(jié)果.從圖中,還可以觀察到:在低磁場(chǎng)強(qiáng)度的時(shí)候,m=-1的Qzz的絕對(duì)值比m=-2的情形大了將近7倍.兩種情形Qzz的數(shù)值均隨著場(chǎng)強(qiáng)的增強(qiáng)而增大,其中m=-2的情形對(duì)磁場(chǎng)強(qiáng)度變化更加敏感.當(dāng)ξ接近2.1時(shí),m=-2和m=-1的Q