七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專(zhuān)題12 圖形類(lèi)規(guī)律探索（解析版）

/專(zhuān)題12圖形類(lèi)規(guī)律探索1．用長(zhǎng)方形和三角形按圖示排列規(guī)律組成一連串平面圖形．(1)當(dāng)某個(gè)圖形中長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為5時(shí)，三角形個(gè)數(shù)為；(2)設(shè)某個(gè)圖形中長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為x，三角形個(gè)數(shù)為y．請(qǐng)你寫(xiě)出用x表示y的關(guān)系式．【答案】(1)8(2)【分析】（1）根據(jù)圖形直接可得；（2）由圖可知每個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)為長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)與1的差的2倍，據(jù)此可得．（1）解：∵長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為2時(shí)，三角形個(gè)數(shù)為2個(gè)，即2=2×1=2；長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為3時(shí)，三角形個(gè)數(shù)為4個(gè)，即4=2×2=4；長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為4時(shí)，三角形個(gè)數(shù)為6個(gè)，即6=3×2=6．∴當(dāng)某個(gè)圖形中長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為5時(shí)，三角形個(gè)數(shù)為4×2=8，故答案為：8；（2）∵長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為2時(shí)，三角形個(gè)數(shù)為2個(gè)，即2=2×1=2；長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為3時(shí)，三角形個(gè)數(shù)為4個(gè)，即4=2×2=4；長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為4時(shí)，三角形個(gè)數(shù)為6個(gè)，即6=3×2=6．…∴長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為x，三角形個(gè)數(shù)為y時(shí)，y與x的數(shù)量關(guān)系為y=2（x-1）．【點(diǎn)睛】本題主要考查規(guī)律型：圖形的變化類(lèi)，解答的關(guān)鍵是由所給的圖形總結(jié)出所存在的規(guī)律．2．如圖，是一幅平面鑲嵌圖案，它由相同的黑色正方形和白色等邊三角形排列而成，觀察圖案，當(dāng)正方形只有一個(gè)時(shí)，等邊三角形有個(gè)（如圖）；當(dāng)正方形有個(gè)時(shí)，等邊三角形有個(gè)（如圖）；以此類(lèi)推(1)若圖案中每增加個(gè)正方形，則等邊三角形增加______個(gè)；(2)若圖案中有個(gè)正方形，則等邊三角形有______個(gè)．(3)現(xiàn)有個(gè)等邊三角形，如按此規(guī)律鑲嵌圖案，要求等邊三角形剩余最少，則需要正方形多少個(gè)？【答案】(1)(2)(3)個(gè)【分析】（1）觀察第個(gè)圖案可知：中間的一個(gè)正方形對(duì)應(yīng)個(gè)等邊三角形，第個(gè)圖案可知增加一個(gè)正方形，變成了個(gè)等邊三角形，增加了個(gè)等邊三角形；（2）觀察第個(gè)圖案，有個(gè)等邊三角形；第個(gè)圖案，有個(gè)等邊三角形；，依次計(jì)算可解答；（3）由（2）中的規(guī)律可知：用所得的余數(shù)是，則等邊三角形剩余最少塊，列式，解出即可解答．（1）解：觀察第和個(gè)圖案可知：圖案中每增加個(gè)正方形，則等邊三角形增加個(gè)；故答案為：；（2）解：第個(gè)圖案：等邊三角形有：（個(gè)），第個(gè)圖案：等邊三角形有：（個(gè)），第個(gè)圖案：等邊三角形有：（個(gè)），第個(gè)圖案：等邊三角形有：（個(gè)），……第個(gè)圖案：等邊三角形有：個(gè)，故答案為：；（3）解：，用，再由題意得：，解得：，按此規(guī)律鑲嵌圖案，要求等邊三角形剩余最少塊，則需要正方形個(gè)．【點(diǎn)睛】本題以等邊三角形和正方形的拼圖為背景，關(guān)鍵是考查規(guī)律性問(wèn)題的解決方法，探究規(guī)律要認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想來(lái)解決這類(lèi)問(wèn)題．3．如圖，用若干個(gè)點(diǎn)擺成一組等邊三角形點(diǎn)列，其中第個(gè)三角形的每一邊上都有n個(gè)點(diǎn)，該圖形中點(diǎn)的總數(shù)記為，我們把稱為“三角形數(shù)”，并規(guī)定當(dāng)時(shí)，“三角形數(shù)”．(1)“三角形數(shù)”______________，______________；(2)①某數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)相鄰兩個(gè)“三角形數(shù)”的和有一定的規(guī)律：如．請(qǐng)猜想：______________；②請(qǐng)用所學(xué)的知識(shí)說(shuō)明①中猜想的正確性．【答案】(1)15，(2)①；②見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題目即可寫(xiě)出、；（2）①根據(jù)規(guī)律即可猜想出結(jié)論；②利用（1）中的表達(dá)式即可證明(1)解：S1=1，S2=1+2=3，S3=1+2+3=6，S4=1+2+3+4=10，S5=1+2+3+4+5=15，……Sn=1+2+3+4+5+…+n=，∴，；故答案為：15，；(2)解：①；②∵，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型-圖形的變化類(lèi)，解決本題的關(guān)鍵是觀察圖形的變化尋找規(guī)律．4．觀察如圖圖形，把一個(gè)三角形分別連接其三邊中點(diǎn)，構(gòu)成4個(gè)小三角形，挖去中間的一個(gè)小三角形（如圖1），對(duì)剩下的三個(gè)小三角形再分別重復(fù)以上做法…，據(jù)此解答下面的問(wèn)題．(1)填寫(xiě)下表：圖形挖去三角形的個(gè)數(shù)圖形11圖形21＋3圖形31＋3＋9圖形4___________________(2)根據(jù)這個(gè)規(guī)律，求圖n中挖去三角形的個(gè)數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）；(3)若圖中挖去三角形的個(gè)數(shù)為，求．【答案】(1)(2)＝(3)【分析】（1）由圖1挖去中間的1個(gè)小三角形，圖2挖去中間的（1+3）個(gè)小三角形，圖3挖去中間的（1+3+32）個(gè)小三角形，據(jù)此可得；（2）由（1）中規(guī)律可知＝；（3）將wn+1＝減去wn＝即可得．(1)解：圖1挖去中間的1個(gè)小三角形，圖2挖去中間的（1+3）個(gè)小三角形，圖3挖去中間的（1+3+32）個(gè)小三角形，則圖4挖去中間的（1+3+32+33）個(gè)小三角形，即圖4挖去中間的40個(gè)小三角形，故答案為：1+3+32+33；(2)解：由（1）知，圖n中挖去三角形的個(gè)數(shù)wn＝；答：wn＝(3)解：∵wn+1＝，wn＝∴wn+1﹣wn＝（）﹣（）＝3n．答：wn+1﹣wn＝3n．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化，本題是一道找規(guī)律的題目，這類(lèi)題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．解題的關(guān)鍵是掌握對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．5．【觀察思考】畫(huà)一個(gè)大的正五邊形，接著畫(huà)出內(nèi)嵌的5個(gè)黑色小的正五邊形，（圖1中有1個(gè)白色正五邊形，有5個(gè)黑色正五邊形，總共6個(gè)正五邊形）；接下來(lái)每個(gè)黑色小五邊形內(nèi)再內(nèi)嵌的5個(gè)更小的正五邊形，（圖2中有5個(gè)白色正五邊形，有25個(gè)黑色正五邊形，總共30個(gè)正五邊形）繼續(xù)下去，不斷重復(fù)此過(guò)程……，據(jù)此解答下面的問(wèn)題．(1)【規(guī)律總結(jié)】圖3中黑色五邊形個(gè)數(shù)；白色五邊形的個(gè)數(shù)；(2)根據(jù)這個(gè)規(guī)律，求圖n中黑色五邊形個(gè)數(shù)；白色五邊形的個(gè)數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）(3)【問(wèn)題解決】當(dāng)黑色和白色五邊形共3750個(gè)時(shí)，求圖n?【答案】(1)125；25(2)；(3)5【分析】（1）根據(jù)圖1、圖2所得的規(guī)律解答即可；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律進(jìn)行推廣即可；（3）利用（2）所得到的關(guān)系式列方程解答即可．(1)解：∵在圖1中，黑色有5個(gè)，白色有1=50個(gè)；在圖2中，黑色有5×5=52=25個(gè)，白色有5×1=5=51個(gè)∴在圖3中，黑色有25×5=53=125個(gè)，白色有5×5=5225個(gè)．故答案為125，25．(2)解：由（1）可得圖1、圖2、圖3可得；圖n中黑色快為：5n；白色的個(gè)數(shù)為5n-1個(gè)故答案為，．(3)解：由題意可得：5n+5n-1=37505n-1（5+1）=37505n-1×6=37505n-1=625n-1=4n=5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的規(guī)律，乘方的運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)圖1、圖2、圖3中蘊(yùn)含的規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．6．用正方形的白色水泥磚和灰色水泥磚按如圖所示的方式鋪人行道(1)第①個(gè)圖中有灰色水泥磚塊，第②個(gè)圖中有灰色水泥磚塊，第③個(gè)圖中有灰色水泥磚塊；(2)依次鋪下去，第n個(gè)圖中有灰色水泥磚塊．【答案】(1)4，7，10(2)（3n+1）【分析】（1）直接根據(jù)圖形得出灰色水泥磚的塊數(shù)即可；（2）根據(jù)（1）中數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)得出變化規(guī)律為：3n+1，即可得出答案．(1)解：根據(jù)圖形可得圖①中有灰色水泥磚1+3=4塊，圖②中有灰色水泥磚1+2×3=7塊，圖③中有灰色水泥磚1+3×3=10塊；故答案為：4；7；10；(2)解：根據(jù)圖形可得圖①中有灰色水泥磚1+3=4塊，圖②中有灰色水泥磚1+2×3=7塊，圖③中有灰色水泥磚1+3×3=10塊；……依次鋪下去，第n個(gè)圖形中有灰色水泥磚（3n+1）塊；故答案為：（3n+1）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圖形的變化類(lèi)，對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出發(fā)生變化的位置，并且觀察變化規(guī)律．注意由特殊到一般的分析方法．7．一種特殊的三角形幻方，是由4個(gè)較小的三角形和3個(gè)較大的三角形構(gòu)成，且滿足每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)處的數(shù)之和相等．如圖1，是這種特殊三角形幻方，陰影部分的三角形三個(gè)頂點(diǎn)處的數(shù)之和為7+3+5＝15，該圖中每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)處的數(shù)字之和都為15．(1)根據(jù)圖1，計(jì)算圖中9個(gè)數(shù)的和與每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)處數(shù)的和之間的倍數(shù)關(guān)系，并寫(xiě)出你的結(jié)論；(2)圖2是這種特殊的三角形幻方，請(qǐng)把數(shù)字﹣4，﹣2，0，2，3這5個(gè)數(shù)字填在圖2的各個(gè)圈內(nèi)；(3)圖3是這種特殊的三角形幻方，請(qǐng)求x的值．【答案】(1)圖中9個(gè)數(shù)的和是每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)處數(shù)的和的三倍(2)填圖見(jiàn)解析(3)-10【分析】（1）計(jì)算得可得圖中9個(gè)數(shù)的和為45，每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)處數(shù)的和為15，故圖中9個(gè)數(shù)的和是每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)處數(shù)的和的三倍．（2）由題意可得每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)處數(shù)的和為0，故可依次算出各個(gè)頂點(diǎn)處的數(shù)，填圖見(jiàn)解析．（3）由中間小三角形知所有三角形三個(gè)頂點(diǎn)處數(shù)的和均為，故可推出其余三角形頂點(diǎn)處的代數(shù)值，再由每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)處的數(shù)字之和均相等列等式化簡(jiǎn)計(jì)算即可．(1)∵圖中9個(gè)數(shù)的和為1+2+3+4+5+6+7+8+9=45每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)處數(shù)的和為7+3+5=2+4+9=6+8+1=7+6+2=3+8+4=5+1+9=8+2+5=15∵45÷15=3∴圖中9個(gè)數(shù)的和是每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)處數(shù)的和的三倍(2)由圖象知下方大三角形三個(gè)頂點(diǎn)處數(shù)的和為4-1-3=0∴由題意知每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)處數(shù)的和也為0故中間小三角形右下角數(shù)為右下小三角形右上角數(shù)為左下小三角形左上角數(shù)為左側(cè)大三角形左上角數(shù)為右側(cè)大三角形右上角數(shù)為故補(bǔ)全的圖象如圖所示(3)由圖象知中間小三角形三個(gè)頂點(diǎn)處數(shù)的和為故所有三角形三個(gè)頂點(diǎn)處數(shù)的和均為故左側(cè)大三角形左上角數(shù)為右側(cè)大三角形右上角數(shù)為左下小三角形左下角數(shù)為右下小三角形右下角數(shù)為且下側(cè)大三角形三個(gè)頂點(diǎn)處數(shù)的滿足去括號(hào)得化簡(jiǎn)得【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字和圖形綜合的規(guī)律的探索，結(jié)合規(guī)律列代數(shù)式是解題的關(guān)鍵，運(yùn)算時(shí)要注意變號(hào)．8．下面是用棋子擺成的“小屋子”．?dāng)[第10個(gè)這樣的“小屋子”需要多少枚棋子？擺第n個(gè)這樣的“小屋子”呢？你是如何得到的？【答案】59個(gè)，（）個(gè)【分析】發(fā)現(xiàn)后面一個(gè)“小屋子”總比它前面一個(gè)多用6枚棋子，進(jìn)而概括出擺第n個(gè)“小屋子”需要的棋子數(shù)為，【詳解】解：觀察得到：擺前四個(gè)“小屋子”分別用的棋子數(shù)5，11，17，23，，后面一個(gè)“小屋子”總比它前面一個(gè)多用6枚棋子，∴擺第n個(gè)“小屋子”共用的棋子數(shù)為．當(dāng)n=10時(shí)，6n-1=59個(gè)，∴擺第10個(gè)這樣的“小屋子”需要59枚棋子；擺第n個(gè)這樣的“小屋子”需要（）個(gè)．【點(diǎn)睛】此題考查圖形類(lèi)規(guī)律題，正確發(fā)現(xiàn)規(guī)律并應(yīng)用規(guī)律解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵，應(yīng)注意將每種表示形式與具體的擺法相對(duì)應(yīng)（規(guī)律與其符號(hào)表示的對(duì)應(yīng)），將棋子數(shù)與圖形相對(duì)應(yīng)（數(shù)與形的對(duì)應(yīng)），從多種角度發(fā)展學(xué)生的思維．9．【問(wèn)題呈現(xiàn)】用一些長(zhǎng)短相同的小木棍按圖所示的方式，連續(xù)擺正方形或六邊形，要求相鄰的圖形只有一條公共邊.已知擺放的正方形比六邊形多4個(gè)，并且一共用了110根小木棍，問(wèn)連續(xù)擺放的正方形和六邊形各多少個(gè).【自主思考】慧慧用表格的形式對(duì)本問(wèn)題的一些信息進(jìn)行了梳理，請(qǐng)把表格內(nèi)容補(bǔ)充完整.連續(xù)擺放的個(gè)數(shù)/個(gè)使用小木棍的根數(shù)/根正方形六邊形關(guān)系【建模解答】（請(qǐng)完整解答本題）【答案】表格見(jiàn)解析，用110根小木棍可擺12個(gè)六邊形，16個(gè)正方形．【分析】根據(jù)圖形分別求出擺x個(gè)正方形，擺y個(gè)六邊形需要的小木棍個(gè)數(shù)，列出方程，計(jì)算即可．【詳解】解：由題意可知：擺x個(gè)正方形需要4+3（x-1）=3x+1根小木棍；擺y個(gè)六邊形需要6+5（y-1）=5y+1根小木棍；表格內(nèi)容補(bǔ)充完整.如下：連續(xù)擺放的個(gè)數(shù)/個(gè)使用小木棍的根數(shù)/根正方形3x+1六邊形5y+1關(guān)系x＝y(tǒng)＋43x+1＋5y+1＝110由題意得，，解得：，答：用110根小木棍可擺12個(gè)六邊形，16個(gè)正方形；【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，列代數(shù)式、二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出圖形之間的聯(lián)系，利用規(guī)律解決問(wèn)題．10．如圖是由一些火柴棒搭成的圖案．(1)擺第4個(gè)圖案用根火柴棒．(2)按照這種方式擺下去，擺第n個(gè)圖案用根火柴棒．(3)計(jì)算一下擺481根火柴棒時(shí)，是第幾個(gè)圖案？【答案】(1)17(2)（4n+1）(3)120個(gè)【分析】（1）由前三個(gè)圖案可得第4個(gè)圖案的火柴棒根數(shù)；（2）根據(jù)圖形中的圖案知，每個(gè)圖案都比上一個(gè)圖案多一個(gè)五邊形，但是只增加4根火柴，根據(jù)此規(guī)律來(lái)分析，可得答案；（3）把481代入（2）中得到的式子即可．（1）解：由題目得，第①個(gè)圖案所用的火柴數(shù)：1+4×1＝5，第②個(gè)圖案所用的火柴數(shù)：1+4×2＝9，第③個(gè)圖案所用的火柴數(shù)：1+4×3＝13，第④個(gè)圖案所用的火柴數(shù)：1+4×4＝17，故答案為：17；（2）解：按（1）的方法，依此類(lèi)推，第n個(gè)圖案中，所用的火柴數(shù)為：1+4×n＝4n+1；故擺第n個(gè)圖案用的火柴棒是4n+1，故答案為：（4n+1）；（3）解：由題意得，4n+1＝481，解得n＝120，答：擺481根火柴棒時(shí)，是第120個(gè)圖案．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化類(lèi)，關(guān)鍵是從圖中特殊的例子推理得出一般的規(guī)律，本題的規(guī)律是每個(gè)圖案都比上一個(gè)圖案多一個(gè)五邊形，但只增加4根火柴．．11．實(shí)驗(yàn)探究：如圖，在四邊形ABCD內(nèi)部，有n個(gè)點(diǎn)Pi（i1，2，3，…，n），連接這個(gè)點(diǎn)構(gòu)造不重疊的小三角形，請(qǐng)把在不同點(diǎn)數(shù)情況下最多可構(gòu)造的三角形個(gè)數(shù)填入表中．四邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)1234...n構(gòu)造的小三角形個(gè)數(shù)46...(1)將上表中數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整；(2)當(dāng)四邊形中有2022個(gè)小三角形時(shí)，求點(diǎn)數(shù)n的值．【答案】(1)8，10，(2)1010【分析】（1）根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)找出規(guī)律即可；（2）由（1）中的式子列出方程可得n的值．(1)解：當(dāng)四邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)為1時(shí)，小三角形的個(gè)數(shù)為4，當(dāng)四邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)為2時(shí)，小三角形的個(gè)數(shù)為6，當(dāng)四邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)為3時(shí)，小三角形的個(gè)數(shù)為8，當(dāng)四邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)為4時(shí)，小三角形的個(gè)數(shù)為10，…當(dāng)四邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)為n時(shí)，小三角形的個(gè)數(shù)為(2n+2)．故答案為：8，10，；(2)令，解得，答：點(diǎn)數(shù)n的值為1010．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的變化規(guī)律的問(wèn)題，讀懂題目信息，根據(jù)前兩個(gè)探究得到圖形變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．12．如圖，學(xué)校準(zhǔn)備新建一個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的讀書(shū)長(zhǎng)廊，并準(zhǔn)備用若干塊帶有花紋和沒(méi)有花紋的兩種規(guī)格大小相同的正方形地面磚搭配在一起，按圖中所示的規(guī)律拼成圖案鋪滿長(zhǎng)廊，已知每個(gè)小正方形地面磚的邊長(zhǎng)均為0.3m．(1)按圖示規(guī)律，第一圖案的長(zhǎng)度______；第二個(gè)圖案的長(zhǎng)度______；(2)請(qǐng)用代數(shù)式表示帶有花紋的地面磚塊數(shù)n與走廊的長(zhǎng)度（m）之間的關(guān)系；(3)當(dāng)走廊的長(zhǎng)度L為60.3m時(shí)，請(qǐng)計(jì)算出所需帶有花紋圖案的瓷磚的塊數(shù)．【答案】(1)0.9；1.5(2)(3)100塊【分析】（1）觀察題目中的已知圖形，可得前兩個(gè)圖案中有花紋的地面磚分別有：1，2個(gè)，第二個(gè)圖案比第一個(gè)圖案多1個(gè)花紋的地面磚，所以可得第n個(gè)圖案有花紋的地面磚有n塊；第一個(gè)圖案邊長(zhǎng)，第二個(gè)圖案邊長(zhǎng)；（2）由（1）得出則第n個(gè)圖案邊長(zhǎng)為；（3）根據(jù)（2）中的代數(shù)式，把L為60.3m代入求出n的值即可．(1)解：第一個(gè)圖案的長(zhǎng)度，第二個(gè)圖案的長(zhǎng)度；故答案為：0.9，1.5；(2)解：觀察可得：第一個(gè)圖案中有花紋的地面磚有1塊，第二個(gè)圖案中有花紋的地面磚有2塊，……，故第n個(gè)圖案中有花紋的地面磚有n塊；第一個(gè)圖案邊長(zhǎng)，第二個(gè)圖案邊長(zhǎng)，則第n個(gè)圖案邊長(zhǎng)為；所以帶有花紋的地面磚塊數(shù)n與走廊的長(zhǎng)度（m）之間的關(guān)系為；(3)解：把L=60．3代入中得：，解得：，答：需要100個(gè)有花紋圖案的瓷磚．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面圖形的有規(guī)律變化，以及列代數(shù)式，求代數(shù)式的值等，要求學(xué)生通過(guò)觀察圖形，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決問(wèn)題．13．如圖圖案是用長(zhǎng)度相同的火柴棒按一定規(guī)律拼搭而成，圖案需8根火柴棒，圖案②需15根火柴棒，圖案②需15根火柴棒，…(1)按此規(guī)律，圖案⑦需____________根火柴棒；(2)用含n的代數(shù)式表示第n個(gè)圖案需根火柴棒根數(shù)．【答案】(1)50(2)7n+1【分析】（1）根據(jù)圖案①、②、③中火柴棒的數(shù)量可知，第1個(gè)圖形中火柴棒有8根，每多一個(gè)多邊形就多7根火柴棒，可得出圖案⑦需火柴棒：8+7×6=50根；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律，可知第n個(gè)圖案需火柴棒8+7（n-1）=7n+1根．(1)解：∵圖案①需火柴棒：8根；圖案②需火柴棒：8+7=15根；圖案③需火柴棒：8+7+7=22根；…圖案⑦需火柴棒：8+7×6=50根；故答案為：50；(2)解：由（1）中規(guī)律：圖案n需火柴棒：8+7（n-1）=7n+1根；故答案為：7n+1；【點(diǎn)睛】此題主要考查了圖形的變化類(lèi)，解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵在于圖形在變化過(guò)程中準(zhǔn)確抓住不變的部分和變化的部分，變化部分是以何種規(guī)律變化．14．2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式主火炬臺(tái)由96塊小雪花形態(tài)和6塊橄欖枝構(gòu)成的巨型“雪花”形態(tài)，在數(shù)學(xué)上，我們可以通過(guò)“分形”近似地得到雪花的形狀．操作：將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的等邊三角形（如圖①）的每一邊三等分，以居中那條線段為底邊向外作等邊三角形，并去掉所作的等邊三角形的一條邊，得到一個(gè)六角星（如圖②，稱為第一次分形．接著對(duì)每個(gè)等邊三角形凸出的部分繼續(xù)上述過(guò)程，即在每條邊三等分后的中段向外畫(huà)等邊三角形，得到一個(gè)新的圖形（如圖③），稱為第二次分形．不斷重復(fù)這樣的過(guò)程，就得到了“科赫雪花曲線”．(1)【規(guī)律總結(jié)】每一次分形后，得到的“雪花曲線”的邊數(shù)是前一個(gè)“雪花曲線”邊數(shù)的倍；每一次分形后，三角形的邊長(zhǎng)都變?yōu)樵瓉?lái)的倍；(2)【問(wèn)題解決】試猜想第n次分形后所得圖形的邊數(shù)是；周長(zhǎng)為（用含n的代數(shù)式表示）【答案】(1)4；(2)；【分析】(1)根據(jù)第一次分形后，得到的“雪花曲線”的邊數(shù)是12，邊長(zhǎng)是，第二次分形后，得到的“雪花曲線”的邊數(shù)是48，邊長(zhǎng)是，可得答案；(2)由(1)可得第n次分形后所得圖形的邊數(shù)是，邊長(zhǎng)為，所以周長(zhǎng)為．(1)解：等邊三角形的邊數(shù)為3，邊長(zhǎng)為1，第一次分形后，得到的“雪花曲線”的邊數(shù)是12，邊長(zhǎng)是，第二次分形后，得到的“雪花曲線”的邊數(shù)是48，邊長(zhǎng)是，…，∴每一次分形后，得到的“雪花曲線”的邊數(shù)是前一個(gè)“雪花曲線”邊數(shù)的4倍；每一次分形后，三角形的邊長(zhǎng)都變?yōu)樵瓉?lái)的倍．故答案為：4；；(2)解：第一次分形后，得到的“雪花曲線”的邊數(shù)是12，邊長(zhǎng)是，第二次分形后，得到的“雪花曲線”的邊數(shù)是48，邊長(zhǎng)是，…，所以第n次分形后所得圖形的邊數(shù)是，邊長(zhǎng)為，所以周長(zhǎng)為．故答案為：；．【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，解題關(guān)鍵是找出圖形之間的聯(lián)系，得出運(yùn)算規(guī)律．15．用棋子擺出下一組圖形：(1)擺第1個(gè)圖形用______枚棋子，擺第2個(gè)圖形用______枚棋子，擺第3個(gè)圖形用______枚棋子．(2)按照這種方式擺下去，擺第n個(gè)圖形用多少枚棋子？(3)計(jì)算一下擺第100個(gè)圖形用多少枚棋子？(4)小魚(yú)同學(xué)手上剛好有50枚棋子，是否可以擺出符合這種規(guī)律的圖形，50枚棋子一枚不剩？如果可以，求出是第幾個(gè)圖形；如果不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)4，8，12(2)4n枚(3)400枚(4)不可以，理由見(jiàn)解析【分析】(1)直接由圖數(shù)出即可；(2)根據(jù)(1)的規(guī)律可歸納出第n個(gè)圖有4n枚棋子；(3)由(2)知，第100個(gè)圖形有4×100=400枚棋子；(4)50÷4=12……2，故50枚棋子不可以擺這種規(guī)律圖形．(1)解：由圖知，擺第1個(gè)圖形用4枚棋子，擺第2個(gè)圖形用8枚棋子，擺第3個(gè)圖形用12枚棋子，故答案為：4，8，12；(2)解：由(1)可知，第n個(gè)圖有4n枚棋子；(3)解：由(2)知，第100個(gè)圖形有4×100=400枚棋子；(4)解：不可以，理由如下：∵50÷4=12……2，∴50不是4的倍數(shù)，故50枚棋子不可以擺這種規(guī)律圖形．【點(diǎn)睛】本題主要要查圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形變化歸納出第n個(gè)圖形由4n枚棋子是解題的關(guān)鍵．16．把黑色三角形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有1個(gè)黑色三角形，第②個(gè)圖案中有3個(gè)黑色三角形，第③個(gè)圖案中有6個(gè)黑色三角形…按此規(guī)律排列下去，解答下列問(wèn)題：(1)第④個(gè)圖案中有______個(gè)黑色三角形．(2)求第?個(gè)圖案中有多少個(gè)黑色三角形？（用含n的代數(shù)式表示）(3)求第100個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)．【答案】(1)10(2)n（n+1）(3)5050【分析】（1）第④個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)有（1+2+3+4）個(gè)；（2）根據(jù)圖形的變化規(guī)律總結(jié)出第n個(gè)圖形黑色三角的個(gè)數(shù)為n（n+1）；（3）把n＝100代入（2）中得到的式子即可．(1)解：由圖形的變化規(guī)律知，第④個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)有：1+2+3+4＝10，故答案是：10；(2)解：∵第①個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)有：1，第②個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)有：1+2＝3，第③個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)有：1+2+3＝6，第④個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)有：1+2+3+4＝10，…，∴第n個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)有：1+2+3+…+n＝n（n+1），答：第?個(gè)圖案中有n（n+1）個(gè)黑色三角形；(3)解：當(dāng)n＝100時(shí)，n（n+1）＝＝5050（個(gè)），答：第100個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)是5050．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律和一元二次方程的應(yīng)用，歸納出第n個(gè)圖形黑色三角的個(gè)數(shù)為n（n+1）是解題的關(guān)鍵．17．（1）如圖1，圖中共有三角形個(gè)；如圖2，若增加一條線，則圖中共有三角形個(gè)；（2）如圖3，若增加到10條線，請(qǐng)你求出圖中的三角形的個(gè)數(shù)．【答案】（1）10；24；（2）個(gè)【分析】（1）根據(jù)三角形的定義，三角形是由同一平面內(nèi)不在同一直線上的三條線段首尾順次連接所組成的封閉圖形來(lái)判斷圖1和圖2中三角形的個(gè)數(shù)即可；（2）通過(guò)數(shù)三角形的個(gè)數(shù)可知，圖1中有10個(gè)三角形，圖2中，增加一條線后三角形的個(gè)數(shù)為，增加2條線后，三角形的個(gè)數(shù)為，增加3條線后，三角形的個(gè)數(shù)為，依次類(lèi)推即可推出增加條線后，三角形的個(gè)數(shù)，據(jù)此即可得到增加10條線后三角形的個(gè)數(shù)．【詳解】解：（1）根據(jù)三角形的定義可得圖1中三角形個(gè)數(shù)為10；根據(jù)三角形的定義可得圖2中三角形個(gè)數(shù)為24；（2）增加1條線，三角形個(gè)數(shù)為：；增加2條線，三角形個(gè)數(shù)為：；增加3條線，三角形個(gè)數(shù)為：；則增加條線，三角形個(gè)數(shù)為：，所以增加10條線，三角形個(gè)數(shù)為個(gè)；【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的定義，列代數(shù)式，列整式，找規(guī)律等知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)增加線段的數(shù)量找出增加三角形的個(gè)數(shù)與增加線段的關(guān)系．18．[提出問(wèn)題]一個(gè)邊形，內(nèi)部有個(gè)點(diǎn)，用這些點(diǎn)以及邊形的個(gè)頂點(diǎn)，可把原三角形分割成多少個(gè)互不重疊的小三角形？[探究問(wèn)題]為了解決上面的問(wèn)題，我們先從簡(jiǎn)單和具體的情形入手：探究一：以的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的1個(gè)點(diǎn)，共4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把分割成3個(gè)互不重疊的小三角形．（如圖①）探究二：以的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的2