滬科版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義

第18章勾股定理一：勾股定理（1）對(duì)于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么一定有勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。（2）結(jié)論：①有一個(gè)角是30°的直角三角形，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。②有一個(gè)角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。③直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。（3）勾股定理的驗(yàn)證例題：例1：已知直角三角形的兩邊，利用勾股定理求第三邊。（1）在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5，b=12，則c=___________；②若a=15，c=25，則b=___________；③若c=61，b=60，則a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10則Rt△ABC的面積是=________。（2）如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為，2n（n>1），那么它的斜邊長(zhǎng)是（）A、2n B、n+1 C、n2－1 D、（3）在Rt△ABC中，a,b,c為三邊長(zhǎng)，則下列關(guān)系中正確的是（）A.B.C.D.以上都有可能（4）已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊長(zhǎng)的平方是（）A、25 B、14 C、7 D、7或25例2：已知直角三角形的一邊以及另外兩邊的關(guān)系利用勾股定理求周長(zhǎng)、面積等問題。（1）直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12，則它斜邊上的高為__________。（2）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，則Rt△ABC的面積是（）A、24 B、36 C、48 D、60（3）已知x、y為正數(shù)，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的長(zhǎng)為直角邊作一個(gè)直角三角形，那么以這個(gè)直角三角形的斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為（） A、5 B、25 C、7 D、15例3：探索勾股定理的證明有四個(gè)斜邊為c、兩直角邊長(zhǎng)為a,b的全等三角形，拼成如圖所示的五邊形，利用這個(gè)圖形證明勾股定理。二：勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c有關(guān)系，，那么這個(gè)三角形是直角三角形。（2）常見的勾股數(shù)：（3n,4n,5n）,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)，(9n,40n,41n)…..（n為正整數(shù)）（3）直角三角形的判定方法：①如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c有關(guān)系，，那么這個(gè)三角形是直角三角形。②有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。③兩內(nèi)角互余的三角形是直角三角形。④如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。例題：例1：勾股數(shù)的應(yīng)用（1）下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)，可作為三邊長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形的是（）A.4，5，6B.2，3，4C.11，12，13D.8，15，17（2）若線段a，b，c組成直角三角形，則它們的比為（）A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7例2：利用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀（1）下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=3：4：5；④△ABC中，三邊長(zhǎng)分別為8，15，17．其中是直角三角形的個(gè)數(shù)有（）．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)（2）若三角形的三邊之比為，則這個(gè)三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等邊三角形（3）已知a，b，c為△ABC三邊，且滿足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，則它的形狀為（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形（4）將直角三角形的三條邊長(zhǎng)同時(shí)擴(kuò)大同一倍數(shù),得到的三角形是()A．鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.等腰三角形（5）若△ABC的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足試判斷△ABC的形狀。（6）△ABC的兩邊分別為5,12，另一邊為奇數(shù)，且a+b+c是3的倍數(shù)，則c應(yīng)為，此三角形為。例3：求最大、最小角的問題（1）若三角形三條邊的長(zhǎng)分別是7,24,25，則這個(gè)三角形的最大內(nèi)角是度。（2）已知三角形三邊的比為1：：2，則其最小角為。三：勾股定理的應(yīng)用例題：例1：面積問題（1）下圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的邊長(zhǎng)分別是3、5、2、3，則最大正方形E的面積是（）A.13B.26C.47D.94（圖1）（圖2）（圖3）（3）如圖，△ABC為直角三角形，分別以AB，BC，AC為直徑向外作半圓，用勾股定理說明三個(gè)半圓的面積關(guān)系，可得（）A.S1+S2>S3B.S1+S2=S3C.S2+S3<S1D.以上都不是（2）如圖所示，分別以直角三角形的三邊向外作三個(gè)正三角形，其面積分別是S1、S2、S3，則它們之間的關(guān)系是（）A.S1-S2=S3B.S1+S2=S3C.S2+S3<S1D.S2-S3=S1例2：求長(zhǎng)度問題（1）小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高度。（2）在一棵樹10m高的B處，有兩只猴子，一只爬下樹走到離樹20m處的池塘A處；另外一只爬到樹頂D處后直接躍到A外，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，試問這棵樹有多高？例3：最短路程問題（1）如圖1，已知圓柱體底面圓的半徑為，高為2，AB，CD分別是兩底面的直徑，AD，BC是母線，若一只小蟲從A點(diǎn)出發(fā)，從側(cè)面爬行到C點(diǎn)，則小蟲爬行的最短路線的長(zhǎng)度是。（結(jié)果保留根式）（2）如圖2，有一個(gè)長(zhǎng)、寬、高為3米的封閉的正方體紙盒，一只昆蟲從頂點(diǎn)A要爬到頂點(diǎn)B，那么這只昆蟲爬行的最短距離為。（圖1）（圖2）例4：航海問題（1）一輪船以16海里/時(shí)的速度從A港向東北方向航行，另一艘船同時(shí)以12海里/時(shí)的速度從A港向西北方向航行，經(jīng)過1.5小時(shí)后，它們相距________海里．（2）（深圳）如圖1，某貨船以24海里／時(shí)的速度將一批重要物資從A處運(yùn)往正東方向的M處，在點(diǎn)A處測(cè)得某島C在北偏東60°的方向上。該貨船航行30分鐘到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得該島在北偏東30°的方向上，已知在C島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁，若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無暗礁危險(xiǎn)？試說明理由。（圖1）（圖2）（3）如圖2，某沿海開放城市A接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，在該市正南方向260km的B處有一臺(tái)風(fēng)中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移動(dòng)，已知城市A到BC的距離AD=100km，那么臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)？如果在距臺(tái)風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺(tái)風(fēng)的破壞的危險(xiǎn)，正在D點(diǎn)休閑的游人在接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)后的幾小時(shí)內(nèi)撤離才可脫離危險(xiǎn)？例5：網(wǎng)格問題（1）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊長(zhǎng)為無理數(shù)的邊數(shù)是（）A．0B．1C．2D．3（2）如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC，若小方格邊長(zhǎng)為1，則△ABC是（）A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.以上答案都不對(duì)（3）如圖，小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形,則四邊形ABCD的面積是()A．25B.12.5C.9D.8.5（圖1）（圖2）（圖3）例6：圖形問題（1）如圖1，求該四邊形的面積（2）如圖2，已知，在△ABC中，∠A=45°，AC=eq\r(\s\do1(),2)，AB=eq\r(\s\do1(),3)+1，則邊BC的長(zhǎng)為．（圖1）（圖2）（3）某公司的大門如圖所示,其中四邊形ＡＢＣＤ是長(zhǎng)方形,上部是以ＡＤ為直徑的半圓,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,現(xiàn)有一輛裝滿貨物的卡車,高為2.5ｍ,寬為1.6ｍ,問這輛卡車能否通過公司的大門?并說明你的理由.（4）（太原）將一根長(zhǎng)24㎝的筷子置于地面直徑為5㎝，高為12㎝的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)為h㎝，則h的取值范圍。【專項(xiàng)訓(xùn)練】1.如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm、BC＝8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則BE的長(zhǎng)為（A）4cm （B）5cm（C）6cm（D）10cmABABCD2．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分線，CD＝5㎝，求AB的長(zhǎng)．3.如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫三角形：①使三角形的三邊長(zhǎng)分別為3、、（在圖甲中畫一個(gè)即可）；②使三角形為鈍角三角形且面積為4（在圖乙中畫一個(gè)即可）．4．下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）A.1，2，3B.2，3，4C.3，4，5D.4，5，65．在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，則該三角形為（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形6.已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個(gè)等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個(gè)等腰Rt△ADE，…，依此類推，第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)是．7.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，的三邊的大小關(guān)系式：（A）（B）（C）（D）8．（本題滿分10分）[問題情境]勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積法進(jìn)行證明，著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾提出把“數(shù)形關(guān)系”（勾股定理）帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進(jìn)行第一次“談話”的語言。[定理表述]請(qǐng)你根據(jù)圖1中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及符號(hào)語言敘述）；（3分）[嘗試證明]以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以a、b為底，以為高的直角梯形（如圖2），請(qǐng)你利用圖2，驗(yàn)證勾股定理；（4分）[知識(shí)拓展]利用圖2中的直角梯形，我們可以證明其證明步驟如下：=。又∵在直角梯形ABCD中有BCAD（填大小關(guān)系），即第19章四邊形知識(shí)脈絡(luò)：1．四邊形的內(nèi)角和與外角和定理：（1）四邊形的內(nèi)角和等于360°；（2）四邊形的外角和等于360°.2．多邊形的內(nèi)角和與外角和定理：（1）n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)180°；（2）任意多邊形的外角和等于360°.3．平行四邊形的性質(zhì)：因?yàn)锳BCD是平行四邊形4.平行四邊形的判定：.5.矩形的性質(zhì)：因?yàn)锳BCD是矩形 6.矩形的判定：四邊形ABCD是矩形.7．菱形的性質(zhì)：因?yàn)锳BCD是菱形8．菱形的判定：四邊形四邊形ABCD是菱形.9．正方形的性質(zhì)：因?yàn)锳BCD是正方形（1）（2）（3）10．正方形的判定：四邊形ABCD是正方形.(3)∵ABCD是矩形又∵AD=AB∴四邊形ABCD是正方形11．等腰梯形的性質(zhì)：因?yàn)锳BCD是等腰梯形12．等腰梯形的判定：四邊形ABCD是等腰梯形(3)∵ABCD是梯形且AD∥BC ∵AC=BD∴ABCD四邊形是等腰梯形14．三角形中位線定理：三角形的中位線平行第三邊，并且等于它的一半.15．梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半.一基本概念：四邊形，四邊形的內(nèi)角，四邊形的外角，多邊形，平行線間的距離，平行四邊形，矩形，菱形，正方形，中心對(duì)稱，中心對(duì)稱圖形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位線，梯形中位線.二定理：中心對(duì)稱的有關(guān)定理※1．關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形.※2．關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分.※3．如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱.三公式：1．S菱形=ab=ch.（a、b為菱形的對(duì)角線,c為菱形的邊長(zhǎng)，h為c邊上的高）2．S平行四邊形=ah.a為平行四邊形的邊，h為a上的高）3．S梯形=（a+b）h=Lh.（a、b為梯形的底，h為梯形的高,L為梯形的中位線）四常識(shí)：※1．若n是多邊形的邊數(shù)，則對(duì)角線條數(shù)公式是：.2．規(guī)則圖形折疊一般“出一對(duì)全等，一對(duì)相似”.3．如圖：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的從屬關(guān)系.4．常見圖形中，僅是軸對(duì)稱圖形的有：角、等腰三角形、等邊三角形、正奇邊形、等腰梯形……；僅是中心對(duì)稱圖形的有：平行四邊形……；是雙對(duì)稱圖形的有：線段、矩形、菱形、正方形、正偶邊形、圓…….注意：線段有兩條對(duì)稱軸.※5．梯形中常見的輔助線：邊形的的性質(zhì)：（1）邊形的內(nèi)角和等于；（2）任意多邊形的外角和等于；（3）邊形共有條對(duì)角線；（4）在平面內(nèi)，內(nèi)角都相等且邊都相等的多邊形叫做正多邊形。（5）正多邊形的每個(gè)內(nèi)角等于四邊形：四邊形的內(nèi)角和等于360°,外角和等于360°1、四邊形內(nèi)角中最多有三個(gè)鈍角，四個(gè)直角，三個(gè)銳角；2、四邊形外角中最多有三個(gè)鈍角、四個(gè)直角、三個(gè)銳角，最少?zèng)]有鈍角，沒有直角，沒有銳角；3、四邊形內(nèi)角與同一個(gè)頂點(diǎn)的一個(gè)外角互為鄰補(bǔ)角．平行四邊形的性質(zhì):(1)平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等．(2)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等．(3)夾在兩條平行線間的平行線段相等．(4)平行四邊形的對(duì)角線互相平分．(5)中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)。(6)若一直線過平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，且這條直線二等分四邊形的面積．平行四邊形的判定:(1)定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．(2)定理1：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形．(3)定理2：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．(4)定理3：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．(5)定理4：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．兩條平行線的距離兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離．平行線間的距離處處相等平行四邊形的面積：=BC·AE=CD·BF同底(等底)同高（等高）的平行四邊形面積相等.=矩形的性質(zhì)：(1)對(duì)邊平行且相等。(2)矩形的四個(gè)角都是直角．(3)矩形的對(duì)角線相等．(4)矩形是軸對(duì)稱、中心對(duì)稱圖形．(5)矩形面積＝長(zhǎng)×寬矩形的判定：(1)定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．(2)定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形．(3)定理2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．菱形的性質(zhì)(1)具有平行四邊形的一切性質(zhì)．(2)菱形的四條邊都相等．(3)菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．(4)菱形是軸對(duì)稱、中心對(duì)稱圖形．(5)菱形面積＝底×高＝對(duì)角線乘積的一半菱形的判定(1)定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．(2)定理1：四邊都相等的四邊形是菱形．(3)定理2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．正方形的性質(zhì)(1)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．(2)正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等．(3)正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角．(4)正方形是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸．(5)正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)小的全等的等腰直角三角形．(6)正方形一條對(duì)角線上一點(diǎn)和另一條對(duì)角線的兩端距離相等．(7)正方形的面積：若正方形的邊長(zhǎng)為，對(duì)角線長(zhǎng)為，則正方形的判定:(1)判定一個(gè)四邊形為正方形主要根據(jù)定義，途徑有兩種：①先證它是矩形，再證它有一組鄰邊相等．②先證它是菱形，再證它有一個(gè)角為直角．(2)判定正方形的一般順序：①先證明它是平行四邊形；②再證明它是菱形(或矩形)；③最后證明它是矩形(或菱形)．梯形的判定：(1)定義法：判定四邊形中①一組對(duì)邊平行；②另一組對(duì)邊不平行．(2)有一組對(duì)邊平行且不相等的四邊形是梯形．注意：此判定可由梯形定義和一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出等腰梯形的性質(zhì)(1)等腰梯形兩腰相等、兩底平行．(2)等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等．(3)等腰梯形的對(duì)角線相等．(4)等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，它只有一條對(duì)稱軸，一底的垂直平分線是它的對(duì)稱軸．等腰梯形的判定(1)兩腰相等的梯形是等腰梯形．(2)在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形．(3)對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形．梯形的面積(1)．(2)梯形中有關(guān)圖形面積：①．②．③．中位線三角形中位線定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。（三角形有三條中位線）三角形中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。梯形中位線定義：連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段，叫做梯形的中位線。（梯形的中位線有且只有一條）梯形中位線性質(zhì)：梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。中心對(duì)稱圖形：定義：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180O，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱中心.中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)：中心對(duì)稱圖形上的每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連成的線段都被對(duì)稱中心平分軸對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形有一條對(duì)稱軸——直線有一個(gè)對(duì)稱中心——點(diǎn)沿對(duì)稱軸對(duì)折繞對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180O對(duì)折后與原圖形重合旋轉(zhuǎn)后與原圖形重合如果把一個(gè)圖形沿著一條直線翻折過來，直