2023-2024學(xué)年福建省寧德市壽寧重點(diǎn)中學(xué)高二（上）期初數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年福建省寧德市壽寧重點(diǎn)中學(xué)高二（上）期初數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知復(fù)數(shù)z滿足(z+2i)(2A.2?i B.2+i C.2.如圖①，普通蒙古包可近似看作是圓柱和圓錐的組合體；如圖②，已知圓柱的底面直徑AB=16米，AD=4米，圓錐的高PQA.336π平方米 B.272π平方米 C.208π平方米 3.設(shè)x0為函數(shù)f(x)=lA.3 B.4 C.6 D.54.某小區(qū)從2000戶居民中隨機(jī)抽取100戶進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在50～350kW?h之間，進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M后(每組為左閉右開的區(qū)間)，畫出頻率分布直方圖如圖所示.則A.小區(qū)用電量平均數(shù)為186.5，極差為300

B.小區(qū)用電量中位數(shù)為171，眾數(shù)為175

C.可以估計(jì)小區(qū)居民月用電量的85%分位數(shù)約為262.5

D.小區(qū)用電量不小于250kW5.已知函數(shù)f(x)=A.函數(shù)f(x)的最小正周期為π

B.x=7π12是函數(shù)f(x)的一條對(duì)稱軸

C.函數(shù)f(x)在區(qū)間[6.函數(shù)f(x)=7+2A.a≤?1 B.a<?17.如圖，在平面四邊形ABCD中，∠A=90°，AB=AD=2A.?2

B.?32

C.?8.△ABC中，AB=2，BC=26，ACA.7 B.15 C.?15二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn)，a、b表示兩條直線，α、β表示兩個(gè)平面，下列說法正確的是(

)A.若P∈a，P∈α，則a?α

B.若a∩b=P，b?β，則a?β

C.若a//b，10.下列有關(guān)復(fù)數(shù)的說法正確的是(

)A.若復(fù)數(shù)z=z?，則z∈R B.若z+z?=0，則z是純虛數(shù)

C.若z11.一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)球(標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5)，從袋中有放回的抽出兩球則下列說法正確的是(

)A.沒有出現(xiàn)數(shù)字1的概率為425 B.兩次都出現(xiàn)兩個(gè)數(shù)字相同的概率為15

C.至少出現(xiàn)一次數(shù)字1的概率為925 D.兩個(gè)數(shù)字之和為12.如圖，點(diǎn)P是棱長為2的正方體ABCD?AA.當(dāng)P在平面BCC1B1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐P?AA1D1D的體積不變

B.當(dāng)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，D1P與A1C1所成角的取值范圍是[π3,π2]

C.使直線AP與平面A三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.方程x2+9=014.某一部件由三個(gè)電子元件按如圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作．元件1，元件2，元件3正常工作的概率分別為14,13,15.已知AB⊥AC，|AB|=1t，|AC|=t16.已知正四棱錐S?ABCD的底面邊長為2，側(cè)棱長為2，則該正四棱錐相鄰兩個(gè)側(cè)面所成二面角的余弦值為四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AB上，且AE=2BE，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)．

(1)設(shè)AB=a，AD=b18.(本小題10.0分)

設(shè)函數(shù)f(x)=lg(x2?1)的定義域?yàn)榧螦，g(x)=9x+a?19.(本小題12.0分)

已知向量m=(2cosx,1),n=(cosx,3sin2x)，函數(shù)f(x)=m?n．

(1)20.(本小題12.0分)

2021年起，遼寧省將實(shí)行“3+1+2”高考模式，為讓學(xué)生適應(yīng)新高考的賦分模式.某校在一次?？贾惺褂觅x分制給高三年級(jí)學(xué)生的化學(xué)成績(jī)進(jìn)行賦分，具體賦分方案如下：先按照考生原始分從高到低按比例劃定A、B、C、D、E共五個(gè)等級(jí)，然后在相應(yīng)賦分區(qū)間內(nèi)利用轉(zhuǎn)換公式進(jìn)行賦分．

A等級(jí)排名占比15%，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是86～100；

B等級(jí)排名占比35%，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是71～85；

C等級(jí)排名占比35%，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是56～70；

D等級(jí)排名占比13%，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是41～55；

E等級(jí)排名占比2%，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是30～40．

現(xiàn)從全年級(jí)的化學(xué)成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的原始成績(jī)(未賦分)進(jìn)行分析，其頻率分布直方圖如圖所示：

(Ⅰ)求圖中a的值；

(Ⅱ)用樣本估計(jì)總體的方法，估計(jì)該校本次化學(xué)成績(jī)?cè)挤植簧儆诙嗌俜植拍苓_(dá)到賦分后的C等級(jí)及以上(含C等級(jí))？(結(jié)果保留整數(shù))21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=loga(10+x)?loga(10?x)(22.(本小題14.0分)

如圖所示，在等邊△ABC中，AB=6，M，N分別是AB，AC上的點(diǎn)，且AM=AN=4，E是BC的中點(diǎn)，AE交MN于點(diǎn)F.以MN為折痕把△AMN折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置(0<∠PFE<π)，連接PB答案和解析1.【答案】B

【解析】解：因?yàn)?z+2i)(2?i)=5，則z=522.【答案】D

【解析】解：依題意得，

圓柱的側(cè)面積S1=2π×(12AB)×AD=2π×12×16×4=64π，∵3.【答案】C

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=lnx+x?5在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

又f(3)=ln3+3?5=ln3?2<04.【答案】C

【解析】解：對(duì)于A，極差為300，小區(qū)用電量平均數(shù)為

50×0.0024×75+50×0.0036×125+50×0.0060×175+50×0.0044×225

+50×0.0024×275+50×0.0012×325=186，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，小區(qū)用電量眾數(shù)為150+2002=175，

因?yàn)?0×(0.0024+0.0036)=0.3，50×(0.0024+0.0036+0.0060)=0.6，

故小區(qū)用電量中位數(shù)在[150,200)，設(shè)為m，

則0.3+(5.【答案】D

【解析】解：由于函數(shù)f(x)=sin2x+3cos2x=2sin(2x+π3)，

故它的最小正周期為2π2=π，故A正確．

令x=7π12，求得f(x6.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=7+2ax?x2，

令t(x)=7+2ax?x2，則f(t)=t，

由題意可得t(x)=7.【答案】B

【解析】解：已知∠A=90°，AB=AD=2，

所以△ABD為等腰直角三角形，

此時(shí)∠ABC=∠ADC=45°+60°=105°，

易知BC=DC=BD=22，

所以△ABC≌8.【答案】A

【解析】【分析】本題考查三角形外心的定義，余弦定理，以及數(shù)量積的運(yùn)算及其計(jì)算公式，余弦函數(shù)的定義，屬于中檔題．

在△ABC中，利用余弦定理求出cos∠BAC，再在AO=mAB+【解答】

解：由余弦定理可得cos∠BAC=AB2+AC2?BC22AB?AC=4+16?242×29.【答案】CD【解析】解：當(dāng)a∩α=P時(shí)，P∈a，P∈α，但a?α，故A錯(cuò)；

當(dāng)a∩β=P時(shí)，B錯(cuò)；

如圖，∵a//b，P∈b，∴P?a，

∴由直線a和點(diǎn)P確定唯一平面α，

又a//b，由a與b確定唯一平面β，但β經(jīng)過直線a和點(diǎn)P，10.【答案】AD【解析】解：對(duì)于A，設(shè)z=a+bi，(a,b∈R)，則z?=a?bi，

若z=z?，則b=0，∴z∈R，故A正確；

對(duì)于B，設(shè)z=z?=0時(shí)，z+z?=0，而z不是純虛數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，當(dāng)z=1+i時(shí)，則|z|2=2，zz2=2im，

∴|z|2≠11.【答案】BC【解析】解：沒有出現(xiàn)數(shù)字1的概率為45×45=1625≠425，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

從袋中有放回的抽出兩球共有：5×5=25種結(jié)果，兩次都出現(xiàn)兩個(gè)數(shù)字相同的有5種結(jié)果，故兩次都出現(xiàn)兩個(gè)數(shù)字相同的概率為525=15，選項(xiàng)B正確；

從反向思考，至少出現(xiàn)一次數(shù)字1的概率為1?1625=925，選項(xiàng)C正確；

兩個(gè)數(shù)字之和為6的情況有：(112.【答案】AB【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)槠矫鍮CC1B1//平面AA1D1D，

所以點(diǎn)P到側(cè)面ADD1A1的距離為定值，故四棱錐P?AA1D1D的體積為定值，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)锳1C1//AC，D1P與A1C1所成角是∠D1PA或其補(bǔ)角，

因?yàn)椤鱀1AC是正三角形，所以D1P與A1C1成角的取值范圍是[π3,π2]，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：①當(dāng)點(diǎn)P在側(cè)面CC1D1D上時(shí)(不包括正方形的邊界)，過點(diǎn)P作平面ABCD的垂線，垂足為H，連AH，

根據(jù)正方體易知PH⊥平面ABCD，則∠PAH為PA與平面ABCD所成的角，故∠PAH=45°，所以PH=AH，

在Rt△ADH中，由AH>AD=2，但是PH=AH<2，矛盾，

故點(diǎn)P不能在側(cè)面CC1D1D上(不包括正方形的邊界)，

同理，點(diǎn)P不在側(cè)面BB1C1C上(不包括正方形的邊界)．

②當(dāng)點(diǎn)P在上底面A1B1C1D1上時(shí)，過點(diǎn)P作平面ABCD的垂線，垂足為G，連結(jié)A1P，AG，

根據(jù)正方體易知PG⊥平面ABCD，且四邊形A1PGA為矩形，則∠PAG為PA與平面ABCD所成的角，故∠PAG=45°，

所以PG=AG=2，所以A1P=AG=2，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡是以A1為圓心，2為半徑的四分之一圓，點(diǎn)P的軌跡長度為14×2π×2=π；

③當(dāng)點(diǎn)P在側(cè)面AA1D1D，AA1BB上時(shí)，根據(jù)正方體特征易知點(diǎn)P在線段AB1，AD1上，都符合題意，

此時(shí)點(diǎn)P的軌跡長為42；由上知點(diǎn)P的軌跡長度為π+42，故C選項(xiàng)正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：取

BC中點(diǎn)M，CD中點(diǎn)N，連結(jié)FM，F(xiàn)N，

因?yàn)镸、N13.【答案】±3【解析】解：方程x2+9=0，解得x=±3i14.【答案】14【解析】【分析】本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．

設(shè)“元件1正常工作”為事件A，“元件2正常工作”為事件B，“元件3正常工作”為事件C，

則P(A)=1【解答】

解：設(shè)“元件1正常工作”為事件A，“元件2正常工作”為事件B，“元件3正常工作”為事件C，

則P(A)=14，P(B)=115.【答案】192

【解析】解：由題意建立如圖所示的坐標(biāo)系，

可得A(0,0)，B(1t,0)，C(0,t)，

因?yàn)锳P=4AC|AC||AB|=4AC，所以P(0,4t16.【答案】?17

【解析】解：如圖所示，連接AC，BD，相交于點(diǎn)O，連接OS．

∵四棱錐S?ABCD是正四棱錐，

∴OS⊥底面ABCD.作BE⊥SC，同理DE⊥SC，連接DE，

∴∠BED是相鄰兩個(gè)側(cè)面所成二面角的平面角，

BD=2，12BC17.【答案】解：(1)因?yàn)锳E=2BE，則AE=23AB,EB=13AB，

所以ED【解析】本題考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到向量垂直的性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．

(1)利用平面向量基本定理以及三角形法則即可求解；

18.【答案】解：(1)由x2?1>0，解得x>1或x<?1，

所以集合A=(?∞,?1)∪(1,+∞)，?RA=[?1,1]，

當(dāng)a=1時(shí)，由9x+1?3≥0，即32x+2≥3，【解析】(1)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求得集合A，B，再根據(jù)集合的運(yùn)算進(jìn)行求解即可；(2)因?yàn)椤皒∈A”是“x∈19.【答案】解(1)依題意得f(x)=m?n=2cos2x+3sin2x

=cos2x+1+3sin2x

=2sin(2x+π6)+1，

因?yàn)閒(α)=2s【解析】(1)由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和三角函數(shù)的恒等變換，計(jì)算可得所求角；

(220.【答案】解：(Ⅰ)由題意(0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1，所以a=0.030．

(Ⅱ)由已知等級(jí)達(dá)到C及以上所占排名等級(jí)占比為15%+35%+35%=85%，

假設(shè)原始分不少于x分可以達(dá)到賦分后的C等級(jí)及以上，

則有(0.005+0.025+0.030+0.015)×10+(60?x)×0.015=0.85，

解得x≈53.33(分)，所以原始分不少于54分才能達(dá)到賦分后的C等級(jí)及以上．

(Ⅲ)由題知得分在[40,50)和[50,60)內(nèi)的頻率分別為0.1和0.15，

則抽取的5人中，得分在[40,50)【解析】(Ⅰ)由頻率分布直方圖的性質(zhì)列方程，能求出a．

(Ⅱ)由已知等級(jí)達(dá)到C及以上所占排名等級(jí)占比為85%，假設(shè)原始分不少于x分可以達(dá)到賦分后的C等級(jí)及以上，列方程能求出結(jié)果．

(Ⅲ)由題知得分在[40,50)和[50,60)內(nèi)的頻率分別為0.1和0.15，則抽取的5人中，得分在[40,50)內(nèi)的有2人，得分在[50,60)的有3人，記得分在[50,60)內(nèi)的3位學(xué)生為a，b21.【答案】解：(1)要使函數(shù)有意義，則10+x>010?x>0，解得?10<x<10，

所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)??10,10)．

(2)f(x)是奇函數(shù)，理由如下：

由(1)知函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

f(?x)=loga(10?x)?loga(10+x【解析】(1)由函數(shù)有意義所需條件，求f(x)的定義域；

(2)由函數(shù)奇偶性