2021-2022學(xué)年度強(qiáng)化訓(xùn)練北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第三章 圓難點(diǎn)解析練習(xí)題

北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第三章圓難點(diǎn)解析

考試時(shí)間：90分鐘；命題人：數(shù)學(xué)教研組

考生注意：

1、本卷分第I卷（選擇題）和第H卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘

2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)填寫在試卷規(guī)定位置上

3、答案必須寫在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新

的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。

第I卷（選擇題30分）

一、單選題（10小題，每小題3分，共計(jì)30分）

1、如圖，劭是。。的切線，NBCE=30°,則N，=（）

A.40°B.50°C.60°D.30°

2、如圖，色△/式1中，N4=90°,N8=30°,AC=1,將放△46C延直線/由圖1的位置按順時(shí)針

方向向右作無滑動(dòng)滾動(dòng)，當(dāng)/第一次滾動(dòng)到圖2位置時(shí),頂點(diǎn)1所經(jīng)過的路徑的長為（）

Si圖2

A(4+6)3R(8+4百加r(4+5拘萬

D.--------------L?----------------------D.(2+6)〃

636

3、如圖，點(diǎn)/、B、C在。。上，/物456°,則N8%的度數(shù)為（)

A.28°B.102°C.112°D.128°

4、如圖，點(diǎn)A,B,C在。。上,△045是等邊三角形，則4cB的大小為（

A.60°B.40°C.30°D.20°

5、如圖，18是。。的直徑，弦COLAS,ZCDB=30°,CD=2^則陰影部分圖形的面積為

()

2%

A.4萬B.24C.兀D.

T

6、如圖，已知。。中，4403=5()。，則圓周角N4CB的度數(shù)是()

C.100°D.30°

7、已知。。的半徑等于5,圓心0到直線，的距離為6,那么直線/與。。的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

()

A.0B.1C.2D.無法確定

8、如圖，點(diǎn)4B,。在。。上，AACB=3V,則N4%的度數(shù)是()

A.73°B.74°C.64°D.37°

9、如圖，AB是。。的直徑，C、。是。。上的兩點(diǎn)，若N8OC=13/，則NA0C=()

C.25°D.30°

10、如圖，為是。O的切線，切點(diǎn)為4尸0的延長線交。。于點(diǎn)6,若/尸=40。，則D8的度數(shù)為

().

B

A.20°B.25°C.30°D.40°

第n卷（非選擇題70分）

二、填空題（5小題，每小題4分，共計(jì)20分）

1、如圖，在中，BC=4,以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的。A與BC相切于點(diǎn)3,交AB于點(diǎn)E,交

AC于點(diǎn)F,點(diǎn)尸是0A上一點(diǎn)，且/￡7平'=40。，則圖中陰影部分的面積是.

2、如圖，力6是半圓。的直徑，46=4,點(diǎn)G〃在半圓上，OCLAB,8。=2co，點(diǎn)2是利上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，則出斗〃p的最小值為.

3、如圖，正六邊形/比頌內(nèi)接于。0,若。。的周長為8萬,則正六邊形的邊長為

4、用一個(gè)半徑為2的半圓作一個(gè)圓錐的側(cè)面，這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為.

5、已知正六邊形的周長是24,則這個(gè)正六邊形的半徑為.

三、解答題（5小題，每小題10分，共計(jì)50分）

1、在平面直角坐標(biāo)系xOv中，點(diǎn)M在x軸上，以點(diǎn)〃為圓心的圓與x軸交于火1,0）,8（4,0）兩點(diǎn)，

對(duì)于點(diǎn)？和。"，給出如下定義：若拋物線尸加+加+。何#0）經(jīng)過48兩點(diǎn)且頂點(diǎn)為R則稱點(diǎn)P

為。M的“圖象關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

（1）已知以5,2）,F（|,-4）,G（3,l）,嗚，3）,在點(diǎn)后F,G,〃中，0M的"圖象關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是

_____?

（2）已知。M的”圖象關(guān)聯(lián)點(diǎn)”夕在第一象限，若。尸=判斷。。與。仞的位置關(guān)系，并證

明；

（3）已知C（4,2）,0（1,2）,當(dāng)0M的“圖象關(guān)聯(lián)點(diǎn)”產(chǎn)在0M外且在四邊形力吸內(nèi)時(shí)，直接寫出

拋物線y=+c中d的取值范圍.

2、如圖，AC是。。的直徑，PA、陽是。。的切線，切點(diǎn)分別是點(diǎn)4、B.

(1)如圖1,若/的C=25°,求/尸的度數(shù).

(2)如圖2,若必是劣弧上一點(diǎn)，NAMB=NAOB,BC=2,求心的長.

3、如圖，在R/AABC中，ZACB=90°,Q?平分ZACB.。為邊■上一動(dòng)點(diǎn)，將△。尸8沿著直線加翻

折到QPE，點(diǎn)￡恰好落在J2DP的外接圓。。上.

(1)求證：〃是48的中點(diǎn).

(2)當(dāng)NBDE=60。，8尸=近時(shí)，求〃C的長.

(3)設(shè)線段如與O。交于點(diǎn)0,連結(jié)QC,當(dāng)勿垂直于的一邊時(shí)，求滿足條件的所有NQCB的

度數(shù).

備用圖

4、如圖，點(diǎn)C是以月6為直徑的半圓。上一點(diǎn)，且AB=2,4)平分NBAC交8c于點(diǎn)0,0平分

NBCA交AD于點(diǎn)、P,PF±AC,PELBC.

P

A

OB

(1)求證：四邊形CW為正方形;

(2)求ACBC的最大值；

(3)求的最小值.

AC

5、如圖，在△力比'中，以46為直徑的。。交6C于點(diǎn)〃，與。的延長線交于點(diǎn)發(fā)。。的切線所與

4c垂直，垂足為我.

(1)求證：AB=AC.

(2)若CF=2AF,AE=\,求。。的半徑.

-參考答案-

一、單選題

1、D

【分析】

連接08,根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，等角對(duì)等邊，三角形的外角性質(zhì)可得4如=60。，根據(jù)切線

的性質(zhì)可得/08。=90。，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余即可求得/D.

【詳解】

解：連接。8

B

BE=BE

:.NBAE=NBCE=30。

■：OB=OA

ZOfiA=ZOAB=30°

NBOD=NOBA+ZOAB=60°

???劭是00的切線

:.ZOBD=90°

/.ZD=30°

故選D

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的性質(zhì)，等弧所對(duì)的圓周角相等，直角三角形的兩銳角互余，掌握切線的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

2、C

【分析】

根據(jù)題意，畫出示意圖，確定出點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路徑，再根據(jù)弧長公式即可求解.

【詳解】

解：根據(jù)題意可得，般的運(yùn)動(dòng)示意圖，如下:

股中，ZJ=90°,N6=30°,AC=1,

.?.ZAC8=60。，BC=2,AB^BC—C?=5

由圖形可得，點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路線為，先以C為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，到達(dá)點(diǎn)A，經(jīng)過的路徑長為

塔二="，再以4為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150。，到達(dá)點(diǎn)七,經(jīng)過的路徑長為空￡01=也，

18031806

頂點(diǎn)1所經(jīng)過的路徑的長為=空+也=9?,

366

故選：C

【點(diǎn)睛】

此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圓弧弧長的求解，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意確定點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路線.

3、C

【分析】

直接由圓周角定理求解即可.

【詳解】

解：?.?/力=56°,與/60C所對(duì)的弧相同，

：.ZBOC=2ZA=112Q,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解答本題的關(guān)鍵，同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的

圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.

4、C

【分析】

由△OAB為等邊三角形，得：N4除60°,再根據(jù)圓周角定理，即可求解.

【詳解】

解：???△。鉆為等邊三角形，

.,./加廬60°,

ZACB=-AA0B=-X60°=30°.

22

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓周角定理，掌握同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半是解題的關(guān)鍵.

5、D

【分析】

根據(jù)垂徑定理求得誨小道；然后由圓周角定理知后60°.然后通過解直角三角形求得線段

0C,然后證明△況&△皿取得到S△謝=%的求出扇形面積，即可得出答案.

【詳解】

解:設(shè)四與必交于點(diǎn)后

?.38是。0的直徑，弦,CDLAB,0)=20如圖，

:?c吟CD-6ZCEO=ZDEB=90°,

?:NCDB=30°,

：.ZCOB=2ZCDB=&0°,

：.ZOCE=30°,

：.OE=-OC,

2

??.BE=OE=-OB=-OC

22f

XVOC2=CE2+OE\即。。2=!。。2+3

4

???OC=2,

在△。絲和△皮液中，

/OCE=NBDE

<Z.CEO=ZDEB,

OE=BE

：./\OCE^/\BDE(/MS),

??S&DEB-SMEO

...陰影部分的面積9ssi形蹲*Z=

3603

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了垂徑定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，扇

形面積的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，能知道陰影部分的面積=扇形。仍的面積是解此題的關(guān)鍵.

6、B

【分析】

根據(jù)圓周角定理，即可求解.

【詳解】

解：*/ZACB=-ZAOB,ZAOB-50°,

ZACB=25°.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了圓周角定理，熟練掌握同圓（或等圓）中，同?。ɑ虻然。┧鶎?duì)的圓周角等于圓心角

的一半是解題的關(guān)鍵.

7、A

【分析】

圓的半徑為八圓心到直線的距離為4當(dāng)4r時(shí)，圓與直線相離，直線與圓沒有交點(diǎn)，當(dāng)"=r時(shí)，

圓與直線相切，直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)，時(shí)，圓與直線相交，直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)原理可

得答案.

【詳解】

解：：。。的半徑等于r為8,圓心0到直線，的距離為“為6,

/.d>r,

???直線，與。。相離，

...直線/與。。的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0,

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是圓與直線的位置關(guān)系，圓與直線的位置關(guān)系有相離，相交，相切，熟悉三種位置關(guān)系對(duì)

應(yīng)的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是解本題的關(guān)鍵.

8、B

【分析】

根據(jù)圓中同弧或等弧多對(duì)應(yīng)的圓周角是圓心角的一半，可知嬌2/4應(yīng)=74°,即可得出答案.

【詳解】

解：由圖可知，

N/I仍在。。中為AB對(duì)應(yīng)的圓周角，N4/在。。中為AB對(duì)應(yīng)的圓心角，

故：ZAOB=2ZACB=74°.

故答案為：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是圓中的基本性質(zhì)，同弧對(duì)應(yīng)的圓周角與圓心角度數(shù)的關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A中的基本概

念是解本題的關(guān)鍵.

9、C

【分析】

根據(jù)圓周角定理得到N8%的度數(shù)，再根據(jù)直徑所對(duì)圓周角是直角，即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：〈NB0C=13Q°,

：.ZBD(=-Z800=65°，

2

?.38是。。的直徑，

：.ZADB=^O°,

：.ZAD(=90Q-65°=25°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查「圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵.

10、B

【分析】

連接勿，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得N為390°,再利用互余計(jì)算出N40斤50°,然后根據(jù)等腰三角

形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)計(jì)算/6的度數(shù).

【詳解】

解：連接。4如圖，

?.?必是。。的切線，

：.OAVAP,

二/必/90°,

：.ZAOP=50°,

*：OA=OB,

：.ZB=AOAB,

YNAO六/m/OAB,

.\Zi?=yZA0P=1X50°=25°.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)

造定理圖，得出垂直關(guān)系.

二、填空題

【分析】

連接4。，由圓周角定理可求出ZE4F=8()。，即可利用扇形面積公式求出書形次.由切線的性質(zhì)可知

AD1.BC,即可利用三角形面積公式求出S“.8c.最后根據(jù)%=S&ABC-$扇形而尸,即可求出結(jié)果.

【詳解】

如圖，連接

,/ZEPF=40°,

ZE4F=2ZEPF=80°,

._804xAE2_80/x2?_84

??扇形以尸―一麗—360~~9

???/%是。。切線，且切點(diǎn)為〃，

AADLBC,AD=2,

??SMBC~~,BC=-x2x4=4.

22

S明=s^ABC-s扇形以〃,

q4防

S陰=4一至

故答案為：4-萼.

9

【點(diǎn)睛】

本題考查圓周角定理，切線的性質(zhì)，扇形的面積公式.連接常用的輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

2、2石

【分析】

如圖，連接被PA,PD,如.首先證明為=加，再根據(jù)廄陽=9必。力〃求出加即可解決問題.

【詳解】

解：如圖，連接4〃，PA,PD,0D.

,：OCVAB,OA=OB,

：.PA=PB,4C0B=9Q°,

,?*BD=2CD，

：.ZDOB=-X90°=60°,

3

?：OD=OB,

△物是等邊三角形，

，/4?=60°

?.36是直徑，

:.NAD8=90°,

AD-AB'sinZABD-2^3,

PB^PgPA+PDNAD,

:.PDyPB，26,

.?.9期的最小值為2石,

故答案為：2后.

【點(diǎn)睛】

本題考查圓周角定理，垂徑定理，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思

想思考問題.

3、4

【分析】

由周長公式可得半徑為4,再由正多邊形的中心角公式可得正六邊形/比W中心角為60。，即可

知正六邊形ABCDEF為6個(gè)邊長為4的正三角形組成的，則可求得六邊形ABCDEF邊快.

【詳解】

的周長為8萬

.?.00半徑為4

,/正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。。

正六邊形ABCDEF中心角為3哼60°-=60°

6

...正六邊形ABCDEF為6個(gè)邊長為4的正三角形組成的

正六邊形ABCDEF邊長為4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正多邊形的中心角公式，正"邊形的每個(gè)中心角都等于幽，由中心角為60。得出正六邊

n

形ABCDEF為6個(gè)邊長為4的正三角形組成的是解題的關(guān)鍵.

4、1

【分析】

先求出扇形的弧長，然后根據(jù)扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r,列出

方程求解即可得.

【詳解】

解：：半徑為2的半圓的弧長為：|x2^x2=2^r,

圍成的圓錐的底面圓的周長為2口

設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r,貝U：

2nr-2%,

解得：r=\,

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

題目主要考查圓錐與扇形之間的關(guān)系，一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握?qǐng)A錐與扇形之間的關(guān)系是解題

關(guān)鍵.

5、4

【分析】

由于正六邊形可以由其半徑分為六個(gè)全等的正三角形，而三角形的邊長就是正六邊形的半徑，由此即

可求解.

【詳解】

解：?.?正六邊形可以由其半徑分為六個(gè)全等的正三角形，

而三角形的邊長就是正六邊形的半徑，

又???正六邊形的周長為24,

...正六邊形邊長為24+6=4,

正六邊形的半徑等于4.

故答案為4.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查正多邊形和圓，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考基礎(chǔ)題.

三、解答題

Q2

1、(1)F,H-,(2)相切，見解析；(3)-1<a<-y

【分析】

(1)根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求出頂點(diǎn)橫坐標(biāo)，然后判斷即可；

(2)連接/￥,過點(diǎn)〃作物于M證明=即可；

(3)求出點(diǎn)P縱坐標(biāo)為1.5或2時(shí)的函數(shù)解析式，再判斷a的取值范圍即可.

【詳解】

解：(1)???拋物線產(chǎn)”+版+{"0)經(jīng)過A(1,O),3(4,0)兩點(diǎn)且頂點(diǎn)為R

則頂點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為1+三4=]5,

；在點(diǎn)EF,G,〃中，F(xiàn)(|T，嗚，3)橫坐標(biāo)為T，

.?.在點(diǎn)反F,G,〃中，0M的”圖象關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是凡H；

故答案為：F,H；

(2)8與。必的位置關(guān)系是：相切.

為。"的直徑,

M為的中點(diǎn).

,：A(1,0),B(4,0),

AM=-.

2

：.OM=~.

2

連接期

?.?"為?！ǖ摹皥D象關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，

.?.點(diǎn)產(chǎn)為拋物線的頂點(diǎn).

.?.點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上.

.?./￥是4?的垂直平分線.

：.PMLAB.

過點(diǎn)必作船歸_利于N.

S&OMP=^OMPM=^OPMN.

OP=2PM

3

二。與。"相切

(3)由(1)可知，頂點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為g,由(2)可知。"的半徑為1.5,

已知C(4,2),0(1,2),當(dāng)。"的“圖象關(guān)聯(lián)點(diǎn)”尸在外且在四邊形業(yè);切內(nèi)時(shí)，

頂點(diǎn)P的縱坐標(biāo)范圍是大于L5且小于2,

當(dāng)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2.5,2)時(shí)，設(shè)拋物線解析式為y=a(x-2.5y+2,把A(l,0)代入得，

Q

2

0=a(l-2.5)+2,解得，a=--:

當(dāng)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2.5,1.5)時(shí)，設(shè)拋物線解析式為y=a(x-2.5y+1.5,把A(l,0)代入得,

2

2

0=?(1-2.5)+1.5,解得，a=--;

Q7

'a的取值范圍一2<a<—￡

93

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的綜合和切線的證明，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)和切線判定定理進(jìn)行

求解與證明.

2、(1)50°；(2)2+

【分析】

(1)由題意先根據(jù)切線長定理得到為=如，則利用等腰三角形的性質(zhì)得/必生/尸胡，再根據(jù)切線的

性質(zhì)得4%C=90。，于是利用互余計(jì)算出N陽廬65°,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算NP的度數(shù).

(2)根據(jù)題意圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出Z4MB+NC=180。，進(jìn)而判定△而/?為等邊三角形利用其

性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可求出/I。的長.

【詳解】

解：(1)?處、陽是。。的切線，4c是。。的直徑，

:.PA=PB,OA±PA,

:.NPAB=NPBA,ZPAC=90°.

'：ABAC=25°,

ZPAB=APAC-NBAC=90°-25°=65°,

在△PA8中，ZP=1800-ZPAB-NPBA=180°-2ZPAB=180°-2x65°=50°.

(2)?.?四邊形〃內(nèi)接于。O,

?.ZAM6+NC=180°,

XVZAMB=ZAOB,ZAOB=2NC,

，N/U/8+NC=2NC+NC=180°,

ZC=60°,

?.3C為。。的直徑，

ZA5c=90°,ZR4C=30°,

，ZPAB=APAC-ABAC=90°-30°=60°.

又：PA=PB,

：.ZYPAB為等邊三角形，

AP=AB,

在RtZ\ABC中，ZABC=90°,ZBAC=30°,BC=2,

：.AC=2BC=4,貝uAB=VAC。-BC?=J42-方=26，

：.AP=AB=2y/3.

【點(diǎn)睛】

本題考查切線長定理和切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或

論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題.

3、(1)證明見解析；(2)石+1；(3)當(dāng)勿垂直于△旌的一邊時(shí)，ZQCB=15°或22.5°.

【分析】

(1)由翻折的性質(zhì)可得N作/%?，再由/比杵即可得到/廬CD-BD,再由角平分線

的定義得到/B=NQCB=g/4cB=45。，則N劭R90°,即可利用三線合一定理得到除被即，是

48的中點(diǎn)；

(2)由△勿及是△7方翻折得到，ZBDP=ZEDP=|ZBDE=30°,如圖所示，過點(diǎn)。作朋1"

于尸，先利用勾股定理求出3尸=P/=1,得到￡>P=2"=2,即可求出DFHDP^-PF。=6則

CD=BD=DF+BF='\；

(3)分當(dāng)如時(shí)，當(dāng)應(yīng)工的時(shí)，當(dāng)皿C0時(shí)三種情況進(jìn)行討論求解即可得到答案.

【詳解】

解：(1)?.?△加歸是△〃陽翻折得到，

：.乙氏4DEP,

又,：NDC六NDEP,

:.乙件/DCP,

：.CD=BD,

,：ZACB=90°,CD平■分乙ACB,

：.ZB=ZDCB=-ZACB=45°=ZA,

2

:.NBDC=9Q°,CA=CB,

:.B2AD(三線合一定理)，

是〃的中點(diǎn);

(2)△加發(fā)是aiW翻折得到，

/.NBDP=NEDP=-NBDE=30°,

2

如圖所示，過點(diǎn)。作加_1_48于E

:./PF//PFF9G°,

:.D42PF,

???/慶45°,

:./BP產(chǎn)90°-N廬45°,

：.ZBPF-ZB,

：.BF=PF,

:BF2+PF2=BP2=2^

:.BF=PF=\,

：.DP=2PF=2,

???DF7DP?-PF?=6,

:.CD=BD=DF+BF=&\;

B

(3)如圖所示，當(dāng)?shù)模鐣r(shí)，

?：ZCDQ=90°,

.?.%為圓。的直徑，

二由垂徑定理可知版2=AQ,

/.ZDCQ=ZPCQ=|ZDCB=22.5°,即NQC8=22.5°；

如圖所示，當(dāng)龍D時(shí)，設(shè)"與&交于點(diǎn)凡連接〃；

?.?△叱是△展翻折得到，

:.NQDP=NEDP,BADE,

又,：BWCD,

：.CD=ED,

，乙DEO乙DCE,

：.4DE(^4DC丹4ECk乙EC打轉(zhuǎn)。,

,.,NQDP=NQCP,ZECP=ZEDP,

：.ZQCP=ZECP,

:./DEONQC抖45°,

又,：CQ1DE,

AZ<7^90°,

：.ZFCE+ZFE(=90a,

.,./0麗45°+NQCKNECP=9Q°,即3NS45°=90°,

：.ZQCP=15°,即NMM5°,

?.?當(dāng)必工制時(shí)，￡點(diǎn)要在切的下方，此時(shí)圓。與直線物的交點(diǎn)在物的延長線上,

不存在夕紅的這種情況，

二綜上所述，當(dāng)OC垂直于△力火的一邊時(shí)，4QCF15°或22.5°.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了折疊的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角，含30度角的直角

三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握?qǐng)A的相

關(guān)知識(shí).

4、(1)見詳解；(2)2；(3)y/2+l.

【分析】

(1)由圓周角定理，得到NACB=90。，得到四邊形的為矩形，再由角平分線的性質(zhì)定理，得到

P&PF,即可得到結(jié)論成立；

(2)過點(diǎn)C作磔，48,當(dāng)CG最大時(shí)，4c.sc有最大值，利用三角形的面積公式，即可求出答案；

(3)設(shè)PE=PF=CE=CF=x,由相似三角形的判定和性質(zhì)，得到與+上=L則x取最大值時(shí),

ACDCx

」+上有最小值，然后求出x的最大值，即可得到答案.

ACDC

【詳解】

解：(1)證明：

?.38為直徑，

ZACB=90°,

VPFVAC,PEA.BC,

：.ZPFC=ZPEC=9Q°,

...四邊形CEPF是矩形,

?.?<T平分N8C4,

PF=PE,

...四邊形曲'為正方形；

(2)過點(diǎn)。作CGVAB,如圖:

GOB

由SMBC=|AB.CG=1ACRC可知，

當(dāng)CG最大時(shí)，AC.3C有最大值,

即CG=gAB=；x2=l；

由三角形的面積公式，則

S^BC=^AB.CG=^AC.BC,

"：AB=