山東省青島市2023-2024學年高一上學期9月強基計劃學生選拔測試數(shù)學試題

2023年青島市高一數(shù)學強基計劃學生選拔測試題（時間：100分鐘，滿分120分）一、填空題（共64分，其中每個小題8分）1．已知關(guān)于的方程||有解，則的取值范圍是______．2．如圖，直線與軸，軸分別交于點，與反比例函數(shù)的圖象交于點．若，則的值為______．3．實數(shù)，且滿足，，則的值為______．4．如圖，在中，為上一點，連接，，，，則的面積是______．5．已知實數(shù)滿足，且，則的最大值為______．6．在同一平面直角坐標系中，直線與函數(shù)的圖象恰好有三個不同的交點，則的取值范圍是______．7．設(shè)是正整數(shù)，且是15的倍數(shù)，．已知是完全平方數(shù)，是完全立方數(shù)，是完全5次方數(shù)，則的最小值是______．8．將形如和為正整數(shù)）的正整數(shù)從小到大排列，并依次記為若第個數(shù)，則的值為______．二、解答題（共56分，其中第9題16分，第10題20分，第11題20分）9．（本題滿分16分）如果實數(shù)滿足，用表示，，的最大值，求的最大值．10．（本題滿分20分）若一個兩位正整數(shù)的個位數(shù)為4，則稱為“好數(shù)”．（1）求證：對任意“好數(shù)”一定為20的倍數(shù)；（2）若，且為正整數(shù)，則稱數(shù)對為“友好數(shù)對”，規(guī)定：，例如，稱數(shù)對為“友好數(shù)對”，則，求小于70的“好數(shù)”中，所有“友好數(shù)對”的的最大值．11．（本題滿分20分）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，點是拋物線的頂點，拋物線的對稱軸與交于點，與軸交于點．（1）若，求拋物線的表達式；（2）在（1）的條件下，點是第一象限內(nèi)拋物線對稱軸上一點，且，求點的坐標．2023年青島市高一數(shù)學強基計劃學生選拔測試題評分細則一、填空題（共64分，其中每個小題8分）1．2．3．－234．5．6．7．8．684二、解答題（共56分，其中第9題16分，第10題20分，第11題20分）9．（本小題滿分16分）不妨設(shè)，則，令，，則，由可知，，∴，化簡得，∵，∴，∴，∴．10．（本小題滿分20分）（1）證明：設(shè)，且為整數(shù)，∴∵，且為整數(shù)，∴是正整數(shù)，∴一定是20的倍數(shù)；（2）∵，且為正整數(shù)，∴，當時，，沒有滿足條件的，當時，，∴滿足條件的有或，解得或，∴或，當時，，沒有滿足條件的，當時，，∴滿足條件的有，解得，∴，當時，，沒有滿足條件的，當時，，∴滿足條件的有或，解得或，∴或，∴小于70的“好數(shù)”中，所有“友好數(shù)對”的的最大值為．11．（本小題滿分20分）解析：（1）∵拋物線解析式為，∴拋物線的對稱軸是直線，∵拋物線與軸交于兩點，∴點；當時，，∴點，∵拋物線，與軸交于點C，∴點，又∵點，∴直線的解析式為，當時，，∴點，∵，∴，∴，∴拋物線的解析式為；（2）如圖