專題43變量間相關(guān)關(guān)系統(tǒng)計(jì)案例（原卷版）

專題43變量間相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例№專題43變量間相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例№考向解讀?考點(diǎn)精析?真題精講?模擬精練?專題訓(xùn)練（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題43變量間相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例命題解讀命題預(yù)測復(fù)習(xí)建議集合是歷年高考的必考點(diǎn)，集合常出現(xiàn)在選擇題的第一或第二次小題，題目以集合的運(yùn)算為主，主要是集合的交、并、補(bǔ)的運(yùn)算。從題目的難易度來看屬于基礎(chǔ)題，但從歷年高考題來看，在集合的考察中穿查不等式的求解，因此在做集合題時(shí)要注意不等式的求解。高考注重的基礎(chǔ)知識(shí)的靈活運(yùn)用，集合題目簡單，考查內(nèi)容、題型穩(wěn)定，考查的覆蓋面會(huì)進(jìn)一步加大。預(yù)計(jì)2024年的高考仍然會(huì)以考查集合間的關(guān)系、集合的基本運(yùn)算為主，還是以選擇題的形式出現(xiàn)，全國卷中與不等式結(jié)合的可能性比較大，要多注意。集合復(fù)習(xí)策略：1.掌握集合的含義以及基本關(guān)系；2.理解集合的基本運(yùn)算；3.掌握不等式的求解?！?考點(diǎn)精析←一回歸分析1.兩個(gè)變量的線性相關(guān)(1)正相關(guān)在散點(diǎn)圖中,點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域,對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系,我們將它稱為正相關(guān).

(2)負(fù)相關(guān)在散點(diǎn)圖中,點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域,兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān).

(3)線性相關(guān)關(guān)系、回歸直線如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近,就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系,這條直線叫作回歸直線.

2.回歸方程(1)最小二乘法求回歸直線,使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的距離的平方和最小的方法叫作最小二乘法.

(2)回歸方程方程是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的回歸方程,其中，是待定參數(shù).??????????????????????????.??????????,3.回歸分析(1)定義:對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法.

(2)樣本點(diǎn)的中心對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中(x,y)稱為樣本點(diǎn)的中心.(3)相關(guān)系數(shù)當(dāng)r>0時(shí),表明兩個(gè)變量正相關(guān);

當(dāng)r<0時(shí),表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).

r的絕對(duì)值越接近于1,表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng).r的絕對(duì)值越接近于0,表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.通常|r|大于0.75時(shí),認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.

二獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)分類變量:變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別,像這樣的變量稱為分類變量.

(2)列聯(lián)表:列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表,稱為列聯(lián)表.假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y,它們的可能取值分別為{x1,x2}和{y1,y2},其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為

2×2列聯(lián)表y1y2總計(jì)x1aba+bx2cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量K2=n(ad-bc(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)利用隨機(jī)變量K2來判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn).

→?真題精講←1．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）某服裝生產(chǎn)商為了解青少年的身高和體重的關(guān)系，在15歲的男生中隨機(jī)抽測了10人的身高和體重，數(shù)據(jù)如下表所示：編號(hào)12345678910身高/cm165168170172173174175177179182體重/kg55896165677075757880由表中數(shù)據(jù)制作成如下所示的散點(diǎn)圖：由最小二乘法計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線的方程為，相關(guān)系數(shù)為，決定系數(shù)為；經(jīng)過殘差分析確定為離群點(diǎn)（對(duì)應(yīng)殘差過大），把它去掉后，再用剩下的9組數(shù)據(jù)計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線的方程為，相關(guān)系數(shù)為，決定系數(shù)為．則以下結(jié)論中正確的有（

）A． B．C． D．→?模擬精練←2．（多選）（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考三模）下列命題中正確的是（

）B．已知隨機(jī)變量，且，則C．已知隨機(jī)變量，則D．已知經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則y與x具有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系3．（2021·河南高三其他模擬（文））由一組樣本點(diǎn)、、、、，根據(jù)最小二乘法求得的回歸方程為，則___________.4．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中高三其他模擬（文））2021年春節(jié)，由賈玲導(dǎo)演的春節(jié)檔電影《你好，李煥英》總票房已突破50億元，影片的感人情節(jié)引起同學(xué)們廣泛熱議.開學(xué)后，哈三中團(tuán)委在高二年級(jí)中(其中男生200名，女生150名)，對(duì)是否觀看該影片進(jìn)行了問卷調(diào)查，各班男生觀看人數(shù)統(tǒng)計(jì)記為組，各班女生觀看人數(shù)統(tǒng)計(jì)記為組，得到如圖的莖葉圖.（1）根據(jù)莖葉圖補(bǔ)全列聯(lián)表；觀看沒觀看合計(jì)男生200女生150合計(jì)350（2）判斷是否有的把握認(rèn)為觀看該影片與性別有關(guān)？，.5．（2021·四川成都市·樹德中學(xué)高三其他模擬（文））某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)對(duì)年銷售量(單位：)的影響.該公司對(duì)近7年的年宣傳費(fèi)和年銷售量數(shù)據(jù)進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)年宣傳費(fèi)(萬元)和年銷售量(單位：)具有線性相關(guān)關(guān)系，并對(duì)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值.(萬元)1234567(單位：)（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)建立年銷售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程(結(jié)果保留到0.001)；（2）已知這種產(chǎn)品的年利潤與，的關(guān)系為，根據(jù)（1）中的結(jié)果，估算該公司應(yīng)該投入多少宣傳費(fèi)，才能使得年利潤z最大.附：回歸方程中的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，，參考數(shù)據(jù)：，6．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）某高科技公司對(duì)其產(chǎn)品研發(fā)年投資額x（單位：百萬元）與其年銷售量y（單位：千件）的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，整理后得到如下統(tǒng)計(jì)表和散點(diǎn)圖.x123456y136120(1)該公司科研團(tuán)隊(duì)通過分析散點(diǎn)圖的特征后，計(jì)劃分別用①和②兩種方案作為年銷售量y關(guān)于年投資額x的回歸分析模型，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)表的數(shù)據(jù)，確定方案①和②的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（注：系數(shù)b，a，d，c按四舍五入保留一位小數(shù)）(2)根據(jù)下表中數(shù)據(jù)，用相關(guān)指數(shù)（不必計(jì)算，只比較大小）比較兩種模型的擬合效果哪個(gè)更好，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測當(dāng)研發(fā)年投資額為8百萬元時(shí)，產(chǎn)品的年銷售量是多少？經(jīng)驗(yàn)回歸方程殘差平方和參考公式及數(shù)據(jù)：，，，，.→?專題訓(xùn)練←1．（2021·廣西南寧三中高三其他模擬（文））英因數(shù)學(xué)家泰勒(B.Taylor，16851731)以發(fā)現(xiàn)泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)聞名于世.由泰勒公式，我們能得到(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，)，其拉格朗日余項(xiàng)是.可以看出，右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得到的的近似值也就越精確.若近似地表示的泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)，不超過時(shí)，正整數(shù)的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．82.通過隨機(jī)詢問50名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表，計(jì)算得．參照臨界值表，得到的正確結(jié)論是（）愛好不愛好合計(jì)男生20525女生101525合計(jì)302050KA．有99.5%以上的把握認(rèn)為“是否愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B．有99.5%以上的把握認(rèn)為“是否愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”C．有99.9%以上的把握認(rèn)為“是否愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D．有99.9%以上的把握認(rèn)為“是否愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”3.針對(duì)當(dāng)下的“抖音熱”，某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和喜歡抖音是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，男生喜歡抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)的，若有的把握認(rèn)為是否喜歡抖音和性別有關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生可能有（）附表：附：A． B． C． D．4．（2021·陜西高三其他模擬（理））某社區(qū)隨機(jī)選取了部分居民，調(diào)查他們對(duì)今年春節(jié)期間社區(qū)組織文藝和體育活動(dòng)的意見(每人只選擇其中一項(xiàng))，調(diào)查結(jié)果如下表所示：文藝活動(dòng)體育活動(dòng)男性居民1520女性居民2510（1）判斷能否有的把握認(rèn)為居民選擇的活動(dòng)類型與性別有關(guān)；（2）用分層抽樣方法，在樣本中選擇文藝活動(dòng)的居民中按性別抽取8人，再從這8人中隨機(jī)選3人，記這3人中男性居民的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，其中.5．（2021·全國高三二模）某初中為了解學(xué)生的肥胖是否與經(jīng)常飲用碳酸飲料有關(guān)，現(xiàn)對(duì)40名七年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如表所示(平均每天喝以上為常喝，體重超過為肥胖.單位：人)經(jīng)常飲用不經(jīng)常飲用合計(jì)肥胖818不肥胖15合計(jì)40（1）將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并回答能否有的把握認(rèn)為學(xué)生是否肥胖和經(jīng)常飲用碳酸飲料有關(guān)？（2）已知經(jīng)常飲用碳酸飲料且肥胖的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)，3名女同學(xué).現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選5人進(jìn)行家訪，求被選中的男生人數(shù)的分布列和期望.參考公式及數(shù)據(jù)：，.6．（2021·全國高考真題（文））甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少?（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?附：k7．（2021·陜西高三其他模擬（文））某社區(qū)隨機(jī)選取了部分居民，調(diào)查他們對(duì)今年春節(jié)期間社區(qū)組織文藝和體育活動(dòng)的意見（每人只選擇其中一項(xiàng)），調(diào)查結(jié)果如下表所示：文藝活動(dòng)體育活動(dòng)男性居民女性居民（1）估計(jì)該社區(qū)男性居民中選擇體育活動(dòng)的概率和全體居民中選擇文藝活動(dòng)的概率；（2）判斷能否有的把握認(rèn)為居民選擇的活動(dòng)類型與性別有關(guān).附：，其中.8．（2021·四川德陽市·高三二模（文））針對(duì)時(shí)下的“網(wǎng)絡(luò)文學(xué)熱”，某班團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別是否與喜歡網(wǎng)絡(luò)文學(xué)有關(guān)”作了一次抽樣調(diào)查，在抽取的樣本中，女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生喜歡“網(wǎng)絡(luò)文學(xué)”的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡“網(wǎng)絡(luò)文學(xué)”的人數(shù)占女生人數(shù)的.設(shè)抽取的男生人數(shù)為.（1）完成列聯(lián)表，若有95%以上的把握認(rèn)為喜歡“網(wǎng)絡(luò)文學(xué)”與性別有關(guān)，求男生人數(shù)的最小值；喜歡網(wǎng)絡(luò)文學(xué)不喜歡網(wǎng)絡(luò)文學(xué)總計(jì)男生女生（2）已知數(shù)學(xué)科代表女生甲和語文科代表男生乙都喜歡網(wǎng)絡(luò)文學(xué)且都在樣本中，當(dāng)取（1）中的最小值時(shí)，從喜歡網(wǎng)絡(luò)文學(xué)的同學(xué)中抽取3名同學(xué)進(jìn)行問卷調(diào)查，求同時(shí)抽到女生甲及男生乙的概率.附：，.9．（2021·合肥市第六中學(xué)高三其他模擬（文））樹木根部半徑與樹木的高度呈正相關(guān)，即樹木根部越粗，樹木的高度也就越高.某塊山地上種植了樹木，某農(nóng)科所為了研究樹木的根部半徑與樹木的高度之間的關(guān)系，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取6棵樹木，調(diào)查得到樹木根部半徑(單位：米)與樹木高度(單位：米)的相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：（1）求關(guān)于的線性回歸方程；（2）對(duì)（1）中得到的回歸方程進(jìn)行殘差分析，若某樹木的殘差為零則認(rèn)為該樹木“長勢標(biāo)準(zhǔn)”，在此片樹木中隨機(jī)抽取1棵樹木，估計(jì)這棵樹木“長勢標(biāo)準(zhǔn)”的概率.參考公式：回歸