遼寧省沈陽市皇姑區(qū)2023屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（ 含答案解析 ）

絕密★使用前遼寧省沈陽市皇姑區(qū)2022-2023學(xué)年度高三上學(xué)期11月期中考試高三數(shù)學(xué)2022.11.09命題人：沈陽市第四十中學(xué)林大勇審題人：沈陽市第二十四中學(xué)王博考生注意：1.本試卷共150分，考試時間120分鐘.分四大題，22小題，共5頁2.請將各題答案填寫在答題卡上.3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容一、單選題（每題只有一個選項是正確答案，每題5分，共40分）1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意，集合A為奇數(shù)集，求出集合B，根據(jù)交集的定義即可求解.【詳解】解：因為集合，所以，故選：B.2.歐拉公式(是虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】先由歐拉公式計算可得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義作出判斷即可.【詳解】根據(jù)題意，故，對應(yīng)點，在第一象限.故選：A.3.如圖，某類共享單車密碼鎖的密碼是由4位數(shù)字組成，所有密碼中，恰有三個重復(fù)數(shù)字的密碼個數(shù)為（）A.90 B.324 C.360 D.400【答案】C【解析】【分析】先考慮重復(fù)的那個數(shù)字在其中三個位置上，再安排剩下的那個位置上的數(shù)字，根據(jù)分步乘法原理可得答案.【詳解】根據(jù)題意，四個位置上恰有三個重復(fù)數(shù)字，可分兩步完成，第一步從10個數(shù)字中任選一個安排在三個位置上，共有種情況，第二步在剩下的9個數(shù)字中任選一個安排在剩下的那個位置上，有9種情況，故共有種，即密碼個數(shù)為360個，故選：C4.中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙，假設(shè)空間站要安排甲，乙，丙，丁4名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排2人，問天實驗艙與夢天實驗艙各安排1人，則甲乙兩人安排在同一個艙內(nèi)的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別求出所有的安排情況，再求甲乙兩人安排在同一個艙內(nèi)的情況，最后用古典概率公式可求解.【詳解】從甲，乙，丙，丁4名航天員中任選兩人去天和核心艙，剩下兩人去剩下兩個艙位，則有種可能，要使得甲乙在同一個艙內(nèi)，由題意，甲乙只能同時在天和核心艙，在這種安排下，剩下兩人去剩下兩個艙位，則有種可能.所以甲乙兩人安排在同一個艙內(nèi)的概率.故選：A5.下列說法：①若隨機變量X服從正態(tài)分布，若，則；②設(shè)某校男生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，用最小二乘法建立的回歸方程為，若該校某男生的身高為170cm，則其體重大約為62.5kg；③有甲、乙兩個袋子，甲袋子中有3個白球，2個黑球；乙袋子中有4個白球，4個黑球.現(xiàn)從甲袋子中任取2個球放入乙袋子，然后再從乙袋子中任取一個球，則此球為白球的概率為，其中正確的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】對于①，由正態(tài)分布的對稱性進行判斷；對于②，直接代入回歸方程即可判斷；對于③，分從甲中取了2個白球、2個黑球、1個白球1個黑球依次計算即可.【詳解】對于①，由題意知：，，又，故，錯誤；對于②，當時，，正確；對于③，若從甲中取了2個白球放入乙袋子，從乙袋子中取出白球的概率為，若從甲中取了2個黑球放入乙袋子，從乙袋子中取出白球的概率為，若從甲中取了1個白球1個黑球放入乙袋子，從乙袋子中取出白球的概率為，所以取到白球的概率為，正確.故選：C.6.在如今這個5G時代，6G研究已方興未艾．2021年8月30日第九屆未來信息通信技術(shù)國際研討會在北京舉辦．會上傳出消息，未來6G速率有望達到1Tbps，并啟用毫米波、太赫茲、可見光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立體網(wǎng)絡(luò)，預(yù)計6G數(shù)據(jù)傳輸速率有望比5G快100倍，時延達到亞毫秒級水平．香農(nóng)公式是被廣泛公認的通信理論基礎(chǔ)和研究依據(jù)，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比．若不改變帶寬W，而將信噪比從9提升至161，則最大信息傳遞率C會提升到原來的（）參考數(shù)據(jù)：．A.2.4倍 B.2.3倍 C.2.2倍 D.2.1倍【答案】C【解析】【分析】按照題中所給公式分別求出當時和當時的最大信息傳遞率即可求出答案.【詳解】當時，最大信息傳遞率當時，最大信息傳遞率.故選：C.7.在△ABC中，已知∠A=90°，AB=2，AC=4，點P在以A為圓心且與邊BC相切的圓上，則的最大值為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由幾何關(guān)系分解向量，根據(jù)數(shù)量積的定義與運算法則求解【詳解】設(shè)為斜邊上的高，則圓的半徑，設(shè)為斜邊的中點，，因為，，則，所以的最大值為故選：D8.已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式對任意恒成立，則實數(shù)k的取值范圍()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】觀察分析可構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)g(x)的單調(diào)性和奇偶性將問題轉(zhuǎn)化為即對恒成立.【詳解】設(shè)，則，即，由，解得，即g(x)定義域關(guān)于原點對稱，又，故g(x)是定義在(－2，2)上的奇函數(shù).，y＝在(－2，2)單調(diào)遞增，y＝lnx在(0，﹢∞)單調(diào)遞增，故g(x)在(－2，2)單調(diào)遞增，則變?yōu)椋嘣瓎栴}轉(zhuǎn)化為：對恒成立，則對恒成立，即對恒成立.令，∵在上單調(diào)遞減，∴，∴；令，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，∴當時，取最大值，∴，∴，即實數(shù)的取值范圍是.故選：C.二、多選題（每題至少有一個選項為正確答案，少選且正確得3分，每題5分，共20分）9.我國居民收入與經(jīng)濟同步增長，人民生活水平顯著提高.“三農(nóng)”工作重心從脫貧攻堅轉(zhuǎn)向全面推進鄉(xiāng)村振興，穩(wěn)步實施鄉(xiāng)村建設(shè)行動，為實現(xiàn)農(nóng)村富強目標而努力.2017年~2021年某市城鎮(zhèn)居民?農(nóng)村居民年人均可支配收入比上年增長率如下圖所示.根據(jù)下面圖表，下列說法一定正確的是（）A.該市農(nóng)村居民年人均可支配收入高于城鎮(zhèn)居民B.對于該市居民年人均可支配收入比上年增長率的極差，城鎮(zhèn)比農(nóng)村的大C.對于該市居民年人均可支配收入比上年增長率的中位數(shù)，農(nóng)村比城鎮(zhèn)的大D.2021年該市城鎮(zhèn)居民?農(nóng)村居民年人均可支配收入比2020年有所上升【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)逐一判斷即可.【詳解】由增長率高，得不出收入高，即A錯誤；由表中數(shù)據(jù)，可知城鎮(zhèn)居民相關(guān)數(shù)據(jù)極差較大，即B正確；由表中數(shù)據(jù)，可知農(nóng)村居民相關(guān)數(shù)據(jù)中位數(shù)較大，即C正確；由表中數(shù)據(jù)，可知增長率為正，即D正確.故選：BCD10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若對于任意的，都有成立，則B.若對于任意的，都有成立，則C.當時，若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為D.當時，若對于任意的，函數(shù)在上至少有兩個零點，則的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】由題可得恒成立，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷A，利用函數(shù)的周期的含義可判斷B，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，由題可得，進而可判斷D.【詳解】對于A，對于任意的，都有成立，所以恒成立，又，，∴，故A正確；對于B，由題可得是函數(shù)的周期，但不能推出函數(shù)的最小正周期為，故B錯誤；對于C，當時，當時，，則，，故，故C正確；對于D，當時，當時，，由在上至少有兩個零點，則，即，故D正確.故選：ACD11.已知圓：，一條光線從點射出經(jīng)軸反射，則下列結(jié)論正確的是（）A.圓關(guān)于軸的對稱圓的方程為B.若反射光線平分圓的周長，則入射光線所在直線方程為C.若反射光線與圓相切于，與軸相交于點，則D.若反射光線與圓交于，兩點，則面積的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，由對稱的性質(zhì)直接求解即可，對于B，由題意可知入射光線所在的直線過點和，從而可求出直線方程，對于C，由題意可知反射光線所在的直線過點，則，然后由圓的性質(zhì)可求出，進而可求得的值，對于D，設(shè)，，表示弦長和弦心距，可表示出面積，從而可求出其最大值詳解】對于A，由圓方程可得，故圓心，半徑，圓關(guān)于軸對稱的圓的圓心為，半徑為，所求圓的方程為：，即，A正確；對于B，反射光線平分圓的周長，反射光線經(jīng)過圓心，入射光線所在直線經(jīng)過點，，入射光線所在直線方程為：，即，B正確；對于C，反射光線經(jīng)過點關(guān)于軸的對稱點，，，則，C錯誤；對于D，設(shè)，則圓心到直線的距離，，，則當時，，D正確.故選：ABD.12.如圖，設(shè)E，F(xiàn)別是正方體的棱CD的兩個動點，點E在F的左邊，且，，點P在線段上運動，則下列說法正確的是（）A.⊥平面B.三棱錐的體積為定值C.點到平面的距離為D.直線與直線所成角的余弦值的最大值為【答案】BC【解析】【分析】A選項，證明出平面與平面相交，⊥平面，從而得到與平面不垂直；B選項，等體積法求解三棱錐體積為定值；C選項，等體積法求解點到平面的距離；D選項，建立空間直角坐標系，用空間向量求解異面直線夾角的余弦值的最大值.【詳解】易證⊥平面，而平面，平面同一個平面，若⊥平面，即⊥平面，則可推出平面與平面平行或重合，由圖易知這兩個平面顯然是相交的，矛盾，故A錯誤．因為，而定值，也為定值，所以為定值，故B正確．因為，所以∥平面．又因為點P線段上運動，所以點P平面的距離等于點B到平面的距離，其中，．設(shè)點B平面的距離為d，由，得：，解得：，即點P到平面的距離為，故C正確．以D原點，分別以方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系D－xyz，則，，，（0≤t≤1），，．設(shè)直線與成的角為，則，當且僅當t＝1時，等號成立，故D錯誤．故選：BC三、填空題（每題5分，共20分）13.設(shè)，則…______．【答案】1【解析】【分析】先，可得，再令，可得答案.【詳解】由題意令，可得令，可得所以故答案為：114.九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個圓環(huán)相連成串，以解開為勝．用表示解下個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)．若，且則解下6個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)為_________．【答案】64【解析】【分析】根據(jù)已知遞推公式，利用代入法進行求解即可.【詳解】因為，所以，故答案為：6415.建在水資源不十分充足的地區(qū)的火電廠為了節(jié)約用水，需建造一個循環(huán)冷卻水系統(tǒng)（冷卻塔），以使水可循環(huán)使用．下圖是世界最高的電廠冷卻塔——中國國家能源集團勝利電廠冷卻塔，該冷卻塔高225米，創(chuàng)造了“最高冷卻塔”的吉尼斯世界紀錄．該冷卻塔的外形可看作雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，如圖：已知直線，為該雙曲線的兩條漸近線，，向上的方向所成的角的正切值為，則該雙曲線的離心率為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)一條漸近線向上的方向與虛軸向上的方向所成的角為，則，求得，從而可求得，從而可求的離心率.【詳解】解：設(shè)一條漸近線向上的方向與虛軸向上的方向所成的角為，則，解得或（舍），即，故，所以．故答案為：.16.已知是等腰直角三角形，點P在平面的同一側(cè)運動，P到平面的距離為6，三棱錐的體積為18且其外接球的半徑為5，則滿足上述條件的點P的軌跡長度為____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求得外接球的球心到平面的距離為，進而得到球心到點軌跡所在圓的距離為，求得點的軌跡所在圓的半徑為，利用圓的周長公式，即可求解.【詳解】如圖所示，由等腰直角三角形，可得，又由到平面的距離為，三棱錐的體積為，可得，解得，所以，因為其外接球的半徑，可得，解得，即圓心到平面的距離為，又因為點到平面的距離為，所以球心到點軌跡所在圓的距離為，設(shè)點的軌跡所在圓的半徑為，可得，所以點P的軌跡長度為.故答案為：四、解答題（17題10分，其余每題12分，共70分）17.在①，②到OA的距離為，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并解答．問題：已知圓心角為的扇形，為弧上一點，為線段上一點，且，，，______，求的面積．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】選擇見解析；．【解析】【分析】選擇條件①：由余弦定理解得扇形的半徑，由正弦定理求得，利用面積公式求出的面積；選擇條件②：先求出，由余弦定理解得扇形的半徑，由正弦定理求得利用面積公式求出的面積；選擇條件③：設(shè)該扇形的半徑為．在中，由正弦定理，求得．在中，由余弦定理，解得，利用面積公式求出的面積；【詳解】選擇條件①：設(shè)該扇形半徑為．因為，所以．在中，由余弦定理，得，即，解得．在中，由正弦定理，得，即，得，所以的面積為．選擇條件②：因為，所以到OA的距離等于到的距離，所以．因為，所以為銳角，所以．設(shè)該扇形的半徑為，在中，由余弦定理，得，即，解得．在中，由正弦定理，得，即，得，所以的面積為．選擇條件③：設(shè)該扇形的半徑為．在中，由正弦定理，得，即，所以．因為，所以為銳角，則．在中，由余弦定理，得，即，解得或．又，所以，所以的面積為．【點睛】正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素．18.已知數(shù)列前n項積為，且．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，求證：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由已知得，，兩式相除整理得，從而可證得結(jié)論，（2）由（1）可得，再利用累乘法求，從而，然后利用放縮法可證得結(jié)論【小問1詳解】因為，所以，所以，兩式相除，得，整理為，再整理得，．所以數(shù)列為以2為首項，公差為1的等差數(shù)列．【小問2詳解】因為，所以，由（1）知，，故，所以．所以．又因為，所以．19.如圖，在三棱錐中，是邊長為3的等邊三角形，，平面，點、分別為、的中點，點為線段上一點，且平面.（1）求證：；（2）求平面與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）要證，轉(zhuǎn)證面即可；（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，代入公式得到結(jié)果.【詳解】（1）證明：因為面，面，所以.又∵正中，，∴面，∴.（2）解：連接交于點，連接，因為平面，所以，由重心性質(zhì)知為靠近點的三等分點.∴，，，，，設(shè)面的法向量為，，，∴，令，則∴，平面的法向量為，，∴平面與平面所成角的正弦值為.【點睛】方法點睛：空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應(yīng)點的坐標，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.20.年國家發(fā)改委?住建部發(fā)布了《生活垃圾分類制度實施方案》規(guī)定個城市在年底實施生活垃圾強制分類，垃圾回收?用率要達以上.某市在實施垃圾分類之前，對該市大型社區(qū)(即人口數(shù)量在萬左右)一天產(chǎn)生的垃圾量(單位：噸)進行了調(diào)查.已知該市這樣的大型社區(qū)有個，如圖是某天從中隨機抽取個社區(qū)所產(chǎn)生的垃圾量繪制的頻率分布直方圖.現(xiàn)將垃圾量超過噸/天的社區(qū)稱為“超標”社區(qū).（1）根據(jù)上述資料，估計當天這個社區(qū)垃圾量的平均值(四舍五入精確到整數(shù))；（2）若當天該市這類大型社區(qū)的垃圾量，其中近似為（1）中的樣本平均值，請根據(jù)的分布估計這個社區(qū)中“超標”社區(qū)的個數(shù)(四舍五入精確到整數(shù))；（3）市環(huán)保部門決定對樣本中“超標”社區(qū)的垃圾來源進行調(diào)查，現(xiàn)從這些社區(qū)中隨機抽取個進行重點監(jiān)控，設(shè)為其中當天垃圾量至少為噸的社區(qū)個數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：；；.【答案】（1）平均值為噸；（2）；（3）分布見解析，.【解析】【分析】（1）利用每組的中點值乘以該組的頻率，再相加即可得解；（2）求出，，利用可求出結(jié)果；（3）求出和內(nèi)的頻數(shù)，得到的可能取值，求出的各個取值的概率，可得分布列和期望.【詳解】（1）由頻率分布直方圖得該樣本中垃圾量為，，，，，，的頻率分別為，，，，，，，所以當天這個社區(qū)垃圾量的平均值為噸；（2）由（1）知，，，，所以這個社區(qū)中“超標”社區(qū)的個數(shù)為；（3）由（1）得樣本中當天垃圾量為的社區(qū)有個，垃圾量為的社區(qū)有個，所以的可能取值為，，，，，，，，的分布列為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：掌握利用直方圖求平均數(shù)，掌握正態(tài)分布的幾個特殊區(qū)間的概率，掌握求離散型隨機變量的分布列和均值的方法是解題關(guān)鍵..21.已知定點，點為圓：(為圓心)上一動點，線段的垂直平分線與直線交于點．(1)設(shè)點的軌跡為曲線，求曲線的方程；(2)若過點且不與軸重合的直線與(1)中曲線交于，兩點，為線段的中點，直線(為原點)與曲線交于，兩點，且滿足，若存在這樣的直線，求出直線的方程，